KRYTERIA OBLICZEŃ ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH

1. Kryterium wytrzymałości ( kryterium naprężeniowe)

δ≤ k_dop

δ - naprężenie (uogólnione)

k_dop - naprężenie dopuszczalne

k_dop - naprężenie dopuszczalne

R - wytrzymałość

n - współczynnik bezpieczeństwa

2. Kryterium sztywności ( kryterium odkształceniowe)

ε ≤ ε_dop

ε - odkształcenie

ε_dop - odkształcenie dopuszczalne

3. Kryterium lekkości - wybieramy zawsze lżejszą konstrukcję

4. Kryterium ekonomiki - wybieramy konstrukcję tańszą ekonomicznie wytworzoną

5. Kryterium estetyki - wybieramy konstrukcję ładniejszą

NAPRĘŻENIA - mają wymiar ciśnienia

- siła działająca na kwadracik

- pole powierzchni

- naprężenie

PŁASZCZYZNA OKREŚLA NAM NAPRĘŻENIA.

NAPRĘŻENIA ZALEŻĄ OD PŁASZCZYZNY.

ZAWSZE GDY MÓWIMY O NAPRĘŻENIACH MUSIMY WSKAZAĆ PLASZCZYZNĘ

Składowe naprężenia całkowitego w lokalnym układzie współrzędnych.

PRÓBA ROZCIĄGANIA STALI MIĘKKIEJ

P_H - siła odpowiadająca GRANICY PROPORCJONALNOŚCI

P_SP - siła odpowiadająca GRANICY SPRĘŻYSTOŚCI

P_e - siła odpowiadająca GRANICY PLASTYCZNOŚCI

P_m - siła odpowiadająca GRANICY DORAŹNEJ WYTRZYMAŁOŚCI NA ROZCIĄGANIE

P_* - siła odpowiadająca SIŁA ZERWANIA

ODKSZTAŁCENIE - jest to zmiana wymiarów lub kształtu pod wpływem sił

ODKSZTAŁCENIE WZGLĘDNE

ODKSZTAŁCENIE BEZWZGLĘDNE ( wydłużenie)

ODKSZTAŁCENIE SPRĘŻYSTE (nietrwałe)

ODKSZTAŁCENIE TRWAŁE (plastyczne)

naprężenie naprężenie rzeczywiste

P - siła osiowa, F- przekrój początkowy
F^(r)- przekrój rzeczywisty

ε - odkształcenie liniowe( wydłużenie względne)

∆l - przyrost długości

l - długość początkowa

ε' - odkształcenie liniowe poprzeczne

∆d - zmiana przekroju

d - przekrój początkowy

ν - ni - liczba Poissona (druga stała materiałowa)

E - moduł odkształcalności liniowej - moduł Younga (pierwsza stała materiałowa)

PRAWO HOOKA DLA PROSTEGO ROZCIĄGANIA

- II wersja

P- siła osiowa

F - przekrój poprzeczny

E - moduł Younga

l - długość początkowa - naprężenie normalne w płaszczyźnie prostopadłej do osi

Δl - wydłużenie rozciągania

IM WIĘKSZE NAPRĘŻENIE TYM WIĘKSZE ODKSZTAŁCENIE

ODKSZTAŁCENIA LINIOWE MAJĄ RODZAJ ODKSZTAŁCEŃ OBJĘTOŚCIOWYCH

ODKSZTAŁCENIA STYCZNE TO ODKSZTAŁCENIA ZWIĄZANE ZE ZMIANĄ KSZTAŁTÓW (POSTACI)

ZASADA de SAINT - VENANTA

JEŻELI DWA STATYCZNIE RÓWNOWAŻNE UKŁADY SIŁ WYWOŁUJĄ OBCIĄŻENIE TO W ODPOWIEDNIO DUŻEJ ODLEGŁOŚCI OD MIEJSCA PRZYLOŻENIA TEGO OBCIĄŻENIA(DZIAŁANIA TYCH SIŁ) STAN NAPRĘŻENIA NIE RÓŻNI SIĘ ( STAN NAPRĘŻENIA WYWOŁANY TYMI STATYCZNIE RÓWNOWAŻNYMI UKŁADAMI SIŁ).

