XIV. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych.
1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe.
Definicja 1.1.
Niech D będzie podzbiorem przestrzeni Rn, n e" 2. Odwzorowanie f : D R
nazywamy funkcjÄ… n zmiennych.
Przykład 1.
x
" f(x, y) = arc sin - funkcja dwóch zmiennych,
y
1
" f(x, y, z) = - funkcja trzech zmiennych.
ex+y-z-1
Wyznaczymy dziedziny Df i Dg funkcji f i g.
Definicja 1.2.
Niech f : D R, gdzie D " R2. Zbiór
{(x, y, z) " R3 : (x, y) " Df, z = f(x, y)}
nazywamy wykresem funkcji f, zaś zbiór
{(x, y) " Df : f(x, y) = h}
nazywamy poziomicÄ… funkcji f odpowiadajÄ…cÄ… poziomowi h " R.
Przykład 2.

Wyznaczymy poziomice funkcji f(x, y) = x2 + y2.
Przykład 3.

Wykresem funkcji z = f(x, y) = ą R2 - (x2 + y2) jest górna (+) lub dolna
(-) półsfera o środku w punkcie (0, 0, 0) i promieniu R.
1
Definicja 1.3.
Niech (x0, y0) " R2 i niech f będzie określona przynajmniej na otoczeniu
O(x0, y0). Funkcja f jest ciągła w (x0, y0) wtedy i tylko wtedy, gdy
lim f(x, y) = f(x0, y0).
(x,y)(x0,y0)
Funkcja jest ciÄ…gÅ‚a na zbiorze D ‚" R2, jeżeli jest ciÄ…gÅ‚a w każdym punkcie
(x, y) " D.
2. Pochodne czÄ…stkowe funkcji.
Definicja 2.1. (pochodne cząstkowe 1-go rzędu)
Niech f : D R, gdzie D ‚" R2. PochodnÄ… czÄ…stkowÄ… 1-go rzÄ™du funkcji f
względem zmiennej x w punkcie (x0, y0) oznaczamy przez
"f
(x0, y0) lub fx(x0, y0)
"x
i definiujemy następująco
"f f(x0 + "x, y0) - f(x0, y0)
(2.1) (x0, y0) := lim .
"x0
"x "x
Podobnie definiujemy
"f f(x0, y0 + "y) - f(x0, y0)
(2.2) (x0, y0) := lim .
"y0
"y "y
Interpretacja geometryczna pochodnych czÄ…stkowych.
Rozważmy funkcję z = f(x, y) i wez
my punkt (x0, y0, z0) leżący na wykresie
tej funkcji, tj. z0 = f(x0, y0). Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu
funkcji f w punkcie (x0, y0, z0) ma postać
"f "f
(2.3) z - z0 = (x0, y0) (x - x0) + (x0, y0) (y - y0).
"x "y
2
Przykład 4.
Napiszemy równanie płaszczyzny Ą stycznej do powierzchni
z = y ln(2 + x2y - y2)
w punkcie (x0, y0, z0) = (2, 1, z0).
Uwaga.
Przy obliczaniu pochodnej cząstkowej względem jednej zmiennej pozostałe
zmienne traktujemy jako stałe.
Przykład 5.
Obliczymy pochodne czÄ…stkowe funkcji
ex
" f(x, y) = ,
ln(x+y)
" f(x, y) = xy.
Definicja 2.2. (pochodne cząstkowe 2-go rzędu)

