Przykład 10.5. A
uk swobodnie podparty obciążony prostopadle do swojej
płaszczyzny.
Rysunek 10.5.1. przedstawia belkę łukową, ciągłą, podpartą i obciążoną przestrzennie.
Kierunek obciążenia jest prostopadły do płaszczyzny łuku. Obciążenie jest równomiernie
rozłożone na połowie łuku. Ma stałą gęstość q przypadającą na jednostkę długości łuku.
Narysować wykresy momentów gnących, sił normalnych i sił tnących w każdym punkcie osi
łuku.
z
y
C
A
B
x
Rysunek 10.5.1. Rysunek aksonometryczny: belka łukowa, ciągła, podparta i obciążona
przestrzennie. Obciążenie przedstawione jako ścianka wybudowana na części łuku,
schematycznie uniesiona nad jego poziom dla lepszej widoczności. Podpory wyobrażone są
jako pręty dwuprzegubowe, nieskończenie sztywne, przenoszące jedynie siłę osiową, w tym
wypadku - składową reakcji. Trzy pręty połączone w punkcie A są więc odpowiednikiem
podpory nieprzesuwnej, dwa pręty w punkcie B definiują podporę przesuwną w kierunku x,
zaś pręt w punkcie C określa podparcie przesuwne w płaszczyz
nie xy zaś nieprzesuwne w
kierunku z.
z
� b
q y
HAX
A
C
n
P
HAY
VC
VA
ą
B
x
HBY
VB
Rysunek 10.5.2. A
uk uwolniony myślowo od więzów. Układy współrzędnych, przyjęte
zwroty reakcji oraz oznaczenia punktów używane w obliczeniach.
Rozwiązanie.
Analiza obciążenia
Obciążenie przedstawione na rysunku to obciążenie równomierne  na jednostkę długości
łuku . Wypadkowa elementarna qdl jest wektorem równoległym do osi z. Jak w poprzednich
zadaniach, wypadkowa elementarna jest przyłożona do łuku w punkcie P określonym kątem
ą w cylindrycznym układzie współrzędnych ą,r,z, jednak wypadkowa obciążenia
przypadającego na pewien odcinek łukowy  przyłożona jest w środku ciężkości tego
odcinka. Obliczmy wypadkową obciążenia na ćwiartce CB łuku (jej znajomość jest przydatna
do kontroli wyników lub do obliczania reakcji, w dalszym ciągu rozwiązania nie będziemy
jednak wykorzystywali bezpośrednio wyników zapisanych równaniami (1-3), pozostawiając
czytelnikowi użycie ich do skontrolowania wartości sił wewnętrznych w punktach
charakterystycznych)
Ą / 2

Ą
(1)
dQ = q dl = qRdą Qz = Q a" Q = qRdą = qR Qx = Qy = 0
+"
2
0
Współrzędne punktu przyłożenia wypadkowej xQ i yQ obliczymy posługując się wzorem
wyprowadzonym na wykładzie z Mechaniki dotyczącym układu sił równoległych:
Ą / 2 Ą / 2
+"qdl R cosą +"q R2 cosądą
(2)
2R 2R
0 0
xQ = = = yQ =
Q ĄqR 2 Ą Ą
2
Obliczenie reakcji
Kierunki i zwroty wektorów sił założone są wstępnie jak na rysunku 10.5.2, w równaniach
poniżej występują tylko ich długości. Reakcje obliczymy pisząc takie równania równowagi,
że w każdym z nich wystąpi tylko jedna niewiadoma reakcja. Pozwoli to na obliczenie tej
reakcji z zapisanego równania.
Aby obliczyć VC zapisano sumę momentów względem osi x:
Ą / 2 Ą / 2
(3)
-VC R +
+"qRdą Rsin ą = 0 -VC R + qR2 +"sin ądą = 0 VC=qR
0 0
Aby obliczyć VB zapisano sumę momentów względem osi równoległej do y i poprowadzonej
przez punkt A:
Ą / 2 Ą / 2
(4)
-VB 2R -VC R + (1+ cosą)dą = 0
+"qRdą(R + R cosą) = 0 -VB 2R -VC R + qR2 +"
0 0
Ą
- 2VB -VC + qR(1+ Ą / 2) = 0 VB = qR = 0.7854qR (5)
4
Suma rzutów na oś pionową pozwala obliczyć VA (wykorzystano tu (1),(3) i (5)):
Ą Ą
(6)
VA + VB + VC - qR = 0 VA = qR�ł -1�ł = -0.2146qR
�ł �ł
2 4
�ł łł
Należy zauważyć, że reakcja w punkcie A jest skierowana przeciwnie niż założono (wskazuje
na to jej ujemna wartość). Mimo to, w dalszych wzorach będzie ona zawsze występowała z
takim znakiem jaki nakazuje założenie o jej kierunku z Rys. 10.5.2.
Pozostałe reakcje są oczywiście zerowe, co łatwo samodzielnie wykazać.
