TRANSMISJA SOLITONOWA

W stosowanych obecnie systemach transmisyjnych dyspersja w światłowodzie jest zasadniczym ograniczeniem przepływności linii. Rozróżniamy dwa rodzaje dyspersji: dyspersję normalną, gdy fale o większej częstotliwości poruszają się wolniej niż fale o częstotliwości mniejszej i dyspersję anomalną, kiedy jest odwrotnie: fale o większej częstotliwości poruszają się szybciej od fal o częstotliwości mniejszej. Typowe jednomodowe światłowody telekomunikacyjne wykazują zero dyspersji dla długości fali równej λ=1,31μm. Poniżej tej długości fali występuje dyspersja normalna, powyżej dyspersja anomalna. Krótkie impulsy mają szerokie widmo, stąd dyspersja, która jest równa zeru tylko dla częstotliwości nośnej, powoduje różnicę prędkości rozchodzenia się składowych częstotliwościowych impulsu (jego widma) i jego deformację. Poszerzenie impulsu rośnie z odległością transmisji i powoduje nierozróżnialność kolejnych impulsów przy dostatecznie dużej odległości. Dlatego też zainteresowano się zjawiskami nieliniowymi mogącymi kompensować dyspersję.

• Teoria rozchodzenia się solitonów

Szkło kwarcowe z jakiego wykonywane są światłowody telekomunikacyjne wykazuje słabą nieliniowość optyczną, mianowicie jego współczynnik załamania wskutek efektu kerra zależy od natężenia światła i:

(1-1)

gdzie: n₀ - wartość współczynnika przy natężeniu światła bliskim zero, n₂ - tzw. nieliniowy współczynnik załamania o wartości równej n₂=3,18x10^-20 m²/w.

Okazuje się, że takie właściwości nieliniowe światłowodu mogą w pewnych warunkach skompensować poszerzenie impulsu powodowane dyspersją. Daje to możliwość przesyłania impulsów zachowujących swój kształt czasowy, a mianowicie tzw. solitonów.

Nieliniowość światłowodu powoduje to, że w miejscu dużego natężenia impulsu świetlnego współczynnik załamania wzrasta, zatem prędkość fali maleje. W rezultacie środkowa część impulsu porusza się wolniej niż jego czoło oraz tył, a częstotliwość ulega zróżnicowaniu: przednia część impulsu doznaje zmniejszenia częstotliwości, a tylna zwiększenia częstotliwości. Przedstawiono to na rys. 1-1.

Rysunek 1-1. Amplituda, faza oraz częstotliwość solitonu.

Do kompensacji nieliniowego poszerzenia czoła impulsu, dyspersja powinna zwalniać w większym stopniu czoło impulsu, o zmniejszonej częstotliwości, niż jego resztę, czyli powinna to być dyspersja anomalna. W przypadku dyspersji anomalnej obydwa zjawiska: nieliniowość i dyspersja światłowodu mogą się wzajemnie kompensować. Możliwy jest taki dobór kształtu impulsu, jego amplitudy i czasu trwania, że oba te efekty dokładnie się znoszą. Takie impulsy nazywamy właśnie solitonami. Propagacja solitonu podstawowego w światłowodzie została zilustrowana na rys. 1-2.

Rysunek 1-2. Propagacja solitonu w nieliniowym światłowodzie o dyspersji anomalnej.

Rozważmy teraz od strony matematycznej rozchodzenie się promieniowania świetlnego w światłowodzie o pewnej nieliniowości. W przypadku, kiedy pominiemy tłumienie światłowodu, uproszczone równanie propagacji przyjmuje postać:

( 1-2)

i jest określane mianem nieliniowego równania Schroedingera. Tutaj A(z,T) - amplituda obwiedni impulsów, β^''=d²β/dω² - parametr określający dyspersję prędkości grupowej, γ - parametr nieliniowości odpowiedzialny za modulację własną fazy. Wprowadźmy następującą normalizację do równania 1-2:

(1-3)

Tutaj P₀ - moc szczytowa, T₀ - szerokość impulsu na wejściu, L_D - tzw. odległość dyspersji, definiowana jako

( 1-4)

Określa ona odległość na jakiej zjawisko dyspersji zaczyna odgrywać istotną rolę dla kształtu impulsu rozchodzącego się wzdłuż światłowodu. Przy wprowadzeniu tej normalizacji i przyjęciu dyspersji anomalnej (β^''<0), równanie 1-2 przyjmuje standardową formę nieliniowego równania Schroedingera