ZASADA SUPERPOZYCJI

SKUTEK DZIAŁANIA WIELU OBCIĄŻEŃ (SIŁ) JEST RÓWNY SUMIE SKUTKÓW DZIAŁANIA KAŻDEGO Z TYCH OBCIĄŻEŃ Z OSOBNA

PRAWO HOOKA DLA ŚCINANIA

γ - odkształcenie postaciowe,

τ - naprężenia styczne,

G - moduł odkształcalności postaciowej - moduł Kirchhoffa [ Pa ]

ν- ni - liczba Poissona

E - moduł odkształcalności liniowej

JEDNOOSIOWY STAN NAPRĘŻEŃ

• naprężenia w przekrojach innych niż poprzeczne

P - siła osiowa,

F- przekrój początkowy

δ_α= δcos²α

ZNAJĄC NAPRĘŻENIE W JEDNYM PRZEKROJU MOŻEMY POLICZYĆ W KAŻDYM INNYM

⇒

⇒

WZORY DLA NAPRĘŻEŃ NORMALNYCH I STYCZNYCH DLA PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ

TRANSFORMACJA ANALITYCZNA Z KIERUNKÓW GŁÓWNYCH

KIERUNKAMI GŁÓWNYMI

- NAZYWAMY UKŁAD 2 PROSTOPADŁYCH KIERUNKÓW DLA, KTÓRYCH NAPRĘŻENIE NORMALNE PRZYJMUJE WAROŚCI EKSTREMALNE A NAPRĘŻENIA STYCZNE SĄ RÓWNE 0.

NAPRĘŻENIAMI GŁÓWNYMI

- NAZYWAMY NAPRĘŻENIA W PŁASZCZYZNACH PROSTOPADŁYCH DO KIERUNKÓW GŁÓWNYCH.

PŁASKI STAN NAPRĘŻEŃ

δ₁ - MAX NAPRĘŻENIA GŁÓWNE δ₂ - MIN NAPRĘŻENIA GŁOWNE

3 OSIOWY STAN NAPRĘŻEŃ

δ₁ - MAX NAPRĘŻENIA GŁÓWNE

δ₂ - POŚREDNIE NAPRĘŻENIA GŁÓWNE

δ₃ - MIN NAPRĘŻENIA GŁÓWNE

δ_x - NAPRĘŻENIA NORMALNE W OSI PROSTOPADŁEJ DO OSI X

δ_y - NAPRĘŻENIA NORMALNE W OSI PROSTOPADŁEJ DO OSI Y

τ_xy - NAPRĘŻENIA STYCZNE W PŁASZCZYŹNIE PROSTOPADŁEJ DO OSI X WDŁUŻ OSI Y

τ_yx - NAPRĘŻENIA STYCZNE W PŁASZCZYŹNIE PROSTOPADŁEJ DO OSI Y WDŁUŻ OSI X

GRAFICZNA TRANSFORMACJA Z KIERUNKÓW GŁÓWNYCH

1. RYSUJEMY UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH NAP. NORMALNYCH δ I NAP. STYCZNYCH τ.

2. ZAZNACZAMY NA OSI NAPRĘŻEŃ NORMALNYCH δ₁ I δ₂ I ZNAJDUJEMY ŚRODEK ODCINKA δ₁ - δ₂

3. ZE ZNALEZIONEGO WCZEŚNIEJ ODCINKA δ₁ - δ₂ KREŚLIMY OKRĄG. ŚRODEK OKRĘGU LEŻY W ŚRODKU ODCINKA δ₁ - δ₂ A ŚREDNICA JEST OPARTA NA KOŃCACH ODCINKA δ₁ - δ₂.

