Matematyka
Pochodna
" Pochodna funkcji y = f(x) w punkcie x nazywamy granice, do której da ży stosunek przyrostu funkcji
"y do odpowiadajacego mu przyrostu zmiennej niezalez
nej "x, gdy przyrost zmiennej da ży do 0, czyli
dy "y
= lim .
dx "x0 "x
" Interpretacja geometryczna pochodnej. Pochodna funkcji y = f(x) w danym punkcie równa sie
wspólczynnikowi katowemu stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie.
" Interpretacje fizyczne pochodnej. Jeśli wielkość fizyczna y jest funkcja wielkości fizycznej x, y = f(x),
dy
to pochodna jest predkościa zmiany wielkości y w porównaniu ze zmianami wielkości x.
dx
 Predkość v jest pochodna przebytej drogi s wzgledem czasu t,
ds
v = .
dt
 Przyspieszenie a jest pochodna predkości wzgledem czasu,
dv
a = .
dt
 Nateżenie pradu I jest pochodna ilości przeplywajacego ladunku Q wzgledem czasu
dQ
I = .
dt
 Pojemność cieplna c jest pochodna ilości ciepla W wzgledem temperatury T .
dW
c = .
dT
 Nateżenie pola elektrycznego wzdluż drogi x, E, jest pochodna potencjalu elektrycznego, V ,
wzgledem drogi
dV
E = .
dx
" Wlasności pochodnej
 y = cf(x), gdzie c jest stala
dy df(x)
= c
dx dx
 y = f(x) Ä… g(x)
dy df(x) dg(x)
= Ä…
dx dx dx
 y = f(x)g(x)
dy df(x) dg(x)
= g(x) + f(x)
dx dx dx
f(x)
 y =
g(x)
dy g(x)df(x) - f(x)dg(x)
dx dx
=
dx [g(x)]2
 y = g(z); z = f(x) y = g[f(x)]
dy dg(z) df(x)
=
dx dz dx
" Pochodne funkcji elementarnych
 y = c, c = const
dy
= 0
dx
 y = xa
dy
= axa-1
dx
 y = sin Éx
dy
= É cos Éx
dx
 y = cos Éx
dy
= -É sin Éx
dx
 y = ebx
dy
= bebx
dx
 y = log bx
dy 1
=
dx x
Calka
dF (x)
" Jeżeli funkcja f(x) jest pochodna funkcji F (x), czyli f(x) = to funkcje F (x) nazywamy funkcja
dx
pierwotna funkcji f(x). Jeżeli funkcja F (x) jest funkcja pierwotna funkcji f(x) to funkcja F (X) + C,
gdzie C jest stala jest również funkcja pierwotna funkcji f(x).
" Calka nieoznaczona funkcji f(x) nazywamy rodzine funkcji pierwotnych tej funkcji i oznaczamy sym-
bolem:
f(x)dx = F (x) + C
" wlasności calek
 (f(x) Ä… g(x))dx = f(x)dx Ä… g(x)dx
 Af(x)dx = A f(x)dx
1
 xndx = xn+1 + C
n+1
 x-1dx = ln x + C
1
 ebxdx = ebx + C
b
1
 cos(Éx)dx = sin(Éx) + C
É
1
 sin(Éx)dx = -É cos(Éx) + C
" Calka oznaczona. Niech P bedzie polem pod krzywa y = f(x) od x = a do x = b.
b
P = lim yi"xi = lim f(xi)"xi = f(x)dx
"xi0 "xi0
a
i i
b
f(x)dx = F (b) - F (a),
a
gdzie funkcja F (x) jest funkcja pierwotna funkcji f(x).
" Zastosowania calek.
dy(x)
 Jeśli wielkość fizyczna z jest pochodna wielkości y wzgledem zmiennej x, z(x) = to
dx
y(x) = z(x)dx + C
" Polożenie punktu materialnego jest calka z predkości po czasie
x(t) = v(t)dt + C
" predkość jest calka przyśpieszenia po czasie
v(t) = a(t)dt + C
" Ilość ladunku przeplywajacego przez przewodnik jest calka z nateżenia pradu po czasie
q(t) = I(t)dt + C
Wektory
" Postać geometryczna wektora.
Wektor to ukierunkowany odcinek linii prostej lub wielkość z określona dlugościa i kierunkiem w
przestrzeni.
" Postać algebraiczna wektora.
