Test na przedostatnim zjeździe

„Logika Praktyczna”-Z.Ziembiński

LOGIKA - od greckiego logos tzn. mowa, słowo, myśl, dowód.

Logika jest nauką o sposobach jasnego, ścisłego formułowania myśli, o regułach poprawnego rozumowania i uzasadniania twierdzeń.

Początki logiki to staroż. Grecja- V w.pne , za ojca logiki uznaje się Arystotelesa (384-322pne).

Logika na świecie:

Chiny III w.pne

Indie I i II w.pne

Tylko w staroż. Grecji badania logiczne miały postać systematyczną i zostały uwiecznione szeregiem ważnych osiągnięć teoretycznych.

ETNOCENTRYZM- jest to postawa kulturowa, która polega na tym, że oceniając inne kultury z punktu widzenia hierarchii wartości własnej kultury nie dostrzega się wewnętrznych wartości charakterystycznych dla tych innych kultur lub w skrajnym przypadku wręcz zaprzecza się temu, aby w innych niż własna kultura mogło pojawić się coś wartościowego. Wszystkie kultury są w jakimś stopniu etnocentryczne, albowiem nie jest możliwe abyśmy patrzyli na inne kultury inaczej niż poprzez wartości naszej własnej kultury. Ale nie powinno temu towarzyszyć przekonanie z góry przesądzające, że to, co inne jest gorsze.

EUROPOCENTRYZM- jest to patrzenie na inne kultury poprzez pryzmat hierarchii wartości kultury europejskiej połączony z myśleniem, iż kultura europejska jest lepsza czy wyższa niż inne kultury. Jest to zjawisko negatywne oraz obarczone są nim wszystkie kultury.

Arystoteles jest autorem dzieła „Organon” czyli narzędzie. Jest to pierwszy systematyczny wykład z zakresu logiki i dzieło to uważane jest za wnoszące ogromny wkład do dziedzictwa filozofii myśli ludzkich.

Słowo logika pojawia się po raz pierwszy u stoików.

STOICY- to reprezentanci stoicyzmu, kierunek filozofii, który powstał w staroż Grecji. Aby żyć szczęśliwie człowiek powinien ze spokojem przyjmować wszystko, co niesie los.

LOGIKA FORMALNA- w tym kształcie, jaki jej nadał Arystoteles i stoicy nosi nazwę logiki tradycyjnej, nie wykraczała ona poza logikę nazw i logiką zdań. Zakres zastosowania ograniczał się do tych form myślenia, które znajdują swój wyraz bezpośrednio w języku naturalnym to jest pojęć, sądów, twierdzeń, rozumowań. Dopiero w poł. XIXw. następuje rozszerzenie badań logicznych i powstaje nowoczesna logika formalna zwana logiką matematyczną.

• Polski wkład w rozwój logiki

Wiąże się ze szkołą lwowsko-warszawską. Była to polska szkoła filozofów. Okres między wojenny grupował filozofów, logików i matematyków. Kazimierz Ajdukiewicz, Tadeusz Kotarbiński. Najwybitniejszym logikiem w Polsce był Alfred Tarski 1901-1983- prof. na Uniwersytecie Berkeley w Kalifornii.

• DZIAŁY LOGIKI

1. logika formalna- zajmuje się ona tym, jakiej budowy zdania wynikają ze zdań zbudowanych w określony sposób

2. SEMANTYKA- teoria znaczeniowej strony języka, przedmiotem jej jest analiza funkcji znaczeniowych wyrażeń, usuwanie wieloznaczności i wykrywanie błędów logicznych.

3. TEORIA POZNANIA I METODOLOGIA NAUK

Teoria poznania- jest podstawowym działem filozofii, zajmuje się ona obiektywnością naszych sądów i stara się odpowiedzieć na pytanie, czym jest prawda.

Metodologia nauk dzieli się na:

• ogólną- zajmuje się ogólnymi metodami pracy naukowej, a zwłaszcza metodami uzasadniania twierdzeń i konstrukcji systemów naukowych, (co łączy jest wspólne)

• szczegółową- wychodząc od jakiejś klasyfikacji nauk zastanawia się nad odrębnościami ich poszczególnych rodzajów, (co jest specyficzne dla każdej z nauk)

Metodologia nauk:

• nauka to ogół czynności wykonywanych przez uczonych

• wytwór tych czynności przybierający postać systemów twierdzeń

• nauką tą zajmują się także psychologia, socjologia, historia, filozofia, etyka, teologia

Dział osobny logiki- ERYSTYKA- sztuka przekonywania (od greckiego eris, grecka bogini niezgody).

Metodologia nauk zajmuje się typami czynności wykonywanych prac naukowych, wyróżnia się następujące rodzaje zabiegów poznawczych:

• uzasadnianie twierdzeń

• wnioskowanie

• opis i wyjaśnienie zjawisk

• stawianie i sprawdzenie hipotez

• definiowanie terminów

• JĘZYK JAKO SYSTEM ZNAKÓW SŁOWNYCH

ZNAK- jest to świadomy twór człowieka użyty w celu komunikowania się dzięki umownemu nadaniu przedmiotom określonych znaczeń.

ZNAK- jest to dostrzegalny układ rzeczy lub zjawisko spowodowane przez kogoś tak, że jakieś wyrażenie ustanowione lub zwyczajowo ukształtowane reguły nakazuje wiążąc, z tym układem rzeczy lub zjawiskiem, myśli o określonej treści. (postrzeganie, przekaz informacji).

Znaki dostrzegamy oraz przekazują one informację.

W każdym znaku wyróżniamy:

• substrat materialny, czyli układ kresek, światło (to, z czego znak jest zrobiony)

• reguły znaczeniowe

Potencjalnym znakiem może być wszystko, co podlega bezpośredniej percepcji: - każde zjawisko świata empirycznego- zmysłowego: rzeczy, przedmioty wytwarzane i ich fragmenty, napisy, dźwięki, gesty, zachowania.

Oprócz znaków występują również oznaki oraz to, co nie jest znakiem ani oznaką.

OZNAKA- to przedmiot lub zjawiska, które istnieją w sposób naturalny (tzn. nie są wytworem działalności człowieka), a których pojawienie mówi nam o istnieniu lub cechach innych przedmiotów lub zjawisk.

OZNAKA- inaczej zwiastun, objaw, symptom.

OZNAKA- jakiegoś stanu rzeczy czy zdarzenia jest to wszystko, co współwystępując z owym stanem rzeczy lub zdarzeniem powoduje skierowanie nań czyjeś uwagi, choć nie istnieją reguły znaczeniowe, które by takie skierowanie myśli nakazywały.

Przykłady:

Drzewo

ani znak ani oznaka, (znakiem jest w przypadku, np., kiedy 2 osoby umawiają się przy tym drzewie, one wiedza, że jest to dla nich znak)

Kaszel

oznaka (choroby), znak (sygnalizowanie komuś czegoś)

Napis WSE w W-wie

znak, (bo jest zwykłym napisem)

Uchylenie kapelusza przez 2 mijających się panów

znak

Krzesło

analogicznie do drzewa

Podniesiona ręka w czasie głosowania

znak

Czerwony krawat uczestników spotkania międzynarodówki socjalistycznej

znak

Błyskawica na niebie

oznaka

Zebra jako pasy na jezdni

znak

Telewizor

ani znak ani oznaka

Pulsujące światło na skrzyżowaniu

znak

Komin

ani znak ani oznaka

Dym

oznaka, (że coś się pali), znak

Przylot jaskółek

oznaka (nadchodzącej wiosny)

Istnieje odrębna dziedzina wiedzy zajmująca się znakami, nosi ona nazwę SEMIOTYKA(sema-znak).

