MECHANIKA GRUNTÓW I FUNDAMENTOWANIE
MECHANIKA GRUNTÓW I FUNDAMENTOWANIE
Budownictwo semestr 4
Budownictwo semestr 4
WA
AŚCIWOŚCI MECHANICZNE GRUNTÓW.
WA
AŚCIWOŚCI MECHANICZNE GRUNTÓW.
WYTRZYMAA
OŚĆ GRUNTÓW NA ŚCINANIE
WYTRZYMAA
OŚĆ GRUNTÓW NA ŚCINANIE
1
Mechanizm utraty wytrzymałości w odniesieniu do gruntów jest inny niż w przy-
padku ośrodków stałych typu metal czy skała, które są zdolne do przeniesienia
znacznych naprężeń ściskających, czy rozciągających. Wytrzymałość gruntów na
ściskanie w porównaniu z nimi jest nieznaczna, zaś wytrzymałość na rozciąganie
w gruntach praktycznie nie istnieje.
Analiza sytuacji, w których doszło do naruszenia stateczności posadowienia
obiektu lub np. wystąpienia osuwiska mas gruntowych dowodzi, że zawsze
można w takich przypadkach zaobserwować przemieszczenie (poślizg) pewnej
części podłoża gruntowego względem pozostałej części. Oznacza to, że wskutek
oddziaływania zewnętrznego, np. obiektu budowlanego (jego obciążenia),
nastąpiło na pewnej powierzchni wewnątrz masywu gruntowego osiągnięcie sta-
nu, w którym naprężenie styczne do takiej powierzchni jest równe wytrzymałości
gruntu na ścinanie. Dominujące znaczenie dla gruntów posiada zatem
wytrzymałość na ścinanie.
Można powiedzieć, że ścinanie w gruncie polega na przesunięciu (prze-
mieszczeniu) jednej części ośrodka gruntowego względem pozostałej w wyniku
przekroczenia oporu gruntu na Å›cinanie (wytrzymaÅ‚oÅ›ci gruntu na Å›cinanie - Äf)
Ä
Ä
Ä
przez skÅ‚adowÄ… stycznÄ… (Å›cinajÄ…cÄ…) dziaÅ‚ajÄ…cego naprężenia - Ä
Ä
Ä
Ä
Ä e" Äf
Ä Ä
Ä Ä
Ä Ä
2
Rys. 1
Jeżeli Ä = Äf, to wystÄ™puje stan graniczny Å›cinania w gruncie, a gdy Ä < Äf, to mamy
Ä Ä Ä Ä
Ä Ä Ä Ä
Ä Ä Ä Ä
do czynienia ze stanem równowagi sprężystej w gruncie. Opór gruntu Äf dziaÅ‚a w
Ä
Ä
Ä
tej samej płaszczyz
nie co skÅ‚adowa Å›cinajÄ…ca Ä
Ä, lecz ma zwrot przeciwny.
Ä
Ä
WytrzymaÅ‚oÅ›ciÄ… gruntu na Å›cinanie Äf nazywa siÄ™ najwiÄ™kszy (graniczny) opór,
Ä
Ä
Ä
jaki stawia grunt składowym stycznym (ścinającym) naprężenia, w rozpatrywanym
punkcie ośrodka gruntowego. 3
Znajomość wytrzymałości gruntu na ścinanie jest nieodzowna przy rozpatrywa-
niu zagadnień związanych z bezpiecznym (czyli w zakresie równowagi
quasisprężystej) posadawianiem obiektów budowlanych, formowaniu zboczy
gruntowych (np. w nasypach drogowych czy kolejowych) o bezpiecznym
nachyleniu itp. Zagadnienie to zostało sformułowane przez Ch. Coulomba, który 
będąc inżynierem wojskowym zajmującym się budową fortyfikacji  jako
pierwszy podał wzór ujmujący wytrzymałość gruntu sypkiego na ścinanie (1773
r.). Wychodząc z zależności dotyczącej tarcia pomiędzy dwoma ciałami stałymi 
T = N · µ - zapisaÅ‚ jÄ… w odniesieniu do tarcia zachodzÄ…cego wewnÄ…trz gruntu:·
Äf = Ã Å" tgÅš
Ä Ã
Ä Ã
Ä Ã
gdzie: à - skÅ‚adowa normalna dziaÅ‚ajÄ…cego naprężenia, Åš - kÄ…t tarcia wewnÄ™trz-
à Ś
à Ś
à Ś
nego, tgŚ współczynnik tarcia wewnętrznego.