"2f " "f
= = fxx
"x2 "x "x

"2f " "f
= = fyx
"x"y "x "y

"2f " "f
= = fxy
"y"x "y "x

"2f " "f
= = fyy
"y2 "y "y
Twierdzenie 2.3. (Schwarza)
Jeżeli pochodne cząstkowe mieszane są w pewnym obszarze ciągłe, to są one
w tym obszarze równe.
3
Uwaga.
Z twierdzenia Schwarza wynika, że również pochodne cząstkowe mieszane
wyższych rzędów są równe, jeśli są ciągłe i każda z nich była liczona tyle samo
razy ze względu na każdą zmienną. Funkcję, która ma wszystkie pochodne
cząstkowe ciągłe do rzędu n włącznie będziemy określać funkcją klasy Cn.
Przykład 6.
Dla funkcji f(x, y, z) = x2y3z4 obliczyć
"4f "3f
, , fxyz.
"x2"y"z "y2"x
sin x
Dla funkcji f(x, y) = obliczyć
sin y
"3f
.
"y"x"y
4
3. Różniczka funkcji.
Definicja 3.1.
Niech funkcja f będzie określona w otoczeniu punktu (x0, y0) zawierającym
punkt (x0 + h, y0 + k). Przyrostem funkcji f nazywamy wyrażenie
"f = f(x0 + h, y0 + k) - f(x0, y0).
Definicja 3.2.
Funkcję f nazywamy różniczkowalną w punkcie (x0, y0), jeżeli istnieją takie
stałe A i B, że
"f = A h + B k + o(Á),
"
gdzie Á = h2 + k2, czyli innymi sÅ‚owy
"f - A h - B k
lim " = 0.
(h,k)(0,0)
h2 + k2
Twierdzenie 3.3. (warunki konieczne, dostateczne różniczkowalności funkcji)
(i) f różniczkowalna w (x0, y0) Ò! f ciÄ…gÅ‚a w (x0, y0).
(ii) f różniczkowalna w (x0, y0) Ò! f ma w (x0, y0) pochodne czÄ…stkowe.
(iii) f ma w (x0, y0) ciÄ…gÅ‚e pochodne czÄ…stkowe Ò! f różniczkowalna
w (x0, y0).
Uwaga.
Geometrycznie różniczkowalność funkcji f w punkcie (x0, y0) oznacza istnienie
płaszczyzny stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie (x0, y0, f(x0, y0)).
5
Uwaga.
Równanie płaszczyzny stycznej w punkcie (x0, y0, z0) do powierzchni opisanej
przez warunek
F (x, y, z) = 0
ma postać
Fx(x0, y0, z0) (x - x0) + Fy(x0, y0, z0) (y - y0) + Fz(x0, y0, z0) (z - z0) = 0,
o ile Fx, Fy, Fz są ciągłe w (x0, y0, z0) i nie zerują się w tym punkcie jednocześnie.
Przykład 7.
Napiszemy równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni x2 + y2 + z2 = 9 w
" "
punkcie P0 = ( 2, - 3, 2).
Definicja 3.4. (różniczka funkcji)
Załóżmy, że funkcja f ma pochodne fx i fy w punkcie (x0, y0). Wyrażenie
"f (x0, y0) "f (x0, y0)
h + k
"x "y
nazywamy różniczką zupełną funkcji f w punkcie (x0, y0) i oznaczamy przez
d f(x0, y0).
Piszemy także h = "x = dx oraz k = "y = dy. Zatem
"f (x0, y0) "f (x0, y0)
d f(x0, y0) = dx + dy.
"x "y
Jeżeli f jest różniczkowalna w pewnym obszarze, to w obszarze tym określona
jest nowa funkcja
"f "f
d f = dx + dy.
"x "y
Przykład 8.

Napiszemy wzór różniczki funkcji z = x2 + y2.
6
Twierdzenie 3.5. (zastosowanie różniczki funkcji do obliczeń przybliżonych
wartości wyrażeń)
Załóżmy, że funkcja f ma ciągłe pochodne fx i fy w punkcie (x0, y0). Wówczas
(3.1) f(x0 + "x, y0 + "y) H" f(x0, y0) + d f(x0, y0),
przy czym bÅ‚Ä…d ´("x, "y) powyższego przybliżenia, tj. różnica "f -d f dąży

szybciej do 0 niż wyrażenie Á = ("x)2 + ("y)2, tzn. "f - d f = o(Á).
Przykład 9.
arc 0.9
"tg
Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia .
4.02
Twierdzenie 3.6. (zastosowanie różniczki funkcji do szacowania błędów
pomiarów)
Niech wielkości fizyczne x, y, z będą związane zależnością z = f(x, y). Załóżmy,
że funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe fx i fy. Jeśli "x i "y są błędami
bezwględnymi pomiaru wielkości x i y, to błąd bezwględny "z obliczeń wielkości
z wyraża się wzorem przybliżonym