Język jest to system znaków słownych, w którym odpowiednie reguły i są to reguły znaczeniowe wyznaczają sposób wiązania myśli z określonymi słowami czy zespołami słów a inne reguły syntaktyczne mówią o dopuszczalnych sposobach wiązania słów w wyrażenia złożone.

Każdy język to:

• słownictwo

• reguły znaczeniowe

• reguły składniowe

Słownictwo jest to zbiór tych wyrazów, które w danym świecie mają ustalone znaczenie (około 100.000). W słowniku każdego języka występują idiomy. Słownik lub słownictwo może być czynne lub bierne.

Słownik czynny obejmuje te wyrazy, które rozumiemy i którymi się posługujemy.

Słownik bierny są to te słowa, które rozumiemy, ale których sami nie używamy.

Człowiek wykształcony w Polsce zna około 20 - 30 tyś. słów

Żeby swobodnie porozumiewać się w jakimś języku- około 5000 słów, minimum 1000 słów.

• PODZIAŁ JĘZYKA

1. NATURALNY I SZTUCZNY

• NATURALNY- to taki, który ukształtował się w sposób żywiołowy, a reguły tego języka ktoś opisał ma podstawie obserwacji posługiwania się tym językiem przez określoną grupę ludzi. (ktoś bada język i wysnuwa reguły). Ukształtował się żywiołowo i spontanicznie.

• SZTUCZNY- to język stworzony dla jakiś z góry określonych celów, np. język algebry czy geometrii. Skrajnym przykładem będzie język sformalizowany tzn. język wyraźnie określony słownikiem i składnią.

Język naturalny- to język grup etnicznych. Na przykład język polski jest językiem mieszanym do języka naturalnego zbliża go żywiołowość.

Język naturalny- to język, którego używamy, na co dzień, którym komunikujemy się z innymi, wyrażamy nasze przeżycia, opisujemy świat itd.

Język potoczny- jest to fragment języka naturalnego, który jest dostępny wszystkim standardowym użytkownikom tego języka. Do języka potocznego zalicza się też język o mniejszej dostępności, którymi sprawnie posługują się określone grupy użytkowników

np. język specjalistyczny grup zawodowych. Język specjalistyczny powstaje z języka potocznego przez uściślenie znaczeń części jego wyrażeń, dodanie nowych wyrażeń, czasem uściślenie reguł składniowych.

Język prawny- jest to język, w jakim pisane są akty prawne, od języka prawnego należy odróżnić język prawniczy, który jest nadbudowany na językiem prawnym- język środowisk prawniczych.

IDIOM- jest to specyficzne wyrażenie języka, takie, że znaczenie tego wyrażenia nie jest prostą sumą znaczeń wyrazów składowych.

ZNAKI DIAKRYTYCZNE- są to znaki, jakimi zmienia się wartość fonetyczną pewnej głoski czy litery (ś, ć, ź, ą, ę).

2. PRZEDMIOTOWY I PODMIOTOWY

• PRZEDMIOTOWY- to język, który jest przedmiotem badania, czyli język, który się bada. Skrajnym przykładem wypowiedzi są wypowiedzi o otaczającej nas rzeczywistości np. drzwi są zamknięte, tablica jest zielona.

• PODMIOTOWY- to taki, w którym formułuje się wyniki badań nad językiem przedmiotowym. To inaczej język wyższego stopnia lub metajęzyk.(Meta- kolejny, następny, wyższego stopnia).

Nie rozróżnianie języka przedmiotowego i podmiotowego prowadzi do paradoksów.

PARAKOKS- efektowne sformułowanie często stanowiące odwrócenie jakiejś uznanej prawdy.

PARADOKS- rozumowanie, które, mimo iż jest pozornie poprawne prowadzi do wniosków wzajemnie sprzecznych lub sprzecznych z jakimiś wcześniejszymi ustaleniami lub powszechnie uznanymi prawdami.

Np. twierdzenie „zawsze kłamię”: odpowiedź Nie- sprzeczne z twierdzeniem.

Kategorie syntaktyczne języka- są to grupy wyrazów lub wyrażeń wyróżniane ze względu na ich rolę w budowaniu wyrażeń złożonych. Dzielą się na:

1. podstawowe

• nazwy i zdania

• funktory

• pochodne

NAZWA- jest to wyraz lub grupa wyrazów, która w zdaniu może pełnić rolę podmiotu lub orzecznika w orzeczeniu imiennym (oparte o czasownik być). Najbardziej typowe nazwy to rzeczowniki i zaimki.

ZDANIE w sensie logiki jest to taka wypowiedź, która jednoznacznie głosi coś o rzeczywistości. Stwierdza, że tak a tak jest lub tak a tak nie jest i w związku z tym jest zdaniem prawdziwym lub fałszywym.

W logice wyróżniamy dwie wartości logiczne prawdę i fałsz, i dlatego mówimy, że zdanie w sensie logiki posiada wartość logiczną(jest prawdziwe lub fałszywe).

FUNKTORY- jest to wyraz wyrażenie, które nie będąc zdaniem ani nazwą łączy inne wyrazy czy grupy wyrazów w wyrażenia bardziej złożone np. i, nad, jeżeli to, nieprawda, że.

W zależności od tego, co powstaje w wyniku związania przez funktor jakiś słów, funktory dzielimy na:

• nazwotwórcze

• zdaniotwórcze

• funktorotwórcze

To, co funktor wiąże nazywamy argumentami funktora.

„i”

Sława i chwała.

• nazwa, jest funktorem nazwotwórczym od dwóch argumentów nazwowych

Stoję i czekam na tramwaj.

• zdanie, jest funktorem zdaniowym od dwóch argumentów zdaniowych

„NIEPRAWDA, ŻE”CZEKAM NA TRAMWAJ

• jest to funktor zdaniotwórczy od jednego argumentu zdaniowego

„MÓWI”

• funktor zdaniotwórczy(nauczyciel mówi) od jednego argumentu zdaniowego

„NAD”

• funktor nazwotwórczy od dwóch argumentów nazwowych

• jest funktorem nazwotwórczym, bo powstałą nazwa np. niebo nad nami

,„JEŻELI TO”

• jeżeli.....to

• funktor zdaniotwórczy od dwóch argumentów zdaniotwórczych

„NIEPRAWDA, ŻE”

• Nieprawda, że czekam a tramwaj.

• jest to zdanie złożone

Zdanie proste jest to takie zdanie, którego częścią nie jest inne zdanie.

Zdanie złożone- wyodrębniamy osobną część, jaką jest jakieś inne zdanie.

Funktory funktorotwórcze to przysłówki (dodać czasownik).

Nazwy dzielimy:

1. ze względu na ilość wyrazów składowych

• proste- z jednego wyrazu, np. student

• złożone- z przynajmniej dwóch wyrazów np. wyższa szkoła ekonomiczna

2. ze względu na to, do czego się odnoszą

• konkretne- jest nazwą przedmiotu, tzn. rzeczy lub osoby lub czegoś, co sobie jako rzecz lub osobę wyobrażamy,

rzecz - np. tablica

osoba- np. pielęgniarka

wyobrażenie- np. grecki Bóg kupców i złodziej Hermes

• abstrakcyjne- nazwa wspólnej cechy wielu przedmiotów, np. barwa(biel lub żółć).

nazwa wydarzenia- np. przyjazd

nazwa stanu rzeczy- np. zdrowie

nazwa relacji zachodzącej między przedmiotami- np. równość, szacunek

3. ze względu na ilość desygnatów

- jednostkowe- mają tylko jeden desygnat, np. Pałac Kultury i Nauki w W-wie, Adam Mickiewicz

• ogólne- mają więcej niż jeden desygnat, np. tablica, student, pielęgniarka

• puste- nie mają desygnatów, np. krasnoludek, są to 1.postacie mitologiczne, postacie bajkowe, postacie literackie- niebędące zarazem postaciami historycznymi ;2.nazwy przedmiotów i osób lub rzeczy, którym przypisujemy cechy sprzeczne wzajemnie wykluczające się np. syn bezdzietnej matki (desygnat nazwy ustalony przy znaczeniu danej nazwy)

4. ze względu na sposób wskazywania desygnatów

• indywidualne- służą do oznaczania pewnych przedmiotów nie przypisując tym przedmiotom takich czy innych właściwości wyróżniających

• generalne- przysługują przedmiotom ze względu na jakieś cechy, które tym przedmiotom przypisujemy posługując się tą nazwą

DESYGNAT- przedmiot oznaczony przez daną osobę, przedmiot, którego znakiem jest dana nazwa.

