SYLWIA BILIŃSKA

Problem szkockiego botanika

sukcesem polskiego fizyka.

Wyjaśnienie ruchów Browna w pracach Mariana Smoluchowskiego

Kierunek studiów, rok	Fizyka medyczna, rok VI
Opiekun	doc. dr Leszek Ryk
Uczelnia i wydział	Uniwersytet Wrocławski Instytut Fizyki Doświadczalnej
Blok przedmiotów	Historia fizyki

WROCŁAW 2009

„Nauka chełpi się badaniami odległych zjawisk, codzienność jest uznawana za mało godną badań,

choć na co dzień spotykamy się z tak wieloma procesami, których nie rozumiemy.”

prof. David Cassi

Pierwsza połowa XIX wieku była czasem rozkwitu ówczesnej myśli technicznej. Rozwój przemysłowy i społeczny w Europie miał bezpośrednie przełożenie na codzienne życie. Konstrukcja maszyny parowej, pierwsze szczepionki - Ludwika Pasteur'a, czy teoria ewolucji Karola Darwina.

Obiektem zainteresowań stało się także zapylanie kwiatów różnych roślin. Badaniami, nad tym jeszcze niewyjaśnionym zjawiskiem, zajął się szkocki botanik Robert Brown.

W metodzie badań nad pyłkami kwiatowymi obserwował ich mikroskopowe struktury. Ze względu na swoje, z natury, małe rozmiary i delikatność, najlepszym sposobem obserwacji jest stworzenie ich zawiesiny wodnej. Dzięki temu Brown mógł bardzo dokładnie obserwować ich strukturę i zachowanie. Podczas prowadzonych w 1827 roku badań mikroskopowych nad drobnymi ziarnami skrobi zawieszonymi w cieczy^[] zauważył nieregularne, trzęsące ruchy, przypominające „ruchy roju komarów albo gromady mrówek”. Ruch ten wydał się całkowicie nieskoordynowany i na tyle szybki, że bardzo trudno było „nadążyć” za drobiną. Jako naukowiec postanowił wyjaśnić zaobserwowane zjawisko. Wyniki zaprezentował w pracy pt. „Krótki raport na temat obserwacji mikroskopowych wykonanych w miesiącach lipcu, sierpniu i wrześniu 1827 roku nad cząstkami zawartymi w roślinach pyłkowych; oraz o powszechnym występowaniu aktywnych molekuł w ciałach organicznych i nieorganicznych”.^[] Mimo że praca znajdowała się w wielu cenionych wówczas czasopismach naukowych, nie odpowiadała

na pytanie skąd bierze się chaotyczny ruch drobin zanurzonych w cieczy.

Zjawiskiem tym zainteresowało się wiele wybitnych naukowców. Choć problem ten nie wydawał się szczególnie ważny, prezentowali swoje pomysły wyjaśniające chaotyczny ruch drobin. W pracach opisywali istnienie tego zjawiska spowodowane za pomocą m.in. wewnętrzną cyrkulacją wśród cieczy, prądami konwekcyjnymi, wywołanymi przez promienie napięcia włoskowatego wskutek zanieczyszczeń, siłami elektrycznymi, specyficznymi siłami odpychającymi.^[] Nawet po sformułowaniu przez Boltzmanna

i Maxwella tzw. teorii kinetycznej, podjęto próby opisu ruchów Browna w jej języku, czyli przez opisanie jak zmienia się prędkość drobin Browna w czasie. Brakowało jednak odpowiednich argumentów przedstawiających jej słuszność. Aby zjawisko to zostało objaśnione, musiało minąć aż 80 lat.

Rok 1905 stał się przełomowym okresem w fizyce. Światu ukazały się cztery prace Alberta Einsteina: dwie pierwsze stały się fundamentem teorii względności, trzecia z kolei praca wyjaśniała efekt fotoelektryczny, natomiast czwarta tłumaczyła mechanizm odpowiedzialny za ruchy Browna „Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen“.^[] Pracę tą oparł na ogólnych rozwiązaniach mechaniki statystycznej. Jego zamiarem nie było wyjaśnienie zjawiska zauważonego przez szkockiego botanika, lecz podanie związku pomiędzy współczynnikiem dyfuzji a temperaturą.^[] W rozwiązaniach podjętego problemu wyszedł z termodynamiki, posługując się pojęciem ciśnienia osmotycznego i słynnym twierdzeniem Boltzmanna exp[-χ(ε)].^[] Z ogólnej teorii fluktuacji wokół stanu równowagi oraz przy pomocy prawa Gaussa rozkładu przypadkowych odchyleń parametru ε, obliczył średnią wartość przesunięcia cząstki w ruchu Browna w ciągu jednej sekundy.^[] Dzięki takim obliczeniom, Einstein dokonał opisu mikroskopowych ruchów cieplnych, co było jego zamiarem.