Zapisanie równań sił wewnętrznych
Wprowadz
my oś normalną n, styczną � i binormalną b (normalna do płaszczyzny łuku) w
dowolnym przekroju Ą wyznaczonym punktem P na osi łuku. Osie te zaznaczono na
Rysunku 10.5.2. Oś n tworzy z osią x kąt ą, który został wybrany jako zmienna niezależna.
Wektor siły przekrojowej rozłożymy na trzy składowe na osiach lokalnego układu
współrzędnych n,�,b. Jej składowa na osi � to siła normalna N, na osi n to tnąca Tn, na osi b 
tnąca Tb (poprzeczna).
Siłę normalną i siły tnące będziemy obliczali jako rzuty na oś styczną � (tnące - odpowiednio
na oś normalną n i b) wypadkowej wszystkich sił po prawej stronie przekroju Ą,
zredukowanej do punktu P (P jest biegunem redukcji).
Moment przekrojowy M rozłożymy na trzy składowe: Moment skręcający Ms  rzut M na oś
�, moment gnący Mb  rzut M na oś b oraz moment gnący poprzeczny Mn  rzut M na oś n.
Zauważmy, że we wszystkich zadaniach płaskich 10.1. do 10.4. występował jedynie moment
Mb, mimo, że oś b nie została tam wyraz
nie zdefiniowana.
Moment skręcający wyznaczymy jako moment wszystkich sił po prawej stronie przekroju P,
otrzymany przy ich redukcji do punktu P (moment jest obliczony względem osi �
przechodzącej przez P).
Momenty gnące wyznaczymy jako momenty wszystkich sił po prawej stronie przekroju P,
otrzymane przy ich redukcji do punktu P (momenty te są obliczane następujące: Mb  wokół
osi b poprowadzonej przez P, Mn  wokół osi n poprowadzonej w punkcie P).
3
Zapis równań dla sił normalnych i tnących
Ponieważ wszystkie siły na prawo od P (na lewo także...) są prostopadłe do n oraz do � więc
Siły normalne i tnące Tn są równe zeru na całym łuku. Pozostaje do określenia zmienność
tnącej poprzecznej Tb w funkcji kąta ą.
Równanie (7) jest zapisem rzutu reakcji VB i sumy rzutów (całki) wszystkich elementarnych
wypadkowych dQ=qRd� pomiędzy zerem (punkt B) a wartością bieżącą zmiennej
niezależnej ą - na oś binormalną b (siły tnącej poprzecznej Tb). Jest ono ważne tylko dla
ą mniejszego niż Ą/2. Dla siły tnącej poprzecznej przyjęto znak  + gdy jej rzut jest
skierowany z lewej strony przekroju od dołu do góry lub z prawej od góry do dołu. Znak   
w sytuacji odwrotnej.
ą
(7)
Ą
�ł
TBC (ą) = -VB +
�ł
+"qRd� TBC (ą) = qR�łą - �ł dla ą< Ą/2
4
�ł łł
0
Dla ą większego niż Ą/2 pojawia się dodatkowo reakcja w punkcie C, który teraz jest na
prawo od przekroju P:
Ą / 2
Ą
(8)
TCA(ą) = -VB -VC +
�ł -1�ł
+"qRd� TCA(ą) = qR�ł �ł dla ą>Ą/2
4
�ł łł
0
Podsumowując, zapiszemy tnące poprzeczne w dwu przedziałach:
TBC (ą) dla 0 d" ą < Ą / 2
ńł
(9)
T(ą) =
�łT dla Ą / 2 d" ą < Ą
(ą)
ół CA
Wykresy tnącej poprzecznej Tb jako funkcji kąta ą odmierzanego na osi poziomej
przedstawia rysunek 10.5.5:
Rysunek 10.5.3. Wykres tnącej poprzecznej Tb jako funkcji kąta ą1 odkładanego na osi
poziomej. Przyjęto q=1, R=1. Uwaga! Kąt ą1 jest odmierzany od podpory A do podpory B
(wystarczy zastąpić we wszystkich wzorach wynikowych kąt ą kątem -ą+Ą). Dzięki temu
wartości na wykresie dotyczą punktu na łuku, którego rzut na oś poziomą wypada w punkcie
ą1. Podpora A wypada w zerze, B - dla ą1=Ą.
4
Zapis równania dla momentu skręcającego
Wszystkie oznaczenia potrzebne do obliczenia momentu elementarnej wypadkowej pionowej
względem lokalnych osi stycznej i normalnej podane są na Rys.10.5.4. Zaznaczono też na
nim odpowiednie kąty i odległości pojawiające się we wzorach poniżej.
n
�
P
C
Ms
ą
d�
Mn
ą-�
ł �
qRd�
A
B
Rysunek 10.5.4. Rzut łuku. Układy współrzędnych, przyjęte zwroty momentów oraz
oznaczenia wielkości używane w obliczeniach.
