POLITECHNIKA WROCŁAWSKA INSTYTUT FIZYKI	Sprawozdanie z ćwiczenia nr 43
KORNEL WALICA Nr grupy: 1 Prowadzący: dr E. Rysiakiewicz	TEMAT: Pomiar rezystancji.
Wydział: Elektroniki Rok: 1	DATA: 20.04.1999 OCENA:

Cel ćwiczenia:

• wyznaczenie rezystancji oporników metodą techniczną i mostkową.

Część teoretyczna:

1. METODA TECHNICZNA POMIARU REZYSTANCJI

Metoda techniczna pomiaru rezystancji polega na pomiarze napięcia panującego na końcówkach opornika (rezystora) oraz natężenia prądu płynącego przez ten rezystor. Pomiarów natężenia i napięcia dokonujemy woltomierzem i amperomierzem, a rezystancję obliczamy na podstawie praw Ohma i Kirchhoffa.

Istnieją dwa układy, za pomocą których można dokonać pomiarów:

Rysunek 1 Rysunek 2

W układzie z rysunku 1 woltomierz V jest włączony równolegle do mierzonego rezystora R­_x. Przy takim połączeniu woltomierz wskazuje napięcie U_v, które jest takie samo jak napięcie na końcówkach badanego rezystora R_x.

Miliamperomierz (mA) wskazuje natężenie prądu I_a, które jest sumą natężenia prądu I płynącego przez opornik R_x oraz natężenia prądu I_v płynącego przez woltomierz. Wielkość mierzonej rezystancji określa zależność :

[Ω]

gdzie :
jest rezystancją wewnętrzną woltomierza.

Układ przedstawiony na rysunku 2 różni się od poprzedniego tym, że woltomierz jest włączony równolegle z mierzoną rezystancją R­_x i amperomierzem. Tutaj amperomierz wskazuje natężenie prądu I_a, które jest takie samo jak natężenie prądu płynącego przez rezystor R_x. Woltomierz zaś pokazuje napięcie U_V, które jest sumą napięcia U na badanym oporniku i napięcia U_a na amperomierzu. Rezystancję R­_x określa wzór :

gdzie :
jest rezystancją wewnętrzną amperomierza.

W dwóch powyższych zależnościach na R_x widać, że aby zmierzyć R_x, należy znać rezystancję wewnętrzną woltomierza lub amperomierza (w zależności od wybranego układu pomiarowego).

Zazwyczaj w metodzie technicznej dąży się do maksymalnego uproszczenia pomiarów i obliczeń. Można tak dobrać układ i mierniki, aby z dobrym przybliżeniem obliczać R_x z prostej zależności:

(**)

W układzie z rysunku 1 będziemy mogli stosować powyższą zależność wówczas, gdy natężenie prądu płynącego przez woltomierz będzie dużo mniejsze niż natężenie prądu płynącego przez badany rezystor R_x, czyli gdy R_v >> R_x. Tak więc, w tym przypadku można stosować tę zależność, gdy rezystancja woltomierza jest znacznie większa od mierzonej rezystancji R_x.

W przypadku stosowania układu z rysunku 2 zależność (**) będzie dobrym przybliżeniem, jeżeli spadek napięcia na amperomierzu będzie dużo mniejszy niż spadek napięcia na rezystorze R_x, czyli gdy R_a<<R_x. Tak więc układ ten można stosować, gdy rezystancja amperomierza jest znacznie mniejsza od mierzonej rezystancji R_x.

Pierwszy układ pomiarowy będzie lepszy wówczas, gdy mierzona rezystancja R_x jest mała. Drugi układ bardziej nadaje się do pomiaru dużych rezystancji R_x .

2. METODA MOSTKOWA POMIARU REZYSTANCJI

Do pomiaru rezystancji metodą mostkową służy czteroramienny mostek Wheatstone'a, przedstawiony na rysunku 3. Ramiona mostka tworzą rezystory R₂, R₃, R₄ i badany rezystor R_x. W przekątną mostka jest włączony galwanometr G. Mostek jest zasilany ze źródła Z. Pomiar polega na doprowadzeniu mostka do stanu równowagi poprzez zmianę rezystancji R₂ (wartości rezystancji R₃ i R₄ nie zmieniamy). Mostek jest zrównoważony, gdy przez galwanometr nie płynie prąd. Oznacza to, że różnica potencjałów między punktami C i D jest równa 0, a więc V_D = V_C. Z równości tej wynika, że napięcie pomiędzy punktami A i C jest równe napięciu między punktami A i D, czyli:

U_AC=U_AD

oraz

U_CB=U_DB.