( 1-5)

uwzględnienie tłumienia światłowodu powoduje konieczność uzupełnienia prawej strony tego równania o człon związany z tłumieniem. Równanie takie nie ma wtedy stabilnych rozwiązań. Zwróćmy uwagę, że jeżeli u(ξ,τ) jest rozwiązaniem równania 1-5 to przy dowolnej stałej a, również funkcja au(a²ξ, aτ)spełnia to równanie. Można znaleźć dokładne rozwiązania równania 1-5 wykorzystując tzw. odwrotną metodę rozpraszania. Polega ona na znalezieniu odpowiedniego problemu rozpraszania, którego potencjał jest szukanym rozwiązaniem. Pole w punkcie z=0 jest użyte do obliczenia danych początkowych, których ewolucję wzdłuż osi z łatwo jest obliczyć rozwiązując liniowy problem rozpraszania. Rozchodzące się pole jest następnie obliczane z danych dotyczących rozpraszania. Odwrotna metoda rozpraszania, aczkolwiek ogólna, jest dosyć złożona matematycznie i dlatego równanie 1-5 rozwiążemy innym sposobem (w przypadku solitonu pierwszego rzędu). Przyjmijmy, że:

(1-6)

podstawiając to wyrażenie do (1-5) dostajemy

(1-7)

oraz

(1-8)

Ponieważ poszukujemy rozwiązań stacjonarnych, zatem ∂ρ/∂ξ=0 i z równania (1-7) otrzymujemy

(1-9)

Z kolei lewa strona zależności (1-8) jest funkcją tylko τ a zatem

(1-10)

Różniczkując tę ostatnią zależność względem ξ i τ, otrzymujemy

(1-11)

a z równania (1-9)

(1-12)

Zatem

(1-13)

lub

(1-14)

jeśli przyjmie się, że c(ξ)=const, to równanie (1-9) przyjmie postać

(1-15)

lub

(1-16)

a ponieważ ∂ρ/∂τ jest funkcją tylko τ, że wzoru (1-8) wynika, że ∂ρ/∂τ powinno być funkcją τ, zatem ∂A/∂ξ=Ω=const, czyli

(1-17)

Jeżeli skorzysta się z tego równania i z zależności (1-8) można otrzymać nastepujace równanie dla ρ(τ)

(1-18)

przyjmiemy, że u² jest ograniczone przez ρ_e i ρ_a tzn.

oraz

(1-19)

Stąd dla solitonu podstawowego mamy

(1-20)

gdzie sech(τ) oznacza secans hiperboliczny, będący odwrotnością cosinusa hiperbolicznego. Funkcja ta ma wykres zblizony do krzywej Gaussa, co pokazano na rys 1-1.

W kontekście telekomunikacji światłowodowej omawiane równania wskazują na to, że impuls o kształcie secansa hiperbolicznego, którego szerokość T₀ i moc szczytowa P₀ spełniają zależność

(1-21)

zostanie wprowadzony do idealnego bezstratnego światłowodu, będzie się rozchodził bez zmiany kształtu na dowolnie duże odległości. Jest to cecha solitonu podstawowego stanowiąca o jego atrakcyjności z punktu widzenia transmisji światłowodowej. Moc szczytowa wymagana do prowadzenia solitonu podstawowego może być łatwo określona z zależności (1-21), przy czym jej wartość jest ściśle związana z właściwościami danego światłowodu - nieliniowością i dyspersją. Ponieważ nieliniowość światłowodu n₂ jest mała, stąd amplituda solitonu jest relatywnie dużą. Dla typowych parametrów standardowego światłowodu dla długości fali 1,55μm, moc P₀ jest około 5W dla czasu trwania T₀ 1ps, ale dzięki odwrotnej proporcjonalności do czasu trwania redukuje się do 50 mW przy czasie trwania impulsu równym 10ps. Dalsze zmniejszanie mocy P₀ o rząd wielkości występuje w światłowodach o przesuniętej dyspersji dzięki redukcji parametru β''.

