Egzamin końcowy z analizy matematycznej
WETI, EiT (gr. 1-6), 1 sem., r. ak. 2006/2007
1. Obliczyć całki nieoznaczone


cos 2x
a) dx b) x arctg x)2dx
sin x - sin3 x
2. a) Obliczyć całkę oznaczoną
1
dx
e4x + 4e2x + 3
0
b) W oparciu o twierdzenie o całkowaniu przez części dla całek nieoznaczonych wyprowadzić

wzór rekurencyjny na całkę (ln x)ndx.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. a) Zbadać zbieżność całki
1
ln(x + 1)dx
"
x x
0
b) Omówić i zilustrować w interpretacji geometrycznej po jednym przypadku każdego rodzaju
całek niewłaściwych.
2 5
4. Obliczyć pole obszaru zawartego pomiędzy wykresami funkcji y = i y = .
x2 + 3 x2 + 3
Wykonać odpowiedni rysunek.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Zbadać zbieżność szeregów liczbowych
2
" "

2n + ln n nn 8n
"
a) b) (-1)n
2
3
2n7 + n5 - n3 + 1 (n + 3)n
n=1 n=1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
"

(n + 2)xn
6. a) Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu
3n oraz znalez
ć jego sumę w tym prze-
n=0
dziale.
b) Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregu
"

1
n ln1+s n
n=2
gdzie s = const, s > 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] Stosując rozwinięcie funkcji ex w szereg Maclaurina obliczyć granicę
ex - x - 1
lim
x0
x2