Dodatek 22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PA
ASKICH 1
22.

PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PA
ASKICH
22.1. DEFINICJE
Rozdział 22. dotyczy figur płaskich o równomiernym rozkładzie masy
(Á = const). Rozważane figury reprezentujÄ… zazwyczaj przekroje prÄ™tów. Dlatego zamiast okreÅ›lenia  fi-
gura płaska stosuje się również określenie  przekrój .
Definicje poszczególnych parametrów geometrycznych figur płaskich wymagają wprowadzenia pro-
stokątnego układu osi współrzędnych x, y (rys. 22.1).
Rys. 22.1 Rys. 22.2
Pole przekroju
A = > 0 [m2]. (22.1)
+"dA
A
Momenty statyczne przekroju:
- względem osi x
Sx = ydA [m3], (22.2a)
+"
A
- względem osi y
Sy = xdA [m3]. (22.2b)
+"
A
Momenty bezwładności:
- względem osi x
Jx = y2dA > 0 [m4], (22.3a)
+"
A
- względem osi y
Jy = x2dA > 0 [m4], (22.3b)
+"
A
- odśrodkowy (dewiacyjny)
Jxy = x2dA [m4]. (22.3c)
+"
A
Z podanych wyżej wzorów definicyjnych wynika, że momenty statyczne mierzymy w jednostkach
3 3
długości do potęgi trzeciej (np. [m ], [cm ]). Mogą one przyjmować wartości dodatnie lub ujemne. Mo-
4 4
menty bezwładności mierzymy w jednostkach długości do potęgi czwartej (np. [m ], [cm ]). Osiowe
momenty bezwładności przybierają zawsze wartości dodatnie i są pewną miarą rozproszenia pola figury
względem danej osi. Im rozproszenie jest większe, tym osiowy moment bezwładności jest większy. Mo-
ment dewiacyjny może być zarówno dodatni, jak i ujemny, a jego wartość bezwzględna jest miarą asyme-
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Dodatek 22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PA
ASKICH 2
trii figury względem przyjętego układu współrzędnych. A
atwo zauważyć, że jeśli choć jedna z osi układu
jest osią symetrii figury, to moment dewiacyjny względem tego układu jest równy zeru (por. rys. 22.2).
Wynika to stąd, że iloczyny xydA w odpowiadających sobie punktach wzajemnie się znoszą.
22.2. OSIE ÅšRODKOWE, ÅšRODEK CI
ŻKOŚCI
Oś środkowa to taka oś, względem której moment statyczny jest równy zeru. Środek ciężkości (SC) to
punkt przecięcia osi środkowych.
Rys. 22.3 Rys. 22.4
Jeśli osie x0 i y0 są osiami środkowymi, to
(a) Sx0 = y0 dA = y - yc)dA = 0,
+" +"(
A A
(b) Sy0 = x0 dA = - xc)dA = 0.
+" +"(x
A A
Po rozpisaniu zależności (a) i (b) otrzymujemy:
Sx0 = ydA - yc = Sx - yc Å" A = 0,
+" +"dA
A A
S = xdA - xc = S - xc Å" A = 0,
y0 y
+" +"dA
A A
skąd wyznaczamy współrzędne środka ciężkości xc i yc:
S
Sx
y
xc = , yc = . (22.4)
A A
Jeśli znamy położenie środka ciężkości i pole figury, to momenty statyczne tej figury względem osi x, y
leżących w odległościach xc i yc obliczamy wprost z równań (22.4):
Sx = AÅ" yc, S = AÅ" xc.
y
Jeśli figura składa się z n części o znanych polach Ai oraz współrzędnych środków ciężkości
xi i yi (i = 1,2 ,..., n) , to (por. rys. 22.4):
n n n n
Sx = = Ai Å" yi; Sy = = Ai Å" xi. (22.5)
xi yi
"S " "S "
i=1 i=1 i=1 i=1
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Dodatek 22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PA
ASKICH 3
n n
Axi Ayi
i i
" "
Sy i=1
Sx i=1
xc = = ; yc = = . (22.6)
n n
A A
Ai Ai
" "
i=1 i=1
22.3. MOMENTY BEZWA
ADNOÅšCI PRZY PRZESUNI
CIU
I OBROCIE UKA
ADU OSI WSPÓA
RZ
DNYCH.
KIERUNKI I WARTOÅšCI GA
ÓWNE
Założymy, że znamy wartości momentów bezwładności Jx', Jy', Jx'y' odniesione do układu osi x' i y'.