"f "f

(3.2) "z H" "x + "y.
"x
"y
Przykład 10.
Przy pomocy odpowiednich przyrządów pomiarowych można zmierzyć objętość
ciała z dokładnością "V = 0.1 cm3, a przy pomocy wagi sprężynowej można
ustalić jego masę z dokładnością "M = 1 g. Objętość zmierzona tym sposobem
wynosi V = 25 cm3, a masa M = 200 g. Z jaką w przybliżeniu dokładnością
można obliczyć gÄ™stość Á tego ciaÅ‚a.
Wiemy, że gęstość jednorodnego ciała o masie M i objętości V wyraża się
wzorem
M
Á = .
V
Zatem niech
M
f(M, V ) = .
V
7
Wtedy
"f 1 "f M "f 1 "f 200
= , = - , (200, 25) = , (200, 25) = - .
2
"M V "V V "M 25 "V (25)2
Zatem wobec wzoru (3.2) otrzymujemy
1 200
"Á H" "M + "V = 0.072.
25 (25)2
Definicja 3.7. (różniczki wyższych rzędów)
Różniczką rzędu 2-go nazywamy różniczkę z różniczki rzędu 1-go.
Różniczką rzędu n nazywamy różniczkę z różniczki rzędu n - 1-go.
Załóżmy, że f jest klasy Cn w pewnym obszarze D.
d2 f = d(d f) = d(fx dx + fy dy) = (fxx dx + fyx dy) dx + (fxy dx + fyy dy) dy =
= fxx (dx)2 + 2fxy dx dy + fyy (dy)2.
n
"nf "nf "nf
dn f = (dx)n + (dx)n-1 dy + ... + (dy)n,
1
"xn "xn-1"y "yn
co symbolicznie można zapisać
(n)
"f "f
dn f = dx + dy .
"x "y
Przykład 11.
Obliczymy d3 f.
(3)
"f "f
d3 f = dx + dy =
"x "y
"3f "3f "3f "3f
= (dx)3 + 3 (dx)2 dy + 3 dx (dy)2 + (dy)3.
"x3 "x2"y "x"y2 "y3
8
4. Pochodne cząstkowe funkcji złożonej.
Załóżmy, że z = f(u, v) jest funkcją określoną w obszarze D oraz u = u(x, y) i
v = v(x, y) są funkcjami określonymi w obszarze E i przyjmującymi wartości
(brane jednocześnie) w obszarze E określona jest funkcja złożona
z = F (x, y) = f(u(x, y), v(x, y)).
Twierdzenie 4.1.
Zakładamy, że funkcja f jest klasy C1 w D oraz funkcje u i v mają pochodne
cząstkowe w E. Wtedy funkcja złożona F posiada w E pochodne cząstkowe,
które wyrażające się wzorami:
"z "F "f "u "f "v
(4.1) = = +
"x "x "u "x "v "x
"z "F "f "u "f "v
(4.2) = = + .
"y "y "u "y "v "y
W szczególnym przypadku : jeśli z = f(x(t), y(t)) mamy
"z "f d x "f d y
(4.3) = + ,
"t "x d t "y d t
a jeśli z = f(x, y(x))
"z "f "f d y
(4.4) = + .
"x "x "y d x
Przykład 12.
Obliczymy pochodne funkcji
u2
" z = f(u, v) = , gdzie u(x, y) = x sin y, v(x, y) = x cos y,
v
" z = f(u, v) = u2 + v2 - 2uv2, gdzie u(t) = ln t, v(t) = e2t,
x
" z = arc sin , gdzie y = x2.
y
9
5. Pochodna kierunkowa funkcji.
Definicja 5.1. (pochodnej kierunkowej)
Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu (x0, y0)
-

i niech v = [v1, v2] będzie danym wersorem, tj. wektorem o długości 1.
-

PochodnÄ… kierunkowÄ… funkcji f w punkcie (x0, y0) w kierunku wektora v
"f (x0,y0)
oznaczamy i definiujemy następująco
-

" v
"f (x0, y0) f(x0 + tv1, y0 + tv2) - f(x0, y0)
(:= lim .
-
" t0+ t
v
Uwaga.
"f "f
Pochodne czÄ…stkowe i sÄ… pochodnymi kierunkowymi odpowiednio w
"x "y
kierunku osi Ox i osi 0y, tzn.
"f "f "f "f
= , = .
- -
"x
" "y "
i j
"f
Pochodna kierunkowa określa szybkość zmiany wartości funkcji f w
-

" v
-

kierunku wektora v .
Przykład 13.
"
"f (x0,y0)
3
-

Obliczymy dla f(x, y) = xy, (x0, y0) = (1, 2), v = [1, ].
-

2 2
" v
Definicja 5.2. (gradientu funkcji)
Gradientem funkcji f w punkcie (x0, y0) nazywamy wektor

