trajektoriami. Dyssypatywny charakter układu przejawia się natomiast w istnieniu
7.Elementy teorii chaosu deterministycznego różnego typu a traktorów, do których zdążają, trajektorie opisujące .ewolucję układu w
czasie. Istotne jest, że chaos deterministyczny może wystąpić w układach obu typów,
Str 265- 271
choć musi on być inaczej opisany.
7.1 ____________________________________
Znanym układem zachowawczym, w którym przejawia, się chaos deterministyczny, jest
układ trzech ciał [A 1.5]. Trajektorie fazowe ich ruchu, opisywanego równaniami
Istota chaosu deterministycznego.
klasycznej dynamiki, wykazują powyżej pewnej krytycznej wartości całkowitej energii
Chaos w układach zachowawczych i dyssypatywnych
układu przebieg chaotyczny, co opisał H. Poincare. Nieprzewidywalność zachowania
zespołu trzech ciał jest znakomitym dowodem na to, że chaos deterministyczny
W poprzednich rozdziałach zostały omówione przykłady oscylatorów, których
może wystąpić już w stosunkowo prostych układach o niewielu stopniach swobody, co
dynamiczne zachowanie było chaotyczne, tzn. wykazujące niemożliwą do przewidzenia
ma istotne znaczenie praktyczne, np. w zagadnieniu stabilności trajektorii planet w
i zarazem niepowtarzalną nieregularność Zjawiska takie mogą być przejawem
Układzie Słonecznym. Omówiony tutaj układ zachowawczy klasyfikuje się tradycyjnie jako
chaosu deterministycznego, czyli zachowania praktycznie nieprzewidywalnego, w którym
należący do układów klasycznych  w odróżnieniu od kwantowych. Istnienie chaosu
jednak można dopatrywać się pewnego złożonego, ukrytego porządku, niezwykle co
deterministycznego w układach kwantowych jest obecnie przedmiotem intensywnych
bardzo ważne  wrażliwego na warunki początkowe ewolucji układu. Matematycznym
badań, o czym będzie jeszcze mowa. Bardziej istotny jest jednak opis chaosu w układach
obrazem chaosu deterministycznego jest takie właśnie zachowanie rozwiązań
dyssypatywnych[ B7.321. Jednym z najprostszych takich układów jest tłumione wahadło
(trajektorii) ściśle deterministycznych (czyli nie zawierających żadnych elementów
napędzane sinusoidalnie zmienna siłą [A3.l, A3.16]. Powyżej pewnej krytycznej wartości
prawdopodobieństwa) równań opisujących dynamikę zachowania układu.
amplitudy siły wymuszającej ruch wahadła zależność kąta wychylenia wahadła z
Intensywne prace nad chaosem deterministycznym liczą sobie niewiele ponad
położenia równowagi od czasu staje się nieprzewidywalna, choć przecież  w
dwadzieścia lat  ale jest to już uznana dyscyplina naukowa [A3.1-A3.17, B7.1-
istocie  nie losowa. Chaotyczny może być także przebieg opisanego w p. 2.1.1 zjawiska
B7.32]. Pojecie chaosu deterministycznego jest bowiem niezmiernie ważne dla
Benarda, polegającego na tworzeniu zespołów regularnych wirów (komórek)
zrozumienia wielu zjawisk przyrody nieożywionej i ożywionej, które tylko wydają się
konwekcyjnych w ogrzewanej cieczy. Dla odpowiednio dużej różnicy temperatur
całkowicie chaotyczne, a wiec podporządkowane wyłącznie prawom statystycznym.
między dolną i górną powierzchnią cieczy może pojawić się chaos, polegający na
Ponadto wśród teoretyków chaosu pojawia się pogląd, że prawie wszystkie układy
zniesieniu owej regularności w obrazie zjawiska Benarda. O uproszczonym opisie tego
dynamiczne wykazują zachowanie chaotyczne dla odpowiedniego zespołu parametrów
zjawiska będzie jeszcze mowa w następnych rozdziałach. Wreszcie, z
ródłami struktur dys-
stanu, a wiec teoria chaosu nie dotyczy zachowań wyjątkowych. Przeciwnie, z takiego
sypatywnych są, jak wiadomo z poprzednich rozważań, wszystkie układy, w których
punktu widzenia, to układy wykazujące jedynie regularną dynamik? mogą stanowić
przebiegają chemiczne reakcje oscylacyjne. Przykłady ich chaotycznego przebiegu zostały
wyjątki. Inna sprawa, że uchwycenie parametrów odpowiadających chaotycznemu
opisane w rozdz. 3 (układy modelowe), 4 i 6 (układy rzeczywiste).
zachowaniu może me być proste i dotyczyć bardzo wąskiego ich zakresu. Przed
7.2 _____________________________________________________________________
przystąpieniem do dalszego opisu chaosu deterministycznego warto dokonać
podziału rozważanych układów na dyssypatywne i zachowawcze (czyli
Przegląd dróg do chaosu w układach dyssypatywnych
konserwatywne, zwane są także hamiltonowskimi, ponieważ ich ewolucję opisują
Nie ulega wątpliwości, że zachowanie chaotyczne jest bardzo złożone. Okazuje się jednak,
klasyczne równania ruchu Hamiltona . O podziale tym była już mowa w p. 3.3, gdzie
że można zaproponować stosunkowo niewiele sposobów (scenariuszy) [A3.1, B7.1, B7.32]
model Lotki-Volterry byt zaklasyfikowany jako konserwatywny, w przeciwieństwie do pojawiania się chaosu deterministycznego w układach zachowujących się uprzednio w
pozostałych, typowo dyssypatywnych modeli (np. modelu Lotki, Brukselatora czy sposób uporządkowany (periodyczny). Najważniejsze są następujące trzy drogi do chaosu
Oregonatora). Nie wdając się tutaj w szczegółowe rozważania, można powiedzieć 1. Scenariusz Ruelle'a-Takensa-Newhouse'a (RTN).