Rok później ukazała się praca polskiego profesora fizyki i doktora honoris causa prawa Mariana von Smoluchowskiego ”Zarys kinetycznej teorji ruchów Browna i roztworów mętnych”. Autor przyjmował przeciwne stanowisko niż Einstein. Dobrze znał fakty dotyczące zjawiska zaobserwowanego przez Browna i planował wyjaśnienie. Jednakże do publikacji wyników skłonił go odzew, jaki otrzymała praca niemieckiego naukowca. ^[]

We wstępnie swojej pracy napisał:

„(…) wypracowałem tuż przed kilku laty teorję kinetyczną tego zjawiska, która wydawała mi się najprawdopodobniejszą; wyników dotychczas nie ogłosiłem, chcąc je naprzód sprawdzić ściślejszemi pomiarami doświadczalnemi. Tym czasem jednak dyskusja nad tym przedmiotem została znowu otwarta przez dwie prace teoretyczne Einsteina, w których autor oblicza przesunięcie drobnych cząstek, jakie powstać musi w skutek ruchu molekularnego i wnioskuje ze zgodności

z obserwacjami ruchów Browna o kinetycznej ich naturze. Odnalazłem we wzorach Einsteina część moich wyników i ostateczny jego rezultat, choć otrzymany zupełnie odmienną metodą, zgadza się najzupełniej z moim. Dlatego dodaje moje rozumowania, zwłaszcza, że moja metoda wydaje mi się przejrzystsza i dlatego bardziej przekonywująca niż metoda Einsteina, która nie jest wolna

od zarzutów.”^[]

Analizując wszystkie dotychczasowe hipotezy, Smoluchowski dokonał podziału na fakty pewne i całkowicie błędne. Do tych pierwszych zaliczył: powszechność zjawiska Browna dla najróżniejszych substancji sproszkowanych, przy czym szybkość ruchu cząstek zależy od ich wielkości; powszechność zjawiska jest niezmienne w czasie, tzn. ruch cząstek trwa, dopóki unoszą się

w cieczy (oprócz tych osiadłych na ścianach naczynia); ruch cząstek zależy od rodzaju cieczy - wyraźniejsze w wodzie, mniejsze w cieczach bardziej lepkich, a słabe o znacznej lepkości m.in. w glicerynie, oliwie, czy w kwasie siarkowym; im wyższa temperatura, tym ruch jest bardziej widoczny; ruchy drobin są niezależne od warunków zewnętrznych (tj. pokrycie cieczy szkiełkiem zapobiegającemu parowaniu, położenie w miejscu „spokojnym”, przetrzymywanie w ciemności, barwa światła, czy zmiana natężenia w stosunku 1/1000). Natomiast odrzucił wszystkie teorie przyjmujące zewnętrzne źródło energii, zwłaszcza prądy konwekcyjne cieczy, powodowane przez nierównomierność temperatur, analogie do ruchów radiometrycznych (hipoteza Kolačka) czy ruchów włoskowatych (hipoteza Quinciego).^[] Zatem pozostała tylko jedna koncepcja - ruchy brownowskie pochodzą

ze źródeł wewnętrznych.

Do tej pory nie znaleziono sensownego wytłumaczenia ruchów Browna teorią kinetyczną, która przyjmowała energie cieplną jako właściwy czynnik tego zjawiska. Smoluchowski, śledząc zjawisko pod mikroskopem, odniósł wrażenie, że podobnie przedstawia się ruch drobin cieczy.

„ Cząstki zakreślają nieregularne zygzaki, wychylając się we wszystkich kierunkach, jak gdyby popychane przez przypadkowe uderzenia niewidzialnych molekuł; mimo gorączkowego ruchu tylko powoli oddalają się od pozycji początkowej.” ^[] W matematyce oznacza to, że trajektoria tej cząstki nigdzie nie była różniczkowalna.

W rozważaniach nad metodą kinetyczną wysunął założenie

„(…) że ruch Browna powstaje na skutek przypadkowych uderzeń drobin cieczy, udzielając ciałkom odpowiednich prędkości w coraz to innych kierunkach.” ^[] Stwierdzenie to wyjaśnił na przykładzie człowieka grającego w grę hazardową i analizie hipotezy Nägieli'ego (przedstawiając jej błędy). Należało uwzględnić dwa czynniki: pierwsza, że bezwzględna wartość przyrostu lub ubytku prędkości przy uderzeniu jest zależna

od prędkości drobiny (oznaczonej przez C) oraz druga - liczba uderzeń powodujących zmniejszenie tej prędkości powinny przeważać nad uderzeniami powodującymi jej wzrost. Oba czynniki przeciwdziałają nieograniczonemu zwiększeniu ów prędkości. Zatem z dodatkowej analizy znanych wówczas teorii gazów, autor doszedł do przekonania, że nastąpi wyrównanie się energii kinetycznych kulistych drobin z cząsteczkami cieczy. Zjawisko to wg Boltzmanna i Maxwella jest warunkiem równowagi cieplnej.^[] W ostateczności wynika, że molekuły wieloatomowe zanurzone

w substancji rozpuszczonej w ośrodku będą zachowywały się jak cząsteczki gazu w odpowiedniej temperaturze. Dodatkowo będą się poruszały z bardzo dużą prędkością i nie będzie możliwe zaobserwowanie każdego położenia, lecz średnie. ^[]

„ Środek jej masy będzie zakreślał drogę dziwacznie zygzakowatą, składającą się z kawałków prostych, bezporównania krótszych aniżeli rozmiary cząstki; tylko wówczas, gdy geometryczna suma tych kawałków

z czasem osiągnie pewna wartość, obserwujemy oddalenie się od pozycji początkowej.”