Åš
Åš
Åš
Równanie to zostało póz
niej uogólnione również na grunty spoiste w postaci:
Äf = Ã Å" tgÅš + c
Ä Ã
Ä Ã
Ä Ã
gdzie: c  spójność (kohezja), czyli opór gruntu stawiany siłom zewnętrznym,
wywoÅ‚any wzajemnym przyciÄ…ganiem czÄ…stek gruntu. Dla à = 0 mamy Äf = c, a
à Ä
à Ä
à Ä
więc spójność jest to wytrzymałość gruntu na ścinanie przy braku naprężeń
normalnych.
4
Obrazem graficznym równania Coulomba jest linia prosta przechodząca przez
poczÄ…tek ukÅ‚adu współrzÄ™dnych Ä - à dla gruntów sypkich i przecinajÄ…ca oÅ› Ä na
Ä Ã Ä
Ä Ã Ä
Ä Ã Ä
rzÄ™dnej Ä = c w przypadku gruntów spoistych. Prosta Coulomba stanowi zatem
Ä
Ä
Ä
zbiór punktów speÅ‚niajÄ…cych warunek stanu granicznego Ä = Äf. Nachylenie
Ä Ä
Ä Ä
Ä Ä
prostej do poziomu wyznacza wartość kąta tarcia wewnętrznego Ś
Åš:
Åš
Åš
Rys. 2
5
Opór Å›cinania Äf skÅ‚ada siÄ™ z dwu skÅ‚adowych: oporu tarcia wewnÄ™trznego i oporu
Ä
Ä
Ä
spójności. W przypadku ścinania gruntów o strukturze ziarnistej mamy do
czynienia z oporem tarcia posuwistego oraz z oporem tarcia obrotowego na
kontaktach ziaren. Występuje tam również opór związany z wzajemnym
zazębianiem się ziaren, a także z ich wielkością i stopniem obtoczenia. Opór
spójności zależy w największej mierze od zawartości cząstek frakcji iłowej i
występujących pomiędzy nimi sił molekularnych.
Oba parametry: Ś oraz c charakteryzują więc wytrzymałość gruntów na ścinanie i
Åš
Åš
Åš
w związku z tym zachodzi konieczność oznaczania ich wartości. Są to
podstawowe parametry wytrzymałościowe gruntów. W warunkach laborato-
ryjnych wykorzystuje się do ich oznaczenia dwa rodzaje przyrządów:
- aparat bezpośredniego ścinania (skrzynkowy),
- aparat trójosiowego ściskania.
Do przeprowadzenia oznaczenia niezbędna jest próbka o naturalnej strukturze 
NNS. Ponieważ uzyskanie takiej próbki dla gruntów sypkich jest utrudnione,
badanie wykonuje się wtedy na próbce o naruszonej strukturze, która w samym
aparacie jest zagęszczona do stopnia zagęszczenia zbliżonego do wartości
naturalnej.