Rysunek 3

Ponieważ w stanie równowagi mostka przez galwanometr prąd nie płynie, więc natężenie prądu płynącego przez rezystory R_x i R₂ jest takie samo i wynosi I₁. Podobnie natężenie prądu płynącego przez rezystory R₃ i R₄ wynosi I₂, zatem na podstawie prawa Ohma powyższe równości można zapisać następująco:

I₁R_x = I₂R₃

oraz

I₁R₂ = I₂R₄

Dzieląc stronami powyższe równania otrzymamy:
.

Tak więc znajomość wartości R₂, R₃ i R₄ w stanie równowagi mostka umożliwia wyznaczenie R_x.

Często używaną odmianą mostka jest liniowy mostek Wheatstone'a. W mostku tym R₃ i R₄ są zastąpione opornikiem drutowym o stałym przekroju i ustalonej długości. Wzdłuż drutu ślizga się kontakt K połączony z galwanometrem (rysunek 4). Stosunek R₃/R₄ można zastąpić stosunkiem długości l₁/l₂ i wówczas:
[Ω].

Rysunek 4

W pomiarach mostkiem Wheatstone'a dąży się do tego, aby R₃ ≈ R₄ (l₁ ≈ l₂), wówczas dokładność pomiarów będzie największa. Zatem znajomość l₁, l₂ i R₂ umożliwia wyznaczenie R_x.

Część pomiarowa:

A. Pomiar rezystancji metodą techniczną.

1. Oszacowanie wielkości rezystancji R_x:

W celu doboru właściwego układu pomiarowego (do pomiarów małych lub dużych rezystancji) wstępnie oszacowano wielkość R_x, posługując się omomierzem i uzyskano następujące wyniki:

R₂₃ - rezystancja duża, rzędu dwudziestu kilku kiloomów,

R₂₂ - rezystancja mała, rzędu pół kilooma,

R₂₁ - rezystancja mała, rzędu kilkudziesięciu omów.

Zgodnie z powyższym oszacowaniem, rezystancję R₂₃ mierzono w układzie do pomiaru dużych rezystancji (rysunek 2), natomiast rezystancje R₂₂ i R₂₁ - w układzie do pomiaru małych rezystancji (rysunek 1).

2. Pomiar napięcia i natężenia prądu dla różnych napięć zasilających układ pomiarowy:

R₂₃

Wyniki pomiarów przedstawiono w poniższej tabeli:

Zakres	Ra	Uv	Ia	Rx	Rx≈
[mA]	[]	[V]	[mA]	[]	[]
3	7,67	28	1,18	23721,1	23728,8
3	7,67	50	2,12	23577,2	23584,9
3	7,67	15	0,63	23801,1	23809,5
			Średnia:	23700,0	23707,7

Objaśnienia:

Zakres [mA] - potrzebny do wyznaczenia rezystancji miliamperomierza ze wzoru:
,

R_a - obliczona z powyższego wzoru rezystancja miliamperomierza,

U_V - napięcie wskazywane przez woltomierz,

I_a - prąd mierzony przez miliamperomierz,

R_x - rezystancja wyznaczona ze wzoru:
,

R_x≈ - rezystancja wyznaczona z przybliżonego wzoru:

R₂₂

Wyniki pomiarów przedstawiono w poniższej tabeli:

Zakres	Rv	Uv	Ia	Rx	Rx
[V]	[]	[V]	[mA]	[]	[]
15	15000	14,0	28,6	506,02	489,51
7,5	7500	6,5	13,7	506,49	474,45
3	3000	3,0	6,92	506,76	433,53
			Średnia:	506,42	465,83

Objaśnienia:

Zakres [V] - potrzebny do wyznaczenia rezystancji woltomierza ze wzoru:
,

R_V - obliczona z powyższego wzoru rezystancja woltomierza,

U_V - napięcie wskazywane przez woltomierz,

I_a - prąd mierzony przez miliamperomierz,

R_x - rezystancja wyznaczona ze wzoru:
,

R_x≈ - rezystancja wyznaczona z przybliżonego wzoru:

R₂₁

Wyniki pomiarów przedstawiono w poniższej tabeli:

Zakres	Rv	Uv	Ia	Rx	Rx
[V]	[]	[V]	[mA]	[]	[]
3	3000	2,10	28,4	75,81	73,94
1,5	1500	1,50	20,8	75,76	72,12
0,75	750	0,75	10,8	76,53	69,44
			Średnia:	76,03	71,83

Objaśnienia analogicznie jak dla R₂₂.

Rezystancja R₂₃ jest duża, a nawet bardzo duża w stosunku do R_a, R₂₃>>R_a, czyli układ pomiarowy został dobrany prawidłowo.