4. RYSUJEMY PÓŁPROSTĄ WYCHODZĄCĄ ZE ŚRODKA OKRĘGU I NACHYLONĄ DO OSI δ POD KĄTEM 2α.

5. NA PRZECIĘCIU WYKREŚLONEJ PÓŁPROSTEJ I OKRĘGU ZNAJDUJEMY PUNKT O WSPÓŁRZĘDNYCH δ_x I τ_xy.

6. PÓŁPROSTĄ PRZEDŁUŻAMY DO PROSTEJ I NA PRZECIĘCIU Z OKRĘGIEM ZNAJDUJEMY PUNKT O WSPÓŁRZĘDNYCH δ_y I τ_yx.

7. ODCZYTUJEMY Z WYKRESU SZUKANE WARTOŚCI δ_x , δ_y I τ_xy.

8. RYSUJEMY ELEMENTARNE KWADRACIKI PRZED TRANSFORMACJĄ ( ZWIĄZANE Z OSIAMI 1 I 2) I PO TRANSFORMACJI ( ZWIĄZANE Z OSIAMI X I Y) ZAZNACZAMY NA NICH NAPRĘŻENIA I ZAZNACZAMY NA NICH KĄT α.

GRAFICZNA TRANSFORMACJA NA KIERUNKI GŁÓWNE

1. RYSUJEMY UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH NAP. NORMALNYCH δ I NAP. STYCZNYCH τ.

2. ZAZNACZAMY NA OSI δ WARTOŚCI δ_x I δ_y ORAZ PUNKT O WARTOŚCI WSPÓŁRZĘDNYCH δ_x I τ_xy.

3. ZNAJDUJEMY ŚRODEK ODCINKA δ_x - δ_y I PROMIEŃ OKRĘGU POMIĘDZY ZNALEZIONYM ŚRODKIEM ODCINKA I PUNKTEM δ_x I τ_xy.

4. WYKREŚLAMY OKRĄG ZNALEZIONYM WCZEŚNIEJ PROMIENIEM. JEST TO OKRĄG O ŚRODKU W ŚRODKU ODCINKA δ_x - δ_y PRZECHODZĄCY PRZEZ PUNKT O WSPÓŁRZĘDNYCH δ_x I τ_xy . NA PRZECIĘCIU OKRĘGU Z OSIĄ NAPRĘŻEŃ NORMALNYCH δ (POZIOMĄ) ZNAJDUJEMY WARTOŚCI NAPRĘŻEŃ δ₁ I δ₂ OZNACZAJĄC JE OD PRAWEJ STRONY.

5. ZNAJDUJEMY KĄT - ZNALEZIONY PROMIEŃ I PÓŁPROSTA WYZNACZONE PRZEZ TEN PROMIEŃ NACHYLONE SĄ WZGLĘDEM OSI NAPRĘŻEŃ NORMALNYCH δ POD KĄTEM RÓWNYM 2α=2β PRZY CZYM KĄT 2β ODNIEŻANY OD PÓŁPROSTEJ DO OSI δ A KĄT 2α OD OSI δ DO PÓŁPROSTEJ.

6. MIERZYMY I ODCZYTUJEMY SZUKANE WARTOŚCI δ₁ , δ₂ I β.

7. RYSUJEMYKWADRATY ELEMENTARNE PRZED TRANSFORMACJĄ I PO TRANSFORMACJI Z ZAZNACZONYMI NAPRĘŻENIAMI δ₁ , δ₂ I KĄTEM β (α)

TRANSFORMACJA ANALITYCZNA NA KIERUNKI GŁÓWNE

WZORY

dla δ_x 〉 δ_y dla δ_x < δ_y

PRZESTRZENNY TRÓJOSIOWY STAN NAPRĘŻEŃ

δ_x , δ_y , δ_z δ_x τ_xy τ_xz

τ_xy = τ_yx τ_yx δ_y τ_yz

τ_xz = τ_zx τ_zx τ_zy δ_z

τ_yz = τ_zy

ε_x , ε_y , ε_z ε_x

₌

ε_{y
TENSOR NAPRĘŻENIA}

₌


ε_z

₌

UOGÓLNIONE PRAWO HOOKA

WYCHODZĄC Z PRAWA HOOKA DLA JEDNOOSIOWEGO ROZCIĄGANIA I ŚCISKANIA ORAZ STOSUJĄC ZASADĘ SUPERPOZYCJI MOŻNA WYPROWADZIĆ UKŁAD RÓWNAŃ, KTÓRY NAZYWAMY UOGÓLNIONYM PRAWEM HOOKA.