6
Aparat bezpośredniego ścinania
Rys. 3
7
W aparacie bezpośredniego ścinania próbka gruntu znajduje się wewnątrz
dwudzielnej skrzynki o przekroju kwadratowym. Wymienne skrzynki majÄ…
długość boku próbki od 6,0 cm do 12,0 cm (im grubsze uziarnienie gruntu  tym
większa skrzynka), zaś wysokość próbki 1,5  2,5 cm. Płaszczyzna podziału
skrzynki na część górną  ruchomą i dolną  nieruchomą, przebiega w połowie
wysokości próbki. Górna i dolna powierzchnia próbki ma kontakt z płytkami
filtracyjnymi umożliwiającymi swobodny odpływ wody z próbki pod
obciążeniem. Na próbkę, za pośrednictwem tłoka, można przykładać obciążenie
siłą pionową, która w trakcie badania jest niezmienna, zaś do górnej części
skrzynki przykłada się obciążenie siłą poziomą. Zamocowane czujniki pozwalają
na dokonanie pomiaru wzajemnego przemieszczenia obu części skrzynki jak i
zmian wysokości próbki w trakcie badania. Po umieszczeniu próbki w aparacie
poddaje się ją wstępnej konsolidacji naciskiem siłą pionową, która działa również
na próbkÄ™ podczas Å›cinania dajÄ…c naprężenie pionowe - Ã. NastÄ™pnie poddaje siÄ™
Ã
Ã
Ã
próbkę ścinaniu poprzez przyłożenie zwiększającej się siły poziomej. Moment
ścięcia objawia się ustaniem przyrostu (a nawet lekkim cofnięciem) odczytów na
czujniku dynamometru do pomiaru siły poziomej. Ustala się największą wartość
siły w momencie ścięcia - Tmax oraz wzajemne przesunięcie skrzynek aparatu -
"a. Na tej podstawie oblicza się pole przekroju ścięcia próbki:
"
"
"
Fs = a Å"(a - "a)
8
Wartości naprężeń: stycznego w chwili ścięcia (wytrzymałości na ścinanie) i
normalnego oblicza się ze wzorów:
Q
T
i
max i
Ä = Ã =
Ä = Ã =
Ä = Ã =
Ä = Ã =
i
fi
F
F
s
s
MajÄ…c Ãi oraz Äfi uzyskuje siÄ™ jeden punkt wykresu à - Ä. WykonujÄ…c kolejne
Ã Ä Ã Ä
Ã Ä Ã Ä
Ã Ä Ã Ä
próby (N e" 5), przy różnych wartoÅ›ciach naprężenia pionowego à dziaÅ‚ajÄ…cego na
Ã
Ã
Ã
próbki dysponujemy zbiorem punktów, które następnie aproksymujemy linią
prostą graficznie, lub - dla uzyskania większej dokładności - analitycznie metodą
najmniejszych kwadratów. Pozwala to na wyznaczenie kąta tarcia wewnętrznego
oraz spójności.
Rys. 4
9
Wzory na obliczenie kąta tarcia wewnętrznego i spójności w metodzie najmniej-
szych kwadratów są następujące:
N ÃiÄfi - Ãi Äfi
Ã Ä Ã Ä
Ã Ä Ã Ä
Ã Ä Ã Ä
" " "
Åš = arctg
Åš
Åš
Åš
N (Ãi )2 - ( Ãi )2
à Ã
à Ã
à Ã
" "
(Ãi )2 Äfi - Ãi ÃiÄfi
Ã Ä Ã Ã Ä
Ã Ä Ã Ã Ä
Ã Ä Ã Ã Ä
" " " "
c =
N (Ãi )2 - ( Ãi )2
à Ã
à Ã
à Ã
" "
Średnie odchylenia kwadratowe (błędy oznaczenia) kąta tarcia wewnętrznego i
spójności oblicza się ze wzorów:
1
îÅ‚ Å‚Å‚2
180o N "2
"
"i
"
"
sÅš = Å"cos2 Åš
Åš
Åš
Åš
Åš
Åš
Åš
ïÅ‚N - 2 Å" N"(Ãi )2 - ("Ãi )2 śł
Ä„ Ã Ã
Ä„ Ã Ã
Ä„ Ã Ã
Ä„
ðÅ‚ ûÅ‚
1 1
îÅ‚ Å‚Å‚2 îÅ‚" Å‚Å‚2
N "2 (Ãi )2
" Ã
"i Ã
" Ã
"
sc = Å"
ïÅ‚N - 2 Å" N"(Ãi )2 - ("Ãi )2 śł ïÅ‚ śł
à Ã
à à N
à Ã
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
gdzie: Ãi - naprężenia normalne w poszczególnych próbkach, Äfi - wytrzymaÅ‚ość na
à Ä
à Ä
à Ä
ścinanie poszczególnych próbek, "i - różnice oznaczonych i obliczonych wartości
"
"
"
wytrzymałości na ścinanie:
"i = Äfi - Ãi tgÅš - c
" Ä Ã Åš
" Ä Ã Åš
" Ä Ã Åš
10
Przy badaniu w aparacie bezpośredniego ścinania nie ma możliwości dokonania
pomiaru bardzo ważnego parametru, jakim jest wartość ciśnienia wody w porach
gruntu podczas ścinania. Wady tej nie ma aparat trójosiowego ściskania
Rys. 5
11
Próbka gruntu w aparacie trójosiowego ściskania ma kształt walca o średnicy
najczęściej 38 mm i wysokości 76 mm. Jest ona otoczona cienką gumową osłonką i
znajduje się wewnątrz komory ciśnieniowej, ustawiona na perforowanej podstawie,
z góry przykryta tłoczkiem z perforacją. Zadaniem filtrów dolnego i górnego jest
odprowadzenie wody z próbki w trakcie badania. Osłonka jest szczelnie połączona
z podstawą i tłoczkiem tak, że próbka jest odizolowana od wnętrza komory. Do
wnętrza komory doprowadzona jest woda pod ciśnieniem - p, które jest stałe
podczas badania. Do górnego tłoczka przylega trzpień, za pośrednictwem którego
przykładane jest na próbkę obciążenie siłą pionową, mierzoną dynamometrem.