Treść nazwy- jest to zbiór cech, jakie przypisujemy przedmiotom, do których dana nazwa się odnosi.

Najdłuższa rzeka świata Amazonka

- generalna - indywidualna

to dwie nazwy tego samego przedmiotu

Nazwa indywidualna to nazwa własna!

Jeżeli uznamy jakąś nazwę za abstrakcyjną to dalej jej nie charakteryzujemy.




NAJDŁUŻSZA RZEKA ŚWIATA

• złożona

• konkretna

• jednostkowa

• generalna

AMAZONKA

• prosta

• konkretna

• jednostkowa

• indywidualna

POLSKI PISARZ

• złożona

• konkretna

• ogólna

• generalna

STOLICA PAŃSTWA EUROPEJSKIEGO

• złożona

• konkretna

• ogólna

• generalna

TULIPAN

• prosta

• konkretna

• ogólna

• generalna

POKAZ MODY

• złożona

• abstrakcyjna

SĄSIEDZTWO

• prosta

• abstrakcyjna

NAJSTARSZA OSOBA W RODZINIE

• złożona

• konkretna

• ogólna

• generalna

POLITYKA GOSPODARCZA

• złożona

• abstrakcyjna

BANKNOT

• prosta

• konkretna

• ogólna

• generalna




STOSUNKI MIĘDZY ZAKRESAMI NAZW NIE PUSTYCH:

Zakres nazwy jest to zbiór desygnatów przy ustalonym znaczeniu tej nazwy. Graficznym obrazem zakresu nazwy jest koło

Między zakresami dwóch nazw nie pustych SP mogą zachodzić następujące stosunki:

1. stosunek zmienności= równoważnośc

Zakres nazwy S zawiera się w zakresie nazwy P, a zakres nazwy P zawiera się w zakresie nazwy S. Każdy desygnat nazwy S jest desygnatem nazwy P i nie ma takich desygnatów nazwy P, które by nie były desygnatami nazwy S.

Np. Warszawa Jan Paweł II

Obecna stolica Polski Karol Wojtyła

2. STOSUNEK podrzędnoŚci







Istnieją przedmioty, które są desygnatami nazwy S i P. Nie ma takich przedmiotów, które były by desygnatami nazwy S niebędące desygnatami nazwy P, ale są takie przedmioty, które są desygnatami nazwy P niebędące desygnatami nazwy S.

Np. Sowa

Ptak

nazwa sowa podrzędna do nazwy ptak

3. stosunek nadrzędności







Zakres nazwy S jest nadrzędny względem zakresu nazwy P tzn., że istnieją takie desygnaty nazwy S, które są zarazem desygnatami nazwy P. Istnieją desygnaty nazwy S, które nie są desygnatami nazwy P, ale każdy desygnat nazwy P jest desygnatem nazwy S.

Np. ssak

Puma

zakres nazwy ssak jest nadrzędny nad znakiem puma, ponieważ są ssaki, które nie są pumami i które są pumami, wszystkie ssaki nie są puma

Sowa

Ptak

sowa a ptak- stosunek podrzędności

ptak a sowa- stosunek nadrzędności

STOSUNEK PODRZĘDNOŚCI I NADRZĘDNOŚCI SĄ WZGLĘDEM SIEBIE ODWROTNE!

4. stosunek krzyżowania się




S- Student

P- Polak

1. studenci, którzy nie są polakami

2. polacy, którzy nie są studentami

3. studenci, którzy są polakami

Zakres nazwy S krzyżuje się z zakresem nazwy, P wówczas, gdy:

1. istnieją desygnaty nazwy S, które nie są desygnatami nazwy P

2. istnieją desygnaty nazwy P, które nie są desygnatami nazwy S

3. istnieją pewne wspólne desygnaty, czyli takie przedmioty, które są zarazem desygnatami nazwy S i nazwy P

5. stosunek wykluczania się zakresów lub rozłączność





Istnieją desygnaty nazwy S, które nie są desygnatami nazwy P. Istnieją desygnaty nazwy P, które nie są desygnatami nazwy S i nie ma wspólnych desygnatów.

Np. rower jabłko

kot koszyk

UNIWERSUM- albo uniwersalna klasa przedmiotów, jest to taki zbiór, który obejmuje wszystko cokolwiek jest.

Np. w uniwersum przedmiotowym wyodrębniamy zbiór książek, czyli pozostaje wszystko inne, co nie jest książką. Książka - nie książka- jest to stosunek wykluczania się.

Książka + Nie książka = Uniwersum

PRZYKŁADY

1.Mebel Szafa





stosunek nadrzędności, mebel nadrzędny do szafy

2.Student Student Ekonomii





stosunek podrzędności



3.Narcyz Tulipan

stosunek rozłączności

4.Mysz Kręgowiec



stosunek podrzędności

5.Czerwony kwiat Tulipan




stosunek krzyżowania

1. czerwone kwiaty, które nie są tulipanami

2. tulipany, które ni są czerwone

3. czerwone tulipany

6.Rzeka europejska Wisła



stosunek nadrzędności

7.Samochód Kierownica samochodu





stosunek wykluczania się /rozłączności

8.Francja Europa



stosunek rozłączności



9.Nie budynek Budynek

stosunek wykluczania się

10.Nie telewizor Nauczyciel





stosunek nadrzędności

11.Szcupak Nie rower



stosunek podrzędności

12.Nie jabłko Nie gruszka




1. gruszka

2. jabłko

3. wszystko oprócz jabłka i gruszki




14.Listonosz Koperta Motyl

15.Stół Papuga Mebel






16.Ssak Słoń Kręgowiec






PODZIAŁ LOGICZNY I KLASYFIKACJA

Podział logiczny to pewne czynności myślowe, które polegają na wyróżnieniu zakresów cząstkowych stanowiących pewną część zakresu pewnej nazwy. Podział logiczny przeprowadzamy wtedy, kiedy mamy zdać sprawę z własności przedmiotów N, z pewnego punktu widzenia, a przedmioty N z tego właśnie punktu widzenia różnią się między sobą.

N







a b c d

N- nazwa, której zakres dzielimy

a,b,c,d- człony podziału lub zakresy cząstkowe

Przeprowadzając podział logiczny zakresu nazwy N na zakresy cząstkowe a, b, c, d, stwierdzamy, że każdy desygnat nazwy N jest desygnatem jednej i tylko jednej z nazw cząstkowych a, b, c, d.

Np. Kręgowce








Ryby Płazy Gady Ptaki Ssaki

Podział logiczny polega na wskazaniu przynajmniej dwóch nazw, których zakresy są podrzędne względem zakresu dzielonego, czyli na wskazaniu najmniejszych klas w obrębie poddanego podziałowi zakresu nazwy.

KLASA, ZBIÓR, UKŁAD- jest to całość złożona z elementów tego samego rodzaju.