Rezystancje: R₂₂ i R₂₁ są małe R_V, R_X<<R_V, czyli układ pomiarowy został dobrany prawidłowo.

B. Pomiar rezystancji metodą mostkową.

1. Wyznaczenie rezystancji za pomocą liniowego mostka Wheatstone'a:

- Układ pomiarowy zestawiono zgodnie z rysunkiem 4.

- Pomiary przeprowadzono według instrukcji roboczej.

- Układ równoważono poprzez regulację R₂ (opornica dekadowa).

- W momencie równowagi galwanometru (zastosowano mikroamperomierz, włączony szeregowo z rezystorem zabezpieczającym w gałąź G na rysunku) odczytywano wartość rezystancji ustawioną na opornicy dekadowej R₂.

- Wyniki pomiarów przedstawiono poniżej:

R₂₃

l1	l2	l	R2	Rx
[cm]	[cm]	[cm]	[]	[]
50	50	0,5	24889,5	24889,5
40	60	0,7	35646,0	23764,0
60	40	0,7	16046,0	24069,0
			Średnia:	24240,8

Objaśnienia:

l₁, l₂ - odczytane z podziałki umieszczonej wzdłuż drutu, po którym przesuwał się kontakt K,

l - wyznaczone doświadczalnie, zgodnie z instrukcją roboczą: po doprowadzeniu mostka do stanu równowagi, określono maksymalne przesunięcie kontaktu K po rezystorze liniowym w obie strony od ustalonego uprzednio położenia, przy którym wskazówka galwanometru nie wykazywała jeszcze dostrzegalnego wychylenia. Połowę wartości tego przesunięcia przyjęto jako l,

R₂ - wartość rezystancji odczytana z opornicy dekadowej,

R_x - wartość rezystancji wyznaczona ze wzoru:
.

R₂₂

l1	l2	l	R2	Rx
[cm]	[cm]	[cm]	[]	[]
50	50	0,2	510,9	510,9
40	60	0,2	764,0	509,3
60	40	0,2	346,0	519,0
			Średnia:	513,07

Objaśnienia analogicznie jak dla R₂₃.

R₂₁

l1	l2	l	R2	Rx
[cm]	[cm]	[cm]	[]	[]
50	50	0,1	76,8	76,8
40	60	0,1	114,4	76,3
60	40	0,1	51,7	77,6
			Średnia:	76,9

Objaśnienia analogicznie jak dla R₂₃.

Rachunek błędów:

A. Metoda techniczna:

Dla układu z rysunku 2:

otrzymujemy:

Objaśnienia:

I_a- natężenie prądu mierzone przez miliamperomierz,

U_V - błąd woltomierza wyznaczony ze wzoru:
(klasa = 0,5),

U_V - napięcie wskazywane przez woltomierz,

I_a - błąd miliamperomierza wyznaczony ze wzoru:
(klasa = 0,5).

Z tego wzoru wyznaczono błąd bezwzględny pomiaru rezystancji R₂₃. Błąd względny δR₂₃ obliczono ze wzoru:
. Wyniki obliczeń przedstawiono poniżej:

Lp.	R23[]	δR23[%]
1.	428,76	1,8
2.	343,76	1,5
3.	685,94	3,0
Średnia:	486,15	2,2

Dla układu z rysunku 1:

otrzymujemy:

Z tego wzoru wyznaczono błędy bezwzględne pomiarów rezystancji R₂₂, R₂₁. Błędy względne δR₂₂ i δR₂₁ obliczono ze wzoru:
. Wyniki obliczeń przedstawiono poniżej:

Lp.	R22[]	δR22[%]
1.	5,54	1,0
2.	6,08	1,2
3.	6,17	1,2
Średnia:	5,93	1,1

Lp.	R21[]	δR21[%]
1.	0,96	1,3
2.	0,97	1,3
3.	1,00	1,3
Średnia:	0,98	1,3

B. Metoda mostkowa:

Dla układu z rysunku 4:
[Ω].

otrzymujemy:
.

Objaśnienia:

R_X - rezystancja wyznaczona w punkcie B Części pomiarowej,

R₂ - klasa opornicy dekadowej, R₂ = 0,05,

R₂ - wartość rezystancji „odczytana z” opornicy dekadowej (poszczególne wartości przedstawiono w tabelach wyników pomiarów w punkcie B Części pomiarowej),

l₁, l₂ - wyznaczone doświadczalnie, zgodnie z instrukcją roboczą (poszczególne wartości przedstawiono w tabelach wyników pomiarów w punkcie B Części pomiarowej),

l₁, l₂ - odczytane z podziałki umieszczonej wzdłuż drutu, po którym przesuwał się kontakt K,

Błąd δR_X [%] otrzymano, mnożąc powyższe równanie przez 100%.