Opisane powyżej stwierdzenia przedstawione zostały w dwóch pierwszych częściach pracy Mariana Smoluchowskiego. Dalsze części przedstawiają dowód rachunkowy, tłumaczący przyczynę istnienia zjawiska chaotycznego ruchu drobin.

Opisywane w dowodzie cząstki miały kształt kulisty. Ich kierunek ruchu zmieniał się, natomiast bezwzględna wartość prędkości oscylowała wokół średniej wartości 0,4cm/s (wyliczonej przez Smoluchowskiego ze wzoru na prędkość cząsteczek rozmaitych gazów, o kształcie kulistym). ^[7] Autor przyjął tą prędkość za stałą. Masa pojedynczej cząstki jest większa od cząstek ośrodka. Należy zaznaczyć,

iż rozważania opierają się na jednowymiarowy problemie stochastycznym. W wyniku zderzeń sprężystych, cząstki odchylają się o stosunkowo mały kąt. Dodatkowo będą starały się utrzymywać pierwotny kierunek, gdyż każda zmiana kierunku prędkości jest bardzo mała.^[] Przedstawione założenia dają początek rozważaniom autora czy stosunek promieni kuli (rozważanej cząstki drobinowej) do długość jej średniej drogi swobodnej jest mały czy duży.^[]

W pierwszej kolejności rozważony został stosunek obu wielkość jako mały, w którym pominął oddziaływanie ruchu kuli na rozkład prędkości cząstek ośrodka. Pojedyncze uderzenia będą stanowić zjawiska niezależne, a zmiana kierunku ruchu będzie odbywać się z jednakowym prawdopodobieństwem. Problem ten Smoluchowski przedstawia w postaci zadania:

Rys 6. Zadanie przedstawiające problem stosunku promienia kuli do drogi swobodnej dla przypadku, gdy jest on mały.

„Dla znalezienia kierunków dróg po sobie następujących wykreślimy jednostkową, a z jej środka O proste równoległo do prostych OP₀,O P₁,OP₂,… przecinające powierzchnię jej w punktach Q₀,Q₁,Q₂,…; kąty XOQ₀, XOQ₁, XOQ₂,….. oznaczymy literami α₀, α₁, α₂….. ; kąty zaś między płaszczyznami XOQ₀ i Q₀OQ₁, XOQ₁ i Q₁OQ₂,…… przez φ₀, φ₁…….” ^[]

Przeprowadzając w ten sposób rozumowanie, wynik otrzymany przez Smoluchowskiego ma postać:

(1)

Wskazuje on, że droga zakreślona przez cząstkę nie zależy od jej masy, tylko do rodzaju ośrodka i częstości uderzeń związanych z jej rozmiarem. ^[]

„Wielka masa będzie miała mniejszą prędkość C, ale za to większą dążność do zachowania kierunku swojego ruchu i te dwa czynniki równoważą się zupełnie.” ^[]

Rozważony został jeszcze zarzut dotyczący stałej prędkości C ruchu drobin. W rzeczywistości prędkość ta będzie wzrastała wskutek przypadkowych uderzeń cząstek ośrodka, albo spaść nawet do zera. Wynik otrzymany w tej części przez autora zmieniłby się, jeśli w przeciągu 1/δ uderzeń drobiny prędkość spadłaby do zera bądź badana cząstka zmieniłaby całkowicie kierunek ruchu. Częstość wystąpienia takiego zjawiska można ocenić korzystając z prawa Maxwella ( prawdopodobieństwo prędkości drobin dzięki ich analogii do prędkości cząstek gazu). Okazuje się, że przypadek taki zdarza się niezwykle rzadko.

A uwzględnienie zmian wielkości C nie powoduje istotnych zmian we wzorach wyprowadzonych przez Smoluchowskiego.

W drugim przypadku promień kuli jest większy w porównaniu do średniej drogi swobodnej. Zderzenia nie będą uważane za przypadkowe, gdyż cząstki ośrodka będą uczestniczyć w pewnym stopniu

w ruchu badanej drobiny. Ruch ten będzie przeciwdziałał nagłym zmianom kierunku. Smoluchowski zaczął

od rozważenia rzuconego ciała z prędkością C do ośrodka, które będzie traciło swoją prędkość w kierunku początkowym. Jednakże zgodnie z równowagą energii kinetycznej ciała i cząstek ośrodka, prędkość C nabywa dodatkowych prędkości przypadkowych normalnych do kierunku ruchu pierwotnego, w taki sposób, że wypadkowa prędkość zostaje niezmieniona. Miarą czasu ruchu w kierunku pierwotnym Smoluchowski określił czas relaksacji.^[] Zatem jaką wartość będzie mieć droga zakreślona przez rozważana drobinę o masie M w czasie jednej sekundy?

Uzyskana odpowiedź to

(2)

Otrzymany wynik był bardzo podobny do tego, co otrzymał Einstein.