W uporządkowanym zachowaniu układu pojawiają się kolejne bifurkacje Hopfa,
jedynie, że praktycznym przejawem zachowawczego charakteru układu jest nieistnienie
polegające w najprostszym przypadku (jak wiadomo np. z p. 3.4) na przejściu od atraktora
jakichkolwiek atraktorów (a więc pojedynczych stabilnych stanów stacjonarnych,
punktowego do atraktora cyklicznego- stabilnego cyklu granicznego. Można wykazać,
stabilnych cykli granicznych itp.), do których mogłyby zdążać trajektorie w przestrzeni
że już po trzech takich bifurkacjach istnieje duże prawdopodobieństwo pojawienia się
fazowej. Taka właśnie sytuacja miała miejsce w przypadku modelu Lotki-Volterry,
generującego niegasnące oscylacje, opisywane cyklicznymi, lecz niestabilnymi
szczególnego, jakościowo nowego tworu odpowiedzialnego za istnienie chaosu proporcjonalnym do tzw. liczby Rayleigha (proporcjonalnej z kolei do różnicy temperatur "T,
deterministycznego, tzw. dziwnego atraktora, który dokładniej zostanie omówiony niżej. p. 2.1.1), zaś parametr b zdefiniowany jest relacją 4 2/( 2 +k2), gdzie k jest liczbą określającą
2. Scenariusz Feigenbauma. Zmiana wartości parametru kontrolnego powoduje (o czym stosunek pionowego (h) do poziomego (h/k) rozmiaru komórki konwekcyjnej.
wspominano już kilkakrotnie w poprzednich rozdziałach) wystąpienie kolejnych bifurkacji,
polegających na podwajaniu się okresu regularnych oscylacji. Jest to tzw. kaskada W swojej fundamentalnej pracy Deterministic Nonperiodic Flow, opublikowanej w 1962 r. w
bifurkacji Feigenbauma. Powyżej pewnej krytycznej wartości owego parametru bifurkacje czasopiśmie Journal of Atmospheric Sciences [B7.4], E. N. Lorenz wykazał, że dla pewnych
te narastają lawinowo, prowadząc do chaosu. Zagadnienia te będą szerzej omawiane w p. 7.6. wartości parametrów (np. � = 10, b = 8/3 i r = 28) przebieg rozwiązań .x(t), y (t) i z(t) jest
3. Scenariusz Pomeau-Manneville'a (PM). Polega on na pojawieniu się intermitencji, tj. niezwykle czuły na drobną nawet zmianę ich wartości początkowych. Odkrycie tego
losowo występujących i narastających zakłóceń w zachowaniu periodycznym, co zjawiska związane było z istotnymi i nieoczekiwanymi trudnościami obliczeniowymi.
prowadzi do chaosu. Próbując przewidzieć modelową pogodę, np. z dwutygodniowym wyprzedzeniem,
Dla danego procesu może wystąpić więcej niż jeden scenariusz, np. kaskada Feigenbauma wprowadzano aktualne wyjściowe dane atmosferyczne (x0, y0 i z0) i otrzymywano pewne
może doprowadzić do chaosu, którego charakterystyka ukazuje intermitencje w miarę wyniki (prognozę pogody). W kilka dni póz
niej powtarzano obliczenia, wprowadzając
dalszych zmian parametru kontrolnego. Możliwe są też inne, rzadziej spotykane odpowiadające tym dniom dane początkowe. Oczekiwano zbliżonego wyniku końcowego
scenariusze, jak np. kryzysy, tj. nagłe jakościowe zmiany chaotycznej dynamiki układu symulacji, a tymczasem otrzymywano zupełnie odmienne rezultaty (rys. 7.1) [A3.11]! Co
wynikające ze  zderzeń" między dziwnym atraktorem i współistniejącymi z nim więcej, wprowadzanie praktycznie tych samych danych początkowych, z różną dokładno-
niestabilnymi stanami stacjonarnymi [A3.1]. Dla chemików ważne jest to, iż wszystkie te ścią na dalekich miejscach po przecinku, prowadziło także do zupełnie różnych wyników.
scenariusze osiągania chaosu znaleziono w przebiegu rzeczywistych reakcji oscylacyjnych. Okazało się, że ta nieprzewidywalność ma swoje przyczyny nie w błędach programu, ale
w uzyskiwanym, ze skończoną dokładnością obliczeń, numerycznym zachowaniu
7.3______________________________________________________________________
rozwiązań układu Lorenza, wykazującym zdeterminowany przez te równania chaos, czyli
chaos deterministyczny. Zapewne pojawienie się owego chaosu w układzie Benarda-
Odkrycie dziwnych atraktorów. Zjawiska Benarda i atraktor Lorenza
Lorenza w pewnym stopniu tłumaczy znany nam dobrze fakt, iż prognozy pogody nie
należą do najlepiej sprawdzających się.
Pojęcie dziwnego atraktora jest jedną z najważniejszych koncepcji związanych z
Rys. 7.1
przejawami chaosu deterministycznego w układach fizykochemicznych, której historia
Przykładowy przebieg rozwiązań
wiąże się z pochodzącymi z lat 60. naszego wieku próbami
układu Lorenza (7.3.1) w czasie dla
komputerowego prognozowania pogody prowadzonymi przez Edwarda N. Lorenza.
dwóch nieznacznie różniących się
Zasadniczym elementem takiego numerycznego modelu jest opis stanu atmosfery
wartości początkowych, ilustrujący
ziemskiej przez układ równań różniczkowych, opisujących ruchy konwekcyjne powietrzu
zasadę powstawania chaosu
deterministycznego [A3. II); oś
pod wpływem różnic temperatur. Najprostszy model takich procesów to tzw. układ
odciętych  czas, oś rzędnych 
Lorenza, który stanowi uproszczony układ równań Benarda opisujący konwekcje cieczy
zmienna y układu (7.3.1)
miedzy płytkami o różnicy temperatur "T, (p. 2.1.1) :
v jest proporcjonalne do szybkości cyrkulującej
między poziomymi płytkami cieczy, y
charakteryzuje różnicę temperatur między
wznoszącymi się i opadającymi strumieniami
Uogólniając dotychczasowe rozważania można stwierdzić, że eksperymentalne
cieczy, z jest proporcjonalne do wielkości od-
obserwacje chaosu oraz próby modelowania takiego zachowania wykazały, iż istnieje
chylenia pionowego profilu temperatury od
klasa zjawisk przyrodniczych, których nie można opisać dotychczas istniejącymi modelami
wartości równowagowej, bezwymiarowy
matematycznymi. W szczególności rozszerzeniu musiało ulec dotychczasowe pojęcie
parametr 5 jest tzw. liczba Prandtla21,( określa
stosunek szybkości cząsteczkowego przenoszenia pędu atraktora. Pozostanie przy jego koncepcji  jako stabilnego stanu, czy zespołu stanów,
w cieczy do szybkości przewodzenia w niej energii na
charakteryzującego się pewnym uporządkowaniem zachowania układu  uniemożliwia
sposób ciepła, tak wiec <5 = V/K, gdzie v  lepkość
jakiekolwiek przewidywania teoretyczne rozwoju sytuacji w układach, w których może
kinematyczna. K  przewodnictwo cieplne cieczy). r jest
przejawić się chaos deterministyczny.