Istnieje również możliwość pomiaru zmian wysokości próbki. Do podstawy próbki
podłączony jest za pośrednictwem zaworu układ do pomiaru ciśnienia wody w
porach gruntu.
Po zamocowaniu próbki wewnątrz komory i uszczelnieniu komory przez
dokręcenie do podstawy, napełnia się ją wodą pod określonym ciśnieniem. Zgodnie
z prawem Pascala ciśnienie to działa we wszystkich kierunkach jednakowo,
obciąża więc powierzchnię boczną próbki i działa też na jej górną powierzchnię 
jest to etap konsolidacji izotropowej (wszechstronnego ściskania) próbki. Po
zakończeniu konsolidacji następuje ścinanie próbki przez zwiększenie obciążenia
pionowego za pośrednictwem trzpienia. Ścięcie objawia się ustaleniem największej
12
wartości siły pionowej, odczytywanej na dynamometrze.
Ze względu na cylindryczny kształt próbki oraz sposób przyłożenia na nią
obciążenia, w próbce panuje przestrzenny obrotowo-symetryczny stan naprężenia.
Ciśnienie wody, stanowiące obciążenie próbki, nie wywołuje na jej powierzchni
naprężeń stycznych, a zatem normalne naprężenia poziome, równe co do wartości
ciÅ›nieniu wody w komorze aparatu sÄ… równoczeÅ›nie naprężeniami głównymi Ã2 i
Ã
Ã
Ã
Ã3. SÄ… one sobie równe. Naprężenie pionowe, wywoÅ‚ane obciążeniem zew-
Ã
Ã
Ã
nÄ™trznym, jako prostopadÅ‚e do naprężeÅ„ Ã2 i Ã3 jest również naprężeniem
à Ã
à Ã
à Ã
głównym Ã1. Zatem stan naprężenia w momencie Å›ciÄ™cia można opisać
Ã
Ã
Ã
nastÄ™pujÄ…co: Ã2 = Ã3 = p oraz Ã1 > Ã2 = Ã3.
à à à à Ã
à à à à Ã
à à à à Ã
Naprężenie Ã1 przy Å›ciÄ™ciu jest równe:
Ã
Ã
Ã
à = à +Qmax / A
à Ã
à Ã
à Ã
1 3
Ścięcie zostało zatem spowodowane przyrostem
naprężeń
à - à = Qmqx / A
à Ã
à Ã
à Ã
1 3
Ten przyrost nosi nazwę dewiatora naprężenia.
Rys. 6 - Schemat obciążenia (naprężenia)
działającego na próbkę przy ścięciu
13
A - pole przekroju poprzecznego próbki
przy ścięciu
Do interpretacji wyników badania trójosiowego korzystamy z konstrukcji koła
Mohra, które w sposób graficzny przedstawia stan naprężenia w próbce gruntu
w momencie osiągnięcia stanu granicznego - ścięcia próbki:
Ä…
F
AB || FP1
Rys. 7
14
KoÅ‚o Mohra kreÅ›li siÄ™ na podstawie znanych wartoÅ›ci naprężeÅ„ głównych Ã1 i
Ã
Ã
Ã
Ã3. OdlegÅ‚ość Å›rodka koÅ‚a Mohra od poczÄ…tku ukÅ‚adu współrzÄ™dnych wynosi:
Ã
Ã
Ã
Ã1 + Ã3
à Ã
à Ã
à Ã
a = DO =
2
Promień koła Mohra jest równy:
Ã1 - Ã3
à Ã
à Ã
à Ã
R = OP1 =
2
WspółrzÄ™dne punktu P1 na kole Mohra przedstawiajÄ… skÅ‚adowe naprężenia (à Ä
Ã;Äf)
à Ä
à Ä
jakie występują na płaszczyz
nie ścięcia wewnątrz próbki, nachylonej pod kątem ą
Ä…
Ä…
Ä…
wzglÄ™dem kierunku dziaÅ‚ania mniejszego z naprężeÅ„ głównych Ã3: AB || FP1.
