Kolokwium z algebry II
Imię i Nazwisko...................................................................................................
1. Wyznaczyć bazę ortogonalną przestrzeni wielomianów stopnia nie większego od 2 z iloczynem skalarnym określonym wzorem
.
2. Wyznaczyć rzut ortogonalny wektora x na podprzestrzeń W, gdzie:
, .
3. Dla jakiej wartości parametru m∈R przekształcenie liniowe określone wzorem
jest izometrią liniową?
4. Narysować zbiór M określony układem nierówności:
a) Wyznaczyć wierzchołki zbioru M.
b) Czy , gdzie ? Odpowiedź uzasadnić.
5. Wyznaczyć wszystkie promienie ekstremalne stożka wypukłego określonego układem nierówności:
Kolokwium z algebry ii
Imię i Nazwisko...............................................................................
1. Wyznaczyć odległość wektora x od podprzestrzeni W, gdzie:
, .
2. Wyznaczyć bazę ortogonalną przestrzeni W2 wielomianów stopnia nie większego od 2 z iloczynem skalarnym określonym wzorem
.
3. Narysować zbiór A2, jeśli Am jest zbiorem określonym układem nierówności
Wyznaczyć w zależności od m ∈ R liczbę wierzchołków zbioru Am.
4. Niech X będzie stożkiem określonym układem nierówności
a) Wykazać, że X jest stożkiem wypukłym.
b) Wyznaczyć wszystkie promienie ekstremalne stożka X.
5. Niech , gdzie g jest bijekcją, bedą przekształceniami liniowymi. Czy z warunku, że jest izometrią liniową wynika, że f jest izometrią liniową. Odpowiedź uzasadnić.
Kolokwium z algebry ii
Imię i Nazwisko...............................................................................
1. Wyznaczyć odległość wektora x od podprzestrzeni W, gdzie:
, .
2. Wyznaczyć bazę ortogonalną przestrzeni W2 wielomianów stopnia nie większego od 2 z iloczynem skalarnym określonym wzorem
.
3. Narysować zbiór A2, jeśli Am jest zbiorem określonym układem nierówności
Wyznaczyć w zależności od m ∈ R liczbę wierzchołków zbioru Am.
4. Niech X będzie stożkiem określonym układem nierówności
a) Wykazać, że X jest stożkiem wypukłym.
b) Wyznaczyć wszystkie promienie ekstremalne stożka X.
5. Niech , gdzie f jest bijekcją, bedą przekształceniami liniowymi. Czy z warunku, że jest izometrią liniową wynika, że g jest izometrią liniową. Odpowiedź uzasadnić.
Kolokwium z algebry II
23 listopada 1999
Imię i Nazwisko............................................................................Nr indeksu...............
1. Wykazać, że funkcjonał dwuliniowy
,
jest symetryczny. Wyznaczyć bazę przestrzeni , w której g ma macierz diagonalną.
2. Zbadać, w zależności od wartości parametru m∈R, określoność formy kwadratowej
, .
3. Obliczyć cosinus kąta między wektorami , , jeśli i kąt między wektorami x i y jest równy .
4. Wyznaczyć rzut ortogonalny wektora x na podprzestrzeń W, jeśli:
, .
5. Niech x i y będą wektorami niezerowymi. Udowodnić, że jeśli
,
to wektory x i y są liniowo zależne. Czy prawdziwe jest twierdzenie odwrotne?
Kolokwium z algebry II
23 listopada 1999
Imię i Nazwisko............................................................................Nr indeksu...............
1. Wykazać, że funkcjonał dwuliniowy
,
jest symetryczny. Wyznaczyć bazę przestrzeni , w której g ma macierz diagonalną.
2. Zbadać, w zależności od wartości parametru m∈R, określoność formy kwadratowej
, .
3. Obliczyć cosinus kąta między wektorami , , jeśli i kąt między wektorami x i y jest równy .
4. Wyznaczyć rzut ortogonalny wektora x na podprzestrzeń W, jeśli:
, .
5. Niech x i y będą wektorami niezerowymi. Udowodnić, że jeśli
,
to wektory x i y są liniowo zależne. Czy prawdziwe jest twierdzenie odwrotne?
