Algebra liniowa 1

I kolokwium, semestr zimowy 2007/2008

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

A6

1

2

3

4

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Znaleźć wszystkie liczby zespolone

spełniające układ równań

x

, y

.







( 2 + i ) x +

i y

= 4

i x

− ( 1 − i ) y = 1

2. Wyznaczyć moduł i argument główny liczby zespolonej

.

z =

( 1 + i )

42

(

3 − i )

17

3. Wyznaczyć wszystkie pierwiastki wielomianu zespolonego

.

z

4

− 2z

2

− 3z − 2

4. Rozłożyć na rzeczywiste ułamki proste funkcję wymierną

.

x

3

− x

2

+ 3

x

4

+ 3x

2

Odpowiedzi do zestawu

A6

1.

,

;

x =

11 − 2i

5

y =

4i − 7

5

2.

;

z = 16, arg z =

4π

3

3.

,

;

−1, 2,

−1 − i 3

2

−1 + i 3

2

4.

.

1

x

2

−

x − 2

x

2

+ 3

Algebra liniowa 1

I kolokwium, semestr zimowy 2007/2008

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

B6

1

2

3

4

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Przedstawić na płaszczyźnie zespolonej zbiór

.

{ z ∈ C : z

2

≥ 5 + Im ( 4z ) }

2. Podać w postaci trygonometrycznej wszystkie elementy zbioru

3

2i − 2 .

Sporządzić rysunek.

3. Zapisać jako iloczyn dwumianów wielomian zespolony

.

z

6

+ z

5

− 5z

4

− 5z

3

− 6z

2

− 6z

4. Funkcję wymierną

3x

2

− 5

x

4

+ 10x

2

+ 9

rozłożyć na rzeczywiste i zespolone ułamki proste.

Odpowiedzi do zestawu

B6

1. Zewnętrze wraz z brzegiem sumy dwóch kół o środkach

,

z

1

= 2i

i promieniach

;

z

2

= −2i

r

1

= r

2

= 3

2.

dla

,

,

;

2 ( cos ϕ + i sin ϕ )

ϕ ∈ {

π
4

11π

12

19π

12

}

3.

;

z ( z + 1 ) ( z + i ) ( z − i ) ( z + 6 ) ( z − 6 )

4.

,

.

4

x

2

+ 9

−

1

x

2

+ 1

2i

3 ( x + 3i )

−

2i

3 ( x − 3i )

+

i

2 ( x − i )

−

i

2 ( x + i )

Algebra liniowa 1

I kolokwium, semestr zimowy 2007/2008

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

C6

1

2

3

4

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Wyznaczyć liczbę zespoloną z równania

z

.

Re z − i z − 2i

( i + 1 ) Im z − i

= 1 − 3i

2. Wyznaczyć liczbę zespoloną oraz jej pierwiastki stopnia ,

z

3

jeżeli jednym z nich jest liczba

Sporządzić rysunek.

1 + 2i.

3. Rozłożyć na czynniki liniowe wielomian zespolony

.

z

4

− 2z

3

+ 2z

2

− 2z + 1

4. Rozłożyć na rzeczywiste ułamki proste funkcję wymierną

.

x

2

( x

2

− 1 )

2

Odpowiedzi do zestawu

C6

1.

;

z = 3 + 2i

2.

, pozostałe pierwiastki

z = −11 − 2i

,

;

−1 − 2 3

2

+ i

−2 +

3

2

−1 + 2 3

2

− i

2 +

3

2

3.

;

( z − 1 )

2

( z + i ) ( z − i )

4.

.

−1

2 ( x + 2 )

+

1

2 ( x + 2 )

2

+

1

x − 2

+

1

( x − 2 )

2

Algebra liniowa 1

I kolokwium, semestr zimowy 2007/2008

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

D6

1

2

3

4

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Naszkicować na płaszczyźnie zespolonej zbiór

.

{ z ∈ C : Re z

3

≤ 0 }

2. Znaleźć postać algebraiczną wszystkich pierwiastków równania

( z − 3 )

4

= ( 1 + i )

12

, z ∈ C .

3. Znaleźć wielomian o współczynnikach rzeczywistych najniższego

stopnia, którego pierwiastkami są liczby

z

1

= 3, z

2

= 1 − 2i

i który przy dzieleniu przez dwumian

daje resztę

.

z + 3i

5 − i

4. Funkcję wymierną

x

3

+ 4x

2

+ 1

2x

4

+ x

2

rozłożyć na rzeczywiste ułamki proste.

Odpowiedzi do zestawu

D6

1. Suma trzech obszarów kątowych:

,

,

π
6

≤ arg z ≤

π
2

5π

6

≤ arg z ≤

7π

6

oraz punktu

;

3π

2

≤ arg z ≤

11π

6

z = 0

2.

,

,

,

;

5 + 2i 1 + 2i 1 − 2i 5 − 2i

3.

;

1
6

z

3

−

5
6

z

2

+

11

6

z −

5
2

4.

.