również bezwymiarowym parametrem,
pewnym momencie małą krople roztworu dowolnego barwnika. Wyrabianie ciasta polega
Dziwny atraktor Lorenza
na rozciąganiu i ugniataniu nakładanych na siebie warstw, co powoduje powstawanie
Aby wprowadzić pojęcie dziwnego atraktora, należy rozważyć przebieg rozwiązań
fałd. Razem z rozciąganymi i fałdowanymi partiami ciasta wędrują cząsteczki barwnika,
układu Lorenza w postaci trajektorii w przestrzeni fazowej (x, y, z) dla takich wartości
przy czym  co ważne  drogi poszczególnych jego cząsteczek stopniowo coraz bardziej
parametrów, które zapewniają ich  chaotyczny" charakter. Taką typową trajektorię
się rozchodzą. Barwne pasemka rozchodzą się w całej objętości ciasta. To tak, jakby małe
dla trzech etapów ewolucji czasowej w postaci rzutu na płaszczyznę xy ilustruje rys. 7.2.
różnice stanów początkowych cząsteczek ulegały wzmocnieniu do poziomu zjawisk
Pouczające jest obserwowanie rozwoju trajektorii układu Lorenza na bieżąco, w trakcie
makro. W toku dalszego ugniatania oddalone cząsteczki mogą znów się do siebie zbliżyć,
symulacji. Lepiej niż powyższe statyczne rysunki uwidacznia to jej następujące
a potem znowu rozejść, ale nigdy ich sytuacja nie powtórzy się.
własności: 1) dążenie do ograniczonego obszaru przestrzeni fazowej i pozostawanie w
Tak więc ogólnie dziwny atraktor oznacza skomplikowana i czują na warunki
nim (a - więc tworzenie arraktora); 2) błądzący charakter ruchu po takiej trajektorii, tzn.
początkowe trajektorię rozwijającą się w przestrzeni fazowej o wymiarze większym
zakreślanie pętli w prawo, potem kilku pętli w lewo i znów w prawo, na przykład
od 2. Podlegające jej zachowanie układu ;ma charakter chaosu deterministycznego. Choć
dwukrotnie, po czym raz w lewo itd.; 3) wrażliwość trajektorii na nawet minimalne
przebieg rozwiązań układu Lorenza (7.3.1) jest istotnie nieprzewidywalny, to jednak nie
zmiany warunków początkowych, co w pewnym stopniu
jest on  ściśle rzecz biorąc  losowy, jako że wyjściowy układ równań (7.3.1) nie
zawierał żadnych członów związanych z prawdopodobieństwem (stochastycznych). Jest
to zespół ściśle deterministycznych wyrażeń. Rozwiązanie tego układu równań dla
danego zestawu parametrów to także nie zespół, ale pojedyncza trajektoria fazowa, która
powinna z upływem czasu przejść przez każdy punkt atraktora.
Chaos a fluktuacje
Przedstawiając taki obraz powstawania chaosu deterministycznego, należy skomentować
istotną różnice w chaotycznym zachowaniu modelu matematycznego i realnego układu.
O ile bowiem modelowanie matematyczne pozwala na powtarzalne generowanie
przebiegu takich wrażliwych  chaotycznych" trajektorii, o tyle pojawienie się dziwnego
atraktora w realnym układzie fizykochemicznym może być z
ródłem dodatkowych
komplikacji. Układy rzeczywiste bowiem nieustannie  szumią", tj. parametry stanu ich
cząstek ulegają ciągłym fluktuacjom, co wobec niezwykłej czułości przebiegu trajektorii
dziwnego atraktora na wybór warunków początkowych może oznaczać niekontrolowane
osiąganie przez układ zupełnie różnych stanów, nawet mimo starań o zachowanie stałych
warunków początkowych (które notabene  nigdy nie są idealnie powtarzalne). Można
powiedzieć, że dziwne atraktory działają wtedy jako swoiste wzmacniacze
mikroskopowych fluktuacji do poziomu makroskopowego. W rezultacie miedzy
przeszłością a przyszłością układu może przestać istnieć jakikolwiek uchwytny związek
przyczynowo-skutkowy. Wzmocnienie fluktuacji dobrze ilustruje zabawne pytanie
sformułowane przez samego Lorenza:  Czy trzepot skrzydeł motyla w Brazylii wywoła
tornado w Teksasie?" Problem ten znany jest w literaturze przedmiotu jako  efekt
motyla" [A3.11]. Taki obraz wpływu fluktuacji( lub ogólniej losowego szumu) komplikujący
zachowanie układu, podporządkowane dziwnemu atraktorowi, jest zapewne intuicyjnie
zrozumiały. Wydaje się jednak, że nie jest on jedynym możliwym. W p. 7.8 zostanie
odpowiada opisanym wyżej kłopotom z ustaleniem właściwej prognozy pogody (ta
omówiony przypadek, w którym - jak przynajmniej sugerują modelowe rozważania - w
szczególna wrażliwość nadaje atraktorowi dziwny charakter). Słowem jest to dziwny
pewnych sytuacjach szum może wywierać działanie paradoksalne, tj. porządkujące chaos
atraktor Lorenza. Warto przytoczyć prostą analogię sposobu tworzenia podobnej
(w literaturze anglojęzycznej efekt ten nosi nazwę noise--induced order).
trajektorii [B7.3]. Można wyobrazić sobie, iże wyrabiając ciasto dodajemy do niego w
Na zakończenie tego rozdziału warto przypomnieć to, co sygnalizowano we wstępie do
7.7.1______________________________________
rozważań o chaosie  że nie każde chaotyczne zachowanie wynika z istnienia dziwnego
atraktora. W układach niedyssypatywnych,' takich jak klasyczne (hamiltonowskie) układy
Wykładnik Lapunowa. Chaos i hiperchaos
dynamiczne, chaotyczny przebieg trajektorii fazowych nie jest związany z istnieniem i
przyciągającym działaniem takiego obiektu.