"f (x0, y0) "f (x0, y0)
grad f(x0, y0) := , ) .
"x "y
Używamy także oznaczenia grad f = "f.
Uwaga.
Gradient funkcji w danym punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu
funkcji w tym punkcie i jest wektorem prostopadłym do poziomicy funkcji
przechodzÄ…cej przez ten punkt.
10
Przykład 14.
Temperatura w zbiorze V = {(x, y, z) : 0 d" x, y, z d" Ą} określona jest
wzorem
¸(x, y, z) = 10 cos(x - y) + 20 sin(x + z).
Ä„ Ä„ Ä„
Wyznaczyć kierunek najszybszego wzrostu temperatury ¸ w punkcie , , .
2 2 2
Twierdzenie 5.3.
Załóżmy, że funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe fx i fy w punkcie (x0, y0)
-

i v jest dowolnym wersorem na płaszczyz
nie. Wówczas
"f (x0, y0)
-

= "f(x0, y0) · v .
-
"
v
Przykład 15.
" "
"f (x0,y0)
- 2 2

Obliczymy dla f(x, y) = ex+y, (x0, y0) = (1, -1), v = [ , ].
-

2 2
" v
Uwaga.
Powyższe definicje i fakty przenoszą się na funkcje trzech i większej ilości
zmiennych.
11
6. Wzór Taylora. Ekstrema funkcji.
6.1. Wzór Taylora dla funkcji k zmiennych k e" 2.
Twierdzenie 6.1.
Załóżmy, że funkcja k zmiennych jest klasy Cn w otoczeniu punktu
P0 = (x0, x0, ..., x0) zawierającym punkt P = (x1, x2, ..., xk). Wówczas
1 2 k
d f d2 f dn-1 f dn f
(6.1) f(P ) = f(P0) + + + ... + + Rn, Rn = ,
1! 2! (n - 1)! n!
przy czym pochodne do rzędu n - 1 włącznie są obliczane w punkcie P0,
a pochodne rzędu n (występujące w wyrażeniu Rn) są obliczane w punkcie
leżącym na odcinku łączącym punkty P0 i P , ponadto w definicji różniczek
kładziemy d xi := xi - x0, i = 1, 2, ..., k.
i
Przykład 16.
Wzór Taylora dla funkcji dwóch zmiennych f(x, y) i n = 2 ma postać
"f(x0, y0) "f(x0, y0)
f(x, y) = f(x0, y0) + (x - x0) + (y - y0) + R2,
"x "y
gdzie
1 "2f(xc, yc) "2f(xc, yc) 1 "2f(xc, yc)
R2 = (x-x0)2+ (x-x0)(y-y0)+ (y-y0)2,
2 "x2 "x"y 2 "y2
gdzie (xc, yc) jest punktem leżącym na odcinku łączącym punkty
(x0, y0) i (x, y).
12
6.2. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Niech O(x0, y0) i S(x0, y0) oznaczajÄ… odpowiednio otoczenie i sÄ…siedztwo punktu
(x0, y0).
Definicja 6.2.
(i) Mówimy, że funkcja f(x, y) ma w punkcie (x0, y0) minimum lokalne, jeśli
istnieje takie otoczenie O(x0, y0) tego punktu, że dla każdego punktu
(x, y) " O(x0, y0) zachodzi nierówność
f(x, y) e" f(x0, y0).
(ii) Mówimy, że funkcja f(x, y) ma w punkcie (x0, y0) minimum lokalne
właściwe, jeśli istnieje takie sąsiedztwo S(x0, y0) tego punktu, że dla
każdego punktu (x, y) " S(x0, y0) zachodzi nierówność
f(x, y) > f(x0, y0).
(iii) Mówimy, że funkcja f(x, y) ma w punkcie (x0, y0) maksimum lokalne,
jeśli istnieje takie otoczenie O(x0, y0) tego punktu, że dla każdego punktu
(x, y) " O(x0, y0) zachodzi nierówność
f(x, y) d" f(x0, y0).
(iv) Mówimy, że funkcja f(x, y) ma w punkcie (x0, y0) maksimum lokalne
właściwe, jeśli istnieje takie sąsiedztwo S(x0, y0) tego punktu, że dla
każdego punktu (x, y) " S(x0, y0) zachodzi nierówność
f(x, y) < f(x0, y0).
13
Twierdzenie 6.3. (warunek konieczny istnienia ektremum)
Jeżeli w punkcie (x0, y0) funkcja ma ektremum lokalne oraz istnieją w tym
punkcie pochodne czÄ…stkowe fx i fy, to
"f(x0, y0) "f(x0, y0)
= 0 i = 0.
"x "y
Definicja 6.4.
Hesjanem funkcji f(x, y) w punkcie (x0, y0) nazywamy macierz drugich pochodnych
czÄ…stkowych, tj. macierz H(x0, y0) postaci