Warunki poprawności podziału logicznego:

• poprawny podział logiczny powinien być wyczerpujący i rozłączny

• podział logiczny jest wyczerpujący, jeżeli suma zakresów ma, jakie podzieliliśmy zakres danej normy równa się całemu zakresowi tej nazwy

• podział logiczny jest rozłączny, kiedy owe wyróżnione zakresy cząstkowe wzajemnie się wykluczają, czyli żaden element zakresu nie zawiera się równocześnie w dwóch zakresach cząstkowych

Np. Podział ludzi





Kobiety Mężczyźni

Akty prawne





Umowy Akty niebędące umowami

Podział logiczny pojęcia N jest to zbiór pojęć podrzędnych względem tego pojęcia N, parami wzajemnie rozłącznych i takich, że suma ich zakresów jest identyczna z zakresem dzielonego pojęcia N.

Aby podział logiczny był poprawny należy się trzymać określonej zasady podziału.

Zasada podziału jest to cecha, której poszczególne odmiany odpowiednio charakteryzują każdy z wyróżnionych zakresów cząstkowych.



Ludzie

Kobiety Mężczyźni

Zasada podziału- płeć

RODZAJE PODZIAŁÓW LOGICZNYCH:

1.Podział dychotomiczny= dwudzielny (wg cech kontradyktorycznych/ sprzecznych)

Butelka - Nie butelka



N

X nie X

W zakresie nazwy dzielonej wyróżniamy pewną klasę przedmiotów posiadających jakąś cechę i klasy przedmiotów, które tej cechy nie posiadają.



Państwa

Demokratyczne Nie demokratyczne

2.Podział wg pewnej cechy ogólnej

N







a b c inne

Za podstawowy podział przyjmuje się pewną cechę ogólną, a człony podziału wyróżnia się wg odmian tej cechy.

Słowniki








Językowe Matematyczne Biologiczne Fizyczne Inne

Jest to podział tematyczny

Meble





Drewniane Niedrewniane

Jest to podział dychotomiczny





Meble

Krzesła Stoły Szafy Inne

Jest to podział wg pewnych cech ogólnych

Podział logiczny jest skończony, jeżeli liczba zakresów cząstkowych jest skończona.

Podział logiczny jest nieskończony, jeżeli wyróżniamy nieskończenie wiele zakresów cząstkowych.

Podział liczb naturalnych na kolejne dziesiątki liczb.

WIELOSTOPNIOWY PODZIAŁ LOGICZNY= KLASYFIKACJA

N







A B C D

Jest to podział jednostopniowy





N

A B C D







A1 A2 B1 B2

Jest to podział wielostopniowy

Ludzie mieszkający w Warszawie





Pełnoletni Niepełnoletni









Kobiety Mężczyźni Kobiety Mężczyźni









Obywatelki polskie Cudzoziemki Obywatele polski Cudzoziemcy







Podstawowe Średnie Wyższe Inne Niemcy Francuzi Ukraińcy Rosjanie

Gospodarstwo rolne wg areału









Do 5ha 5-10 10-20 20-30 30-40 30-50 Pow.50ha

Jeżeli granice zakresów cząstkowych mają wymiar liczbowy, to wówczas trzeba je tak określać, aby skrajne liczby nie powtarzały się.

Gospodarstwo rolne







Do 5ha 5,1-10 10,1-20 20,1-30

Podział logiczny musi być rozłączny!!!

RACHUNEK ZDAŃ (logika formalna)

Są dwa podstawowe działy logiki formalnej:

1. rachunek zdań- zmiennymi są zdania

2. rachunek nazw- zmiennymi są nazwy

I. Rachunek zdań

Zdanie w sensie logiki jest to taka wypowiedź, która jednoznacznie głosi coś o rzeczywistości stwierdzając, że tak a tak jest lub tak a tak nie jest i w związku z tym posiada wartość logiczną, czyli jest zdaniem prawdziwym lub fałszywym.

Zdaniem w sensie logiki są zdania oznajmujące.

Zdaniami w sensie logiki nie są te zdania oznajmiające, które odnoszą się do wartości: dobro, piękno itp. Zdania Normatywne ( też nie)to takie, co formułują pewne powinności ( powinno się, trzeba, należy) Te, co do wartości to zdania oceniające. Zdanie proste to takie zdanie, którego częścią nie jest żadne inne zdanie.

Symbolika rachunku zdań:

1.Zmienne zdaniowe

p, q, r, s

Są to symbole zdań prostych. Zdania proste to są takie zdania, którego częścią nie jest żadne inne zdanie.

2. i 3. Elementy stałe zdaniowe

2.~ czytamy nie prawda że, stała przyzdaniowa nazywa się negocjacja

3. stała międzyzdaniowa - spójniki

^- koniunkcja- czytamy jako i

v- alternatywa- czytamy jako lub

→- implikacja- czytamy, jako jeżeli to

≡ - równoważność- czytamy jako zawsze i tylko wtedy gdy

Stałe logiczne są to funktory.

Zmienne zdaniowe to argumenty.

Schemat zdaniowy- jest to wyrażenie, zbudowane z symboli zmiennych i stałych logicznych:

~ p -nieprawda, że p

p^q- p i q

pvq- p lub q

p→q- jeżeli p jeżeli to q

p≡q- p zawsze i tylko wtedy gdy q

Przykłady

p Dziś świeci słońce.

~ p Nieprawda, że dziś świeci słońce.

p^q Świeci słońce i pada śnieg.

pvq Pojadę nad morze lub pojadę w góry.

p→q Jeżeli pojadę do Krakowa to pójdę na Wawel.

p≡q Pójdę na Wawel zawsze i tylko wtedy gdy pojadę na Wawel.

Nie umiesz, nie rozumiesz = to samo co nieprawda, że

4.Nawiasy

{[( )]} Jeżeli z treści zdania nie wynika wyraźnie coś innego, to stawiając nawiasy pamiętamy o tym, że:

• najmocniej wiąże koniunkcja

• słabiej alternatywa

• jeszcze słabiej implikacja

• najsłabiej równoważność

[ p v (q ^ r ) ] ≡ [ q → ( p ^ r )] zastępują znaki interpunkcyjne.

Np. Pojadę w góry lub nieprawda, że pojadę w góry.

p v ~ p

Byłem w Paryżu i nieprawda, że byłem w Madrycie.

p ^ ~ q

1.Marek będzie studiował prawo lub pójdzie na medycynę.

p v q

2.Jesteś inteligentny i nieprawda ,że masz złą pamięć.

p ^ ~ q

3.Jeżeli nieprawda, że twierdzenia matematyki mogą okazać się fałszywe, to nieprawda, że twierdzenia logiki mogą okazać się fałszywe.

~ p → ~ q

4.Teoria T1 jest niesprzeczna lub nieprawda, że teoria T2 jest niesprzeczna.

p v ~ q

5.Nieprawda, że jeśli Einstein był genialny, to Newton był ograniczony.

~ (p → q)

6.Nieprawda, że jeśli spory filozoficzne są nierozstrzygalne i uczeni biorą w nich udział, to filozofia hamuje postęp w nauce.

~ [(p ^ q) → r]

7.Jeżeli byłeś w Paryżu, to widziałeś Luwr I widziałeś wieżę Eiffla.

p → (q ^ r)

8.Jeżeli mówisz nieprawdę, to mylisz się lub kłamiesz.

p → (q v r)

9.Nieprawda, że uczyłeś się systematycznie i nie umiesz.

~ (p ^ ~q)

10.Nieprawda,że wiesz i nie wiesz.