Charakterystyczną cechą chaosu deterministycznego (wynikającą z konstrukcji
dziwnych atraktorów) jest, jak wielokrotnie wspominano wyżej, bardzo silne
Str 290 -298
rozbieganie się trajektorii opisujących ewolucję układu w czasie, nawet dla bardzo
zbliżonych stanów początkowych .układu. Matematycznie można określić tę
rozbieżność jako wykładniczą, tzn. dającą się opisać zależnością proporcjonalną do
7.7_______________________________________
członu exp(), gdzie wielkość  decyduje o stopniu rozbiegania się owych
Miary chaosu deterministycznego
trajektorii. Można powiedzieć, że wielkość  już oddaje sens wykładnika Lapunowa.
Będzie z nim tożsama, zgodnie z definicją wynikającą z przeprowadzonego poniżej
rozumowania praw dziwnego dla zbioru dyskretnych (nieciągłych) wartości x,
Żeby stwierdzić, czy konkretne zachowanie układu jest przejawem chaosu
oznaczających wyniki pomiaru pewnej wielkości eksperymentalnej (np. stężenia
deterministycznego, należy sformułować możliwie pewne jakościowe i ilościowe kryteria
jego istnienia, odnoszące się zarówno do modeli teoretycznych, jak i do wyników wybranej substancji)9'.
pomiarów dla różnych układów rzeczywistych. Teoretyczna analiza układów równań
Należy rozważyć pewną trajektorię zmian wielkości x w czasie i należące do niej dwa
różniczkowych lub zależności iteracyjnych pod kątem badania istnienia dziwnego
stany początkowe, oznaczone jako x0 oraz x0 + e (e > 0). Niech ewolucja stanu układu
atraktora nie jest prosta, ponieważ nie ma jak dotąd twierdzeń gwarantujących jego
prowadząca do kolejnych wartości x (x1, x2, ... itd.) odbywa się krok po kroku zgodnie z
istnienie. W związku z tym uznanie trajektorii układu Lorenza lub Rósslera za
zależnością iteracyjną
dziwny atraktor też nie jest ściśle uzasadnione. Obrazowo mówiąc, przypisuje się im
właściwości atraktorowe, ponieważ nie znaleziono dotychczas żadnej sąsiadującej z nimi
trajektorii, która nie byłaby przez nie ściągana. Tak więc tylko numeryczne rozwiązanie
takiego zagadnienia (czyli tzw eksperyment numeryczny) i jego analiza pozwala na
uznanie konkretnego zachowania za przejaw chaosu deterministycznego. Jak już
wspomniano przy omawianiu chaosu w reakcji Biełousowa-Żabotyńskiego (p. 4.1), można
wskazać dwa najważniejsze problemy w takiej analizie: 1) ustalenie, czy obserwowana
aperiodyczność jest istotnie obrazem chaosu deterministycznego, a więc pewnej
złożonej, ale wewnętrznej, kinetycznej charakterystyki układu, czy odpowiedzią układu
na zewnętrzne, istotnie przypadkowe (losowe), a więc chaotyczne w klasycznym
rozumieniu, zmiany stanu otoczenia, 2) udowodnienie, że ewentualnie zaobserwowany
chaos deterministyczny nie jest w istocie złożonym zachowaniem periodycznym, ale o
Jeśli równania (7.7.1) lub (7.7.2) opisują ewolucję układu po trajektorii należącej do
bardzo długim okresie. Wniosek o wykryciu chaosu może wtedy wyniknąć ze zbyt
dziwnego atraktora, to różnica � miedzy początkowymi wartościami x ulegnie
krótkiego czasu pomiaru, krótszego od długości pojedynczego okresu. Można
zwiększeniu, co widać na rys. 7.21. A zatem, wykładnicza rozbieżność trajektorii
sformułować dynamiczne i statyczne kryteria kwalifikacji obserwowanych zjawisk jako
przejawów chaosu deterministycznego [A3.1, A3.12, B7.32, B7 15, B7 16]. Są to, odpo- przejawia się w tym, że po N przekształceniach początkowa różnica e między
wiednio: wykładnik Lapunowa, będący ilościową miarą rozbiegania się trajektorii dla wartościami x osiąga następującą wartość [A3.1]:
początkowo niewiele różniących się stanów początkowych oraz wymiar Hausdorffa
(a także inne Koncepcje wymiaru), wskazujące na fraktalną naturę dziwnego atraktora.
 >0 oznacza trajektorie odpowiedzialną za generowanie chaosu deterministycznego
(dziwny atraktor)  = O -trajektorię stanowiącą cykl graniczny, a  < O  trajektorię
dążącą do stabilnego stanu stacjonarnego.
Powyższe rozważania trzeba uogólnić na układy wielowymiarowe. Układ
charakteryzuje się bowiem liczbą wykładników Lapunowa równą jego wymiarowi
(czyli liczbie równań różniczkowych opisujących dynamikę układu). W przypadku
opisanego wyżej układu Lorenza (czy zespołu przemian chemicznych z trzema
-
formami przejściowymi) otrzymuje się trzy wykładniki Lapunowa (dla trajektorii A , y, z).
O wystąpieniu chaosu deterministycznego świadczy już to, że przynajmniej jeden z
nich jest dodatni, czyli to, że  widmo" znaków wykładników Lapunowa wygląda
następująco: ( + ,0, -). Zestawienie związków między znakami Xx, Ar. Az a istnieniem
odpowiednich atraktorów podaje tabl. 7.1. Jeśli dodatnią wartość wykazuje więcej niż
jeden wykładnik Lapunowa, to obserwowane dynamiczne zachowanie określa się jako
hiperchaos [B7.32J. Odpowiadający mu dziwny atraktor rozwija się w odpowiednio
wielowymiarowej przestrzeni fazowej. Należy jednak pamiętać, że dla opisywanych
tu układów dynamicznych suma wszystkich wykładników Lapunowa powinna być
ujemna (" i < 0) [A3.I8].
tablica 7.1 ZESTAWIENIE RELACJI MI
DZY ZNAKAMI WYKA
ADNIKÓW LAPUNOWA ( x ,  y ,
 z) A CHARAKTEREM TRAJEKTORII W TRÓJWYMIAROWEJ PRZESTRZENI FAZOWEJ (x, y, z)
Charakter trajektorii  typ atraktora Zestawienie znaków (A,, A,, A.)