Ã
Ã
Ã
Punkt P1 przedstawia więc stan naprężeń granicznych. Jak wynika z rysunku kąt
EP1O jest równy Ś ą:
Åš. Wobec tego kÄ…t 2Ä…
Åš Ä…
Åš Ä…
2Ä… = 180o - (90o - Åš) = 90o + Åš
Ä… Åš Åš
Ä… Åš Åš
Ä… Åš Åš
A zatem płaszczyzna AB jest nachylona do poziomu pod kątem:
Åš
Åš
Åš
Åš
Ä… = 45o +
Ä…
Ä…
Ä…
2
15
Dla określenia parametrów wytrzymałościowych Ś i c niezbędne jest ścięcie
Åš
Åš
Åš
kilku próbek tego samego gruntu (N e" 5) przy różnych wartościach ciśnienia
wody p=Ã3 w komorze aparatu. Uzyskujemy zatem odpowiadajÄ…cÄ… liczbie
Ã
Ã
Ã
próbek liczbę kół Mohra. Wspólna styczna (obwiednia) do kół Mohra jest prostą
daną równaniem Coulomba, gdyż każdy punkt styczności przedstawia stan
graniczny naprężeń występujący w danej próbce przy ścięciu. Równanie prostej
(a stąd wartości Ś i c) wyznacza się najczęściej przez aproksymację wyników
Åš
Åš
Åš
linią prostą przy pomocy metody najmniejszych kwadratów, korzystając ze
wzorów analogicznych jak przy interpretacji rezultatów bezpośredniego
ścinania
Rys. 8
16
Naprężenia efektywne. Efektywne parametry wytrzymałościowe
Omawiając zjawisko konsolidacji zwróciliśmy uwagę na rolę wody znajdującej
się w porach gruntu przy przenoszeniu obciążeń. Wiąże się z tym bardzo ważne
pojęcie w mechanice gruntów jakim jest pojęcie naprężenia efektywnego. Otóż
naprężenie efektywne jest to wartość naprężenia normalnego działającego na
szkielet gruntowy. Zasadę naprężeń efektywnych w gruntach wprowadził K.
Terzaghi w postaci następującego wyrażenia
à = Ã'+u
à Ã
à Ã
à Ã
gdzie: à - wartość caÅ‚kowitego naprężenia normalnego w rozpatrywanym punkcie
Ã
Ã
Ã
oÅ›rodka gruntowego, à - wartość naprężenia efektywnego, u - wartość ciÅ›nienia
Ã
Ã
Ã
wody w porach gruntu.
Znając zatem oprócz całkowitego naprężenia normalnego w gruncie, również
wartość ciśnienia wody w porach możemy wyznaczyć naprężenie działające na
szkielet gruntowy. Woda jest czynnikiem współdziałającym ze szkieletem w
przenoszeniu obciążenia tylko w początkowym okresie jego działania. Póz
niej
następuje częściowy odpływ wody z porów,a w końcowym efekcie całe obciąże-
nie przejmuje szkielet. Dlatego tak ważna jest znajomość ciśnienia wody w
porach możliwa do realizacji w aparacie trójosiowego ściskania.