W przestrzeni trójwymiarowej wektor A to uporzadkowana trójka liczb rzeczywistych (A1, A2, A3).
Umieszczajac poczatek wektora A w środku ukladu wspólrzednych, trójka liczb rzeczywistych (A1, A2, A3)
jest wspólrzedna jego końca.
" Kartezjański uklad wspólrzednych.
 Uklad kartezjański określony jest poprzez podanie trzech wersorów osi, tzn. wektorów x, w
, Ä™
Ć
wyznaczajacych kierunki trzech osi liczbowych. Wersory te sa prostopadle i jednostkowe. Wersory
zachowuja te same kierunki we wszystkich punktach przestrzeni. Dowolny wektor A może być
przedstawiony w bazie kartezjańskiej:
A = Axx + Ayw
+ AzÄ™
Ć
A = (Ax, Ay, Az),
gdzie Ax, Ay, Az sa skladowymi wektora w ukladzie kartezjańskim.
 Rozklad wektora na skladowe w ukladzie kartezjańskim:
Ax = A sin ¸ cos Ć
Ay = A sin ¸ sin Ć
Az = A cos ¸,
gdzie Ć jest katem miedzy wektorem A a plaszczyzna xz a Ć jest katem miedzy wektorem A a
wersorem Ä™(osia z)
 Zawsze możemy wybrac uklad tak aby wektor A byl prostopadly do wersora Ä™ wtedy ¸ = 90ć%,
cos ¸ = 0, sin ¸ = 1
Ax = A cos Ć
Ay = A sin Ć
Az = 0
gdzie Ć jest katem miedzy wektorem A a wersorem x(osia x)
Ć
 Dodawanie(odejmowanie) wektorów. Suma(różnica) wektorów A i B jest wektorem
C = A Ä… B = (Ax Ä… Bx)x + (Ay Ä… By)w
+ (Az Ä… Bz)Ä™
Ć
Cx = Ax Ä… Bx
Cy = Ay Ä… By
Cz = Az Ä… Bz
 Mnożenie wektorów przez liczbe. Iloczyn wektora A i liczby b jest wektorem
C = b · A = bAxx + bAyw
+ bAzÄ™
Ć
Cx = bAx
Cy = bAy
Cz = bAz
" Iloczyn skalarny wektorów.
 Iloczyn skalarny wektorów A i B jest liczba
A · B = AB cos Ć,
gdzie Ć jest katem miedzy wektorem A i B
 Iloczyn skalarny jest przemienny
A · B = B · A
 Iloczyn skalarny jest rozdzielny ze wzgledu na dodawanie(odejmowanie)
A · (B Ä… C) = A · B Ä… A · C
 JeÅ›li wektory A i B sa niezerowe a ich iloczyn skalarny A · B = 0 to wektory te sa prostopadle
 Dlugość wektora A
A = |A| = A · A
 Dla wersorów ukladu kartezjańskiego
x · w
= 0, w
· Ä™ = 0, Ä™ · x = 0
Ć Ć
x · x = 1, w
· w
= 1, Ä™ · Ä™ = 1
Ć Ć
 W ukladzie kartezjańskim:
A · B = AxBx + AyBy + AzBz
" Iloczyn wektorowy wektorów.
 Iloczyn wektorowy wektorów A i B jest wektorem
C = A × B = (AB sin ¸)n,
Ć
gdzie ¸ jest katem mierzonym od A do B, ¸ < Ä„ a wektor n jest wektorem jednostkowym
Ć
prostopadlym do plaszczyzny zawierajacej A i B i skierowanym w kierunku danym przez prawo
prawej reki
 Iloczyn wektorowy antykomutuje
A × B = -B × A

A × A = 0
 Iloczyn wektorowy jest rozlaczny wzgledem dodawania(odejmowania)
A × (B Ä… C) = A × B Ä… A × C
 Dla werorów ukladu kartezjańskiego
x × w
= Ä™, Ä™ × x = w
, w
× Ä™ = x
Ć Ć Ć
 W ukladzie kartezjańskim
C = A × B = (AyBz - AzBy)x + (AzBx - AxBz)w
+ (AxBy - AyBx)x
Ć Ć
Cx = AyBz - AzBy
Cy = AzBx - AxBz
Cz = AxBy - AyBz
" Tożsamości wektorowe
A × (B × C) = B · (A · C) - C · (A · B)
A · (B × C) = C · (A × B) = B · (C × A)