~ (p ^ ~p)

11.Ukończę anglistykę i zostanę tłumaczem literatury angielskiej lub będę nauczycielem języka angielskiego.

p ^ (q v r)

12.Ukończę studia ekonomiczne lub podejmę studia biologiczne i zostanę nauczycielem biologii.

p v (q ^ r)

13.Przeczytam kilka podręczników lub wysłucham wykładów i rozwiążę kilkadziesiąt zadań.

p v (q ^ r)

14.Jeżeli słabo znam gramatykę i nieprawda, że uczyłeś się logiki, to nieprawda, że posiadasz gruntowną wiedzę o języku.

( p ^ ~ q ) → ~ r

15.Ukończysz studia i napiszesz pracę magisterską, zawsze i tylko wtedy, gdy jesteś pracowity i nieprawda, że łatwo się zniechęcasz.

( p ^ q ) ≡ ( r ^ ~ s )

FUNKTORY PRAWDZIWOŚCIOWE

• prawdziwe 1

• fałszywe 0

Funktor prawdziwościowy jest to funktor zdaniotwórczy o argumentach zdaniowych, który charakteryzuje się tym, że znając tylko samą wartość logiczną jego argumentów zdaniowych, a niezależnie od treści zdań można jednoznacznie orzec, jaka jest wartość logiczna całego zdania zbudowanego przy pomocy tego funktora.

Matryca funktora prawdziwościowego jest to zestawienie zależności między wartością logiczną dowolnych zdań, a wartość logiczna zdania złożonego z tego funktora i tych zdań składowych.

Funktory prawdziwościowe to:

• negacja

• koniunkcja

• implikacja

• alternatywa

• równoważność


Negacja p ~ p




1 0

0 1

p	q	p^q	p v q	p → q	p ≡ q
1	1	1	1	1	1
1	0	0	1	0	0
0	1	0	1	1	0
0	0	0	0	1	1

2 ⁿ ilość prawdziwości do fałszu

Koniunkcja jest prawdziwa tylko w jednym przypadku, tzn., kiedy oba zdania składowe są prawdziwe, czyli warunkiem koniecznym prawdziwości koniunkcji jest prawdziwość obu zdań składowych. Warunkiem wystarczającym fałszywości koniunkcji jest fałszywość jednego ze zdań składowych.

Alternatywa jest fałszywa w jednym przypadku, kiedy oba zdania składowe są fałszywe, czyli warunkiem koniecznym fałszywości jest fałszywość obu zdań składowych. Warunkiem wystarczającym prawdziwości alternatywy jest prawda jednego ze zdań składowych.

Implikacja- kiedy poprzednik jest prawdziwy a następnik jest fałszywy.

Równoważność jest prawdziwa, kiedy zdania składowe mają taką samą wartość logiczną, tzn. oba są prawdziwe lub fałszywe. Równoważność jest fałszywa, kiedy zdania składowe mają różną wartość logiczną.

Np.

(p ^ q) → ~p

(1 ^ 0) → ~1

0 → 0

1

DEFINICJE

Definicja jest to wyraz lub zbiór wyrazów, który podaje charakterystykę przedmiotów lub informuje o znaczeniu słów.

Podział definicji:

1.ze względu na to co jest definiowane

• realne/ przedmiotowe- definiowany jest przedmiot, podaje jednoznaczną charakterystykę przedmiotu. Jest to wypowiedź w języku pierwszego stopnia, czyli w języku przedmiotowym. Odpowiada na pytanie- co to jest?

• nominalne/ metajęzykowe- to definicja wyrazu, podaje ona informację o znaczeniu słowa definiowanego. Jest to wypowiedź w metajęzyku albo w języku drugiego stopnia i dąży do tego by pewne słowa uczynić zrozumiałymi przy pomocy innych wyrazów. Pozwala ona przełożyć zdanie zawierające wyraz definiowany na zdanie od niego wolne.

Odpowiada na pytanie co to znaczy?

2.ze względu na zadania

• sprawozdawcze- mówi jakie znaczenie miał lub posiada aktualnie wyraz definiowany w pewnym języku.

• projektujące- projektuje, ustala na przyszłość znaczenia jakiegoś słowa. Może być:

1. regulująca- jest wtedy, kiedy zmieniając nie ostre znaczenie jakiegoś wyrazu zakreśla ostro kontury jego zakresu. Nazwa może być ostra lub nie ostra. Jest nie ostra, kiedy nie o każdym napotkanym przedmiocie możemy jednoznacznie orzec czy jest on desygnatem tej nazwy. Wiążą się one ze słowami duży, mały, wysoki, niski, trochę, kawałek, niski. Usuwa nieostrość nazw.

2. konstrukcyjna/ swobodnie projektująca. Ustala znaczenie jakiegoś wyrazu na przyszłość, nie liczy się z dotychczasowym znaczeniem tego wyrazu (jeżeli ten wyraz w ogóle jakieś znaczenie w języku posiadał)

• kiedy dokonano odkrycia lub skonstruowano jakiś przedmiot, buduje się definicję konstrukcyjną

• bierzemy wyraz istniejący i nadajemy nowe znaczenie lub wprowadzamy zupełnie nowy wyraz

3.ze względu na budowę

I . równościowe

Składa się z trzech elementów:

1.definiendum- to co jest definiowane

2.zwrot łączący

3.definiens- wyrażenie definiujące

Np. Bursztyn jest to skamieniała żywica.

1.bursztyn

2.jest to

3.skamieniała żywica

Równościowa, bo zwrot łączący gwarantuje, że definiendum w jakimś sensie równa się definiens.

Definicje równościowa dzieli się na:

• klasyczne

Zbudowana jest według schematu:

A jest to B mające cechę C.

A-bursztn

B-żywica

C-skamieniała

Definicja równościowa klasyczna podaje dla wyrazu definiowanego rodzaj najbliższy i różnicę gatunkową.

Stosunek między Bursztyn - Żywica





nadrzędności

rodzaj najbliższy bursztynu to żywica

Definicja klasyczna wywodzi się od Arystotelesa, który próbował zdefiniować człowieka. Próbował odpowiedzieć na pytanie, co to jest człowiek?- Jest to istota myśląca.

Definicja klasyczna może występować w trzech stylizacjach:

-słownikowa- bursztyn znaczy tyle, co wyrażenie skamieniała żywica (porównanie znaczeń)

-semantyczna- bursztyn oznacza skamieniałą żywicę (mówimy, że pewna nazwa jest znakiem jakiegoś przedmiotu)

-przedmiotowa- bursztyn jest to skamieniała żywica (używamy słów mając na myśli pewne przedmioty)

• nieklasyczne

Zboże jest to pszenica, żyto, owies, kukurydza, jęczmień, itd. Nie podaje rodzaju najbliższego i różnicy gatunkowej.






Z

Ż K O P J

Definicja nieklasyczna wymienia zakresy cząstkowe pojęcia definiowanego.

Stosunek Żyto- zboże

Podrzędności.

II.aksjomatyczne

Aksjomat- naczelne twierdzenie pewnego systemu zazwyczaj dedukcyjnego, przyjęte bez dowodu, do którego to twierdzenie jako do ostatecznej instancji rozstrzygającej odwołują się wszelkie inne dowody w ramach tego systemu.

Błędy w definiowaniu:

1.Ignotum per ignotum- nieznane przez nieznane

Polega na tym, że w definiensie znajduje się słowo lub słowa niezrozumiałe dla osoby, dla której przeznaczona jest definicja. Błąd jest wynikiem nieprzystosowania słownictwa osoby definicji budującej do słownictwa osoby dla, której ta definicja jest przeznaczona.

2.Idem per idem- to samo przez to samo- błędne koło

Polega na tym, że w definiensie pojawia się wyraz definiowany lub jakaś jego pochodna.

Np. Logika jest nauką o zasadzie logicznego myślenia.