1

x

2

+

x + 2

2x

2

+ 1

Algebra liniowa 1

I kolokwium, semestr zimowy 2007/2008

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

E6

1

2

3

4

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Na płaszczyźnie zespolonej przedstawić zbiór

.

{ z ∈ C :

3iz − 4

3z − 2

≥ 1 }

2. Podać w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki stopnia

4

z liczby zespolonej

.

w = ( 1 − i 3 )

8

3. Znaleźć wszystkie pierwiastki wielomianu

3x

4

− 2x

3

− 4x

2

+ 2x + 1

i podać ich krotności.

4. Funkcję wymierną

x

2

+ x + 4

x

4

+ 5x

2

+ 6

rozłożyć na rzeczywiste ułamki proste.

Odpowiedzi do zestawu

E6

1. Górna półpłaszczyzna z brzegiem ograniczona symetralną odcinka

o końcach

,

, bez punktu

;

z

1

=

2
3

z

2

= −

4
3

i

z

3

=

2
3

2.

,

,

,

;

2 + 2 3 i 2i − 2 3

−2 − 2 3 i 2 3 − 2i

3. Pierwiastki

, krotności odpowiednio

;

1, −1, −

1
3

2, 1, 1

4.

.

x + 2

x

2

+ 2

−

x + 1

x

2

+ 3

Algebra liniowa 1

I kolokwium, semestr zimowy 2007/2008

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

F6

1

2

3

4

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równanie

.

2 z − 1 = z

2

2. Wypisać w postaci trygonometrycznej wszystkie elementy zbioru

.

5

8 − i 24

3. Wyznaczyć wszystkie rzeczywiste pierwiastki wielomianu

.

2x

5

− 3x

4

+ x

3

− 4x

2

+ 6x − 2

4. Funkcję wymierną

x

4

+ 3x

3

− x − 4

( x + 1 )

3

zapisać w postaci sumy wielomianu i ułamków prostych.

Odpowiedzi do zestawu

F6

1.

;

z

1

= 1, z

2

= −1 + 2i, z

3

= −1 − 2i

2.

dla

,

,

{

2 (cos ϕ

k

+ i sin ϕ

k

) : k = 0, 1, 2, 3, 4 }

ϕ

0

=

π
3

ϕ

1

=

11π

15

,

,

;

ϕ

2

=

17π

15

ϕ

3

=

23π

15

ϕ

4

=

29π

15

3.

,

;

x

1

=

1
2

x

2

= 1, x

3

=

3

2

4.

.

x −

3

x + 1

+

4

( x + 1 )

2

−

5

( x + 1 )

3

Algebra liniowa 1

I kolokwium, semestr zimowy 2007/2008

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

G6

1

2

3

4

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Stosując postać wykładniczą liczb zespolonych naszkicować zbiór

{ z ∈ C : z

5

= 9iz

3

}.

2. Punkty

z

1

= 1 − 3i, z

3

= −1 + 5i

są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu. Znaleźć pozostałe
wierzchołki tego kwadratu. Sporządzić rysunek.

3. Znaleźć pierwiastki trójmianu kwadratowego

.

z

2

+ 3z + 3 + i

4. Napisać ogólną postać rozkładu funkcji wymiernej

x

4

− 5

( x

3

+ 8 )

4

na rzeczywiste ułamki proste.

Odpowiedzi do zestawu

G6

1. Punkt oraz osiem punktów okręgu o środku i promieniu

0

0

o argumentach

dla

;

r = 3

kπ
16

k = 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31

2.

,

;

z

2

= −4 z

4

= 4 + 2i

3.

,

;

z

1

= −1 − i z

2

= 2 + i

4.

A

x + 2

+

B

( x + 2 )

2

+

C

( x + 2 )

3

+

D

( x + 2 )

4

+

Ex + F

x

2

− 2x + 4

+

.

Gx + H

( x

2

− 2x + 4 )

2

+

Ix + J

( x

2

− 2x + 4 )

3

+

Kx + L

( x

2

− 2x + 4 )

4

Algebra liniowa 1

I kolokwium, semestr zimowy 2007/2008

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

H6

1

2

3

4

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Naszkicować zbiór wszystkich liczb zespolonych , dla których

z

liczba

w =

z − 3i

z + 4

jest czysto urojona.

2. Przedstawić w postaci algebraicznej liczbę

.

z =

( 1 − i )

5

i

11

( 1 + i 3 )

3

3. Znaleźć wszystkie pierwiastki wielomianu zespolonego

z

3

− 2z + 4 .

4. Napisać ogólną postać rozkładu funkcji wymiernej

x

2

+ 3x − 4

x

6

+ 3x

4

− 4

na rzeczywiste ułamki proste.

Odpowiedzi do zestawu

H6

1. Okrąg o środku

, promieniu

bez punktu

;

z

0

= −2 +

3
2

i

r =

5
2

z

1

= −4

2.

;

1
2

+

1
2

i

3.

;

−2, 1 − i, 1 + i

4.

, przy czym

.

A

x − 1

+

B

x + 1

+

Cx + D

x

2

+ 2

+

Ex + F

( x

2

+ 2 )

2

A = 0