Dokonajmy przesunięcia równoległego układu osi z położenia x', y' do nowego położenia x, y. Pytamy
teraz, jakie wartości przyjmą momenty bezwładności Jx, Jy, Jxy odniesione do układu osi x, y, jeśli współ-
rzędne przesunięcia względnego obu układów wynoszą xp i yp (rys. 22.5). Przesunięcie układów opisują
równania:
Å„Å‚
ôÅ‚x = x'+xp ,
(a)
òÅ‚y = y'+ yp.
ôÅ‚
ół
Po podstawieniu tych zależności do wzorów definicyjnych (22.3) otrzymujemy:
Å„Å‚
ôÅ‚Jx = 2dA= p)2dA = 2 dA+ 2yp
p
+"y +"(y'+y +"y' +"y'dA+ y2+"dA,
ôÅ‚
A A A A A
ôÅ‚
ôÅ‚J = 2dA= )2dA= 2 dA+ 2xp x2
òÅ‚
yp p
+"x +"(x'+x +"x' +"x'dA+ +"dA,
(b)
ôÅ‚
A A A A A
ôÅ‚
ôÅ‚
Jxy = ' ' '
p
+"xydA=+"(x'+x )Å"(y'+yp)dA=+"x' ydA+ xp+"ydA+ yp+"xdA+ xpyp+"dA.
ôÅ‚
ół A A A A A A
Rys. 22.5 Rys. 22.6
Prawe strony równań (b) można przedstawić za pomocą parametrów geometrycznych figury związanych
z układem x', y' wykorzystując wzory (22.1), (22.2)
i (22.3):
Å„Å‚Jx = Jx' + 2yp Å" Sx' + y2 Å" A,
p
ôÅ‚
ôÅ‚J = Jy' + 2xp Å" Sy' + x2 Å" A,
(c)
òÅ‚
y p
ôÅ‚J = Jx'y' + xpSx' + yp Å" Sy' + xp Å" yp Å" A.
xy
ôÅ‚
ół
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Dodatek 22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PA
ASKICH 4
Jeśli układ osi x', y' jest układem osi środkowych ( x' = x0 , y'= y0 , x = xc , yp = yc ), to wzory (c)
p
znacznie się uproszczą. Dla osi środkowych momenty statyczne Sx' = Sxo = 0 i Sy' = Syo = 0, a równa-
nia (c) przyjmą postać:
2
üÅ‚
Jx = Jx0 + yc A,
ôÅ‚
ôÅ‚
2
Jy = Jy0 + xc A, (22.7)
żł
Jxy = Jx0y0 + xc yc A.ôÅ‚
ôÅ‚
þÅ‚
Są to tzw. wzory Steinera, bardzo użyteczne w obliczeniach.
Rozważymy teraz, jak zmieniają się momenty bezwładności przy obrocie układu osi współrzędnych.
Przyjmiemy, że znane są wartości Jx, Jy, Jxy w układzie osi x, y. Poszukujemy Jx', Jy', i Jx'y' w układzie osi
x', y' obróconym o kÄ…t Õ wzglÄ™dem ukÅ‚adu x y (rys. 22.6). WspółrzÄ™dne punktów obu ukÅ‚adów sÄ… powiÄ…-
zane wzorami transformacyjnymi:
x'= x cosÕ + y sinÕ,
Å„Å‚
(d)
òÅ‚
óły'=-x sinÕ + y cosÕ.
W celu wyprowadzenia poszukiwanych zależności skorzystamy ze wzoru na zamianę zmiennych w całce
podwójnej:
(e) f (x', y')dA'= f y), y'(x, y) Å"dA,
[x'(x, ]J
+" +"
A A
gdzie jakobian
"x' "x'
cosÕ sinÕ
"x "y
J = = = 1.
"y' "y'
- sinÕ cosÕ
"x "y
Po podstawieniu wzorów transformacyjnych (d) do wzorów definicyjnych otrzymujemy:
Å„Å‚J = y'2 dA'= sinÕ + y cosÕ)2dA =
x'
+" +"(-x
ôÅ‚
A' A
ôÅ‚
ôÅ‚
= sin2 Õ x2dA - 2 sinÕ cosÕ xy dA + cos2 Õ y2dA,
ôÅ‚
+"+"
+"
ôÅ‚
AA
A
ôÅ‚
Jy' = x'2 dA'= cosÕ + y sinÕ)2dA =
ôÅ‚
+" +"(x
ôÅ‚
ôÅ‚
A' A
(f)
òÅ‚
ôÅ‚ = cos2 Õ x2dA + 2 sinÕ cosÕ xy dA + sin2 Õ y2dA,
+"+"
+"
ôÅ‚
AA
A
ôÅ‚
ôÅ‚
Jxy'' = x' y'dA'= cosÕ + y sinÕ)(-x sinÕ + y cosÕ)2dA =
+" +"(x
ôÅ‚
A' A
ôÅ‚
ôÅ‚
=- sinÕ cosÕ x2dA + sinÕ cosÕ y2 dA + (cos2 Õ - sin2 Õ xydA.