„(…) różnica polega jedynie na spółczynniku liczbowym, który u Einsteina jest mniejszy w stosunku
. Einstein nie uwzględnia wcale możliwości przedtem omawianej, t. j. cząsteczek tak małych, że nie podlegają wzorowi Stokesa, ale jego ogólny wzór (II w drugiej pracy p.378)
odpowiada naszemu równaniu, można także dostosować do tego przypadku (…)” ^[]

Różnica pomiędzy współczynnikami liczbowymi w końcowych wzorach obu panów wywodzi się z uproszczonych założeń: np. jednostajnej prędkości C ruchu wzdłuż drogi swobodnej drobin.

W zastosowaniu chodzi tylko o rząd wielkości.

Wyprowadzone wzory dały możliwość teoretycznego przedstawienia ruchów badanych drobin

w cieczy. Ponieważ droga swobodna cząstek w cieczach jest mała i bezpośrednia obserwacja cząstek mniejszych od swojej drogi jest niemożliwa, zatem tylko wzór (2), wyprowadzony przez Smoluchowskiego, mógł opisać zjawisko ruchów Browna ^[]. W tamtych czasach nie był znany mechanizm kinetyczny cieczy tak dobrze jak gazów. Zatem należało wprowadzić założenia wyżej przedstawione: przyjęcie badanej cząstki o masie M za sztywną kulę i pominięcie sił włoskowatości. Prowadziło to do otrzymania lepszych wyników niż te, które spodziewać się można ze względu na nieścisłości teoretyczne i na niepewności doświadczalne. Trwający spór o słuszności założeń atomistycznych odnalazł w pracy polskiego fizyka istotne argumenty, przemawiające na ich korzyść.

Z faktami teorii kinetycznej zgadzały się także wysunięte wnioski teoretyczne:

1. Niezależność ruchu od masy drobin i substancji, w której się znajdują.

2. Wzrost prędkości następuje dla coraz to mniejszych rozmiarów cząstek M. „Według teorji prędkość powinna być odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka z średnicy, podczas gdy liczby podane przez Wienera raczej odpowiadają pierwszej potędze, a dokładniejsze liczby Exnera potędze ¼. Nie można oczekiwać lepszej zgodności, gdyż rzeczywiste rozmiary cząstek tak małych nie są identyczne z rozmiarami ich obrazów w mikroskopie”

3. Temperatura rośnie wraz ze wzrastającą prędkością cząstek. Ze wzoru 2 stosunek prędkości i temperatury wynosi 1:8.

4. Ruch drobin maleje w cieczach lepkich. Powodem jest odwrotna proporcjonalność do współczynnika lepkości we wzorze 2.^[]

Wnioski wysunięte przez autora dały nie tylko wyjaśnienie zjawiska odkrytego przez szwedzkiego botanika, ale także dowód prawdziwości hipotezy molekularno-kinetycznej.

Analizując wcześniejsze hipotezy istnienia chaotycznego ruchu drobin, Smoluchowski napotkał interpretacje zjawiska zaproponowana przez Wienera i Gouy. Przypuszczali oni, że w przestrzeni rzędu 0,001mm³ (obszar elementarny) drobiny są poniekąd wskazówkami ruchów wewnętrznych w cieczy, które odbywają się równolegle. ^[] Przy czym cząsteczki cieczy poruszają się we wszystkich kierunkach.

W swojej pracy autor przedstawił to zjawisko za pomocą ruchu środka masy wszystkich cząsteczek stanowiących element cieczy. Ruch środka masy dowolnej liczby cząsteczek odbywa się w ten sposób,

że energia kinetyczna środka bezwładności jest równa energii pojedynczej cząsteczki. Zatem prędkość środka masy jest taka sama jak prędkość samodzielnej cząsteczki (równa C). Niemożliwość bezpośredniej obserwacji takiego zachowania, spowodowane jest stale zmieniającym się kierunkiem ruchu cząsteczek. Przyczyną są zderzenia obiektów znajdujących się w elemencie cieczy z będącymi poza jej obszarem. Natomiast zderzenia cząsteczek wewnętrznych nie zmienią ruchu środka masy. Jego ruch będzie miał charakter zygzakowaty. ^[]

Fizyk wiele razy odwoływał się do ruchów Browna w swoich dziełach, badając prawidłowości statystyczne, rządzące tym zjawiskiem. Na uwagę zasługuje praca „O fluktuacjach termodynamicznych

i ruchach Browna”, W drugiej części dotyczącej chaotycznego ruchu cząstek swoje rozważania rozpoczął od ruchu środka masy wszystkich cząsteczek. Przyjął założenie, iż cząstki zawiesiny i danej temperaturze zachowują się podobnie jak cząstki drobin. Zatem średnia energia kinetyczna ruchu postępowego środka masy cząstki jest równa średniej energii ruchu, jaką posiada drobina gazowa. Analogia do cząstek gazu wynika z podobieństwa ruchu.^[,]

Prędkość przestawiona jest wzorem:

(3)

gdzie M- masa cząstki ośrodka, m- masa drobiny, C- prędkość cząstki, c- prędkość drobiny, θ - temperatura w skali bezwzględnej, N- liczba Avogadro, H- stała gazowa, występująca we wzorze Clapeyrona

Autor w swoich pracach wielokrotnie podkreślał prawidłowość teorii kinetycznej, która wyjaśnia zjawisko odkryte przez szwedzkiego botanika. Pojęcie prędkości nie ma zastosowania. Chodzi tylko

o przesunięcie, po upływie danego czasu, będące sumą geometryczną drobnych przesunięć we wszystkich kierunkach, dokonanych ze średnią prędkością.

