Kolokwium nr 1 z AM1

1. Obliczy¢ granice ci¡gu: a) a

n

=

4

n

−2

n+1

3

n

+5

b) b

n

=

n−3
n+4

3n

c) c

n

=

n

q

n

2

+1

n−2

(2)

2. a) Zbada¢ monotoniczno±¢ ci¡gu a

n

=

(3n+2)

n+5

b) Wykaza¢, »e nie istnieje granica ci¡gu b

n

=

1

n

− 2

n

(1)

3. Obliczy¢ granice funkcji: a) lim

x→+∞

2e

x2 +3x−2

2x−2

b) lim

x→0

x

2

|x| − 2x

c) lim

x→3

−

ln (3 − x)

x − 3

(2)

4. a) Zbada¢ ci¡gªo±¢ funkcji f(x) =







e

4−x

dla x > 4

1

dla x = 4

16−x

2

x−4

dla x < 4

b) Wyznaczy¢ asymptoty wykresu funkcji f (x) = e

x

1−x

(1)

Kolokwium nr 2 z AM1

1. Obliczy¢ pochodn¡ funkcji a) f(x) = parc tg 3x +

3x

5

+ 1

e

x

− 11

b) g (x) =

sin(2x−1)−6x

ln(x)+4x

3

− x

x

(1)

2. Obliczy¢ granice funkcji (wykorzystuj¡c reg. d'Hospitala): a) lim

x→1

x

10

+ 3x − 4

x

5

− 1

b) lim

x→∞

ln x

x

2

c) lim

x→0

+

xe

1

x

(2)

3. a) Zbada¢ monotoniczno±¢ i wyznaczy¢ ekstrema funkcji f(x) =

e

x

x

2

b) Wyznaczy¢ ekstrem globalne funkcji

x

2

+8

x−1

na przedziale [2, 5]

c) Zbada¢ wkl¦sªo±¢, wypukªo±¢ i wyznaczy¢ punkty przegi¦cia funkcji g(x) = ln(4 + x

2

)

(2)

4. Naszkicowa¢ wykres funkcji f wiedz¡c, »e jej dziedzin¡ jest R \ {−1} oraz

a) lim

x→−1

−

f (x) = +∞

;

x = 0

- max.lok.;

f

00

(x) < 0

dla x > 3

i

b) lim

x→−∞

f (x) = 0

;

(3, 0)

-p.p.;

f

0

(x) < 0

dla x ∈ (0, 1).

(1)

Kolokwium nr 3 z AM1

1. Obliczy¢ caªki nieoznaczone a)

Z

x (x + 2)

10

dx

b)

Z

x cos(3x)dx

c)

Z

x

x

2

+ x − 2

dx

d)

Z

3

x

2

+ x + 1dx

(2)

2. Obliczy¢ caªki oznaczone a)

Z

π

4

0

cos

5

xdx

b)

Z

1

−1

x + 1

√

4 − x

2

(1)

3. a) Obliczy¢ pole obszaru ograniczonego krzywymi: y = x

2

− 1; y = 1 − x

2

b) Obliczy¢ dªugo±¢ ªuku krzywej f (x) =

2
3

(x + 3)

3
2

; x ∈ [0, 2]

(1)

Kolokwium 1 i 2: 6 podpunktów: 3; 7 - 3,5; 8 - 4; 9 - 4,5; 10 - 5.

Kolokwium 3: 4 podpunkty: 3; 5 - 3,5; 6 - 4; - 4,5; 8 - 5.

Liczby w nawiasach na koniec ka»dego zadania oznaczaj¡ ile podpunktów z danego zadania musi by¢ rozwi¡zanych na 3.

1