Punktowy (  ,  ,  )
Cykl graniczny (O, -, -)
Quasi-peńodyczny (torus) (0,0,  )
Chaotyczny (dziwny atraktor) ( + ,0, )
Korzystając z reguł różniczkowania funkcji złożonej10), równanie (7.7.5) Jeśli opisaną wyżej koncepcję wykładnika Lapunowa zastosuje się do badania
można zapisać w innej równoważnej(a niejednokrotnie bardziej praktycznej) chaosu w iteracjach odwzorowania logistycznego (p. 7.6), to otrzymuje się zależność /.
postaci, operującej tylko pochodnymi pierwszego rzędu dla kolejnych wartości x1 od parametru odwzorowania logistycznego a przedstawioną na rys. 7.22. Zestawienie
tego przebiegu z mapą bifurkacji z rys. 7.15, dla tego samego przedziału wartości
parametru a, dobitnie ukazuje opisane wyżej przejścia między porządkiem a chaosem w
procesie iteracji odwzorowania logistycznego [A3.1]. Dotychczasowe rozważania
dotyczyły idealnych, teoretycznych przebiegów trajektorii w przestrzeniach fazowych.
Z równania (7.7.6) można wywnioskować, iż między charakterem trajektorii a
Istnienie czysto losowego szumu w zachowaniu układu może niestety w praktyce
wartością wykładnika Lapunowa istnieją następujące zależności (ograniczone
prowadzić do otrzymania dodatniej wartości Amax11), a zatem wyciągnięcia
tymczasem do jednej współrzędnej x) :
wniosku o istnieniu chaosu deterministycznego, nawet jeżeli analizowany ruch jest
-----------------------------_______________________________
w istocie periodyczny lub quasi-periodyczny. Przy interpretacji wartości Amax
---------------------------------------
11) Należy tu znowu wspomnieć o pozornie paradoksalnym efekcie nasilania porządku przez
oddziaływanie losowego szumu na niektóre układy chaotyczne, np. modelowy układ Bielousowa-
Żabotyńskiego (p. 7.8).
łacińskiego słowa fractus (złamany). Fraktalami nazywane są więc dosłownie obiekty o
,,złamanym wymiarze", który często bywa ułamkowy. W dalszych rozważaniach
będzie mowa o atraktorach opisywanych przez modele ciągłe (równania różniczkowe)
i dyskretne (odwzorowania).
Atraktory opisywane układami równań różniczkowych
Warto powrócić do rozważań o dziwnym atraktorze Lorenza. O tym, że powinien on
mieć wymiar ułamkowy, świadczy analiza jego własności dla czasu dążącego do
nieskończoności, tj. gdy tworzy się tzw. graniczny zbiór punktów danej trajektorii. Okazuje
się, że objętość takiego granicznego zbioru (atrakto-ra) powinna wtedy dążyć do zera. W
przypadku atraktora regularnego np. stabilnego stanu stacjonarnego (punktu  wymiar
0) lub cyklu granicznego na płaszczyz
nie (wymiar 2) warunek ten jest oczywiście spełniony.
W przypadku atraktora dziwnego, który przedstawiany był np. w trójwymiarowej
przestrzeni (x, y, z), problem objętości granicznego atraktora nieco się komplikuje. Jego
wymiar nie może być równy 3, bo oznaczałoby to niezerową jego objętość dla czasu
dążącego do nieskończoności. Nie może to być również wymiar równy zeru (jak dla
punktu), jedności (prosta) lub dwóm (płaszczyzna). Wykluczałoby to, na mocy
odpowiednich twierdzeń, dziwny charakter takiego atraktora. Przypisanie więc dziwnemu
atraktorowi wymiaru większego od 2, ale ułamkowego (potwierdzonego rozważaniami o
geometrii takiego obiektu), pozwala na spełnienie warunku o zerowej objętości
granicznego atraktora. Przykładowo, wymiar fraktalny opisanego wyżej atraktora
Lorenza wynosi 2,06. Jak jednak zdefiniować taki niecałkowity wymiar? Pod pojęciem
wymiaru fraktalnego rozumie się zwykle tzw. wymiar HausdorffaI2) [A3.1, A3.16], określony
przez następujące rozumowanie. Zakłada się, że obiekt, którego wymiar (w ujęciu
Hausdorffa) chce się określić, ma wymiar topologiczny równy dT. Należy rozważyć, ile
potrzeba (dT-wymiarowych kul13) o promieniu r, aby pokryć (wypełnić) cały badany obiekt.
Jeśli ich liczbę oznaczy się przez N(r), to wymiar Hausdorffa dH określony jest
wyrażeniem
7.7.2_______________________________________Fraktalna natura
dziwnych atraktorów. Rozszerzone pojęcie wymiaru
A
atwo również zauważyć, że w przypadku tak  porządnych" obiektów jak punkt,
Jak wspomniano na początku tego rozdziału, wszystkie znane dziwne atraktory mają
prosta (lub gładka krzywa) czy kwadrat, wymiar fraktalny jest zgodny z wymiarem
strukturę fraktalną [A3.1, A3.6-A3.il, B7.17]. Czym jest fraktal ? Aby odpowiedzieć na to
topologicznym: dH = dT (odpowiednio dla wymienionych obiektów: O, 1,2). Warto
pytanie, należy zdać sobie sprawę z tego, że zarówno dziwne atraktory, jak i inne obiekty,
rozważyć jednak obiekt zwany krzywą Kocha.
wykazują strukturę, do opisu której znane ze szkoły klasyczne pojęcie wymiaru,
----------------------------
2)
wywodzące się z prac Euklidesa (tzw. wymiar topologiczny), okazuje się niewystarczające.