Do ilościowej oceny przesunięcia Smoluchowski rozumuje analogiczne do przykładu drugiego przedstawionego w „XXIX Zarys kinetycznej teorji ruchów Browna i roztworów mętnych”. Kulka sprężysta, poruszająca się z pewna prędkością początkową, w płynie o danym współczynniku lepkości, doznaje oporu proporcjonalnego do prędkości. Opór, pochodzący od zderzeń między cząstkami, powoduje tzw. ruch „drobinowy”. Ze względy na niezmienniczość energii kinetycznej cząstek zgodnie z założeniem, wypadkowa prędkość pozostaje stała, tylko tor drobiny ulega zakrzywieniu.^[] Licząc prawdopodobieństwo przesunięcia autor dochodzi do wniosku, że średnia wartość kwadratu takiego przesunięcia, osiągniętego po dłuższym czasie jest proporcjonalna do czasu.

(4)
(5)

„W obliczeniu powyższem trzeba było zastosować uproszczenia rachunkowe, oddalające się dość znacznie od rzeczywistości, gdyż drogi nie są prostolinijne, a w związku z tem istnienie pewna dowolność w przyjęciu długości czasu τ i t (…). W każdym razie metoda ta daje wyraźny obraz całego zjawiska (…)” ^[]

Z wyrażenia (5) można odczytać cechy charakteryzujące ruchy Browna: jego niezależność od gęstości cząstek poruszających się, zależność od masy i promienia cząstek, czasu, lepkości i temperatury.^[]

Jednak nie daje odpowiedzi na pytanie według jakiego prawidła rozdzielone są odległości, przebyte przez cząstki o jednakowych czasach. Cząstka porusza się w każdym kierunku z jednakowym prawdopodobieństwem. Równie prawdopodobne są za każdym razem dodatnie lub ujemne przyrosty odległości od pozycji początkowej drgającej cząstki. W takim razie z jakim prawdopodobieństwem drgająca cząstka znajdzie się w oczekiwanym punkcie po wykonaniu n kroków? Formułą wyjściową będzie formuła Bernoulliego, która dla wielkich n, na mocy wzoru Sterlinga, prowadzi do wzoru na prawo rozkładu Gaussa. Przyjmując wielkości przesunięć pojedynczych za jednakowo możliwe, pytanie brzmi, jakie jest prawdopodobieństwo, że cząstka znajdzie się po przebyciu n kroków w przedziale prostej leżącym między

x a x+Δx. Krótki rachunek, przedstawiony w pracy Smoluchowskiego, daje prawdopodobieństwo przesunięć w ruchu Browna. ^{[, ]}

(6) lub
(7)

Prawdopodobieństwo jest zależne od współczynnika D, który odgrywa nie tylko rolę skrótu, zastępując wielkości charakteryzujące proces stochastyczny, ale ma znaczenie współczynnika dyfuzji. Zatem związek miedzy średnim kwadratem przesunięcia a współczynnikiem dyfuzji ma postać

(8)

rys.8 Wyprowadzony związek ruchów Browna z teorią dyfuzji

Wyprowadzone równanie dyfuzji (wzór 37 na rys.8) nie będzie opisywało trajektorii pojedynczej cząstki. Smoluchowski bierze pod uwagę pewien dany rozkład cząstek. Równanie dyfuzji będzie przedstawiać zbiorowe uśrednione zachowanie wszystkich cząstek, np. cukru, którym słodzimy herbatę.^[] Rozumowanie, które dała metoda molekularno-kinetyczna ruchów Browna, wymagało pewnych uproszczeń rachunkowych. Pociągało za sobą niepewności, w przeciwieństwie do przedstawionych prac Einsteina. Smoluchowski uważał, że pośrednie metody rozwieją wszelkie wątpliwości. Korzystając

z wyprowadzonej relacji między średnim przesunięciem a współczynnikiem dyfuzji, zajął się obliczeniem ruchów Browna. Potwierdzone doświadczalnie istnienie zjawisk dyfuzyjnych w tego rodzaju emulsjach, Smoluchowski obrał za punkt wyjścia, wiążąc je z prawami ciśnienia osmotycznego (według Einsteina). Autor przyjmuje hipotezę, ze dyfuzję można sprowadzić do działania fikcyjnego ciśnienia osmotycznego. Powoduje przesunięcie cząstek z miejsc o większej koncentracji do miejsc o mniejszej. Otrzymany wynik potwierdza związek średniego przesunięcia a współczynnika dyfuzji. ^[22]