ôÅ‚
+"+"
+"
ôÅ‚
A
ół AA
Prawe strony równań (f) można wyrazić za pomocą momentów bezwładności związanych z układem osi
x, y. Wygodnie też bÄ™dzie wprowadzić funkcjÄ™ trygonometryczne kÄ…ta 2Õ:
1 1
sin2 Õ = (1- cos2Õ); cos2 Õ = (1+ cos2Õ); 2sinÕ cosÕ = sin2Õ.
2 2
Ostatecznie poszukiwane wzory transformacyjne dla momentów bezwładności przy obrocie układu przyj-
mują postać:
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Dodatek 22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PA
ASKICH 5
Jx + Jy Jx - Jy
üÅ‚
Jx' = + Å" cos2Õ - Jxy sin 2Õ,ôÅ‚
22
ôÅ‚
Jx + Jy Jx - Jy
ôÅ‚
Jy' = - Å" cos2Õ + Jxy sin 2Õ,żł (22.8)
22
ôÅ‚
Jx - Jy
ôÅ‚
Jx' y' = sin 2Õ + Jxy cos2Õ.
ôÅ‚
2
þÅ‚
Rzut oka na wzory (22.8) pozwala stwierdzić, że po obrocie układu suma osiowych momentów bez-
władności nie ulega zmianie. Suma ta określa tzw. biegunowy moment bezwładności Jb. Moment ten jest
więc niezmiennikiem:
2
Jb = + y2 )dA = J + J = J + J = const. (22.9)
x y x' y'
+"(x
A
Szczegółowa analiza wzoru (22.8) prowadzi do wniosku, że niezmiennikiem jest również wyrażenie:
22
I3 = J J - J = J Å" J - J = const. (22.10)
x y xy x' y' x' y'
W punkcie 22.1 zwróciliśmy uwagę na to, że jeśli jedna z osi układu jest osią symetrii figury, to mo-
ment dewiacyjny w tym układzie jest równy zeru. Powstaje pytanie, czy dla dowolnego niesymetryczne-
go przekroju jest również taki układ osi, w którym znika moment dewiacyjny. Wymaganie, by Jx'y' = 0,
stosownie do wzoru (22.8)3, nakÅ‚ada na kÄ…t Õ = Õ0 warunek:
Jx - Jy
(g) Å"sin2Õ0 + Jxy cos2Õ0 = 0,
2
skÄ…d
2Jxy
tg2Õ0 =- . (22.11)
Jx - Jy
Zwróćmy uwagę, że do identycznego warunku z warunkiem (g) dochodzimy, poszukując ekstremal-
nych wartoÅ›ci osiowych momentów bezwÅ‚adnoÅ›ci jako funkcji kÄ…ta Õ:
dJy' dJx' Jx - Jy
=- = 2 Å" Å"sin2Õ + 2 Å" Jxy cos2Õ = 0.
dÕ dÕ 2
Z powyższych rozważań wnioskujemy, że jest pewien wyróżniony układ osi współrzędnych, określo-
ny kÄ…tem Õ0, dla którego osiowe momenty bezwÅ‚adnoÅ›ci osiÄ…gajÄ… wartoÅ›ci ekstremalne, a moment de-
wiacyjny znika. Taki układ osi nazywamy układem głównych osi bezwładności (I, II), a momenty osiowe
w tym układzie - głównymi momentami bezwładności. Wartości głównych momentów bezwładności
obliczamy po wstawieniu kÄ…ta Õ0 z równania (22.11) do równaÅ„ (22.8)1 i (22.8)2:
Jx + Jy Jx - Jy 2 2 üÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ôÅ‚
Jmax = JI = + + Jxy ,
ìÅ‚ ÷Å‚
ôÅ‚
22
íÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚
... (22.12)
żł
Jx + Jy Jx - Jy 2 2 ôÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ôÅ‚
Jmin = JII = - ìÅ‚ ÷Å‚
+ Jxy .