Ściślej biorąc, wymiar Hausdorffa przedstawiony tu będzie w szczególnej postaci, zbieżnej z
Takie proste obiekty jak odcinki, gładkie krzywe, prostokąty, okręgi itp. nie opisują pojęciem tzw. wymiaru pojemnościowego wprowadzonego przez Komiogorowa. Tożsamość
między tymi dwoma wymiarami jest spełniona przynajmniej dla większości trajektorii układów
dokładnie kształtu drzew, płatków śniegu, łańcuchów górskich czy wybrzeży morskich, lecz
dynamicznych.
znacznie je idealizują. A te ostatnie to właśnie są typowe obiekty fraktalne. Termin
13)
W przypadku, gdy dT = 1, kula staje się odcinkiem, a gdy dT = 2  kwadratem. Gdy dT >
 fraktal", stworzony przez ich odkrywcę  Benoit Mandelbrota [A3.10], nawiązuje do
3, równoważne są rozważania dla kuli i sześcianu.
 makroskopową". Zatem jest to istotnie obiekt samopodobny, a więc należący do
Krzywa Kocha jako typowy obiekt fraktalny
fraktali.
Krzywą Kocha konstruuje się następująco:
Wracając do konstrukcji krzywej Kocha należy zauważyć, że z rysunków powyższych
1. obiektem wyjściowym (zwanym inicjatorem) jest odcinek o jedno stkowej
wynika jasno, że dla r = 1/3, otrzymuje się N(r) = 4 odcinki krzywej. Druga operacja
długości (rys. 7.23a);
oznacza podzielenie krzywej na 16 (42) odcinków o długości 1/9 (czyli l/32) każdy.
2. jako generator przekształcania tego odcinka przyjmuje się operację
Można sprawdzić, że dla �-tej operacji r = 1/3n, a N (r) = 4n. Jak z tego wynika obliczanie
dzielenia odcinka na 3 części i usuwania części środkowej, z zastąpieniem jej
granicy wyrażenia (7.7.7) przy r ą�0 jest równoważne obliczaniu granicy tego
podwojoną długością usuniętego odcinka (rys. 7.23b);
wyrażenia przy n ą�"
3. analogiczną operację wykonuje się dla każdego z odcinków, otrzymując
obraz (rys. 7.23c);
operacje tę powtarza się  nieskończenie" wiele razy, otrzymując krzywą Kocha,
będącą łamaną złożoną z nieskończenie wielu odcinków.
Należy przypomnieć, że klasyczny (topologiczny) wymiar krzywej Kocha jest równy 1.
Jeśli inicjatorem nie jest odcinek, ale trójkąt równoboczny (lub ich zespół),
Otrzymana relacja dH > dT wydaje się dobrą definicją fraktala jako obiektu, dla którego
otrzymuje się tzw. płatek śniegu Kocha (rys. 7.23d).
wymiar fraktalny jest wyższy od wymiaru topologicznego [A3.16]. Jak widać, definicja ta
nie narzuca warunku, że wymiar fraktalny ma wykazywać ułamkową wartość. W
rzeczy samej istnieją obiekty fraktalne, czyli spełniające warunek (7.7.10), ale między
dwiema liczbami całkowitymi, np. krzywa łamana powstająca jako ślad toru cząstki
poruszającej się bezładnym chaotycznym ruchem Browna (jej wymiar topologiczny jest
równy l, a wymiar fraktalny wynosi dokładnie 2). Można powiedzieć, że wymiar fraktalny
(Hausdorffa) uwidacznia złożoność struktury obiektu, której nie uwzględnia klasyczny
wymiar topologiczny. Dodatkowe informacje o fraktalach zawiera Uzupełnienie D.
Atraktory opisane przez równania iteracyjne (odwzorowania)
Wszystkie opisywane wyżej fraktalne cechy dziwnych atraktorów mają zastosowanie
do opisu chaosu w procesie iteracji odwzorowania logistycznego (scenariusz
Feigenbauma), opisanego samopodobnym  drzewkiem figowym" (rys. 7.15), z jednym
wyjątkiem. Uważnemu Czytelnikowi mogła zresztą nasunąć się poważna wątpliwość.
Atraktor Lorenza musiał mieć wymiar większy od 2, aby można było dopuścić jego
chaotyczną naturę. Czy więc atraktor Feigenbauma może być odpowiedzialny za
chaos, skoro jego wymiar z pewnością nie przekracza 2? Dla przykładu, wymiar
Hausdorffa dla atraktora Feigenbauma dla krytycznej wartości paramatru a, po
Przy okazji konstruowania tego obiektu można łatwo zauważyć pewną bardzo ważną
przekroczeniu której pojawia się chaos, jest równy 0,538... Nie wdając się jednak w
cechę większości fraktali, a co za tym idzie także rozważanych tu dziwnych
szczegóły matematyczne, należy podkreślić tylko, że istnieje różnica w wymaganiach
atraktorów. Jest nią samopodobieńsrwo, czyli powtarzanie schematu struktury
dotyczących wymiaru atraktora w przypadku, gdy jest on generowany przez układ
 makroskopowej" na poziomie bardziej  mikroskopowym". Inaczej mówiąc, mały
równań różniczkowych i przez iteracje [A3.1]. W tym drugim przypadku trajektorie mają
kawałek takiego obiektu, odpowiednio powiększony, jest nieodróżnialny od
charakter nieciągły. Można wykazać, że wtedy nie ma sprzeczności między wymiarem
większego, z którego został wycięty. Można to łatwo zauważyć na przykładzie opisanej
atraktora, mniejszym od 2, a jego chaotyczną naturą. Oprócz wymiaru Hausdorffa
wyżej krzywej Kocha i dziwnych atraktorów. Jeśli bowiem program komputerowy
istnieją też inaczej zdefiniowane wymiary, przydatne w analizie chaotycznego
generujący dziwny atraktor napisze się tak, aby można było powiększać wybrane małe
zachowania układów: m.in. tzw. wymiar informacyjny d1 oraz  szczególnie ostatnio
fragmenty otrzymanej trajektorii, to otrzymuje się bezpośredni dowód na to, że
popularny w literaturze  wymiar korelacyjny Grassbergera i Procacci dc Wymiarom tym
struktura  mikroskopowa" dziwnego atraktora jest identyczna ze strukturą bardziej
nie będzie poświęcona tutaj uwaga, tym bardziej, że są one często zbliżone wartościami
do wymiaru fraktalnego (Hausdorffa), zgodnie z relacją [B7 15, B7.32]
gdzie dL oznacza tzw wymiar Lapunowa, opisany w następnym rozdziale.
