Kolokwium nr 1 Algebry

1. Rozwi¡za¢ równanie w dziedzinie zespolonej:

a) z

2

+ (2i − 1) z − i = 0

b) z

3

− i = 0

2. a) Obliczy¢ −1 + i

√

3

35

b) Naszkicowa¢ na pªaszczy¹nie zespolonej zbiór punktów speªniaj¡cych warunek: Im

i

z

< 1

.

3. Obliczy¢ wyznacznik:

1 0 2 3

0 -2 0 1

1 2 -1 2

-1 1 2 0

4. a) Wyznaczy¢

-1 2

0 3

−1

b) Rozwi¡za¢ równanie macierzowe:

-1 2

0 3

· X = 2

1 0

T

+ X

5. a) Pytanie teoretyczne (1)

b) Pytanie teoretyczne (2)

Kolokwium 1. Musz¡ by¢ zaliczone zadania: 1a, 2a, 3, 4a, 5-jeden podpunkt.

Przykªady pyta« teoretycznych (1):

1. Poda¢ denicj¦ postaci kartezja«skiej i trygonometrycznej liczby zespolonej.

2. Poda¢ denicj¦ i interpretacj¦ geometryczn¡ moduªu liczby zespolonej.

3. Poda¢ denicj¦ i interpretacj¦ geometryczn¡ argumentu liczby zespolonej.

4. Poda¢ denicj¦ i interpretacj¦ geometryczn¡ sprz¦»enia liczby zespolonej.

5. Poda¢ denicj¦ i interpretacj¦ geometryczn¡ pierwiastków n-tego stopnia z liczby zespolonej z.

6. Sformuªowa¢ zasadnicze twierdzenie algebry.

Przykªady pyta« teoretycznych (2):

1. Poda¢ cztery wybrane wªasno±ci wyznaczników.

2. Sformuªowa¢ cztery wybrane wªasno±ci dziaªa« na macierzach.

3. Sformuªowa¢ denicj¦ i dwie wªasno±ci macierzy transponowanej.

4. Sformuªowa¢ denicj¦ i dwie wªasno±ci macierzy odwrotnej.

5. Poda¢ cztery wªasno±ci rz¦dów macierzy.

1

Kolokwium nr 2 z Algebry

1. Rozwi¡za¢ ukªad równa« stosuj¡c twierdzenie Cramera lub Kroneckera-Capellego:

a)

x - 2y + . . . +z+u = 0

-2x + 4y - z + 4u = 2

b)







x + y + 2z = 1

x + 2y + 3z = 2

2x - y + z = -1

2. a) Niech ~a = [−2, −1, 1],~b = [2, 0, 1]. Wyznaczy¢ k¡t mi¦dzy wektorami ~a i ~b. Wskaza¢ dwa wektory

równolegªe do wektora ~a oraz wektor prostopadªy do ~a i ~b. Obliczy¢ pole trójk¡ta rozpi¦tego na wektorach

~a

i ~b.

b) Napisa¢ równanie pªaszczyzny π

1

zawieraj¡cej punkt P = (−3, 0, 2) i prostopadªej do wektora ~n =

[2, 0, 1]

. Sprawdzi¢, czy pªaszczyzna ta jest równolegªa/ prostopadªa do pªaszczyzny π

2

: 2x + y = 1

?

c) Napisa¢ równania parametryczne, kierunkowe i kraw¦dziowe prostej przechodz¡cej przez punkty P =
(−1, 2, 1)

i Q = (2, 0, −1).

3. Niech φ(x

1

, x

2

) = [x

1

− 2x

2

, 3x

2

]

: Wyznaczy¢ macierz przeksztaªcenia φ, warto±ci wªasne przeksztaªcenia

φ

oraz wektory wªasne dla wybranej warto±ci wªasnej λ.

4. a) Pytanie teoretyczne (1)

b) Pytanie teoretyczne (2)

Kolokwium 2. Musz¡ by¢ zaliczone zadania: 1-jeden podpunkt, 2-dwa podpunkty z trzech, 4-jeden podpunkt.

Przykªady pyta« teoretycznych (1):

1. Sformuªowa¢ twierdzenie Cramera.

2. Sformuªowa¢ twierdzenie Kroneckera-Capellego.

3. Poda¢ cztery wªasno±ci rz¦du macierzy.

4. Poda¢ denicj¦ ukªadu jednorodnego. Kiedy taki ukªad posiada rozwi¡zanie niezerowe?

Przykªady pyta« teoretycznych (2): 1. Poda¢ denicj¦ i dwie wªasno±ci iloczynu skalarnego.

2. Poda¢ denicj¦ i dwie wªasno±ci iloczynu wektorowego.

3. Poda¢ denicj¦ i dwie wªasno±ci iloczynu mieszanego.

4. Poda¢ wzór na obj¦to±¢ równolegªo±cianu rozpi¦tego na trzech ró»nych wektorach / pole równolegªoboku

rozpi¦tego na dwóch wektorach.

5. Kiedy dwa wektory/ proste/ pªaszczyzny s¡ równolegªe/prostopadªe?

6. Jak sprawdzi¢ czy trzy punkty s¡ wspóªliniowe?

7. Jak sprawdzi¢ czy trzy wektory s¡ wspóªpªaszczyznowe?

2