ε_x - ODKSZTAŁCENIE LINIOWE WZDŁUŻ OSI X

ε_y - ODKSZTAŁCENIE LINIOWE WZDŁUŻ OSI Y

ε_z - ODKSZTAŁCENIE LINIOWE WZDŁUŻ OSI Z

γ_xy - ODKSZTAŁCENIE POSTACIOWE W PŁASZCZYŹNIE XY

γ_yz - ODKSZTAŁCENIE POSTACIOWE W PŁASZCZYŹNIE YZ

γ_zx - ODKSZTAŁCENIE POSTACIOWE W PŁASZCZYŹNIE ZX

δ_x - NAPRĘŻENIE NORMALNE W PŁASZCZYŹNIE PROSTOPADŁEJ DO OSI X [ Pa ]

δ_y - NAPRĘŻENIE NORMALNE W PŁASZCZYŹNIE PROSTOPADŁEJ DO OSI Y [ Pa ]

δ_z - NAPRĘŻENIE NORMALNE W PŁASZCZYŹNIE PROSTOPADŁEJ DO OSI Z [ Pa ]

τ_xy - NAPRĘŻENIE STYCZNE W PŁASZCZYŹNIE PROSTOPADŁEJ DO OSI X WDŁUŻ OSI Y [ Pa ]

τ_yz - NAPRĘŻENIE STYCZNE W PŁASZCZYŹNIE PROSTOPADŁEJ DO OSI Y WDŁUŻ OSI Z [ Pa ]

τ_zx - NAPRĘŻENIE STYCZNE W PŁASZCZYŹNIE PROSTOPADŁEJ DO OSI Z WDŁUŻ OSI X [ Pa ]

E - MODUŁ ODKSZTAŁCALNOŚCI LINIOWEJ ( MODUŁ YOUNGA) [ Pa ]

G - MODUŁ ODKSZTAŁCALNOŚCI POSTACIOWEJ (MODUŁ KIRCHHOFFA) [ Pa ]

ν - ni - LICZBA POISSONA

ŚCINANIE PROSTE

CZĘSTO NAPRĘŻENIA STYCZNE NAZYWAMY NAPRĘŻENIAMI TNĄCYMI

NAPRĘŻENIA STYCZNE PRZECIWSTAWIAJĄ SIĘ SIŁOM TNĄCYM

τ - NAPRĘŻENIE TNĄCE [ Pa ]

P - SIŁA TNĄCA DZIAŁAJĄCA NA POWIERZCHNIE ŚCINANĄ [ N ]

F - PRZKRÓJ, WIELKOŚĆ POWIERZCHNI ŚCINANIA [ m ² ]

WARUNEK WYTRZYMAŁOŚCI DLA ŚCINANIA

≤ k_t

k_t - DOPUSZCZALNE NAPRĘŻENIE TNĄCE

PRAWO HOOKA DLA ŚCINANIA

γ - odkształcenie postaciowe,

τ - naprężenia styczne,

G - moduł odkształcalności postaciowej - moduł Kirchhoffa [ Pa ]