7.7.3___________________________________
Wykładnik Lapunowa a wymiar fraktalny
Po przeczytaniu ostatnich rozdziałów może pojawić się pytanie, czy miedzy dwiema
omówionymi wyżej a różnymi miarami chaosu: dynamiczną  w postaci wykładnika
Lapunowa i statyczną  w postaci wymiaru fraktalnego, istnieje jakikolwiek ścisły
związek. Okazuje się, że zależność taka została zaproponowana i znana jest w
literaturze jako hipoteza Kaplana i Yorke'a (A3.1, B7 15]. Zgodnie z nią, istnieje 
przynajmniej w wielu przypadkach - równość między wymiarem fraktalnym dH i tzw.
wymiarem Lapunowa dL Wymiar Lapunowa zdefiniowany jest za pomocą wykładników
Lapunowa ).{ w następujący sposób
przy czym, aby obliczenie zostało wykonane prawidłowo, wykładniki Lapunowa
m us z ą by ć upor z ą dk ow an e w k ol ej n ośc i m a le ją c yc h w a r tośc i
( >  > & ) Za j przyjmuje się największą liczbę całkowitą, dla której
1 2
spełniony jest warunek
Wymiar Lapunowa jest wielkością szczególnie wygodną do wyznaczania w
numerycznych symulacjach dla modeli teoretycznych. Trzeba jednak podkreślić, że
uniwersalność hipotezy Kapłana i Yorke'a nie została dotychczas potwierdzona.
Prawdopodobnie prawdziwa jest w ogólnym przypadku raczej nieostra nierówność
dH d" dL, co jednak nie ma znaczenia dla prostych rozważanych tu dziwnych
atraktorów, dla których równość dH = dL jest spełniana z wystarczającą
dokładnością.
Rozdział 1 Czym są fraktale?
1.2
Geneza fraktali
Wprowadzenie
Jakże kręte i powikłane są drogi rozwoju nowych idei Powstawanie i rozwój teorii
zdaje się przypominać działanie ewolucji, tworzącej na zasadzie ślepego przypadku
nowe gatunki w przyrodzie, które to albo giną śmiercią naturalna zaraz po
Człowiek jako istota obdarzona zdolnością myślenia, od zarania
1.1
powstaniu, albo trwają w swej egzystencji przez miliony lat jako formy ukryte, by nagle
swego istnienia starał się zrozumieć otaczający go świat i rządzące nim
po zmianie warunków środowiska naturalnego lub z powodu innych czynników wyjść w
prawa. Pierwsze produkty działalności ludzkiej inspirowane tworami
pełnej krasie na światło dzienne. Analogia ta sprawdza się również i w przypadku
natury, powstawały na zasadach prymitywnego empiryzmu, przez co w swym
fraktali, jeśli prześledzić drogę rozwoju tej dziedziny wiedzy. Za narodziny fraktali
wyglądzie nie odbiegały od otaczającego je świata przyrody. Z czasem zdolność
można przyjąć koniec wieku XIX i początek XX, kiedy to matematycy tacy jak Koch,
człowieka do myślenia abstrakcyjnego uległa zwiększeniu i każde zdejmowane z
Hilbert czy Peano, zaczęli tworzyć krzywe wypełniające przestrzeń oraz krzywe, które
nieboskłonu bóstwo zastępowała nowa teoria czy też hipoteza. Co więcej, z biegiem czasu
przecinają się w każdym punkcie. Współcześni im matematycy ograniczyli się jedynie
teorie opisujące istotę świata ulegały uproszczeniom, by od platońskiego podejścia
do określenia tych tworów czystej matematyki mianem patologiczne, monstrualne i nie
spirytualistycznego reprezentowanego przez starożytnych filozofów greckich przejść do
okazali im większego zainteresowania. Prace Kocha, Hilberta i Peana zostały
materializmu - nurtu w pełni empirycznego wymaganego przez dzisiejszą naukę. W 1610
złożone w matematycznym lamusie. Ponowne zainteresowanie tematem nastąpiło
roku Galileusz wyraził pogląd, że językiem natury jest matematyka, a , jej alfabetem są
dopiero w latach sześćdziesiątych naszego wieku wraz z rozwojem badań nad
trójkąty, koła i inne figury geometryczne" - tak więc matematyka stała się językiem
zachowaniem układów dynamicznych i zachodzących w nich procesów chaotycznych.
formalnym wszelkich teorii naukowych. Ale czy stwierdzenie Galileusza było słuszne? Czy
To właśnie chaos deterministyczny bo taką nazwę nadano temu obszarowi badań,
twory natury rzeczywiście przypominają kształty znane z geometrii klasycznej? Pablo
spowodował ponowne pojawienie się  monstrualnych" krzywych na scenie naukowej,
Picasso, Georges Braque i inni kubiści krzyknęliby głośno TAK!, lecz poglądowi temu
lecz tym razem pod nazwą dziwne atraktory/Jednak na początku związek między
sprzeciwił się Benoit Mandelbrot, pionier w zakresie badań nad nieregularnością
dziwnymi atraktorami chaosu, a matematycznymi rojeniami Kocha, Hilberta i Peana,
struktury rzeczywistego świata i form geometrycznych w nim zawartych, które nazwał
nie został zauważony. Dopiero dzięki wyobraz
ni Mandelbrota tajemnicze krzywe i
fraktalami. W swojej słynnej książce The Fractal Geometry of Nature opublikowanej w 1975
twory chaosu scaliły się tworząc nowy byt o nazwie fraktal.
roku, .stwierdził:  Ani chmury nie są kulami, góry - stożkami, - linia brzegowa Kołem,
kora nie jest płaska, ani też błyskawica nie mknie po linii prostej". Zdanie to
przytaczane jest chyba we wszystkich publikacjach poruszających temat fraktali i w pełni
oddaje istotę rzeczy Dzisiejsze twory działalności człowieka, takie jak przedmioty_
Definicja fraktala
codziennego użytku czy obiekty architektoniczne, proste w swej strukturze
Benoit Mandelbrot w swojej książce podaje definicję fraktala, jako
geometrycznej, te twory kultu geometrii klasycznej wpajanej ludziom od najmłodszych lat,
1.3
obiektu geometrycznego posiadającego cechę samopodobieństwa,
przez co budującej podświadome uwielbienie dla trywialnej estetyki, zdają się zgodne z
którego wymiar nie jest liczbą całkowitą. Zajmiemy się teraz głębszą
galileuszowskim widzeniem świata, lecz jakże są odmienne od występujących w przyrodzie.
analizą tej definicji. Samopodobieństwo, oznacza, że część obiektu jest podobna do
Dlatego opis tworów natury za pomocą fraktali, który propaguje Mandelbrot i jemu
całości. Jest to cecha charakterystyczna dla obiektów występujących w przyrodzie. Liść
podobni, wydaje się o wiele lepiej modelować ten aspekt rzeczywistości niż teorie mające
paproci jest małą repliką całej paproci, powiększenie kory drzewa dalej przypomina korę,
za narzędzie geometrię euklidesową.
a linia brzegowa pozostaje nie zachwiana w swojej strukturze niezależnie od skali mapy.