22
íÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚
þÅ‚
Położenie osi I związanej z momentem JI określa się następująco:
- jeÅ›li Jx > Jy , to Õ0 jest kÄ…tem pomiÄ™dzy osiÄ… x a osiÄ… I,
- jeÅ›li Jx < Jy , to Õ0 jest kÄ…tem pomiÄ™dzy osiÄ… y a osiÄ… I.
Najczęściej obliczenia wykonujemy w układzie osi środkowych x0, y0. Wówczas osie I i II nazywamy
głównymi środkowymi osiami bezwładności, a momenty JI i JII - głównymi środkowymi momentami
bezwładności.
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Dodatek 22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PA
ASKICH 6
Uważny czytelnik stwierdzi uderzajÄ…cÄ… analogiÄ™ miÄ™dzy wzorami (22.8)÷(22.11) a zależnoÅ›ciami wy-
stępującymi w analizie płaskiego stanu naprężenia (p. 1.8). Jeśli we wzorach (22.8) przyjmiemy, że:
Jx = Ã , Jy = Ã , Jxy = Ä , Jx' = Ã , Jy' = Ã , Jx' y' = Ä ,
x y xy x' y' x'y'
to otrzymamy zależności identyczne z wzorami transformacyjnymi (1.33) dla płaskiego stanu naprężenia.
Analogia ta wynika stąd, że momenty bezwładności tworzą płaski tensor drugiego rzędu. Wyjaśnienie
tensorowego charakteru momentów bezwładności zamieszczono w p. 22.4.
Wobec powyższego koło Mohra, omówione szczegółowo w rozdziale 1. (p. 1.8), jest również ilustra-
cją graficzną wzorów transformacyjnych (22.8). Dla jasności trzeba też dodać, że konstrukcję koła wyko-
nuje się, przyjmując że Jyx = -Jxy ! Ciekawostką jest, że Mohr w 1887 roku obmyślił konstrukcję koła
właśnie dla momentów bezwładności.
22.4. PARAMETRY GEOMETRYCZNE PRZEKROJU
JAKO WIELKOÅšCI TENSOROWE
Momenty statyczne nazywają się często momentami pierwszego rzędu (stopnia), a momenty bezwład-
ności - momentami rzędu rzędu (stopnia). Określenia te wynikają z potęg, w których występują współ-
rzędne x, y we wzorach (22.2) i (22.3). Pole przekroju można by nazwać momentem rzędu zero. Nadmie-
niamy o tym nieprzypadkowo, gdyż pole przekroju, momenty statyczne i momenty bezwładności mają
własności tensorów odpowiednio rzędu zerowego, pierwszego i drugiego. Pole przekroju jest skalarem,
momenty statyczne Sx i Sy są współrzędnymi wektora, a momenty bezwładności Jx, Jy, Jxy - współrzęd-
nymi tensora dwuwymiarowego.
Dla potwierdzenia powyższych uwag wyprowadzimy prawa transformacji momentów statycznych i
momentów bezwładności dla obrotu układu współrzędnych. Przyjmiemy najpierw następujące oznacze-
nia:
x1 = x, x2 = y; x1' = x', x2' = y' ;
Å„Å‚
(a)
òÅ‚M = Sy , M2 = Sx; B11 = Jy , B22 = Jx , B12 = B21 = Jxy
1
ół
Wówczas wzory definicyjne (22.2) i (22.3) można zapisać następująco:
(b) MÄ… = xÄ… dA ,
+"
A
(c) BÄ…² = xÄ… x²dA , (Ä…,² = 1, 2),
+"
A
a wzory transformacyjne współrzędnych punktów w konwencji sumacyjnej określają znane zależności
(por. rozdz. 1.):
(d) xÅ‚ ' = xÄ… Å"aÄ…Å‚ '
lub
(e) x´ ' = x² Å"a²´ ' (Ä…,² = 1, 2; Å‚ ',´ '= 1', 2').
W układzie osi obróconych, stosownie do definicji (b) i (c) oraz wzorów (d) i (e), możemy napisać:
MÅ‚ ' = dA'= xÄ… Å" aÄ…Å‚ 'dA = aÄ…Å‚ ' xÄ… dA,
Å‚ '
+"x +" +"
A' A A
BÅ‚ '´ ' = xÅ‚ ' Å" x´ 'dA'= xÄ…aÄ…Å‚ ' Å" x²a²´ 'dA = aÄ…Å‚ 'a²´ ' xÄ… Å" x²dA,
+" +" +"
A' A A
skÄ…d
Å„Å‚
Å‚ ''
ôÅ‚M = MÄ… Å"aÄ…Å‚ ,
(f)
òÅ‚B = BÄ…² Å"aÄ…Å‚ Å"a²´ .