• Solitony wyższych rzędów i solitony ciemne

Rozwiązaniem równania Schroedingera są również solitony wyższych rzędów o początkowej postaci dla ξ=0

(2-1)

gdzie liczba całkowita N - rząd solitonu. Moc szczytowa potrzebna do wzbudzenia solitonu N-tego rzędu może być również obliczona z zależności (1-21) i jest N² razy większa od wymaganej dla solitonu podstawowego. Interesującą własnością solitonów wyższych rzędów jest to, że są one okresowe z okresem równym ξ₀=π/2. Wykorzystując definicję (1-4) można określić okres solitonu wyższego rzędu jako

(2-2)

Soliton wyższego rzędu zachowuje się w światłowodzie tak, jak pokazano to na rys. 2-1a dla solitonu drugiego rzędu i rys. 2-1b dla solitonu trzeciego rzędu. Taki soliton rozpoczyna propagację jako pojedynczy impuls, w trakcie propagacji zmienia swój kształt, a następnie - po przebyciu określonej odległości - odtwarza początkowy kształt. Szczególnie interesująca jest propagacja solitonu trzeciego rzędu. Jak widać na rys. 2-1b początkowo znacznie zmniejsza on swoją szerokość, co może być wykorzystywane przy kompresji impulsów.

Rysunek 2-1. Propagacja solitonów wyższych rzędów: a) N=2, b)N=3.

Naturalne jest pytanie, co dzieje się jeżeli początkowa moc impulsu lub jego kształt odbiegają od wyrażonych równaniami (1-20), (2-1). W pierwszym przypadku, kiedy moc szczytowa nie jest dokładnie dobrana, wielkość N nie jest liczbą całkowitą. Okazuje się, że wtedy impuls zmienia swoją szerokość w trakcie propagacji asymptotycznie dążąc do solitonu, którego rząd jest najbliższy wielkości N wprowadzanego solitonu. Część energii impulsu zostaje w tym procesie rozproszona. Wpływ kształtu impulsu na formowanie się solitonu można zbadać rozwiązując numerycznie równanie (1-5). Na rysunku 2-2a pokazano ewolucję impulsu gaussowskiego o wartości początkowej danej przez

( 2-3)

Rysunek 2-2. Ewolucja solitonu podstawowego z impulsów o kształcie: a) gaussowskim, b) prostokątnym.

Chociaż N=1 to jednak kształt impulsu zmienia się wzdłuż światłowodu ze względu na różnicę kształtu w stosunku do impulsu typu secans hiperboliczny. Jednakże na tym samym rysunku widać, że szerokość i kształt impulsu zmieniają się dążąc do kształtu solitonu podstawowego. Faktycznie proces ewolucji jest całkowicie zakończony w odległości odpowiadającej trzem okresom solitonowym (2-2). Z kolei ewolucję impulsu prostokątnego do solitonu podstawowego pokazano na rys. 2-2b. Z przeprowadzonej dyskusji jest jasne, że dokładny kształt impulsu wejściowego mającego wzbudzić soliton podstawowy nie jest krytyczny. Co więcej, ponieważ soliton podstawowy może zostać uformowany przy wartościach N z zakresu 0,5<N<1,5, również szerokość i moc szczytowa impulsu wejściowego mogą zmieniać się w dosyć szerokich granicach. Stosunkowo mała wrażliwość na zmiany parametrów wejściowych ułatwia zastosowanie praktyczne solitonów. Należy jednak podkreślić, że jeśli parametry impulsu wejściowego istotnie różnią się od wartości nominalnych, to część energii impulsu wejściowego zostanie rozproszona w postaci fal dyspersyjnych. Takie fale nie są pożądane nie tylko z powodu zmniejszenia mocy solitonu podstawowego; w systemach telekomunikacyjnych powodują interferencję, a ponadto mogą oddziaływać z samym solitonem.

Kompensacja nieliniowości i dyspersji może zachodzić też dla tzw. solitonów ciemnych, będących obniżeniem natężenia fali ciągłej. Światłowód powinien wtedy wykazywać dyspersję normalną. Nieliniowe równanie Schroedingera opisujące propagację ciemnych solitonów otrzymano z równania (1-5) przez zmianę znaku przed pochodną względem czasu (ponieważ β''>0) i ma postać

(2-4)

podobnie, jak w przypadku solitonów jasnych, do rozwiązania powyższego równania można wykorzystać odwrotną metodę rozpraszania, nakładając warunek graniczny taki, że dla dużych wartości τwartość u(ξ, τ)zdąża do pewnej niezerowej stałej. Solitony ciemne mogą być również otrzymane przy poszukiwaniu rozwiązań tego równania w postaci

( 2-5)

gdzie K - pewna stała. Prowadzi to do równania różniczkowego zwyczajnego, którego rozwiązaniem jest V(τ). Rozwiązania ogólne tego równania mają dosyć złożoną postać. Najprostsze rozwiązanie (soliton podstawowy) ma formę

(2-6)

Tak więc impuls o kształcie tangensa hiperbolicznego i minimum w środku będzie się rozchodził bez zmiany kształtu w światłowodzie o normalnej dyspersji. Pokazano to na rysunku 2-3.