fxx(x0, y0) fxy(x0, y0)
H(x0, y0) = .
fyx(x0, y0) fyy(x0, y0)
Definiujemy
W (x0, y0) := det H(x0, y0) = fxx(x0, y0) fyy(x0, y0) - fxy(x0, y0) fyx(x0, y0).
Twierdzenie 6.5. (warunek wystarczajÄ…cy istnienia ektremum)
Załóżmy, że funkcja f(x, y) ma ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu 2-go
włącznie, tzn. jest klasy C2 w otoczeniu O(x0, y0) punktu (x0, y0) oraz spełnia
warunki:
(i) fx(x0, y0) = 0 i fy(x0, y0) = 0,
(ii) W (x0, y0) = fxx(x0, y0) fyy(x0, y0) - [fxy(x0, y0)]2 > 0.
Wówczas w punkcie (x0, y0) funkcja f ma ekstremum lokalne właściwe, przy
czym będzie to minimum jeśli fxx(x0, y0) > 0, zaś maksimum, jeśli
fxx(x0, y0) < 0.
Uwaga.
Jeżeli w założeniu (ii) twierdzenia 6.5 pojawi się warunek W (x0, y0) < 0,
to funkcja f nie ma w punkcie (x0, y0) ekstremum lokalnego. W przypadku
W (x0, y0) = 0 należy badanie istnienia ektremum lokalnego funkcji f w
punkcie (x0, y0) przeprowadzić inną metodą, np. korzystając z definicji.
14
Przykład 17.
Znajdziemy ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = x3 + y3 - 3xy.
Przykład 18.
Pokażemy, że funkcja f(x, y) = x8 - y6 nie ma ekstremum lokalnego.
Zauważmy, że f ma ciągłe pochodne cząstkowe dowolnego rzędu. Obliczamy
fx = 8x7, fy = -6y5.
A
atwo sprawdzić, że jedynym punktem, w którym zerują się obie pochodne
czastkowe fx i fy jest punkt (0, 0), skąd wynika, że punkt ten jest jedynym
punktem, w którym f może mieć ekstremum lokalne. Wobec twierdzenia 6.5
obliczamy