Jest to błędne koło bezpośrednie.

Logika jest nauką o regułach poprawnego myślenia. Myślenie poprawne to takie, które jest zgodne z zasadami logiki.

Jest to błędne koło pośrednie.

Bezpośrednie- wyraz w definiensie.

Pośrednie- odwołujemy się do wyrazu z definiensa, w jakimś kolejnym zdaniu.

3.Nieadekwatmość zakresów

Polega na tym, że zakres słowa definiowanego równa się lub pokrywa z zakresem słowa definiującego. Błąd polega na tym, że zakres nazwy definiowanej nie jest tożsamy z zakresem nazwy definiującej. Jeżeli występuje nieadekwatność zakresów to definicja może być za szeroka lub za wąska.

Np. Bursztyn jest to skamieniała żywica, koloru żółtego.- za wąska

Bursztyn jest to substancja pochodzenia organicznego.- za szeroka

Definicja jest za szeroka, kiedy zakres definiensa obejmuje jakieś przedmioty, które nie wchodzą do zakresu, definiendum. Jeżeli zakres definiensa jest nadrzędny do definiendum.

Definicja jest za wąska, kiedy zakres definiensa nie obejmuje wszystkich przedmiotów, które są elementami zakresu, definiendum. Jeżeli zakres definiendum jest podrzędny do definiensa.

4.Błąd przesunięcia kategorialnego.

Dotyczy stosunków między zakresami. Polega na tym, że nazwę definiowaną podciąga się pod niewłaściwą kategorię pojęciową.

Czerń jest to rzecz czarna.- czerń nie jest rzeczą tylko cechą.

Bursztyn jest to substancja nieorganiczna.- nie jest substancję nieorganiczną, jest to zakres rozłączności.

Poprawna definicja:

• aby podawała charakterystykę przedmiotu definiowanego

• aby charakterystyka była jednoznaczna i dotyczyła cech istotnych

• aby charakterystyka i definicja była możliwie krótka

1.Temperament choleryka ma osoba, którą łatwo jest wyprowadzić z równowagi.

Zdanie nie jest definicją równościową

2.Termometr jest to przyrząd służący do mierzenia temperatury powietrza.

Błąd nieadekwatności, definicja jest za wąska.

3.Wyrok sądowy jest to decyzja sędziego, co do istoty sprawy sądowej, a sędzia to osoba uprawniona do wydawania wyroków sądowych.

Błąd idem per idem, błędne koło pośrednie.

4.Wybuch jest to cech charakterystyczna materiałów, które ulegają gwałtownym reakcjom chemicznym.

Błąd przesunięcia kategorialnego, wybuch jest zdarzeniem, nie cechą.

5.Prostokąt jest to płaska figura czteroboczna.

Za szeroka, nie każda figura jest prostokątem.

6.N-tą potęgą liczby A nazywamy iloczyn n- czynników równych liczbie A.

Definicja potęgi w matematyce jest definicją kontekstową, tzn. wyraz definiowany umieszczony w typowym dla niego kontekście.

7.Bursztyn jest to skamieniała żywica.

Jest to wyraźna definicja, podajemy jakiś równoważnik dla samego wyrazu definiowanego.

Definicja ostensywna inaczej deiktyczna:

Jest to definicja przez wskazanie. Nie wszystko można definiować ostensywnie. Odnosi się tylko do nazw o rozumieniu intuicyjnym, tzn. takich kiedy o tym czy jakiś przedmiot jest desygnatem pewnej nazwy rozstrzyga wygląd przedmiotu.

Tautologia logiczna i metoda zerojedynkowa.

Tautologia logiczna- jest to schemat zdaniowy, który jest prawdziwy przy wszystkich podstawieniach za zmienne.

p → (~p → p)

jeżeli p to i jeżeli nie prawda, że p to p

Metoda przy pomocy, której sprawdzamy wartość logiczną schematów zdaniowych to metoda zerojedynkowa.

Kontr tautologia logiczna jest to schemat zdaniowy, który przy wszystkich podstawieniach za zmienne jest fałszywy.

p v ~p

1. p/1 2. p/ 0

1 v ~1 0 v ~0

1 v 0 0 v 1

1 1

Odp. Ten schemat jest tautologią logiczną.

( p → p ) → p

1. p/1 2. p/0

( 1→ 1) → 1 ( 0→ 0) → 0

1→ 1 1→ 0

1 0

Odp. Ten schemat nie jest tautologią logiczną.

( p → q ) → ~ ( p ۸ ~ q )

1.p/1 q/1

( 1 → 1 ) → ~ ( 1 ۸ ~ 1 )

1 → ~ ( 1 ۸ 0 )

1 → ~ 0

1 → 1

1

2.p/1 q/0

( 1 → 0 ) → ~ ( 1 ۸ ~ 0 )

0 → ~ 1

0 → 0

1

3.p/0 q/1

( 0 → 1 ) → ~ ( 0 ۸ ~ 1 )

1 → ~ ( 0 ۸ 0 )

1 → ~ 0

1 → 1

1

4.p/0 q/0

( 0 → 0 ) → ~ ( 0 ۸ ~ 0 )

1 → ~ ( 0 ۸ 1 )

1 → ~ 0

1 → 1

1

Odp. Ten schemat jest tautologią logiczną.

~ [~ ( p v q ) ≡ (~ p ۸ ~ q)]

1.p/1 q/1

~ [~ (1 v 1 ) ≡ (~ 1 ۸ ~ 1)]

~ [~ 1 ≡ (0 ۸ 0)]

~ [ 0≡ 0]

~1

0

2.p/1 q/0

~ [~ (1 v 0 ) ≡ (~ 1 ۸ ~ 0)]

~ [~ 1 ≡ (0 ~ 1)]

~ [0 ≡ 0]

~1

0

3.p/0 q/1

~ [~ (0 v 1 ) ≡ (~ 0 ۸ ~ 1)]

~ [~ 1 ≡ ( 1 ۸ 0)]

~ [ 0 ≡ 0 ]

~1

0

4.p/0 q/0

~ [~ (0 v 0 ) ≡ (~ 0 ۸ ~ 0)]

~ [~ 0 ≡ ( 1 ۸ 1)]

~ [ 1 ≡ 1 ]

~1

0

Odp. Schemat jest kontr tautologią logiczną.

PRAWA LOGIKI

Prawa rachunku zdań

1. prawo sprzeczności ~ ( p ۸ ~ p )

Dwa zdania sprzeczne nie mogą być zarazem prawdziwe. Nie jest prawdą, że zarazem jest prawdziwe zdanie p i nie p.

2. prawo wyłącznego środka p v ~ p

Z dwóch zdań sprzecznych jedno jest prawdziwe.

3.prawo podwójnego przeczenia ~~p ≡ p

Nieprawda, że nie p zawsze i tylko wtedy, gdy p. stwierdza, że zaprzeczając dwukrotnie jakiemuś zdaniu, nie zmieniamy jego wartości logicznej.

4. prawo tożsamości p ≡ p

5. prawo transpozycji ( p → q ) → (~ q → ~ p )

Jeżeli p to q, to jeżeli nie prawda, że q to nieprawda, że q.

6. prawo zaprzeczenia, implikacji ~ ( p → q ) ≡ ( p → ~ q )

7. I prawo de Morgana ~ ( p ۸ q ) ≡ (~p v ~ q )

Negacja koniunkcji dwóch zdań jest równoważna alternatywna negacji tych zdań.

8. II prawo de Morgana ~ ( p v q ) ≡ (~ p ۸ ~ q )

Jak brzmi- nieprawda, że p i q zawsze i tylko wtedy gdy nie p i nie q.

