dr hab. H. Gacki
Materiały pomocnicze Wykład 6, 7
Matematyka Stosowana, I rok Geologia 2012/13
Pochodna czÄ…stkowe, ekstrema funkcji wielu zmiennej.
Pochodna kierunkowa, F récheta. -zastosowania.
Notacja:
Otoczeniem o promieniu r > 0 punktu P0 na płaszczyz
nie lub w przestrzeni nazywamy zbiór:

O(P0, r) := P : |P, P0| < r
Sąsiedztwem o promieniu r > 0 punktu P0 na płaszczyz
nie lub w przestrzeni nazywamy zbiór:
S(P0, r) := O(P0, r) \ {P0}
Zbiór A jest ograniczony, jeżeli jest zawarty w otoczeniu pewnego punktu.
P jest punktem skupienia zbioru A, jeżeli w każdym sąsiedztwie tego punktu można znalez
ć punkty
ze zbioru A, tzn. dla każdej liczby dodatniej r zachodzi warunek S(P, r) )" A = ".

Twierdzenie 1. Jeżeli f : U ‚" Rk R1 jest ci¸ w punkcie x0 " U, gdzie x0 = (x1, x2, ..., xk) to
agła
0 0 0
funkcja jednej zmiennej fi : R1 R1 określona wzorem
fi(xi) = f(x1, x2, ..., xi-1, xi , xi+1, ..., xm)
0 0 0 0 0

jest ci¸ w xi , dla każdego i = 1, 2, ..., k.
agła
0
Uwaga 1. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe.
PrzykÅ‚ad 1. Rozważmy funkcj¸ f : R2 R dan¸ wzorem:
e a
Å„Å‚
x3y
òÅ‚
gdy (x, y) = (0, 0)

x6+y2
f(x, y) =
ół
0 dla (x, y) = (0, 0).
Aby pokazać, że funkcja ta jest nieciagła w (0, 0) wystarczy wziaść dwa ciagi
¸ ¸ ¸

1 1 1 1
Pn , 2 oraz Qn , 3
n n3 n n3
A
atwo przeliczyć, że
2 3
f(Pn) = oraz f(Qn) = .
5 10
Czyli
lim f(Pn) = lim f(Qn),

n" n"
co Å›wiadczy o tym , że funkcja f nie jest ci¸ w (0, 0), ponieważ
agła
lim Pn = lim Qn = (0, 0).
n" n"
Ale funkcje f(0, y) oraz f(x, 0) s¸ ciagÅ‚e jako funkcje jednej zmiennej.
a ¸
Twierdzenie 2. Jeżeli funkcja f : U ‚" Rk R, ma w zbiorze U dla i, j = 1, ...k
"2f
pochodne mieszane (x) które s¸ funkcjami ci¸
a agłymi, to
"xj"xi
"2f "2f
(1) (x) = (x) dla x " U
"xj"xi "xi"xj
1
Twierdzenie 3. Jeżeli U ‚" Rk jest zbiorem niepustym i otwartym ,a funkcja f : U ‚" Rk R, ma w
punkcie x " U ekstremum lokalne i f jest różniczkowalna w punkcie x, to dla dowolnego i " {1, ..., n}
"f
(x) = 0
"xi
.
PrzykÅ‚ad 2. Rozważmy funkcj¸ f(x, y) = x2 - y2 wtedy P0(0, 0) jest rozwiÄ…zaniem
e
"f "f
= 2x = 0, = -2y = 0.
"x "y
W P0(0, 0) nie może być ekstremum bo w dowolnym otoczenie P0(0, 0) o promieniu r są zawsze dwa punkty

