Wiadomości wstępne

Liczby naturalne to najbardziej oczywista i natychmiastowa konstrukcja kojażąca się z matematyką. Były to pierwsze liczby na jakich w starożytności człowiek nauczył się pierwszych działań, i zaczął swoją przygodę z matematyką. Przez liczbę naturalną rozumiemy liczbą całkowitą większą od 0. Zbiór liczb naturalnych oznaczamy dużą literką "N" i zazwyczaj piszemy :

N={1,2,3...}

Pewne kontrowersje wywołuje sprawa zera. Niektórzy uważają, że zero powinno się również uznać jako element liczby naturalnych. Ma to znaczenie gdy obliczamy puste iloczyny (np. 0!=1), które potocznie uznaje się za iloczyny liczb naturalnych. W praktyce jednak częściej przyjmuje się że pierwszą liczbą naturalną jest 1, zaś gdy potrzeba koniecznie to pisze się sumę zbioru liczb naturalnych i zera. Jest to kwestia dyskusyjna więc warto zaznaczać czy uznaje się takie czy inne podejście.

Na liczbach naturalnych określamy intuicyjnie podstawowe działania arytmetyczne: dodawanie,mnożenie. Wyniki tych dwóch działań wykonanych na liczbach naturalnych zawsze należą do zbioru N. Inaczej sprawa wygląda z operacjami odwrotnymi (wynikiem odejmowania może być liczba ujemna, a wynikiem dzielenia liczba wymierna). Zbiór liczb naturalnych to półgrupa ze względu na dodawanie.

Ujęcie aksjomatyczne Peano

Ścisłe aksjomatyczne pojęcie liczb naturalnych wprowadził Peano. Definiowane są dobrze przez 5 aksjomatów i kilka pojęć pierwotnych:

POJĘCIA PIERWOTNE

1. N - zbiór liczb naturlanych
2. 1 - jedność w zbiorze liczb naturalnych
3. S(x) - następnik liczby naturalnej - funkcja różnowartościowa z N w N.

AKSJOMATY

1. 1 jest liczbą naturalną.
2. 1 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej. To znaczy że nie istnieje w zbiorze N takie k że, S(k)=1.
3. Dla każdej liczby naturalnej n istnieje dokładnie jedna taka liczba naturalna m że, m jest następnikiem n, a więc S(n)=m
4. Jeśli S(n)=S(m) to n=m (różnowartościowość następnika).
5. ZASADA INDUKCJI ZUPEŁNEJ - Jeżeli A jest podzbiorem liczb naturalnych, takim że
(A) 1 należy do A
(B) dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest implikacja: jeżeli n należy do A to również S(n) należy do A.
to każda liczba naturalna należy do A, czyli A=N

Aksjomaty te prowadzą do spójnej teorii, której szczególnym przypadkiem jest własnie nasz intuicyjnie znany zbiór liczb naturalnych. Można łatwo dowieść że, aksjomaty te nie są sprzeczne ze sobą. Możliwe jest za ich pomocą określenie działań (dodawanie i mnożenie), dowieść ich przemienności i łączności (dowód tego nie jest trudny jednak dość długi). Jako przykład podam jedynie aksjomatyczną definicję dodawania:

1. x+1=S(x)
2. x+S(y)=S(x+y)

System taki prowadzi do wszystkich znanych nam i oczywistych właściwości tego działania.

Bibliografia

W kwestii użytecznych informacji i wzorów, polecam:

"Wstęp do matematyki współczesnej" - H. Rasiowa
"Matematyka - Poradnik encyklopedyczny" - I.N.Bronsztejn, K.A.Siemiediajew,
"Zarys matematyki wyższej dla studentów" - R. Leitner, tom pierwszy i drugi.
Wszelkie podręczniki algebry oraz tablice matematyczne.

Jak chodzi o zadania to warto po prostu przejżeć podręczniki na studia.Polecam też książki:

"Kółko matematyczne dla olimpijczyków" - H.Pawłoski.
"Zadania dla uczniów lubiących matematykę" - W. Bednarek
"Matematyka - Zadania" - W.Leksiński, I.Nabiałek, W.Żakowski

---