Moment wszystkich sił na prawo od P obliczony wokół osi � poprowadzonej przez punkt P
zapisuje się następująco (znaki dodatnie gdy wektor momentu skierowany jest od przekroju):
ą
(10)
MsBC (ą) = -VB(R - R cos ą)+ - R cos(ą - �))qRd�
+"(R
0
po prostych przekształceniach otrzymuje się:
1 (11)
MsBC (ą) = qR2(Ącosą - Ą + 4ą - 4sin ą)
4
Kiedy punkt P znajdzie się na lewo od punktu C, moment wszystkich sił po prawej stronie
punktu P będzie zawierał dodatkowo reakcje w punkcie C. Aby uniknąć tej dodatkowej siły w
równaniu określmy kąt ł liczony od punktu A zgodnie z ruchem wskazówek zegara i
obliczmy moment wszystkich sił na lewo od P obliczony względem osi � poprowadzonej
przez punkt P w funkcji kąta ł. Tak jest łatwiej gdyż po lewej stronie uwzględniamy tylko
reakcję VA:
(12)
Ą
MsAC (ą) = VA(R - R cos ł) = qR�ł -1�ł(R - R cos ł)
�ł �ł
4
�ł łł
Zestawienie wzorów dla dwu odcinków łuku podano poniżej:
(13)
MsBC (ą) dla 0 d" ą < Ą / 2
ńł
Ms(ą) =
�łMs ą + Ą) dla Ą / 2 d" ą < Ą
(-
ół AC
5
Wykresy momentu skręcającego jako funkcja kąta ą odmierzanego na osi poziomej
przedstawia rysunek 10.5.5:
Rysunek 10.5.5. Wykres momentu skręcającego jako funkcja kąta ą1 odkladanego na osi
poziomej. Przyjęto q=1, R=1. Uwaga! Kąt ą1 jest odmierzany od podpory A do podpory B
(wystarczy zastąpić we wszystkich wzorach wynikowych kąt ą kątem -ą+Ą). Dzięki temu
wartości na wykresie dotyczą punktu na łuku, którego rzut na oś poziomą wypada w punkcie
ą1. Podpora A wypada w zerze, B - dla ą1=Ą.
Zapis równania dla momentu gnącego
Moment wszystkich sił na prawo od P obliczony względem osi n poprowadzonej przez P
zapisuje się następująco (znaki dodatnie gdy rozciągane są dolne włókna łuku):
ą
(14)
MnBC (ą) = VB Rsin ą - R sin(ą - �)qRd�
+"
0
po prostych przekształceniach otrzymuje się:
(15)
Ą
MnBC (ą) = qR2 �ł sin ą -1+ cosą�ł
�ł �ł
4
�ł łł
Moment wszystkich sił na lewo od punktu C zawiera jedynie reakcję VA. Do zapisu momentu
sił z lewej strony punktu P użyjemy kąta ł zdefiniowanego dla równania (12):
(16)
Ą
MnAC (ł)= VAR sin ł = qR�ł -1�łR sin ł
�ł �ł
4
�ł łł
Zestawienie wzorów dla dwu odcinków łuku podano poniżej:
(17)
MnBC (ą) dla 0 d" ą < Ą / 2
ńł
Mn(ą) =
�łMn ą + Ą) dla Ą / 2 d" ą < Ą
(-
ół AC
Wykresy momentu skręcającego jako funkcja kąta ą odmierzanego na osi poziomej
przedstawia rysunek 10.5.5:
6
Rysunek 10.5.6. Wykres momentu gnącego jako funkcji kąta ą1 odmierzanego na osi
poziomej. Przyjęto q=1, R=1. Uwaga! Kąt ą1 jest odmierzany od podpory A do podpory B
(wystarczy zastąpić we wszystkich wzorach wynikowych kąt ą kątem -ą+Ą). Dzięki temu
wartości na wykresie dotyczą punktu na łuku, którego rzut na oś poziomą wypada w punkcie
ą1. Podpora A wypada w zerze, B - dla ą1=Ą.
Wykresy sił wewnętrznych
Wykresy sił wewnętrznych przedstawione jako  narysowane na osi łuku zebrano na rysunku
10.5.7:
Tb=0.7854 qR
Tb=0.2146 qR Tb=-0.7854 qR
a.
Msmax=-0.2392 qR2
Dla ą=1.3315
b.
7
Mn=-0.2146 qR2
Mnmax=0.2715 qR2
Dla ą=0.6658
c.
Rysunek 10.5.7. Wykres sił tnących (a), normalnych (b) i momentów zginających (c).
Wartości dodatnie tnącej - na zewnątrz osi łuku. Wykres tnącej należy sobie wyobrazić jako
wykreślony w płaszczyz
nie prostopadłej do płaszczyzny łuku (na powierzchni cylindra, o
półkolu w podstawie. Również wykres momentów gnących powinien być wykreślony w
płaszczyz
nie prostopadłej do płaszczyzny łuku. Linia ciemna pogrubiona to oś łuku, linia
czerwona (szara na rysunku czarno-białym) to wykres. Przyjęto q=1, R=1.
8