r r
P1 2, 0 , oraz P2 0, dla których zachodzi nierówność
2

r r
f P1 " f P2 = f , 0 " f 0, < 0
2 2
St¸ oraz definicji ekstremum wynika, że w tym punkcie nie może być ekstremum.
ad
Macierz drugich pochodnych czÄ…stkowych
îÅ‚ Å‚Å‚
"2f "2f
(x) (x)
"2f
"x2 "x1"x2
ðÅ‚ 1 ûÅ‚
"1(x) = (x), "2(x) = det
"2f "2f
"x2
(x) (x)
1
"x2"x1 "x2
2
îÅ‚ Å‚Å‚
"2f "2f
(x) ... (x)
"x2 "x1"xi
1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
"i(x) = det ... ... ...
ðÅ‚ ûÅ‚
"2f "2f
(x) ... (x)
"xi"x1 "x2
i
...........................................................................
îÅ‚ Å‚Å‚
"2f "2f "2f
(x) (x) ... (x)
"x2 "x1"x2 "x1"xk
ïÅ‚ śł
1
ïÅ‚ śł
"2f "2f "2f
ïÅ‚ śł
(x) (x) ... (x)
"x2"x1 "x2 "x2"xk
ïÅ‚ śł
2
"k(x) = det
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ ... ... ... ... śł
ðÅ‚ ûÅ‚
"2f "2f "2f
(x) (x) ... (x)
"xk"x1 "xk"x2 "x2
k
Twierdzenie 4. Jeżeli funkcja f : U ‚" Rk R, ma w zbiorze U otwartym, niepustym ci¸ pochodne
agłe
" f
cz¸ edu
astkowe rz¸ drugiego oraz (x) = 0, i " {1, ..., k}.
"xi
" Ponadto, jeżeli dla każdego i " {1, ..., k}
"i(x) > 0,
to f ma w punkcie x minimum lokalne.
" Z kolei, jeżeli dla każdego i " {1, ..., k}
(-1)i"i(x) > 0,
to f w punkcie x ma maksimum lokalne.
" Jeżeli nie jest spełniony żaden z warunków

"i(x) 0 lub (-1)i"i(x) 0,
1 i n 1 i n
to funkcja f nie posiada ekstremum lokalnego w punkcie x.
2
Rozważmy ponownie funkcj¸ f(x, y) = x2 - y2. Ponieważ
e
"f "f
= 2x = 0, = -2y = 0 dla x = (0, 0). StÄ…d
"x "y
îÅ‚ Å‚Å‚

"2f "2f
(x) (x)
2 0
"x2 "x1"x2
ðÅ‚ 1 ûÅ‚
"2(x) = det = det = -4
"2f "2f
0 -2
(x) (x)
"x2"x1 "x2
2
Ponadto

"2f
"1 x = det (x) = det 2 = 2
"x2
1
Z Punktu 3 twierdzenia wynika, że funkcja ta nie posiada ekstremum w x = (0, 0).
Zastosowanie w ekonomii
ZADANIE 1. Firma może wyprodukować dziennie x hektolitrów substancji, którą sprzedaje po 60 zł. za
hektolitr oraz y hektolitrów substancji, którą sprzedaje po 100 zł. za hektolitr. Koszty produkcji wynoszą
40x + 60y + x2 + 2y2 zł. Przy jakim doborze x oraz y zysk będzie największy i ile wyniesie? Rozważyć dwa
warianty:
1. gdy daje się wyprodukować co najwyżej 8 hektolitrów pierwszej substancji oraz 15 hektolitrów drugiej,
2. gdy w sumie daje się wyprodukować 17 hektolitrów obu substancji.
Trzeba wyznaczyć maksimum globalne funkcji
f(x, y) = 60x + 100y - 40x - 60y - x2 - 2y2 = 20x + 40y - x2 - 2y2
W obszarze ograniczonym prostymi
x = 0, x = 8, y = 0, y = 15.
1. Szukamy punktów podejrzanych we wnętrzu tego obszaru.
Å„Å‚
òÅ‚
20 - 2 · x = 0,
ół
40 - 4 · y = 0.
Rozwiązaniem jest punkt P (10, 10) które nie leży w obszarze.
2. Brzeg obszaru dzielimy na fragmenty postaci
fragment 1: x = x(y) = 0 dla y " [0, 15],
fragment 2: x = x(y) = 8 dla y " [0, 15],
fragment 3: y = y(x) = 0 dla x " [0, 8],
fragment 4: y = y(x) = 15 dla x " [0, 8]
Rozważmy fragment 1