ν- ni - liczba Poissona

E - moduł odkształcalności liniowej

SKRĘCANIE

WARUNEK WYTRZYMAŁOŚCI DLA SKRĘCANIA

τ ≤ k_s

k_s - DOPUSZCZALNE NAPRĘŻENIE SKRĘCAJĄCE

SKRĘCANY PRĘT NAZYWANMY WAŁEM

M_S - MOMENT SKRĘCAJĄCY

IM WIĘKSZY MOMENT SKRĘCAJĄCY TYM WIĘKSZY KĄT SKRĘCANIA ∅

I_o - BIEGUNOWY MOMENT BEZWŁADNOŚCI PRZEKROJU POPRZECZNEGO SKRĘCANEGO WAŁU

ρ - ( ro ) - ODLEGŁOŚĆ OD OSI OBJĘTNEJ WAŁU

τ_ρ - NAPRĘŻENIE SKRĘCAJĄCE W ODLEGŁOŚCI ρ

M_S - MOMENT SKRĘCAJĄCY

- WSKAŻNIK WYTRZYMAŁOŚCI NA SKRĘCANIE

NIE TYLKO WIELKOŚĆ PRZEKROJU POPRZECZNEGO DECYDUJE O SZTYWNOŚCI I WYTRZYMAŁOŚCI NA SKRĘCANIE I NA ZGINANIE ALE RÓWNIEŻ ROZŁOŻENIE TEGO POLA POWIERZCHNI

I_o - BIEGUNOWY MOMENT BEZWŁADNOŚCI - ZAWIERA INFORMACJE O TYM ROZŁOŻENIU WZGL. BIEGUNA - ŚRODKA PRZKROJU POPRZECZNEGO

I_x - OSIOWY MOMENT BEZWŁADNOŚCI - ZAWIERA INFORMACJE O ROZŁOŻENIU TEGO POLA WZGL. OSI PRZEKROJU POPRZECZNEGO ZGINANEJ BELKI

- KĄT SKRĘCANIA

ϕ - KĄT SKRĘCANIA

M_S - MOMENT SKRĘCAJĄCY [ Nm ]

l - DŁUGOŚĆ [ m ]

G - MODUŁ ODKSZTAŁCALNOŚCI POSTACIOWEJ KIRCHHOFFA [ Pa ]

I_o - BIEGUNOWY MOMENT BEZWŁADNOŚCI

ZGINANIE

PŁASZCZYZNA GŁÓWNA -PŁASZCZYZNA W KTÓREJ DZIAŁAJĄ SIŁY I REAKCJE

PŁASZCZYZNA GŁÓWNA BELKI - PŁASZCZYZNA PRZECHODZĄCA PRZEZ OSIE GŁÓWNE CENTRALNE KLEJNYCH PRZEKROJÓW POPRZECZNYCH BELKI

JEŻELI PŁASZCZYZNA ZGINANIA POKRYWA SIĘ Z PŁASZCZYZNĄ GŁÓWNĄ BELKI TO MAMY DO CZYNIENIA ZE ZGINANIEM PROSTYM, JEŻELI NIE TO MAMY DO CZYNIENIA ZE ZGINANIEM UKOŚNYM

PŁASZCZYZNA UTWORZONA PRZEZ WŁÓKNA KTÓRE NIE ULEGŁY WYDŁUŻENIU ANI SKRUCENIU NAZYWAMY PŁASZCZYZNĄ OBOJĘTNĄ

δ_y - NAPRĘŻENIA W ODLEGŁOŚCI y OD PŁASZCZYZNY GNĄCEJ

δ - NAPRĘŻENIA NORMALNE W PRZKROJU POPRZECZNYM BELKI

I_Z - OSIOWY MOMENT BEZWŁADNOŚCI WZGL. OSI Z

MAX NAPRĘŻENIA GNĄCE

WARUNEK WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁOWEJ W PORZYPADKU GDY BELKA JEST RÓWNIE ODPORNA NA NAPRĄŻENIA ROZCIĄGAJĄCE I ŚCISKAJĄCE

RÓWNANIE LINI UGIĘCIA BELKI

E - moduł odkształcalności liniowej -YOUNGA

I_Z - OSIOWY MOMENT BEZWŁADNOŚCI WZGL OSI Z

M(x) - MOMENT GNĄCY

- DRUGA RÓŻNICZKA

---