Natomiast tradycyjne kształty geometryczne - trójkąty, koła, sfery - tracą przy
powiększeniu swoje właściwości. Na przykład powiększenie ad itifitiititm wycinka okręgu kroskopowej. Na przykład Douglas Rees i Mitchel Lewis ustalili, że powierzchnia białka
jest pozbawionym własności okręgu odcinkiem. Pojęcie wymiaru obiektu jest fraktalem o wymiarze około 2,4 i co więcej, że pewne jej obszary są bardziej
geometrycznego jest znane chyba wszystkim absolwentom szkoły podstawowej. Tak chropowate od innych, co implikuje, że mają one średnio większy wymiar. Jak się wydaje,
więc wymiar odcinka wynosi l, wymiar kwadratu wynosi 2, wymiar sześcianu 3, a obszary te są miejscami, w których białka sklejają się ze sobą w procesie syntezy. natomiast
hipersześcianu 4. Ten rodzaj wymiaru nosi nazwę wymiaru topologicznego i jego obszary bardziej gładkie są to miejsca aktywne dla enzymów, które wiążą się z białkami
wartością jest nieujemna liczba całkowita. Cóż jednak oznacza sformułowanie  wymiar znacznie gorzej. W latach sześćdziesiątych Mandelbrot, jeszcze jako pracownik naukowy
niecałkowity"? Czy jest to kolejna imaginacja jakiegoś szalonego pisarza science-fiction, firmy IBM, zaproponował fraktalna koncepcję rozkładu galaktyk we wszechświecie.
która znalazła swoje miejsce w nauce? Istnieje wiele definicji wymiaru (wymiar Dowodził on mianowicie, że struktura wszechświata może być jednorodna, ale nie musi
informacyjny, wymiar Lapunowa, wymiar korelacyjny itd.). Ten, o którym mowa, służy wynikać stąd jednorodny rozkład materii, pod warunkiem, iż rozkład ten jest fraktalem.
opisowi stopnia chropowatości obiektu geometrycznego i jest znany jako wymiar Dzisiejsi znawcy tematu przyjmują, że wszechświat nie jest czysto fraktalny, ponieważ nie
Hausdorffa-Besicovitcha. W celu lepszego zrozumienia tematu przyjrzyjmy się dwóm wykazuje cechy samopodobieństwa we wszystkich rozpatrywanych skalach, lecz określają
przykładowym obiektom: domkniętemu wycinkowi okręgu i łamanej.1 Wymiar topologiczny go jako multifraktalny, to znaczy składający się :ze zbioru fraktali pomiędzy którymi nie
obu tych obiektów jest równy i ma wartość l, lecz w sensie wymiaru Hausdorffa-Besicoyitcha zachodzi relacja podobieństwa.
wymiar łamanej jest większy, ponieważ łamana lepiej zapełnia przestrzeń niż gładki
wycinek okręgu, a jednocześnie gorzej niż dwuwymiarowa po- wierzchnia. Zatem ma sens
Fraktalny model natury i procesów w niej zachodzących wydaje się spełniać swoje
wymiar zawarty gdzieś między wartościami l i 2>. Nie jest przypadkiem, że jako drugi z
zadanie. Ale czy jest to model prawdziwy? Czy rzeczywiście przyroda działa na pod-
przykładowych obiektów podano łamaną, ponieważ termin fraktal stworzony przez
stawie zasad geometrii fraktalnej? Na tego typu pytania nigdy nie można dać odpowie-
Mandelbrota pochodzi od łacińskiego przymiotnika fractus, a odpowiadający mu
dzi twierdzącej. Każda teoria jest tylko teorią, a to znaczy, że może zostać zastąpiona
czasownik frangere znaczy  łamać",  tworzyć nieregularne fragmenty". Zatem wymiar jest
modelem lepszym, sprawdzającym się w szerszym aspekcie rzeczywistości. Zastąpiona
tym, co odróżnia w sposób ilościowy fraktale od obiektów geometrii euklidesowej.
nie znaczy jednak odrzucona. Jako przykład można podać mechanikę klasyczną Newto-
na, której prawa panowały niepodzielnie przez ponad dwa stulecia jako ostateczny opis
rzeczywistości. Wraz z rozwojem nauki odkryto, że nic sprawdzają się one jednak w
przypadku prędkości bliskich prędkości światła. Powstała nowa koncepcja - teoria
względności Alberta Einsteina. Nie wyparła ona jednak całkowicie mechaniki Newtona,
ponieważ w szerokim przedziale prędkości sprawdza się znakomicie i jest zupełnie wy-
starczająca. Fraktale, oprócz swych naukowych zastosowań, posiadają jeszcze jedną
1.4 Zastosowanie fraktali
ważną zaletę. Przede wszystkim są wizualnie piękne, co czyni je nieśmiertelnymi dopó-
ty, dopóki człowiek będzie hołdował nie tylko wartościom materialnym, lecz również
W dzisiejszej nauce fraktale stosowane są do:
estetycznym.
�� badania nieregularności powierzchni, opisu procesów chaotycznych
zachodzących w układach dynamicznych,
�� przetwarzania i kodowania obrazów cyfrowych - kompresja fraktalna,
�� modelowania tworów naturalnych dla celów realistycznej grafiki
komputerowej,
�� badania struktury łańcuchów DNA,
�� badania samopodobnych struktur harmonicznych występujących w
muzyce.
Jak już wspomniano wcześniej, natura nie tworzy form o strukturze gładkiej, lecz
charakteryzującej się większym lub mniejszym stopniem chropowatości powierzchni.
Odnosi się to zarówno do obiektów rozpatrywanych w skali mikroskopowej, jak i ma-