Smoluchowski konsekwentnie rozwijał w dalszych etapach swoje badania nad chaotycznym ruchem drobin. Uzupełnił swą teorie o szczegółowa analizę wpływów, jaki na przebieg procesu będą mięć siły zewnętrzne, tj. siła ciężkości (stała), odpychająca, przyciągająca i sprężystości (restytucyjna).^[] Ostatni przykład okazał się najbardziej instruktywny. Dał blask światła na stosunek atomistyki i termodynamiki. Tutaj także problem dotyczy prawdopodobieństwa cząstki, która w chwili początkowej znajdowała się

w położeniu różnym od równowagi i podlegała sile sprężystości. ^[] Obliczenia przeprowadza się tak jak dla cząstki swobodnej. Należy uwzględnić działanie siły sprężystości, która powoduje przesunięcie współrzędnych cząstki o wielkość proporcjonalną do siły i czasu. Rezultatem, wynikającym z obliczeń Fizyka, jest prawdopodobieństwo osiągnięcia pewnego odchylenia w warunkach panujących w układzie, które będzie zależeć nie tylko od jego wartości, ale także od oddalenia od stanu równowagi. Siła sprężystości objawia się stopniowym zbliżaniem układu do stanu normalnego, jakby ruchów Browna wcale nie było. Odbywa się to pod wpływem siły kierunkowej hamowanej oporem. Powodem jest zmniejszanie się odchylenia. Jednakże dla momentu bliskiego chwili początkowej, przy krótkich czasach, odbywa się ruch brownowski. Po dość długim czasie, wychylenie maleje. Wpływ siły sprężystości słabnie, a odchylenia dodatnie jak i ujemne stają się równo prawdopodobne, jednakże nie będą równe zeru.

Przyjmując początkowy stan za anormalny, odchylenie cząstki jest znacznie większe od średniego odchylenia. Gdy czas będzie dążył do nieskończoności, wpływ anormalnej początkowej pozycji zniknie. Przykład ten daje wynik wyrażający ogólne prawdopodobieństwo fluktuacji. Średnie wychylenie będzie równe:

(9)

Wynik po raz pierwszy utworzył połączenie między mikro- a makrofizyczną interpretacją chaotycznego ruchu cząstek. Układ, będący z początku w stanie anomalnym, porusza się w sposób regularny, określony siłą sprężystości i tarciem. Takie zachowanie obserwuje się w makroświecie zgodnie

z zasadą wzrostu entropii. Od strony mikrofizycznej ten sam układ wykonuje chaotyczne drgania cząstek - ruchy Browna. Wychylenie z położenia równowagi w dodatnim, jak i w ujemnym kierunku przyjętego układu współrzędnych w jednym wymiarze jest tak samo prawdopodobne. Czyli pokazuje prawdopodobieństwo wzrostu lub zmniejszenia się entropii. Układ dążąc do stanu równowagi wychyla się przy tym poza obręb średnich fluktuacji.

Śledząc przez dłuższy czas cząstki można by było zauważyć anormalne duże odchylenia. Wiadomo jednak, że zachodzą one bardzo rzadko. „Smoluchowski widział doniosłe znaczenie tego przykładu w tym,

że mamy tu dający się szczegółowo prześledzić przypadek występowania pozornej nieodwracalności

w procesach, które są zasadniczo odwracalne.” ^[]

Przykład ruchu Browna przy udziale siły sprężystości był czysto teoretyczny. Sprawdzenie doświadczalne stanowiło niebywałą trudność techniczną w tamtych czasach. Istnieje jednak inna możliwość, dająca potwierdzenie słuszności teorii Smoluchowskiego, potwierdzająca jej wnioski ilościowo: obserwacje dotyczące nie tylko wartości samych fluktuacji lecz również ich zmienność w czasie. Są to tzw. „probability after-effects”. ^[]

Prace Smoluchowskiego dały wgląd do zrozumienia teorii ruchów Browna. Przedstawione rozumowania na przykładzie pojedynczej cząstki, zilustrowały lepsze spojrzenie omówionego zjawiska. Tak naprawdę z punktu widzenia zewnętrznego obserwatora, to nie los pojedynczej cząstki, ale zbiorowe losy wszystkich cząstek rozpuszczonych są ważne. Zbiorowe zachowanie można opisać w sposób dość „przyzwoity”. W tym tkwi istota podejścia probabilistycznego.

Zatem przemieszczanie się cząstek ruchem Browna, spowodowane przez fluktuacje termodynamiczne, opisywane jest jako proces losowy. Prace Smoluchowskiego (i Einsteina) stały się fundamentem, na którym oparł się dział matematyki jakim jest rachunek prawdopodobieństwa i teoria procesów stochastycznych.

Dziś wiadomo, że każdy układ znajdujący się w równowadze (każdy nie uśredniony parametr opisujący ten układ) podlega fluktuacjom. Ich występowanie może pociągać za sobą poważne konsekwencje o praktycznym znaczeniu. W szczególności pomiary małych efektów lub sygnałów, które są zakłócone fluktuacjami wewnętrznymi, tzw. szumami. Ich rola nie ogranicza się tylko do zakłóceń, powodując straty przy przesyłaniu energii, ale niekiedy może wywierać wpływ konstruktywny: podtrzymywanie i wzmacnianie sygnałów, które pod nieobecność szumów wygasłyby, czy zrozumienie przebiegu wielu bardzo ważnych reakcji biochemicznych.^[] Powszechność występowania fluktuacji termodynamicznych, a tym samym ruchów Browna, każe nam nauczyć się z nimi żyć.