g(y) = f(0, y) = 40 · y - 2 · y2 czyli g (y) = 40 - 4 · y.
Z równania tego otrzymamy punktem podejrzany A(0, 10).
Rozważmy fragment 2

h(y) = f(8, y) = 96 + 40 · y - 2y2 czyli h (y) = 40 - 4 · y
Z równania tego y2 = 10. Liczba ta leży w obszarze [0, 15]. Zatem B(8, 10) jest punktem podejrzanym.
3
Rozważmy fragment 3

k(x) = f(x, 0) = 20 · x - x2 czyli k (x) = 20 - 2 · x = 0
. Z równania tego x = 10. Liczba ta nie leży w przedziale [0, 8].
Rozważmy fragment 4

l(x) = f(x, 15) = -x2 + 20 · x + 150 czyli l (x) = 20 - 2 · x = 0.
Z równania tego x = 10. Liczba ta nie leży w przedziale [0, 8].
Dokładamy końce rozważanych fragmentów czyli punkty C(0, 0), D(8, 0), E(8, 15), F (0, 15).
3. Sprawdzamy wartości w uzyskanych punktach

f 8, 10 = 296, f 0, 10 = 200, f 0, 0 = 0,

f 8, 0 = 96, f 8, 15 = 246, f 0, 15 = 150.
Niech x " U ‚" Rm i niech " Rm, || = 1.
v v||
Definicja 1. Pochodn¸ kierunkow¸ funkcji f : U ‚" Rm Rk w punkcie x w kierunku wektora
a a
nazywamy granic¸
v e.
f(x + t - f(x)
v)
(2) lim ,
t0
t
" f
(o ile istnieje). Przyjmujemy oznaczenia (x), " f(x) lub D f(x).
v v
"
v
Wniosek 1. Dla f : U ‚" Rm R pochodna czÄ…stkowa wzglÄ™dem i-tej zmiennej jest pochodnÄ… kierunkowÄ…

względem ei = (0, . . . , 1(i), . . . , 0) tzn.
"f "f
(x) = (x)

"ei "xi
Przykład 3. Korzystając z definicji obliczyć pochodną kierunkową funkcji
f(x, y) = x2 + y2
w punkcie P0 = (0, 0)
"
3
w kierunku wersora = (1, - )
v
2 2
2 " 2
1 3
t + - t - 0
f(x + t - f(x)
v)
2 2
lim = lim
t0 t0
t t
t2
= lim = 0.
t0
t
" fi
Twierdzenie 5. Niech f : U ‚" Rm Rk. Jeżeli wszystkie pochodne cz¸
astkowe , i = 1, . . . k, j = 1, . . . m
"xj
" f
s¸ ci¸ w punkcie x, to dla dowolnego wersora v " Rm istnieje pochodna kierunkowa (x) oraz
a agłe
"v
îÅ‚ Å‚Å‚
" f1 " f1
...
"x1 "xm
ïÅ‚ śł
"f
ïÅ‚ śł
(x) = ... ... ...
v.
ðÅ‚ ûÅ‚
"
v
" fk " fk
...
"x1 "xm
"f "f
W naszym przykładzie (x, y) = 2x, (x, y) = 2y
"x "y

