Teoria Sprężystości i Plastyczności
Pękanie Materiałów
Klaudia Laskowska
Weronika A
ada
ZADANIA MECHANIKI P
KANIA:
" - poznanie i zdefiniowanie natury zjawiska fizycznego, jakim
jest proces pękania materiału,
" - dostarczenie dodatkowych narzędzi do obliczania konstrukcji
zawierających defekty typu mikropęknięcia o określonej
wielkości
" - określanie aktualnej wytrzymałości elementu przy obecności
wzrastających pęknięć
" - określenie dopuszczalnej wielkości pęknięcia przy założonym
poziomie obciążeń eksploatacyjnych
" - okres czasu wzrostu pęknięcia od momentu jego wykrycia do
momentu, w którym osiągnie ono wielkość krytyczną
" - ustalenie okresów czasu pomiędzy koniecznymi kolejnymi
badaniami konstrukcji, w celu wykrycia powstałych pęknięć
" - dostarczenie nowych parametrów opisujących właściwości
materiałów konstrukcyjnych, co pozwoli na optymalne
projektowanie z punktów widzenia kosztów i bezpieczeństwa.
PRZYPOMNIENIE:
Funkcja Airy ego jest funkcją, za pomocą której definiujemy
składowe stanu naprężenia. W układzie współrzędnych kartezjańskich
, poszczególne składowe tensora naprężeń obliczamy z
następujących związków ( przy założeniu, że siły masowe są równe
zero):
"
Trzy podstawowe sposoby obciążania elementu ze szczeliną,
które są odpowiednikami:
Typ I  rozrywania
Typ II - poprzecznego ścinania
Typ III  podłużnego ścinania
Rozpatrzmy przypadek belki obciążonej siłą skupioną w środku
jej rozpiętości i wolnopodpartą na krawędziach:
Naprężenia
Wyrażenie uniwersalne opisujące rozkład pól naprężeń
przed wierzchołkiem szczeliny w obciążonym ciele w płaskim
stanie naprężeń i odkształceń zostało opracowane przez Irwina.
dla ² = 180° przypadek szczeliny
dla ² < 180° przypadek karbu
W najogólniejszej formie przedstawia je wzór:
( )
= " ( ) + " " ( )
2
Gdzie:
jest uniwersalną funkcją kąta, niezależną od geometrii
próbki ani od obciążenia zewnętrznego,
r  jest odległością od wierzchołka szczeliny
, ( ) - współczynniki zależne od geometrii oraz od
obciążenia zewnętrznego
W powyższym wyrażeniu analiza sprowadza się do
pierwszego dominującego członu, co upraszcza wyrażenie do
następującej postaci:
= "
2
Pozostałe człony traktuje się jako  niefizyczne w związku z czym
mogą zostać pominięte, a błąd nie przekracza 10%.
Można więc wysunąć następujące wnioski  jedyną
wielkością która wyróżnia od siebie analizowane elementy
konstrukcyjne zawierajÄ…ce dowolnÄ… szczelinÄ™ jest skalarny
współczynnik (KI) zwany współczynnikiem intensywności
naprężeń WIN. Jest on funkcją zewnętrznego obciążenia,
długości szczeliny oraz parametrów geometrycznych próbki.
Dla przypadku belki trójpunktowo zginanej, można obliczyć
na podstawie poniższego wzoru:
"
= 3,75 "
" ( - ) /
Składowe naprężeń przed wierzchołkiem szczeliny dla I
sposobu obciążenia z uwzględnieniem tylko pierwszego członu
dla prostokątnego kartezjańskiego układu współrzędnych
przedstawia się następująco:
3
= = " " 1 + "
2 2 2
2
3
= = " " 1 - "
2 2 2
2
3
= = " " "
2 2 2
2
Wzrost pęknięć
Wzrost szczeliny zależy od bardzo wielu czynników, są
to między innymi:
- Sposób obciążenia (np. monotonicznie rosnące, stałe,
zmienne okresowo)
- Właściwości materiału (kruche, ciągliwe, wrażliwe lub
nie na prędkość odkształcania)
- Temperatura
- Åšrodowisko
Istnieje kilka teorii pozwalajÄ…cych na przewidywanie kierunku
wzrostu pęknięć szczelin stacjonarnych, jedna z nich to np. :
Kryterium gęstości energii odkształcenia
Dla PSN:
1 ð + 1
= ( + ) -( - )
4 4
Gdzie: ð = =
( )
Gęstość energii odkształceń można podzielić na gęstość odkształcenia
postaciowego oraz gęstość energii odkształcenia objętościowego
, czyli:
= +
Następnie z zależności opisujących naprężenia przed frontem
szczeliny:
3
= = " " 1 + "
2 2 2
2
3
= = " " 1 - "
2 2 2
2
3
= = " " "
2 2 2
2
Możemy zapisać współczynnik gęstości energii odkształcenia (
WGEO ) zapisać w postaci:
1
=
Gdzie :
1
= (1 + cos )(ð - )
16
PRZYKA
AD OBLICZENIOWY
Do obliczeń przyjęłyśmy belkę o wymiarach
1m x 0,25m x 0,25m wolnopodpartÄ…,
obciążoną siłą osiową P=10 kN.