Ograniczając się w tej pracy tylko do dzieł Smoluchowskiego o podstawowym znaczeniu, pokazano bystrość umysłu i olbrzymie zaangażowanie w szukaniu prawdy. Jego dorobek naukowy jest znacznie bogatszy. Prace poświęcone były nie tylko fizyce, ale i atmosferze Ziemi i planet, z dziedziny aerodynamiki, hydrodynamiki, zjawisku elektroosmozy, czy powstawaniu gór fałdowych.

"Mąż mój sam siebie romantykiem nauki nazywał. Nęciły go problemy zawiłe - stawiał sobie pytania

w każdej dziedzinie - gdyby był mógł - byłby chętnie się zdziesięciokrotnił- i dla każdej osobnej cząstki starczyłoby pomysłów, prac i zagadnień." - żona Mariana Smoluchowskiego, Zofia Baraniecka ^[]

Uważany za najwybitniejszego polskiego fizyka, nigdy nie otrzymał Nagrody Nobla. Może zbyt późno jego prace dotarły do świadomości fizyków.

"...autorytet niezwykły. Dawał świadectwo prawdzie naukowej, a sam usuwał się z tą przemiłą, tak dobrze nam wszystkim znaną skromnością - gdzieś na plan dalszy, tak iż często zatracaliśmy niejako poczucie własności jego pomysłu lub wyjaśnienia: tak przejawiała się w pracy powszedniej zasada bezinteresownego służenia nauce i jego wzniosły entuzjazm."

współpracownicy Mariana Smoluchowskiego ^[]

Literatura

1. Grotowski M. dr, Wener W. dr, Ziemiecki S. dr, Sadziewiczowa M. „Dzieje rozwoju Fizyki

w zarysach. Mechanika ogólna, mechanika nieba i dynamiczne własności materii- ruch falowy

i akustyka- ciepło- teorja kinetyczna gazów” TOM 1, wydanie drugie całkowicie przerobione, Warszawa „Mathesis Polska” 1931,

2. Góra Paweł F. „Sto lat teorii ruchów Browna” gazeta:„FOTON 91” , zima 2005r. Instytut Fizyki UJ;

3. Sowiński Tomasz dr „Tajemnica trzęsącego się pyłku kwiatowego”, czasopismo:„Młody technik”, artykuły ze strony http://www.tomasz-sowinski.pl

4. Loria Stanisław „Marian Smoluchowski i jego dzieło” czasopismo „ Postępy Fizyki” tom IV zeszyt 1, Warszawa 1953r. ;

5. Smoluchowski M. „ XXIX Zarys kinetycznej teorji ruchów Browna i roztworów mętnych”

w „Pisma Mariana Smoluchowskiego” T.1 Kraków 1924r. na stronie http://matwbn.icm.edu.pl

6. Smoluchowski M. „O fluktuacjach termodynamicznych i ruchach Browna”

w „ Prace matematyczno-fizyczne” T.25, Warszawa 1914r. na stronie http://matwbn.icm.edu.pl

7. Chandrasekhar S., Kac M., Smoluchowski R. „Polish men of science Marian Smoluchowski, his Life and Scientific Work” Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1986r.

8. Niemiec Mariusz, „MARIAN SMOLUCHOWSKI - wielki uczony, nauczyciel i humanista”, Uniwersytet Opolski, Opole 2006r.

9. strona: http://www.if.pwr.wroc.pl/kwazar/

S P I S R Y C I N

Rycina 1. Portret Roberta Browna - Góra Paweł F. „Sto lat teorii ruchów Browna” gazeta:„FOTON 91” , zima 2005r. Instytut Fizyki UJ;

Rycina 2. Portret Alberta Einsteina - Góra Paweł F. „Sto lat teorii ruchów Browna” gazeta:„FOTON 91” , zima 2005r. Instytut Fizyki UJ;

Rycina 3. Portret Mariana Smoluchowskiego - Niemiec Mariusz, „MARIAN SMOLUCHOWSKI - wielki uczony, nauczyciel i humanista”, Uniwersytet Opolski, Opole 2006r.

Rycina 4. Strona tytułowa prac Mariana Smoluchowskiego - Niemiec Mariusz,

„MARIAN SMOLUCHOWSKI - wielki uczony, nauczyciel i humanista”, Uniwersytet Opolski, Opole 2006r.