56x6 0

W (x, y) = ,

0 -30y5
czyli W (0, 0) = 0, co oznacza, że nie możemy skorzystać z warunku wystarczającego,
aby rozstrzygnąć, czy w (0, 0) funkcja f ma ekstremum.
Pokażemy, że funkcja f w punkcie (0, 0) nie ma ekstremum lokalnego. W tym
celu wykażemy, że w każdym otoczeniu punktu (0, 0) można znalez
ć punkty,
w których funkcja f ma wartość mniejszą od f(0, 0) = 0 oraz punkty, w
których ma ona wartość większą od f(0, 0) = 0.
Istotnie, zauważmy, że w każdym dowolnie małym otoczeniu punktu (0, 0)
1 1
leżą punkty (0, ) i (n, 0) dla dostatecznie dużego n " N. Ponadto
n
1 1 1 1
f(0, ) = - < 0 = f(0, 0), f( , 0) = > 0 = f(0, 0).
n n6 n n8
15
6.3. Ekstrema warunkowe funkcji dwóch zmiennych.
Definicja 6.6.
Funkcja f ma w punkcie (x0, y0) minimum (maksimum) lokalne właściwe
z warunkiem g(x, y) = 0, jeżeli g(x0, y0) = 0 oraz istnieje takie sąsiedztwo
S(x0, y0) punktu (x0, y0), że zachodzi warunek
f(x, y) > f(x0, y0) (f(x, y) < f(x0, y0))
dla każdego (x, y) " S(x0, y0) spełniającego warunek g(x, y) = 0.
Algorytm szukania ekstremów warunkowych.
W celu wyznaczenia ekstremów lokalnych funkcji f(x, y) z warunkiem
g(x, y) = 0 należy:
1. podzielić krzywÄ… “ opisanÄ… równaniem g(x, y) = 0 na Å‚uki bÄ™dÄ…ce wykresami
funkcji jednej zmiennej, tj. y = u(x), gdzie x " I lub x = v(y), gdzie
y " J,
2. znalez
ć ekstrema funkcji jednej zmiennej f(x, u(x)) na przedziale I lub
f(u(y), y) na przedziale J,
3. porównać wartoÅ›ci otrzymanych ekstremów na krzywej “ i ustalić ekstrema
warunkowe.
Przykład 19.
Wyznaczymy ekstrema warunkowe funkcji f(x, y) = x · y
z warunkiem x + y = 0.
16
6.4. Najmniejsza i największa wartość funkcji dwóch zmiennych.
Definicja 6.7. (najmniejszej i największej wartości funkcji)
(i) Liczba m " R jest najmniejszÄ… wartoÅ›ciÄ… funkcji f na zbiorze A ‚" Df,
jeżeli
"(x0, y0) " A f(x0, y0) = m '" "(x, y) " A f(x, y) e" m.
(ii) Liczba M " R jest najwiÄ™kszÄ… wartoÅ›ciÄ… funkcji f na zbiorze A ‚" Df,
jeżeli
"(x0, y0) " A f(x0, y0) = M '" "(x, y) " A f(x, y) d" M.
Algorytm szukania najmniejszej i największej wartości funkcji na
ograniczonym zbiorze domkniÄ™tym A ‚" Df.
1. Wyznaczamy punkty wewnątrz obszaru A, w których funkcja f może mieć
ekstrema lokalne.
2. Na brzegu obszaru A wyznaczamy punkty, w których f może mieć ekstrema
warunkowe.
3. Obliczamy wartości funkcji w znalezionych punktach i wybieramy wartość
najmniejszą i największą. Będą to odpowiednio wartość najmniejsza
m = fmin i największa M = fmax funkcji f na zbiorze A.
Przykład 20.
Znajdziemy najmniejszą fmin i największą fmax wartość funkcji
f(x, y) = x2 + 2xy - 4x + 8y
w obszarze A = {(x, y) " R2 : x " [0, 1] '" y " [0, 2]}.
17
7. Funkcje uwikłane.
Definicja 7.1.
Funkcją uwikłaną określoną przez równanie F (x, y) = 0 nazywamy każdą
funkcję y = y(x) spełniająca równość
F (x, y(x)) = 0
dla wszystkich x z pewnego przedziału I. Podobnie x = x(y) będzie funkcją
uwikłaną, jeśli
F (x(y), y) = 0
dla wszystkich y z pewnego przedziału J.
Twierdzenie 7.2. (o funkcji uwikłanej)
Załóżmy, że funkcja F (x, y) ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego
na otoczeniu O(x0, y0) punktu (x0, y0) oraz spełnia warunki
(i) F (x0, y0) = 0,
(ii) Fy(x0, y0) = 0.

Wówczas na pewnym otoczeniu O(x0) punktu x0 istnieje jednoznacznie określona
funkcja uwikłana y = y(x) spełniająca warunki:
Fx(x, y(x))
(1) y(x0) = y0, (2) y (x) = - " x " O(x0).
Fy(x, y(x))
Uwaga.
Jeżeli dodatkowo F jest klasy C2 na otoczeniu O(x0, y0) punktu (x0, y0),
to funkcja uwikłana y = y(x) jest dwukrotnie różniczkowalna na pewnym
otoczeniu O(x0) punktu x0 oraz

1
y = - Fxx (Fy)2 - 2 Fxy Fx Fy + Fyy (Fx)2 .
(Fy)3
18
Twierdzenie 7.3. (o ekstremach lokalnych funkcji uwikłanej)
Załóżmy, że funkcja F (x, y) spełnia warunki:
(i) F jest klasy C2 na otoczeniu punktu (x0, y0),
(ii) F (x0, y0) = 0,
(iii) Fx(x0, y0) = 0, Fy(x0, y0) = 0,

(iv)
Fxx(x0, y0)
A = - = 0.

Fy(x0, y0)
Wówczas funkcja uwikłana y = y(x) określona przez równanie F (x, y) = 0
ma w punkcie x0 ekstremum lokalne, przy czym jest to minimum, gdy A > 0,
zaÅ› maksimum, gdy A < 0.
Przykład 21.
Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji uwikłanej y = y(x) określonej równaniem
x3 + y3 - 8xy = 0.
19