Kolokwium z algebry II
12.01.1999
Imię i Nazwisko.........................................................................................................
1. Obliczyć odległość między „wektorami” , w przestrzeni wszystkich wielomianów (nad ciałem liczb rzeczywistych) z iloczynem skalarnym określonym wzorem
.
2. Wyznaczyć bazę ortogonalną przestrzeni .
3. Niech dla k =1,2,3, , . Czy A i B są:
a) zbiorami wypukłymi,
b) stożkami,
c) stożkami wypukłymi?
Odpowiedź uzasadnić.
4. Wyznaczyć wszystkie promienie ekstremalne stożka określonego układem nierówności
5. Wyznaczyć wszystkie wartości parametru m ∈ R, dla których spełniony jest warunek
,
gdzie .
Kolokwium z algebry II
12.01.1999
Imię i Nazwisko.........................................................................................................
1. Obliczyć odległość między „wektorami” , w przestrzeni wszystkich wielomianów (nad ciałem liczb rzeczywistych) z iloczynem skalarnym określonym wzorem
.
2. Wyznaczyć bazę ortogonalną przestrzeni .
3. Niech dla k =1,2,3, , . Czy A i B są:
a) zbiorami wypukłymi,
b) stożkami,
c) stożkami wypukłymi?
Odpowiedź uzasadnić.
4. Wyznaczyć wszystkie promienie ekstremalne stożka określonego układem nierówności
5. Wyznaczyć wszystkie wartości parametru m ∈ R, dla których spełniony jest warunek
,
gdzie .
Kolokwium z algebry II
20 maja 1999
Imię i Nazwisko........................................................................................................
1. Obliczyć wartość bezwględną cosinusa kąta między wektorami a = 2x + 3y ≠ 0 i b = x − y ≠ 0, jeśli wektory x i y spełniają warunek .
2. Wyznaczyć odległość wektora x od podprzestrzeni W, jeśli
, .
3. Niech , gdzie m ∈ R, będzie podzbiorem przestrzeni R3 określonym układem nierówności
a) Narysować zbiór .
b) Wyznaczyć, w zależności od wartości m, liczbę wierzchołków zbioru .
c) Dla jakich m∈R spełniony jest warunek ? Odpowiedź uzasadnić.
4. Niech . Sprawdzić, czy:
a) A jest zbiorem wypukłym,
b) A jest stożkiem,
c) A jest stożkiem wypukłym.
5. Udowodnić, że jeśli f : Rn → Rm jest przekształceniem liniowym, g : Rm → R jest funkcją wypukłą, to jest funkcją wypukłą.
KOLOKWIUM Z ALGEBRY II
Imię i Nazwisko............................................................................................
1. Obliczyć cosinus kąta między wektorami a i b, gdzie a = 2x y, b = 2x + y oraz , (x,y) = 1.
2. Wyznaczyć odległość wektora x od podprzestrzeni L(a1,a2,a3), jeśli
, .
3. Narysować zbiór określony układem nierówności:
Wyznaczyć jego wierzchołki. Czy istnieją wierzchołki zdegenerowane? Odpowiedź uzasadnić.
4. Zbadać, czy zbiór jest:
a) zbiorem wypukłym,
b) stożkiem,
c) stożkiem wypukłym.
5. Narysować zbiory A, A*, A**, gdzie .
6. Niech f:Rn→Rm będzie przekształceniem liniowym. Udowodnić, że zbiór
,
gdzie , jest stożkiem wypukłym.
Algebra II
1. Udowodnić, że jeśli niezerowe wektory x, y, z, są parami prostopadłe, to są liniowo niezależne.
2. Wyznaczyć odległość wektora x od podprzestrzeni W, gdzie:
.
3. Narysować zbiór A określony układem nierówności:
Wyznaczyć wszystkie wierzchołki zbioru A. Podać, które z wierzchołków leżących na osiach układu współrzędnych są zdegenerowane, a które nie są zdegenerowane. Odpowiedź uzasadnić.
4. Dla jakiej wartości parametru q∈R przekształcenie liniowe f:R3→R3 określone wzorem
jest izometrią liniową?
5. Sprawdzić, czy zbiór jest:
a) zbiorem wypukłym,
b) stożkiem,
c) stożkiem wypukłym.