ôÅ‚
Å‚ '´ ' ' '
ół
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Dodatek 22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PA
ASKICH 7
Wzory (f) definiują transformację wektora i tensora przy obrocie układu współrzędnych w przestrzeni
dwuwymiarowej, co wykazuje, że rzeczywiście momenty statyczne są współrzędnymi wektora, a momen-
ty bezwładności - współrzędnymi tensora. Podobnie jest i w przestrzeni trójwymiarowej, gdzie momenty
bezwładności tworzą dziewięć współrzędnych tensora symetrycznego, zdefiniowanych następująco
(Karaśkiewicz [24]):
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
(g) Bij = Bji = xk xk Å"dV Å"´ij - xi x Å"dV; (i, j = 1, 2, 3).
j
+"+"
ïÅ‚ śł
ðÅ‚V ûÅ‚ V
Tensor bezwładności figury płaskiej jest reprezentowany przez macierz:
Jy Jxy
îÅ‚ Å‚Å‚
(h) J = .
ïÅ‚J Jx śł
yx
ðÅ‚ ûÅ‚
Z postaci tej wnioskujemy, że niezmienniki tensora bezwładności są opisane wzorami (por. również wzo-
ry (22.9) i (22.10)):
(i) I1 = I2 = Jb = Jx + Jy = Jx' + Jy' = JI + JII = const > 0,
Jy Jxy
22
(j) I3 == Jy Å" Jx - Jxy = Jy'Jx' - Jx' y' = JI Å" JII = const > 0.
Jyx Jx
22.5. WSKAZÓWKI PRAKTYCZNE
Analogia między momentami bezwładności a płaskim stanem naprężenia nie jest jednak pełna. Istotna
różnica polega na tym, że osiowe momenty bezwładności są zawsze dodatnie, podczas gdy naprężenia
normalne mogą być również ujemne. Okoliczność ta nakłada pewne warunki na wartość momentów bez-
wÅ‚adnoÅ›ci. Ponieważ I3 = JI Å" JII > 0 , wiÄ™c zgodnie ze wzorem (j) w p. 22.4 musi zachodzić nierówność:
2
J Å" J - J > 0,
x y xy
skÄ…d
(a) J < J Å" J .
xy x y
Z nierówności (x - y)2 = x2 + y2 - 2xy > 0 wynika dalej, że
J + J - 2J > 0 ,
x y xy
skÄ…d
J + J
x y
(b) J < .
xy
2
Ze wzoru (a) wynika, że wartość bezwzględna momentu dewiacyjnego musi być mniejsza od średniej
geometrycznej osiowych momentów bezwładności. Ze wzoru (b) wynika natomiast, że moment dewia-
cyjny musi być mniejszy od średniej arytmetycznej osiowych momentów bezwładności. Ponieważ śred-
nia geometryczna nigdy nie jest większa od średniej arytmetycznej, zatem miarodajna jest nierówność
(a), którą można zapisać następująco:
- J Å" J < J < J Å" J . (22.13)
x y xy x y
Nierówność (22.13) dowodzi, że dowolna trójka liczb nie tworzy tensora bezwładności. Nierówność ta -
słuszna również dla dowolnego, nieśrodkowego układu współrzędnych - jest właściwie jedynym sposo-
bem kontroli ilościowej obliczonych wartości Jx, Jy, Jxy .
Gdy korzysta się z gotowych wzorów lub tablic należy ustalić właściwy znak momentu dewiacyjnego.
Najczęściej zdarza się to w przekrojach trójkątnych lub kątownikach. O znaku Jxy decyduje położenie
ramion kątownika (lub trójkąta). Rozróżniamy tu 4 przypadki przedstawione na rys. 22.7.
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Dodatek 22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PA
ASKICH 8
Rys. 22.7
W tablicy IV podano parametry geometryczne najczęściej spotykanych figur płaskich.
Tablica IV
22.6. PRZYKA
AD LICZBOWY
Dany jest przekrój złożony, przedstawiony na rys. 22.8.