W środku przyjęłyśmy rysę o długości a=10cm
Belka została wymodelowana w płaskim stanie
naprężeń.
Schemat wymodelowanej belki.
Obliczenia:
Współczynnik intensywności naprężeń WIN:
" 10 " 0,25
= 3,75 " = 3,75
" - 0,25 " (0,25 - 0,1)
= 645,497
r=0,001 m
Rozkład naprężeń przed wierzchołkiem szczeliny:
3
= = " " 1 + "
2 2 2
2
645,497 60 60 3 " 60
= " " 1 + "
2 2 2
2 0,001
= 3,345
 3
= = " " 1 - "
2 2 2
2
645,497 60 60 3 " 60
= " " 1 - "
2 2 2
2 0,001
= 1,115
3
= = " " "
2 2 2
2
645,497 60 60 3 " 60
= " " " = 0
2 2 2
2 0,001
Kierunek rozchodzenia siÄ™ rysy
,
ð = = = 2,33 [-]
,
= = = 12 916 666 [ ]
( ) "( , )
Po przekształceniu wzorów współczynnika gęstości energii
odkształcenia z warunku brzegowego = 0 otrzymujemy
zależność dzięki której wyznaczymy kąt, w którym będzie się
rozprzestrzeniało pęknięcie.
2 - ð - 1 = 0
Podane równanie speÅ‚nia siÄ™ dla kÄ…ta H" 56,3°
Dla wyliczonego kąta obliczamy współczynnik gęstości energii
odkształcenia
= 1 + cos ð - =
" 1 + 56,3° 2,33 - 56,3° = 1,34 " 10
"
= = 1,34 " 10 " 645,497 =
0,00177 [ / ]
Jeśli S osiągnie wartość nastąpi wzrost pęknięcia.
Gęstość energii wokół wierzchołka pęknięcia wynosi:
,
= = = 1,77
,
Analogiczne belkę wymodelowałyśmy w programie ROBOT.
Wartości naprężeń w okolicy wierzchołka rysy przedstawiają się
następująco:
Dla siatki o najmniejszym elemencie skończonym r=0,1 m
Dla siatki o najmniejszym elemencie skończonym r=0,01 m
Dla siatki o najmniejszym elemencie skończonym r=0,001 m
Porównanie wyników:
r
0,1 0,01 0,001
Obliczenia
x [Mpa] 0,814 2,575 8,143
ì
analityczne
Obliczenia MES x [Mpa] 0,13 0,86 2,03
ì
WNIOSKI:
" Naprężenia w wierzchołku rysy tak na prawdę dążą do
nieskończoności  mają charakter osobliwy gdy r 0. Program
komputerowy natomiast nie może pokazać takiej wartości,
gdyż opiera się na metodzie elementów skończonych i
pokazuje wartości obliczone dla najmniejszych elementów
skończonych i to w sposób przybliżony.
" Wartości naprężeń otrzymane z obliczeń analitycznych znacznie
różnią się od tych otrzymanych w programie ROBOT.
" Najlepszym porównaniem otrzymanych wyników są obliczenia
dla r=0,001 m, ponieważ obszar plastyczny przed frontem
szczeliny, przy którym można jeszcze stosować metody teorii
sprężystości ma promień 0,01a, czyli w naszym przypadku
0,01*0,1 m= 0,001 m
" Nie należy bezgranicznie ufać programom komputerowym
" Ważna jest wiedza i umiejętność wyczucia tego, czy otrzymane
wyniki są miarodajne i można na nich bazować podczas
wymiarowania konstrukcji.
Literatura:
"  Mechanika pękania  Andrzej Neimitz,
Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1998.
" Wykłady z Teorii Sprężystości i Plastyczności 
Politechnika Gdańska 2012.
DZI
KUJEMY ZA UWAG