Co mówi- negacja alternatywy 2 zdań jest równoważna koniunkcji negacji tych zdań.

Zapis- jt. to wzór.

RACHUNEK KWANTYFIKATORÓW/ PREDYKATÓW

1.Zmienne rachunku kwantyfikatorów

Litery x,y,z są to zmienne indywidułowe. Są to nazwy, symbole nazw dowolnych przedmiotów.

2.Zmienne predykatowe P,Q,R. Predykat orzeka o własnościach indywiduów lub o zachodzących między nimi relacjach. Predykat znaczy tyle co orzecznik.

3.Stałe rachunki kwantyfikatorów.

/\- jest to duży kwantyfikator lub ogólny, generalny. Odczytujemy- DLA KAŻDEGO, DLA WSZELKICH.

/\- jest to mały kwantyfikator albo szczegółowy, egzystencjalny. Czytany - ISTNIEJE TAKI, DLA NIEKTÓRYCH, DLA PEWNYCH.

/\x dla każdego x

\/x istnieje x takie że

1. P(x) Pod x, jakieś x ma własność P

2. Q(y) Q od y, jakieś y ma własność Q

- Wszystko przemija.

/\xP(x), dla każdego x P od x; każdy przedmiot x posiada własność P

- Istnieje coś ci jest nie poznawalne.

\/x P(x); istnieje takie x, takie ,że P od x

- Nieprawda, że wszyscy są odważni.

~ /\x P(x); nieprawda, że dla każdego x P od x

Kwantyfikator jest to oznacznik ilości. Duży oznacza wszystko, a mały pewną ilość.

Funkcje zdaniowe- nie ma określonej wartości logicznej, tzn. prawdziwość względem fałszywości przysługuje funkcji zdaniowej po dokonaniu podstawień za zmienne. Ale pewne funkcje zdaniowe będą prawdziwe przy wszystkich podstawieniach za zmienne. Inne funkcje zdaniowe będą prawdziwe przy pewnych podstawieniach za zmienne. A będą też i takie, które przy wszystkich podstawieniach za zmienne będą fałszywe.

1. x jest człowiekiem

przy pewnym podstawieniu za x będzie prawdziwa; \/xP(x)- istnieje x= przy pewnych podstawieniach za x jest prawdą, że P od x 9x jest człowiekiem)

Formuła jest prawdziwa.

2. jeśli x jest znajomym y to y jest znajomym x

przy wszystkich podstawieniach formuła jest prawdziwa

3. x jest trójkątem pięciobocznym

przy wszystkich podstawieniach formuła jest fałszywa

- Jeżeli x jest żółte to x jest kolorowe.

Dwie własności żółte P(x)

Kolorowe Q(x)

/\x [P(x) → Q(x)]

Przy wszystkich podstawieniach za x jest prawdą, że x jest żółte i jest kolorowe

TO CO JEST W [ ] TO ZASIEG KWANTYFIKATORÓW.

Dla każdego x jeżeli P od x to Q od x. Jest prawdą dla każdego x, że jeżeli posiada własność P to posiada własność Q.

Jeżeli orzekamy 2 predykaty o jakiejś zmiennej i formuła jest poprzedzona dużym kwantyfikatorem to te własności łączymy znakiem implikacji.

Jeżeli formułę orzekającą 2 własności zmiennej poprzedzamy małym kwantyfikatorem to te predykaty łączymy znakiem koniunkcji.

-Istnieją przedmioty kolorowe, które są niebieskie.

\/x [ P(x) ۸Q(x)]

-Wszyscy są nieomylni.

/\x P(x)

-Altruiści nie istnieją.

/\x ~ P(x); dla każdego x nieprawda, że P od x

- Niektórzy są wspaniałomyślni.

\/x P(x)

-Ktokolwiek umie pisać, umie też czytać.

/\x [P(x) → Q(x)]; dla każdego x jeżeli P(x) to Q(x), każdy przedmiot co posiada własność P to posiada własność Q

-Żaden sportowiec nie jest intelektualistą.

/\x [P(x) → ~ Q(x)]; dla x jeżeli P(x) to nieprawda, że Q(x)

-Niektórzy poeci są malarzami.

\/x [P(x) ۸ Q(x)]

-Istnieją tacy, którzy umieją liczyć, a nie umieją czytać.

\/x [P(x) ۸ ~ Q(x)]

-Każdy kogoś lubi. I każdy jest czyimś potomkiem.

/\x \/y R(x, y); dla każdego x istnieje takie y, takie, że R od x,

Każdy jest czyimś potomkiem - x pozostaje dla y w relacji potomków.

RELACJE- TEORIA MNOGOŚCI

Mnogość, czyli zbiór. Zbiór i element to pojęcia mnogości.

R (x, y)- R od x, y; między x i y zachodzi relacja R

x R y- to samo co R (x, y), między x a y zachodzi relacja R

Relacja- stosunek, związek, zależność.

Relacje zachodzą:

- między przedmiotami (np relacja bycia częścią )

- między pojęciami (np. nadrzędności)

- między wielkościami (np. równości)

Relacje dwuczłonowe zachodzą między dwoma elementami.

x, y- są to argumenty relacji

x- poprzednik relacji

y- następnik relacji

Dziedzina relacji:

x € D ( R) ≡ \/y x Ry

Przeciwdziedzina relacji:

x € D' (R) ≡ \/ yy R x

Dziedzina x jest elementem dziedziny relacji zawsze i tylko wtedy, gdy istnieje y takie, że x pozostaje do tego y w relacji R.

Zbiór wszystkich poprzedników relacji, zbiór x.

Przeciwdziedzina to zbiór wszystkich następników tej relacji.

Pole relacji- jest to zbiór dziedziny i pzeciwdziedziny.

P(R)=D(R) + D' (R)

Relacja odwrotna (konwers relacji)

/\x /\y [x R y → y R 1 x]; dla x, dla y, jeżeli x pozostaje w relacji R(y) to y pozostaje w relacji R1 do x

Relacja odwrotna wzglądem relacji R zachodzących między pewnym x a y, to relacja R1 zachodząca między tymże y a tymże x.

Własności relacji:Relacja może być:

1.symetryczna, asymetryczna, niesymetryczna

- symetryczna

/\x /\y [x R y → y R x]

Relacja R jest w pewnym zbiorze symetryczna jeżeli zachodząc między pewnym x a y zachodzi zarazem między tymże y, a tymże x.

- asymetryczna

/\x /\y [x R y → ~ y R x]

Relacja R jest asymetryczna jeżeli zachodząc między pewnym x a y nie zachodzi między między tymże y, a tymże x.

- niesymetryczna

Relacja R jest niesymetryczna jeżeli zachodząc między pewnym x a pewnym y, czasami zachodzi między tymże y a tymże x, a czasami nie. Czasami czyli dla pewnych podstawień x,y.

2.przechodnia, przeciwprzechodnia, nieprzechodnia

- przechodnia

/\x /\y /\z [ xRy ۸ yRz → xRz]

Relacja jest w pewnym zbiorze przechodnia dla dowolnych elementów tego zbioru x, y, z, jest tak, że:

- relacja ta zachodząc między x a y i y a z zachodzi między x a z (bycia starszym)

- przeciwprzechodnia

Relacja jest przeciwprzechodnia jeżeli zachodzi między x a y i y a z nie zachodzi między x a z (relacja bycia matką)

- nieprzechodnia

Relacja R jest nieprzechodnia jeżeli zachodząc między x a y i y a z w pewnych przypadkach zachodzi między x a z, a w innych nie. W pewnych przypadkach- dla pewnych podstawień x, y, z (relacja przyjaźni)

3.spójna, niespójna

- spójna

/\x //y [ x ≠ y → ( xRy v yRx)]

Relacja R jest w pewnym zbiorze spójna jeżeli zachodzi między każdą parą dowolnie wybranych elementów tego zbioru. Jeżeli powyższy warunek nie jest spełniony, ta relacja nie zachodzi między parą danego zbioru to relacja ta jest w tym zbiorze niespójna.(bycia starszym).

