CLF I







10. PRZYPIS I.

WARTOŚĆ
OCZEKIWANA PRZECIĘTNA I WARIANCJA

DLA ROZKŁADU
GAUSSA I ROZKłADU PROSTOKĄTNEGO

Wartość oczekiwana
(przeciętna) E(x) zmiennej losowej X o ciągłym rozkładzie
gęstości prawdopodobienstwa f(x) określana jest wzorem



(79)

Rozrzut zmiennej losowej wokół
wartości przeciętnej opisuje inny parametr rozkładu, tzw.
Wariancja D2(X). Rozrzut
ten jest scharakteryzowany poprzez wartość przeciętną
kwadratu odchylenia zmiennej losowej od jej wartości oczekiwanej



(80)

Policzmy teraz te dwa parametry:
wartość oczekiwaną oraz wariancję dla rozkładu normalnego i
prostokątnego.

Rozkład normalny posiada
gęstość prawdopodobieństwa f(x) określoną wzorem



(81)

Obliczenie jego wartości
oczekiwanej sprowadza się więc do policzenia całki

(82)

Wprowadzając podstawienie
mamy



Pierwsza z całek jest równa
zeru, ponieważ funkcja podcałkowa jest funkcją nieparzystą,
natomiast drugą całkę liczymy następująco:



podstawiając i korzystając ze znajomości całki



mamy



A więc dla funkcji Gaussa
wartość oczekiwana równa jest wartości a, przy której ta
funkcja przyjmuje wartość maksymalną

E(X) = a.

(83)

Wariancję rozkładu normalnego
policzymy, korzystając ze wzoru (80) oraz policzonej wyżej
wartości przeciętnej rozkładu normalnego

E(X) = a



(84)

podstawiając
otrzymujemy



Całkując przez części, przy
zastosowaniu następujących podstawien

t = u,

dt = du,



Scałkowane wyrażenie jest
równe zeru, a całka

,

a więc wariancja rozkładu
normalnego przyjmuje wartość



(85)

Rozkład prostokątny jest to
rozkład o gęstości prawdopodobieństwa f(x) stałej w
przedziale (a,b), a poza tym przedziałem - równa zeru.
Wartość funkcji f(x) w przedziale (a,b) otrzymujemy z warunku
normalizacji (powierzchnia pod krzywą, opisującą gęstość
prawdopodobienstwa, winna być równa 1)

f(x) . (b-a) = 1

(86)



(87)

Tak więc wartość oczekiwaną
dla rozkładu prostokątnego policzymy ze wzoru



(88)

a wariancję dla tego rozkładu
definiuje nam zależność



(89)