1 1
"f "f
2 2
" "
StÄ…d [ (0, 0), (0, 0)] = [0, 0] = 0
3 3
"x "y - -
2 2
4
" fi
Twierdzenie 6. Niech f : U ‚" Rm Rk. Jeżeli wszystkie pochodne cz¸
astkowe , i = 1, . . . k, j = 1, . . . m
"xj
s¸ ci¸ w punkcie x, to odwzorowanie liniowe A : U ‚" Rm Rk postaci
a agłe
îÅ‚ Å‚Å‚
" f1 " f1
...
"x1 "xm
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
A h = ... ... ... h.
ðÅ‚ ûÅ‚
" fk " fk
...
"x1 "xm
nazywamy pochodna F récheta funkcji f w punkcie x.
(3) Pokazuje się, że f(x + h) - f(x) - Ah = o(h),
||o(h)|| ||f(x + h) - f(x) - Ah||
gdzie lim = 0, lub lim = 0.
h0 h0
||h|| ||h||
Uwaga 2. Rozważmy funkcjÄ™ f : U ‚" Rm R i niech f bÄ™dzie różniczkowalna w x. Oznaczmy przez
x = ( x1, . . . xm) przyrost argumentu funkcji f. Zgodnie z definicjÄ… pochodnej Frecheta przyrost
wartości funkcji f wyraża się wzorem
"f "f
f = f(x + x) - f(x) H" (x) x1 + ... + (x) xm,
"x1 "xm
a wyrażenie
"f "f
df(x)( x) = (x) x1 + ... + (x) xm
"x1 "xm
nazywamy różniczką funkcji f w punkcie x odpowiadającą przyrostowi argumentu x.
Niech wielkości fizyczne x1, . . . , xm będą związane zależnością z = f(x1, . . . , xm), gdzie funkcja f ma
ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu. Ponadto niech x1, ..., xm oznaczają odpowiednio błędy
bezwzględne pomiaru wielkości x1, ..., xm. Wtedy błąd bezwzględny z obliczeń wielkości z wyraża się
wzorem przybliżonym :

"f "f

z = (x) + ... + (x)
x1 xm.
"x1 "xm
Przykład 4. Przy pomocy menzurki można zmierzyć objętość ciała z dokładnością V = 0.1cm3, a przy
pomocy wagi sprężynowej można ustalić jego masę z dokładnością M = 1g. Objętość ciała zmierzona
tym sposobem wynosi V = 25cm3, a masa M = 200g. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć
gęstość ł tego ciała ?
W tym przypadku x1 = M, x2 = V, x = (200, 25) oraz
M " f 1 " f M
z(M, V ) = , = , = -
2
V "M
V "V V


" f " f
z = (x) + (x) =
M "V V
"M


1
z = (x) + (x) =
M M V
2
V -V


1 200
z = · 1 + · 0.1 = 0.072
25 -252
Uwaga 3. W przypadku funkcji f : U ‚" Rm R,

"f "f
A = (x), ..., (x)
"x1 "xn
Macierz tę nazywamy gradientem funkcji f w punkcie x i oznaczamy symbolem Gradxf. W szczególności
z własności iloczynu skalarnego dla v " Rm, v = 1 mamy

"f

(4) (x) = Gradxf Gradxf · Gradxf .
v v
"
v
5
Gradxf " f
Wniosek 2. Dla = otrzymamy |" (x)| = |Gradxf = ||Gradxf|||| = ||Gradxf||.
v v| v||
Gradxf v
Wniosek 3. .
1. Pochodna kierunkowa w kierunku wektora gradientu jest najwi¸ liczbÄ… co do wartoÅ›ci
ekszÄ…
bezwzględnej lub inaczej Kierunek gradientu jest kierunkiem najszybszego wzrostu funkcji.
Zakładamy, że dana jest powierzchnia S o równaniu

S = (x, y, z) " U ‚" R3 : z = f(x, y), (x, y) " U ‚" R2
Ustalmy punkt P0(x0, y0) " U i niech z0 = f(x0, y0) , M0(x0, y0, z0). Zakładamy że funkcja f jest
różniczkowalna w P0.
Definicja 2. PÅ‚aszczyzn¸ o równaniu:
e
"f "f
z - z0 = (x0, y0)(x - x0) + (x0, y0)(y - y0)
"x "y
nazywamy pÅ‚aszczyzn¸ styczn¸ do powierzchni S w punkcie M0.
a a
" f
Wniosek 4. Wektor [" f (x0, y0), (x0, y0), -1] jest wektorem normalnym tej płaszczyzny w punkcie M0.
"x "y
6