Rysunek 2-3. Profile natężenia pola solitonów ciemnych dla różnych wartości parametru B określającego czerń solitonu.

Jak widać z tego rysunku minimalna wartość natężenia pola solitonu ciemnego niekoniecznie spada do zera. Takie solitony nazywamy solitonami szarymi w odróżnieniu od solitonów czarnych, dla których minimum jest zerowe. Solitony szare wymagają większego natężenia promieniowania tła (tzn. stałego, niezerowego poziomu) aniżeli solitony czarne o tej samej szerokości.

Niektóre z własności solitonów ciemnych różnią się od odpowiednich własności solitonów jasnych. Podstawową różnicą jest to, że faza solitonów ciemnych ulega dodatkowym zmianom na długości impulsu. Dla solitonu czarnego wystepuje gwałtowna zmiana fazy o π w środku impulsu, dla solitonów zaś szarych zmiany te są stopniowe i mniejsze. Jedną z konsekwencji tego faktu jest to, że ciemne solitony wyższych rzędów nie są periodyczne ani nie dążą do wartości asymptotycznej.

Ewolucję solitonu czarnego dla N=3 pokazano na rysunku 2-4. Jak widać na rysunku, pojawiają się dwie pary szarych solitonów, które oddalają się od czarnego solitonu od czarnego solitonu centralnego w miarę wzrostu odległości.

Rysunek 2-4. Ewolucja solitonu ciemnego trzeciego rzędu.

Aby wyjaśnić takie zachowanie zauważmy, że impuls wejściowy o formie Ntanh(τ) może utworzyć czrny soliton podstawowy o amplitudzie Ntanh(Nτ), jeśli tylko jego szerokość zmniejszy się N razy. Te szare solitony oddalają się od centralnego czarnego solitonu z powodu różnic w prędkościach grupowych. Ważne jest to, że podstawowy czarny soliton tworzy się zawsze, jeśli tylko N>1.

Ciemne solitony stanowią przedmiot ciągłego zainteresowania. Symulacje numeryczne pokazują, ze są one bardziej stabilne w obecności szumu i ulegają wolniejszemu rozmyciu wskutek strat w światłowodzie aniżeli solitony jasne. Te własności wskazują na ich potencjalne zastosowania w systemach transmisyjnych. Pomimo tych własności zastosowanie solitonów ciemnych w telekomunikacji nie wydaje się prawdopodobne w bliskiej przyszłości, głównie z powodu trudności z generacją odpowiednich impulsów wejściowych.

• Straty i oddziaływanie między solitonami

Jak już stwierdziliśmy solitony są atrakcyjne dla komunikacji optycznej ze względu na ich zdolność zachowania kształtu (szerokości) nawet w dyspersyjnym światłowodzie. Jednakże ta ich własność jest prawdziwa jedynie wtedy, gdy straty w światłowodzie są do pominięcia. Zmniejszenie energii solitonu spowodowane stratami w światłowodzie prowadzi do rozszerzenia solitonu, gdyż efekt nieliniowy konieczny do przeciwdziałania dyspersji jest osłabiony wskutek redukcji szczytowej mocy solitonu.

Przy uwzględnieniu strat w światłowodzie nieliniowe równanie Schroedingera (1-5) przyjmuje następującą postać

(3-1)

gdzie

(3-2)

tutaj α - tłumienie światłowodu, pozostałe zaś parametry określone są zależnościami (1-3), (1-4).

Jeśli Γ<<1 i można traktować Γ jako małe zaburzenie, to równanie (3-1) może być rozwiązane za pomocą odwrotnej metody rozpraszania. Dla impulsu wejściowego w formie solitonu podstawowego u(0, τ)=sech(τ) przyblizone rozwiązanie równania (3-1) jest dane przez

(3-3)

gdzie

(3-4)

Jeśli zapiszemy u₁τ jako T/T₁ i użyjemy zależności τ=T/T₀, znajdziemy zależność na szerokość impulsu wzdłuż swiatłowodu T₁

(3-5)

Eksponencjalny wzrost szerokości solitonu zachodzi jedynie na początkowym odcinku transmisyjnym (jeśli Γ<<1). Kiedy energia solitonu zmniejszy się na tyle, że efekty nieliniowe staną się pomijalne, czynnikiem dominującym staje się dyspersja i szerokość impulsu rośnie liniowo. Pokazano to na rys. 3-1 

Rysunek 3-1. Zmiana szerokości solitonu podstawowego z odległością w stratnym światłowodzie.