Obliczyć:
a) położenie środka ciężkości,
b) momenty bezwładności względem osi środkowych x0, y0 ,
c) kierunki środkowych osi głównych,
d) główne środkowe momenty bezwładności,
e) momenty bezwładności względem osi środkowych x0', y0' , obróconych względem osi x0, y0 o kąt
Õ = -40°.
Obliczenia zilustrować kołem Mohra.
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Dodatek 22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PA
ASKICH 9
Rys.22.8
RozwiÄ…zanie
Przekrój składa się z czterech elementów. Dla kształtowników walcowanych (elementy 1, 3 i 4) od-
czytano z tablic:
Element 1. L120×80×10
A = 19,2 cm2, ey = 1,96 cm, ex = 3,93 cm,
tgÕ0 = 0,436, Jmin = 57,7 cm4, Jx = 279 cm4, Jy = 99,6 cm4.
Element 3. L100×100×8
A = 15,5 cm2, ey = ex = 2,74 cm,
Jmin = 59,9 cm4, Jmax = 230 cm4 , Jx = Jy = 145 cm4.
Element 4.[ 200
A = 32,2 cm2, e = 2,01cm, Jx = 1910 cm4, Jy = 148 cm4.
Zasadnicze obliczenia odniesiono do pomocniczego układu współrzędnych x, y
(por. rys. 22.8).
a) Obliczenie współrzędnych środka ciężkości całego przekroju
Obliczenie wykonamy według wzorów (22.6):
Axi Ai yi
i
" "
(a) , yc = .
xc =
Ai
i
"A "
Współrzędne x1, y1 obliczamy ze wzorów na obrót układu:
x1 = x'1 cosÕ + y'1sinÕ,
(b)
y1 =-x'1sinÕ + y'1 cosÕ,
gdzie Õ =-Ä… =-arctg(20 / 15) = 53,13o jest kÄ…tem obrotu ukÅ‚adu x', y' wzglÄ™dem ukÅ‚adu x, y (kierunek
obrotu układu x', y' przy przejściu do układu x, y jest zgodny
z ruchem wskazówek zegara i stąd znak minus). Obliczenie pozostałych wartości
xi, yi nie wymaga komentarzy.
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Dodatek 22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PA
ASKICH 10
Element 1
sinÕ = sin(-53,13o) = -0,80; cosÕ = cos(-53,13o) = 0,60,
x'1 = 8 -1,96 = 6,04 cm, y'1 = 3,93 +1,0 = 4,93 cm,
x1 = 6,04 Å"0,60 + 4,93Å"(-0,80) = -0,32 cm,
y1 =-6,04 Å"(-0,80) + 4,93Å"0,60 = 7,70 cm.
Element 2
x2 = 750 cm,
,
y2 = 10,00 cm.
Element 3
x3 = 15,00 + 2,00 +10,00 - 2,74 = 24,26 cm,
y3 = 20,00 - 2,74 = 17,26 cm.
Element 3
x4 = 15,00 + 2,00 +10,00 + 2,01 = 29,01cm,
y4 = 10,00 cm.
Tablica V
Sumowania występujące we wzorach (a) wykonano w tablicy V. Współrzędne środka ciężkości całej
figury ( A = 116,9 cm2, Sy = 1679,0 cm3, Sx = 1239,1cm3):
1679,0 1239,1
xc == 14,36 cm, yc = = 10,60 cm.
116,9 116,9
Zwróćmy uwagę na to, że środek ciężkości całego przekroju musi leżeć w obrębie wieloboku utworzone-
go przez połączenie środków ciężkości figur składowych.
W naszym zadaniu wymaganie to jest spełnione (por. rys. 22.8).
b) Obliczenie momentów bezwładności względem osi środkowych x0, y0
Współrzędne środków ciężkości w układzie osi środkowych dla poszczególnych figur składowych
obliczamy ze wzorów:
xci = xi - xc,
Å„Å‚
(c)
òÅ‚
ół yci = yi - yc.
Momenty bezwładności względem osi środkowych wyznaczamy na podstawie wzorów Steinera:
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Dodatek 22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PA
ASKICH 11
2
Jx0 = Jx0i + Ai Å" yci = Ai yi - yc ,
( )2
( ) x0i
" "J +"
i i i
2
(d) Jy0 = Jy0i + Ai Å" xci = Ai xi - xc ,
( )2
( ) y0i
" "J +"
i i i
Jx0 y0 = Jx0i y0i + Ai Å" xci yci x0i y0i Ai xi - xc Å" yi - yy .