4.zwrotna, przeciwzwrotna, niezwrotna

-zwrotna

/\xx Rx

Relacja R jest w pewnym zbiorze zwrotna, jeżeli zachodzi między każdym elementem tego zbioru a nim samym.

-przeciwzwrotna

/\x~ xRx

Relacja R jest w pewnym zbiorze przeciwstawna, jeżeli nie zachodzi między żadnym elementem tego zbioru a nim samym.

-niezwrotna

Relacja R jest w pewnym zbiorze niezwrotna, jeżeli pewne elementy tego zbioru pozostają do siebie w tej relacji R, a inne nie.

PRZYKŁADY:

1.Relacja bycia starszym.

Asymetryczna

Przechodnia

Niespójna- może być, że są osoby w tym samym wieku

Spójna- {12,8,14,9,4} - w tym zbiorze jedno będzie zawsze starsze

Przeciwzwrotna- nie można być starszym od siebie

2.Relacja rówieśnictwa.

Symetryczna

Przechodnia

Niespójna

Zwrotna

3.Relacja bycia matką.

Asymetryczna

Przeciwprzechodnia

Niespójna

Przeciwzwrotna

Spójna- matka, córka

4.Relacja miłości.

Niesymetryczna

Nieprzechodnia

Niespójna

Niezwrotna

5.Relacja bycia tego samego koloru w zbiorze wszystkich przedmiotów.

Symetryczna

Przechodnia

Niespójna

Zwrotna

6.Relacja przyjaźni.

Symetryczna

Nieprzechodnia

Niespójna

Zwrotna

7.Relacja bycia innego koloru.

Symetryczna

Nieprzechodnia

Niespójna

Przeciwzwrotna

8.Relacja bycia młodszym o rok

Asymetryczna

Przeciwprzechodnia

Niespójna

Przeciwzwrotna- ktoś od siebie nie może być młodszy

Relacja równościowe- jest to taka relacja, która w pewnym zbiorze jest symetryczna, przechodnia i zwrotna.

( rówieśnictwa, bycia tego samego koloru)

Każda relacja równościowa (równości pod pewnym względem) w jakimś zbiorze dokonuje podziału tego zbioru na podzbiory elementów wzajemnie równych poddanym względem.

Podzbiory- klasy abstrakcji.

{12,18,21,4,4,12,12,18,19,21}- zbiór ludzi wg wieku

- relacja rówieśnictwa

na jakie klasy abstrakcji podzieli się relację rówieśnictwa w/w zbioru?

{12,12,12}

{18,18}

{21,21}

{4,4}

{19}

klasy abstrakcji są to podzbiory zbioru, które są równe pod jakimś względem

Relacja porządkująca- dany zbiór (porządkująca liniowa) to taka relacja, która jest w tym zbiorze asymetryczna, przechodnia i spójna.

Relacja częściowo porządkująca zbiór- to taka relacja, która jest w tym zbiorze asymetryczna i przechodnia.

-Relacja bycia starszym w zbiorze ludzi- częściowo porządkująca

KWADRAT LOGICZNY I SYLOGIZM KATEGORYCZNY

Zdania dzielimy na proste i złożone.

Proste- częścią jego nie jest żadne inne zdanie. Zdanie proste możemy podzielić na zdania o budowie podmiotowo- orzeczeniowej i zdania o budowie podmiotowo-orzecznikowej (występuje orzecznik, oparte o czasownik być).

Zdania o budowie podmiotowo-orzecznikowej możemy podzielić na dwa rodzaje zdań:

• - zdania atoniczne- głosi, że jakaś jednostka oznaczona nazwą indywidualną przynależy do określonej klasy przedmiotów, np. Jan jest studentem

• - zdania subsumcyjne- głosi, że jakaś klasa przedmiotów w całości lub części zawiera się w innej klasie przedmiotów, np. Kot jest ssakiem.

• - zdania kwadratu logicznego lub klasyczne zdania kategoryczne.

Zdania są zbudowane:

1. ze zmiennych nazwowych

SP

2. wyrażeń literowych

a, e, i, o,

które charakteryzują zdanie ze względu na ilość i ze względu na jakość.

- na ilość- zdania mogą być ogólne lub szczegółowe

- na jakość- twierdzące lub przeczące

Między rodzajami zdań zachodzą pewne zależności, które przedstawia kwadrat logiczny.

Zależności:

- między Sap → SeP- przeciwieństwo

- między SiP → SoP- podprzeciwieństwo

- po przekątnych - sprzeczności

- po bokach pionowych- podporzadkowanie

- SiP- podporządkowane Sap

- Sap podporządkowane SiP

SaP ≡ ~ SoP SeP ≡ ~ SiP

SiP ≡ ~ SeP SoP ≡ ~ SaP

SaP | Sep SiP v SoP

SaP → SiP SeP → SoP

SaP | Sep Każde S jest P bądź, żadne S nie jest P- jest to przeciwieństwo.

SiP v SoP Jest to przeciwieństwo, niektóre S są P lub niektóre S nie są P.

Podporządkowanie

- zdanie szczegółowe podporządkowane jest leżącemu nad nim zdaniu ogólnemu.

SaP → SiP Jeżeli każde S jest P to niektóre S są P.

SeP → SoP Jeżeli żadne S nie jest P, to niektóre S nie są P.

SYLOGIZMY

Prawo sylogizmu hipotetycznego

[ ( p → q ) ۸ ( q → r ) ] → ( p → r )

Prawo sylogizmu kategorycznego

SaM ۸ MaP → SaP

Jeżeli każde S jest M i każde M jest P, to nie każde S jest P.

S- kot

M- ssak

P- kręgowiec

Każdy kot jest ssakiem i każdy ssak jest kręgowcem to każdy kot jest kręgowcem.

S- gaz

M- ciało

P- ciężkie

Jeżeli każdy gaz jest ciałem i każde ciało jest ciężkie to każdy gaz jest ciężki.

S- termin mniejszy, podmiot

P- termin większy, orzecznik

M- termin średni (to co się powtarza)

Sylogizm- jest to pewna implikacja, której następnik jest zdaniem łączącym w całości dwa elementy, a poprzednik jest koniunkcją dwóch zdań, z których każde łączy w całości elementy tej samej kategorii. Przy czym każdy z elementów powtarza się tylko w jednym ze zdań poprzednika i to każdy w innym. A oba te zdania mają pewien element wspólny nieobecny w następniku. Naczelna formuła sylogizmu kategorycznego

SaM ٨ MaP → Sap

(Tylko zdania ogólno twierdzące).

Może się zdarzyć, że będą występowały inne rodzaje zdań- wtedy będą tryby sylogistyczne.

Jeżeli każda fotokopia jest odwzorowaniem i żadne odwzorowanie nie jest oryginalnym dokumentem to żaden oryginalny dokument nie jest fotokopią.

P- fotokopia

M- odwzorowanie

S- oryginalny dokument

PaM ۸ Me → SeP

Gdzie „a” oznacza jest, a „e” nie jest.

S, M, P- nazwy generalne można zapisać w trybie sylogizmu.

Jeżeli nazwy indywidualne to nie można zapisać w tym trybie.

27

s

P

p

S

P

S

M

Sz

S

SE

N

T

K

M

RzE

W

Ks

S

E

F

B

Nb

Nt

N

Nr

Sz

M

K

L

M

S

P

K

S

Sł

ż

B

---