17
Wartość naprężenia efektywnego można wyznaczyć z przekształcenia
powyższego wzoru:
Ã'= Ã - u
à Ã
à Ã
à Ã
Jeżeli podstawimy teraz do wzoru Coulomba naprężenie efektywne
otrzymamy:
Äf = Ã'tg Åš'+c'= (Ã - u)tgÅš'+c'
Ä Ã Åš Ã Åš
Ä Ã Åš Ã Åš
Ä Ã Åš Ã Åš
Występujące w tym wzorze parametry Ś i c noszą nazwę efektywnych
Åš
Åš
Åš
wartości kąta tarcia wewnętrznego i spójności. Jak zauważyliśmy wcześniej, w
aparacie trójosiowego ściskania istnieje możliwość pomiaru ciśnienia wody w
porach, a więc oznaczenia efektywnych wartości Ś i c . Jak przebiega inter-
Åš
Åš
Åš
pretacja wyników badania dla naprężeń efektywnych? Współrzędna środka koła
Mohra oraz jego promień dla naprężeń efektywnych będą równe :
a'= 0,5Å"(Ã'1+Ã'3 ) = 0,5Å"(Ã1 - u + Ã3 - u) =
à à à Ã
à à à Ã
à à à Ã
= 0,5Å"(Ã1 + Ã3 - 2u) = 0,5Å"(Ã1 + Ã3) - u = a - u
à à à Ã
à à à Ã
à à à Ã
R'= 0,5Å"(Ã'1-Ã'3 ) = 0,5Å"(Ã1 - u - Ã3 + u) =
à à à Ã
à à à Ã
à à à Ã
= 0,5Å"(Ã1 - Ã3) = R
à Ã
à Ã
à Ã
gdzie a, R - współrzędna koła Mohra i jego promień dla naprężeń całkowitych
18
Jak widać z powyższych obliczeń koło Mohra w naprężeniach efektywnych ma
taki sam promień jak koło w naprężeniach całkowitych, zaś jego środek jest
przesunięty w kierunku początku układu współrzędnych o wielkość u:
Rys. 9
Na wykresie widać, z porównania wartości, że : Ś > Ś oraz c < c
Åš Åš
Åš Åš
Åš Åš
19
Równanie Coulomba - Mohra
Rozpatrzmy zależności na kole Mohra - rysunek 7:
"EP1O = Åš
Åš
Åš
Åš
Ã1 - Ã3
à Ã
à Ã
à Ã
OP1 = R =
2
Ã1 - Ã3
à Ã
à Ã
à Ã
Äf = EP1 = R Å"cosÅš = Å"cosÅš
Ä Åš Åš
Ä Åš Åš
Ä Åš Åš
2
Ã1 + Ã3 Ã1 + Ã3 Ã1 - Ã3
à à à à à Ã
à à à à à Ã
à à à à à Ã
à = DE = DO - EO = - R Å"sinÅš = - Å"sinÅš
à Ś Ś
à Ś Ś
à Ś Ś
2 2 2
Podstawmy wypisane powyżej wartoÅ›ci Äf i à do wzoru Coulomba:
Ä Ã
Ä Ã
Ä Ã
Äf = Ã Å" tgÅš + c
Ä Ã Åš
Ä Ã Åš
Ä Ã Åš
Ã1 - Ã3 Ã1 + Ã3 Ã1 - Ã3 sin Åš
à à à à à à Ś
à à à à à à Ś
à à à à à à Ś
ëÅ‚
Å"cosÅš = - Å"sinÅš Å" + c
Åš ÅšöÅ‚
Åš Åš
Åš Åš
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 cosÅš
Åš
Åš
Åš
íÅ‚ Å‚Å‚
20
Po wymnożeniu obu stron przez 2 cosŚ otrzymamy:
Åš
Åš
Åš
(Ã1 - Ã3)cos2 Åš = (Ã1 + Ã3)sinÅš - (Ã1 - Ã3)sin2 Åš + 2ccosÅš
à à Ś à à Ś à à Ś Ś
à à Ś à à Ś à à Ś Ś
à à Ś à à Ś à à Ś Ś
Po uporządkowaniu otrzymanego wyrażenia mamy:
(Ã1 - Ã3)(cos2 Åš + sin2 Åš) = (Ã1 + Ã3)sinÅš + 2ccosÅš
à à Ś Ś à à Ś Ś
à à Ś Ś à à Ś Ś
à à Ś Ś à à Ś Ś
Czyli ostatecznie:
Ã1 - Ã3 = (Ã1 + Ã3)sinÅš + 2ccosÅš
à à à à Ś Ś
à à à à Ś Ś
à à à à Ś Ś
W tej postaci równanie obowiązuje oczywiście dla gruntów spoistych. Dla
gruntów sypkich (c = 0) będzie:
Ã1 - Ã3 = (Ã1 + Ã3)sinÅš
à à à à Ś
à à à à Ś
à à à à Ś
Otrzymane wyrażenia noszą nazwę równań Coulomba-Mohra, gdyż stanowią
zapis prawa Coulomba z wykorzystaniem koncepcji koła naprężeń Mohra.
21