Rycina 5. Tor drobiny w ruchu Browna - Grotowski M. dr, Wener W. dr, Ziemiecki S. dr, Sadziewiczowa M. „Dzieje rozwoju Fizyki w zarysach” T.1, Warszawa 1931r.;

Rycina 6. Zadanie przedstawiające problem stosunku promienia kuli do drogi swobodnej dla przypadku, gdy jest on mały - Smoluchowski M. „ XXIX Zarys kinetycznej teorji ruchów Browna

i roztworów mętnych” w „Pisma Mariana Smoluchowskiego” T.1 Kraków 1924r.

na stronie http://matwbn.icm.edu.pl

Rycina 7. Chaotyczny ruchu drobin i cząstek zawiesiny - strona: http://www.if.pwr.wroc.pl/kwazar/

Rycina 8. Związek ruchów Browna z teorią dyfuzji - Smoluchowski M. „ XXIX Zarys kinetycznej teorji ruchów Browna i roztworów mętnych” w „Pisma Mariana Smoluchowskiego” T.1 Kraków 1924r. na stronie http://matwbn.icm.edu.pl

¹ Grotowski M. dr, Wener W. dr, Ziemiecki S. dr, Sadziewiczowa M. „Dzieje rozwoju Fizyki w zarysach. Mechanika ogólna, mechanika nieba i dynamiczne własności materii- ruch falowy i akustyka- ciepło-teoria kinetyczna gazów” TOM 1, wydanie drugie całkowicie przerobione, Warszawa 1931, str. 392-393

Sowiński Tomasz dr „Tajemnica trzęsącego się pyłku kwiatowego” czasopismo:„Młody technik”, artykuły ze strony http://www.tomasz-sowinski.pl/popular/mlody_technik.php 01.07.2009

Góra Paweł F. „Sto lat teorii ruchów Browna” gazeta „FOTON 91” , zima 2005 Instytut Fizyki UJ, str. 13

Ibid, str. 12

Ibid, str. 14

Loria Stanisław „Marian Smoluchowski i jego dzieło” czasopismo „ Postępy Fizyki” tom IV zeszyt 1, Warszawa 1953r., str. 19

Góra Paweł F. „Sto lat teorii ruchów Browna”, str. 14

Ibid.

Cyt. za: Smoluchowski M. „ XXIX Zarys kinetycznej teorji ruchów Browna i roztworów mętnych” w „Pisma Mariana Smoluchowskiego” tom 1 Kraków 1924 r. str. 490-491, http://matwbn.icm.edu.pl/tresc.php?wyd=4&tom=1, 01.07.2009

Ibid.

Cyt. za: Smoluchowski M. „ XXIX Zarys kinetycznej teorji ruchów Browna i roztworów mętnych”, str.495

Cyt. za: Ibid.

Smoluchowski M., op.cit., str. 497

Smoluchowski M., op.cit., str. 495-498

Smoluchowski M., op.cit., str. 499-500

Autor opiera się na teorii kinetycznej gazów, porównując ją z wynikami doświadczalnymi.

Cyt. za: Smoluchowski M. „ XXIX Zarys kinetycznej teorji ruchów Browna i roztworów mętnych”, str. 500

Ibid., str. 500-503

Cyt. za: Ibid., str. 503

Ibid., str. 504-506

Cyt. za. Smoluchowski M. „ XXIX Zarys kinetycznej teorji ruchów Browna i roztworów mętnych”, str. 506

Ibid., str. 509

Ibid., str. 509-510

Ibid., str. 513

Ibid., str.510-513

Smoluchowski M. „O fluktuacjach termodynamicznych i ruchach Browna” w „ Prace matematyczno-fizyczne” T.25 Warszawa 1914r. str. 215-218 , http://matwbn.icm.edu.pl/tresc.php?wyd=3&tom=25&jez=pl , 01.07.2009

W obu przypadkach składa się z szeregu „dróg swobodnych” po których drobina porusza się bez zmiany kierunku

Smoluchowski M., op.cit., str. 216-217

Cyt.za: Ibid.str. 218

Grotowski M. dr, Sadziewiczowa M., Werner W. dr, Ziemecki S. dr „Dzieje rozwoju fizyki w zarysach. Mechanika ogólna, mechanika nieba i dynamiczne własności materii- ruch falowy i akustyka- ciepło-teoria kinetyczna gazów””, str. 396

Loria Stanisław „Marian Smoluchowski i jego dzieło”, str. 19

Chandrasekhar S., Kac M., Smoluchowski R. „Polish men of science Marian Smoluchowski, his Life and Scientific Work” Państwowe Wydawnictwo Naukowe , Warszawa 1986, str 50-52

Góra Paweł F. „Sto lat teorii ruchów Browna”, str. 15

Loria Stanisław, „Marian Smoluchowski i jego dzieło, str. 23

Cząstki poruszają się we wszystkich kierunkach, lecz we wszystkich obliczeniach wykorzystywany jest rzut trójwymiarowego ruchu cząstek.

Loria Stanisław „Marian Smoluchowski i jego dzieło”, str. 24-25

Dokładny opis: Ibid. str. 26-38

Góra Paweł F. „Sto lat teorii ruchów Browna”, str. 16

Z listu Smoluchowskiej Z. do Goetla W., Niemiec Mariusz, „MARIAN SMOLUCHOWSKI -wielki uczony, nauczyciel

i humanista”, Uniwersytet Opolski, Opole 5.10.2006

Cyt. za: , Niemiec Mariusz, op.cit.

12

---