( )
( )= ( )
" "J +"
i i i
Wyznaczenie momentów bezwładności poszczególnych figur względem własnych osi środkowych,
równoległych do osi x0 i y0, tzn. Jx0i , Jy0i , Jx0i y0i , wymaga pewnych dodatkowych obliczeń.
Element 1
Najpierw trzeba ustalić momenty bezwładności dla osi x01 i y01 . Na podstawie tablic otrzymujemy:
Jx01 = 279 cm4, Jy01 = 99,6 cm4.
Moment dewiacyjny Jx01y01 można wyznaczyć kilkoma sposobami, ponieważ znamy zarówno
Jmin = JII , jak i tgÕ0 .
Sposób 1. Ponieważ JI + JII = Jx01' + Jy01' ,
więc : JI = Jx01' + Jy01' - JII = 279,0 + 99,6 - 57,7 = 320,9 cm4.
Ze wzoru (22.10) na obliczenie niezmiennika I3 otrzymujemy:
2
Jx01' Jy01' - Jx y01' = JI JII,
01'
skÄ…d
Jx01' y01' = Jx01'Jy01' - JI JII = 279 Å" 99,6 - 320,9 Å"57,7 = 96,3 cm4 > 0,
bo w układzie osi x'01 , y'01 kątownik jest w położeniu dodatnim.
Sposób 2. Ze wzoru na obliczenie tg2Õ0 mamy ( 2Õ0 = 2arctg(0,436) = 47,11o ):
Jx01' - Jy01'
279 - 99,6
Jx01'y01' = Å" tg2Õ0 , Jx01' y01' = Å" tg47,11° = 96,6 cm4.
2 2
Sposób 3. Ze wzoru transformacyjnego na Jxy, wyrażonego przez główne momenty bezwładności
JI i JII , mamy:
JI - JII 320,9 - 57,7
Jx01'y01' = Å"sin 2Õ = Å"sin 47,11° = 96,4 cm4.
2 2
Do dalszych obliczeń przyjmujemy, że Jx01'y01' = 96,5 cm4. W celu obliczenia Jx01 , J , Jx01y01
y01
wykorzystamy wzory transformacyjne na obrót układu z położenia x'01 , y'01 do położenia x01, y01 o kąt
Ä… = -53,13°.
279 + 99,6 279 - 99,6
Jx01 = + cos(-2 Å"53,13°) - 96,5Å"sin(-2 Å"53,13°) = 256,8 cm4,
2 2
Jy01 = 279 + 99.6 - 256,8 = 121,8 cm4,
279 - 99,6
Jx01y01 = sin(-2 Å"53,13°) + 96,5Å"cos(-2 Å"53,13°) = -113,1cm4.
2
Element 2 (blacha 250 mm×20 mm)
Momenty bezwładności względem osi x02' i y02'
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Dodatek 22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PA
ASKICH 12
25,0Å"2,03 20Å"25,03
,
Jx02 ' = = 16,7 cm4; Jy02 ' = = 2604,2 cm4.
12 12
Ponieważ osie x'02 , y'02 są głównymi osiami bezwładności, więc Jx02 ' y02 ' = 0. Momenty bezwładności
względem osi środkowych x02 i y02 obliczymy podobnie jak dla elementu 1:
16,7 + 2604,2 16,7 - 2604,2
Jx02 = + Å" cos(-2 Å"53,13°) = 1672,7 cm4,
2 2
Jy02 = 16,7 + 2604,2 - 1672,7 = 948,2 cm4,
16,7 - 2604,2
Jx02 y02 = sin(-2 Å"53,13°) = 1242,0 cm4.
2
Element 3
J = J = 145 cm4 .
x03 y03
Moment dewiacyjny Jx03 y03 obliczymy ze wzorów transformacyjnych wiedząc, że główne osie
bezwÅ‚adnoÅ›ci sÄ… pochylone pod kÄ…tem -45° w stosunku do osi x03, y03 , a J = 230 cm4
I
i J = 60 cm4
II 230,0 - 66,0
Jx03y03 = sin(-2 Å"45°) = -85,0 cm4.
