Nierówności
Zadanie 1. Stosując twierdzenie Lagrange a: dla f : [a, b] R ciągłego na [a, b] i róż-
niczkowalnego na (a, b) zachodzi
f(b) - f(a)
"c " (a, b) = f (c),
b - a
udowodnij nierówności:
"
1
n
1. x - 1 < (x - 1) , dla x > 1;
n
2. e2x - 1 > 2x , dla x > 0;

" "
1 Ą Ą Ą
3. 2 - < 2 x - , dla < x < ;
sin x 4 4 2
4. x2x - 2 > 4(x - 1) , dla x > 1;
5. x2x - 2 < 2x(1 + x)(1 - x) , dla x > 1;
6. ln(1 + 3 ln x) < 3(x - 1) , dla x > 1.
Zadanie 2. Standardowa metoda dowodzenia nierówności: f(x) g(x) dla x " [a, b].
Dla funkcji h(x) := g(x) - f(x) metodami rachunku różniczkowego pokazuje się, że
minx"[a,b] h(x) 0. Udowodnij nierówności:
"
3
1. ln x < x2 , dla x > 0;
arc tg x
2. ln(1 + x) > , dla x > 0;
1 + x
"
2 2 1
2
3. xe-x e- , dla x > 0;
2
1
4. x2 - > 4 ln x , dla x > 1;
x2
1
5. xą| ln x| < , dla ą > 0, x " (0, 1);
5e
"
6. ln x x , dla x > 0;
"
1
7. ln (1 + 1 + x2) < + ln x , dla x > 0;
x
ln x 1
"
8. , dla x > 0, x = 1.
x - 1 x
1