Błąd R_X [V] otrzymano, mnożąc powyższe równanie przez R_X.

Wyniki obliczeń przedstawiono poniżej:

Lp.	R23[]	δR23[%]
1.	497,79	2,0
2.	712,92	3,0
3.	722,07	3,0
Średnia:	644,26	2,7

Lp.	R22[]	δR22[%]
1.	4,09	0,80
2.	4,28	0,84
3.	4,41	0,85
Średnia:	4,26	0,83

Lp.	R21[]	δR21[%]
1.	0,35	0,46
2.	0,35	0,46
3.	0,39	0,51
Średnia:	0,37	0,48

Dyskusja błędów i wnioski:

Zestawienie wyników pomiarów dokonanych różnymi metodami:

	Techniczna	Rx	Mostkowa	Wheatstone'a
R23	23700	23707,7	24240,8	23660,0
R22	506,42	465,83	513,07	507,4
R23	76,03	71,83	76,9	76,0

Wyniki uzyskane ze wzoru przybliżonego dla układów do pomiaru dużych rezystancji są zawyżone w stosunku do wyników uzyskanych metodą techniczną.

Wyniki uzyskane ze wzoru przybliżonego dla układów do pomiaru małych rezystancji są zaniżone w stosunku do wyników uzyskanych metodą techniczną, przy czym dla mniejszej rezystancji wynik jest mniej zaniżony.

Najdokładniejsze są pomiary mostkiem Wheatstone'a, przy czym metoda techniczna daje zbliżone wyniki dla małych rezystancji, przy stosowaniu układów do pomiaru małych rezystancji.

Wyniki pomiarów metodą mostkową są zawyżone w stosunku do metody technicznej oraz pomiarów mostkiem Wheatstone'a.

W przypadku dużej rezystancji oraz stosowania w pomiarze układu do pomiaru dużych rezystancji wynik jest wyższy od pomiaru mostkiem Wheatstone'a.

W przypadku małej rezystancji oraz stosowania w pomiarze układu do pomiaru małych rezystancji wynik jest wyższy od pomiaru mostkiem Wheatstone'a, ale o wiele bardziej zbliżony (różnica rzędu części setnych ) w stosunku do dużych rezystancji.

Zatem największą dokładność daje pomiar rezystancji metodą mostkową. Metoda techniczna jest wystarczająca w przypadku, gdy chcemy zmierzyć rezystancję elementu elektrycznego, a nie zależy nam na zbyt dużej dokładności. Ważny jest dobór właściwego układu pomiarowego, aby błąd związany z potraktowaniem mierników jako idealnych (tzn. opór woltomierza równy nieskończoność, a opór amperomierza zero) był do pominięcia. W metodzie technicznej dokładniejszy jest pomiar, gdy uwzględniamy opory amperomierza i woltomierza - wynika to z Części teoretycznej.

W przeprowadzonych pomiarach, błędy metody technicznej są rzędu pojedynczych procent: mniejsze dla pomiaru małych rezystancji i nieco większy dla pomiaru dużej rezystancji.

Błędy wyznaczone dla wyników pomiarów mostkiem Wheatstone'a są rzędu dziesiątych części procenta, z wyjątkiem rezystancji R₂₃, dla której podwyższenie wartości błędu mogło być spowodowane nieprecyzyjnym oszacowaniem wartości l (wyznaczano ją doświadczalnie).

Na błędy w metodzie technicznej (oprócz tych związanych z wyborem układu pomiarowego), mogły dodatkowo wpłynąć: rezystancje przewodów połączeniowych, błędy odczytu, wzajemne oddziaływanie na siebie prądów płynących w przewodach łączących. Aby zminimalizować błędy, zakresy pomiarowe dobierano tak, aby wskazanie przyrządu znajdowało się „powyżej” 2/3 skali - wówczas błąd bezwzględny przyrządu pomiarowego jest najmniejszy i równy klasie przyrządu.

Błędy w metodzie mostkowej mogły być spowodowane: złym wypoziomowaniem galwanometru, złym jego wyzerowaniem (błąd systematyczny), a także wpływem rezystancji przewodów łączących oraz wzajemnym oddziaływaniem na siebie prądów płynących w przewodach łączących.

Rozwój elektroniki spowodował, że obecnie stosuje się coraz częściej multimetry cyfrowe do pomiaru rezystancji, dające bezpośredni odczyt wyniku pomiaru oraz bardzo dużą dokładność.

---