Wskutek tłumienia światłowodu impuls, początkowo solitonowy, rozchodzi się dalej jak w światłowodzie liniowym, ulegając poszerzeniu. Stosowane są trzy sposoby rozwiązania tego problemu:

• zastosowanie wzmacniaczy optycznych EDFA, kompensujących straty mocy co pewien odcinek linii, lub rozproszonych wzmacniaczy Ramana, aby utrzymać transmisję solitonową w całej linii,

• wydłużenie odległości między wzmacniaczami EDFA tak, że w danym odcinku linii początkowo solitonowy impuls, dalej rozchodzi się jako zwykły impuls o mniejszej mocy, a jego poszerzenie może być kompensowane przez dodatnią wartość dyspersji prędkości grupowej we wzmacniaczach EDFA, jest to tzw. system częściowo solitonowy,

• zwiększenie mocy impulsu wejsciowego tak, aby zapas mocy wystarczał na pokrycie strat na długości swiatłowodu, jednak zbyt duża moc wejściowa stwarza niebezpieczeństwo generacji solitonów wyższych rzędów, okresowo ulegających podziałowi.

Odstęp czasu między sąsiednimi bitami lub impulsami wyznacza szybkość transmisji systemu telekomunikacyjnego. Konieczne jest zatem wyznaczenie tego, jak blisko mogą być względem siebie dwa solitony, ażeby jeszcze na siebie nie oddziaływały. Okazuje się bowiem, że ta sama nieliniowość, która umożliwia rozchodzenie się solitonu bez zmiany kształtu powoduje oddziaływanie między sąsiednimi solitonami: jeśli solitony mają jednakowe fazy - przyciągają się, jeśli fazy są przeciwne - odpychają się, zmniejszając lub zwiększając odstęp czasowy między sobą. Amplituda pary solitonów na wejściu światłowodu może zostać zapisana w znormalizowanej formie

(3-6)

gdzie: r - znormalizowana amplituda, Θ - względna faza, a poczatkowa odległość czasowa impulsów q₀ - związana z szybkością transmisji B poprzez zależność

(3-7)

Oddziaływanie między solitonami można badać rozwiązując numerycznie nieliniowe równanie Schroedingera przy warunku danym przez równanie (3-7). Wyniki pokazują, że rodzaj oddziaływania zależy nie tylko od odległości między solitonami q₀, ale również od różnicy faz Θ i względnej amplitudy r. W szczególnym przypadku, kiedy Θ=0, r=1 i q₀>>1 odległość między solitonami q dana jest zależnością

(3-8)

Ta relacja pokazuje, że odległość między solitonami q(ξ) zmienia się okresowo, a jej okres wynosi

(3-9)

W przypadku kiedy warunek q₀>>1 nie jest spełniony, solitony mogą okresowo zlewać się ze sobą. Pokazano to na rys. 3-2a. Z kolei na rys. 3-2b uwidoczniono odpychające oddziaływanie solitonów różniących się fazami. Odpowiednia odległość solitonów, z grubsza pięciokrotnie większa od ich szerokości, praktycznie eliminuje oddziaływanie między nimi.

Innym ciekawym zjawiskiem oddziaływania między solitonami są tzw. kolizje. Ponieważ solitony poruszają się z prędkością niezależną od swej amplitudy, dlatego też dla spowodowania ich kolizji potrzebne są solitony różniące się częstotliwością nośną, przy czym impuls o większej częstotliwości porusza się szybciej. Kolizję solitonów pokazano na rys. 3-3. Jak widać struktura natężenia pola w trakcie kolizji jest dość skomplikowana.

Rysunek 3-2. Oddziaływanie dwóch solitonów dla r=1, q₀=3,5: a) Θ=0, b) Θ=π/4.

Rysunek 3-3. Kolizja dwóch solitonów.

Zaprezentowana analiza rozchodzenia się solitonów w światłowodzie jest uproszczona, zakłada bowiem, nieliniowość światłowodu jest natychmiastowa (ma zaniedbywalnie mały czas odpowiedzi impulsowej). Uwzględnienie skończonego czasu odpowiedzi impulsowej nieliniowości pozwala wyjaśnić takie zjawiska jak np. przesunięcie częstotliwości własnej solitonu.

98-06-18 Utworzony przez Paweł Bień 5 transmisja solitonowa

Wydruk próbny

---