2
Element 4
Osie x04 i y04 są głównymi osiami bezwładności ceownika. Mamy więc:
J = 1910 cm4, J = 148 cm4, J = 0.
x04 y04 x04 y04
Dalsze obliczenia według wzorów (d) zamieszczono w tablicy. Momenty bezwładności całego przekroju
względem osi środkowych x0, y0 wynoszą więc:
Jx0 = Ai ( yi - yc)2 = 3984,5+ 868,7 = 4853,2 cm4,
x0i
"J +"
i i
Jy0 = Ai (xi - xc)2 = 1363,0 +14920,6 = 16283,6 cm4,
y0i
"J +"
i i
Jx0 y0 = Ai (xi - xc)( yi - yc) = 1043,9 + 1736,8 = 2780,7 cm4.
x0i y0i
"J +"
i i
Sprawdzenie poprawności uzyskanych rezultatów jest w ogólności niemożliwe. Jednak w celu
wychwycenia oczywistych błędów warto zdać się na intuicję oraz sprawdzić nierówności (22.13). W
naszym zadaniu przekrój jest rozbudowany wzdłuż osi x0, jest więc intuicyjnie oczywiste, że moment
bezwładności Jy0 musi być wyraz
nie większy od momentu bezwładności Jx0 . Można też oszacować
 na oko znak momentu dewiacyjnego, rozpatrując rozmieszczenie materiału w poszczególnych
ćwiartkach układu x0, y0. Na rysunku 22.8 widać, że większa część materiału jest rozmieszczona w
ćwiartkach I i III (ćwiartki dodatnie), a więc moment dewiacyjny Jx0 y0 powinien być większy od zera.
Tak wiec przesłanki intuicyjne potwierdzają poprawność uzyskanych wyników. Również nierówności (a)
i (b) z p. 22.5 są spełnione:
Jxy = 2780,7 cm4 < 4853,2 Å"16283,6 = 8890,56 cm4 ,
4853,2 + 16283,6
Jxy = 2780,7 cm4 < = 10568,4 cm4 .
2
Powyższa krytyczna ocena uzyskanych rezultatów jest konieczna, gdyż - jak wykazuje doświadczenie
- największe błędy popełniamy właśnie podczas obliczania wyjściowych wartości momentów bezwład-
ności.
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Dodatek 22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PA
ASKICH 13
c) Obliczenie kierunków środkowych osi głównych
PoÅ‚ożenie Å›rodkowych osi głównych I i II jest okreÅ›lone przez kÄ…t Õ0:
2Jx0 y0
2 Å"2780,7 25,94°
tg2Õ0 =- =- = 04865, skÄ…d Õ0 = = 12,97°.Ponieważ Jx0 < J ,
,
y0
Jx0 - Jy0 4853,2 -16283,6 2
wiÄ™c kÄ…t Õ0 jest kÄ…tem miÄ™dzy osiÄ… x0 a osiÄ… II.
d) Obliczenie głównych środkowych momentów bezwładności
2
4853,2 + 16283,6 4853,2 - 16283,6
ëÅ‚ öÅ‚
JI = + + 2780,72 = 16924,2cm4 ,
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
2
4853,2 + 16283,6 4853,2 - 16283,6
ëÅ‚ öÅ‚
JII = - ìÅ‚ ÷Å‚
+ 2780,72 = 4212,6 cm4.
íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
Sprawdzimy jeszcze wartość niezmiennika I3:
I3 = JI Å" JII = 16924,2 Å"4212,6 = 7,129 Å"107cm8 = Jx0 Å" Jy0 - Jx y0 .
2
0
e) Obliczenie momentów bezwładności względem osi x'0 , y'0 , obróconych względem osi x0, y0 o
kÄ…t Õ = -40°.
Do obliczenia wykorzystujemy wzory transformacyjne:
4853,2 +16283,6 4853,2 -16283,6
Jx0' = + cos(-80°) - 2780,7sin(-80°) = 12314,4 cm4,
2 2
Jy0' = 4853,2 +16283,6 -12314,4 = 8822,4 cm4,
4853,2 -16283,6
Jx0'y0' = Å" sin(-80°) + 2780,7Å" cos(-80°) = 6111,2 cm4.
2
Sprawdzenie I3:
I3 = 12314,4 Å"8822,4 - 6111,22 = 7,129 Å"107 cm8.
Rezultaty obliczeń zawartych w punktach c), d) i e) sprawdzono za pomocą koła Mohra (rys. 22.9). Z
rysunku odczytano (w nawiasach podano wartości ścisłe):
Õ0 = 13o (12,97o),
JI = 16940 cm4 (16924,2 cm4),
JII = 4200 cm4 (4212,6 cm4),
Jx0 ' = 12390 cm4 (12314,4 cm4),
Jy0 ' = 8780 cm4 (8822,4 cm4),
Jx0 'y0 ' = 6110 cm4 (6111,2 cm4).
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Dodatek 22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PA
ASKICH 14
Rys. 22.9
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater