Egzamin z przedmiotu  Podstawy matematyki
WETI, kierunki AiR i IBM, 1 sem., r. ak. 2013/2014
bn
1. [5p.] a) Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym an = , gdzie
ln cn

"
2n - 1 2n-1
3
bn = n3 + 2n2 - n, cn =
2n + 7
1-x2
[2p.] b) Wyznaczyć dziedzinę oraz przeciwdziedzinę funkcji f(x) = (4 - Ą) arc sin .
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. [5p.] a) Wyznaczyć, o ile istnieją, wartości parametrów a, b " R, aby funkcja h(x)

Å„Å‚
6 sin 2|1 - x|
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
· arctg dla x < 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ Ä„ (x - 1)2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
a2
òÅ‚ - 1 dla x = 1
h(x) =
2-x
ôÅ‚
1-x
ôÅ‚ e + 3 sin(b) dla 1 < x 2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
"
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 24( x2 + 5 - 3)
ôÅ‚
ół
dla x > 2
x2 - 4
była ciągła.
[2p.] b) Zbadać, czy istnieje granica funkcji lim cos x2.
x"
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [5p.] a) Obliczyć pochodną funkcji
2x
f(x) = 2 arctg x + arc sin
1 + x2
a następnie uzasadnić, że funkcja ta jest stała na przedziale (1, +").
[2p.] b) Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość


ln 0, 2 + 1 + 0, 04
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [5p.] a) Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji y = x arcctg x3.
[2p.] b) Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji h(x) = cos(arctg (ln x)) w punkcie
P0(1, h(1)).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [5p.] a) Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji
x2
g(x) =
ex
w przedziale -3, 3 .
[2p.] b) Korzystając z definicji obliczyć pochodną funkcji y = sin2 x w punkcie x0 " R.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. *) [dla chętnych] [3p.] Korzystając ze wzoru Maclaurina oszacować błąd wzoru przybliżonego
"
x x2
1 + x H" 1 + -
2 8
w przedziale 0, 1 .