A

L

G

E

B

R

A
L

IN

IO

W
A
1

L

is

ta

zadań

2

0

0

3

/

2

0

0

4

O

p

ra

co

w

a

nie
:

d

r

T

er

es

a

Ju
rl

ewicz

,

d

r

Z

bi

g

nie
w
S

k

o

cz

y

la

s

Z

a

d

a

n

ia

z

te

j

lis
ty
zn

a

jd

u

ją

si

ę

w
o

b

ec

n

y

m
o

ra

z

p

o

p

rz

ed

n

ic

h
w

y

d

a

n

ia

ch
k

si

ą

żk

i

„

A

lg

e

b

ra
li

n

io

w

a

1

.

P

rz

y

k

ła

d

y
i

za

d

a

n

ia

”

.

K

a

żd

e

z

za

d

a

ń
m

a

ta

m
sw

ó

j

o

d

p

o

w

ie

d

n

ik

w
p

o

st

a

ci

d

o

k

ła

d

n

ie

ro

zw

ią

za

-

n

eg

o

p

rz

y

k

ła

d

u

.

D

o

w

sz

y

st

k

ic

h
za

d

a

ń
d

o

łą

cz

o

n

o

o

d

p

o

w

ie

d

zi

.

Z

a

k

re

s

m

a

te

ri

a

łu
z

p

o

p

rz

ed

n

ie

j

tz

w

.

st

a

n

d

a

rd

o

w

e

j

lis

ty
za

d

a

ń
(r

ea

li

zo

w

a

n

ej

w
ro

k

u
a

k

a

d

em

ic

k

im
2

0

0

2

/

3

)

p

o

sz

er

zo

n

o

o

rz

ą

d
m

a

ci

er

zy

i

tw

ie

rd

ze

n

ie

K

ro

n

ec

k

er

a

-C

a

p

el

le

g

o

.

Z

re

zy

g

n

o

w

a

n

o

z

p

o

d

zi

a

łu

n

a

1

4

je

d

n

o

st

ek

n

a

rz

ec

z

u

k

ła

d

u

m

er

y

-

to

ry

cz

n

eg

o

.

1

.

L

icz
b

y

ze

sp

o

lo

n

e

◦

Z

adan

ie

1

.1

∗

[1

.1]

†

W
y

k

o

n

a

ć

p

o

d

a

n

e

d

zi

a

ła

n

ia

:

a

)

(1

−

3

i)

+
(4

−

5

i);

b

)

1

+

√

2

i

−

√

3

−

6

i

;

c)

√

7

−

√

3

i

·

√

7

+

√

3

i

;

d

)

2

+
3

i

1

+
i

;

e

)

z

·

w

,

z

2

w

,

z

−
w

z

+
w

,

R

e

z

+
i

Im
w

z

+
w

d

la

z

=
5

−

2

i,

w
=
3

+
4

i.

◦

Z

adan

ie

1

.2

[1

.2]

Z

n

a

le

źć

li

cz

b

y

rz

ec

zy

w

ist
e

x

,

y

sp

eł

n

ia

ją

ce

p

o

d

a

n

e

ró

w

n

a

n

ia

:

a

)

x

(2

+
3

i)

+
y

(5

−

2

i)

=
−

8

+
7

i;

b

)

(2

+
y

i)

·(

x

−

3

i)

=
7

−
i;

c)

1

+
y

i

x

−

2

i

=
3

i

−

1

;

d

)

x

+
y

i

x

−
y

i

=

9

−

2

i

9

+
2

i .

◦

Z

adan

ie

1

.3

[1

.3]

W
zb

io

rz

e

li

cz

b

ze

sp

o

lo

n

y

ch

ro

zw

ią

za

ć

p

o

d

a

n

e

ró

w

n

a

n

ia

:

a

)

z

2

=
4

z

;

b

)

1

+
i

z

=

2

−

3

i

z

;

c)

z

2

−

4

z

+
1

3

=
0

;

d

)

(

z

+
2

)

2

=
(

z

+
2

)

2

;

e

)

2

z

+
z

=
6

−

5

i;

f)

(1

+

i)

z

+

3

(

z

−

i)

=
0

;

g

)

2

+
i

z

−

1

+
4

i

=

1

−
i

2

z

+
i ;

h

)

z

+
i

−
z

+
i

=
0

;

i*

)

z

3

−

6

iz

2

−

1

2

z

+
8

i

=
0

.

◦

Z

adan

ie

1

.4

[1

.5]

N

a

p

ła

sz

cz

y

źn

ie

ze

sp

o

lo

n

ej

n

a

ry

so

w

a

ć

zb

io

ry

li

cz

b
z

sp

eł

n

ia

ją

cy

ch

p

o

d

a

n

e

w

a

ru

n

k

i:

a

)

R

e

(

iz

+
2

)

­

0

;

b

)

Im
z

2

<
0

;

c)

z

−
i

=
z

−

1

;

d

)

4

z

=
z

;

e

)

z

z

+
(5

+
i)

z

+
(5

−
i)

z

+
1

=
0

;

f)

Im

1

+
iz

1

−
iz

=
1

.

◦

Z

adan

ie

1

.5

[1

.6]

Ni
ec

h
u
=

z

+
4

z

−

2

i

,

v

=

z

iz

+
4

,

g

d

zi

e

z
∈

C
.

N

a

sz

k

ic

o

w

a

ć

zb

ió

r

w

sz

y

st

k

ic

h

li

cz

b

ze

sp

o

lo

n

y

ch
z

,

d

la

k

tó

ry

ch

:

a

)

li

cz

b

a

u
je

st

rz

ec

zy

w

ist
a

;

b

)

li

cz

b

a

u
je

st

cz

y

st

o

u

ro

jo

n

a

;

c)

li

cz

b

a

v

je

st

rz

ec

zy

w

ist
a

;

d

)

li

cz

b

a

v

je

st

cz

y

st

o

u

ro

jo

n

a

.

◦

Z

adan

ie

1

.6

[1

.7]

P

u

n

k

ty
z

1

,

z

2

,

z

3

p

ła

sz

cz

y

zn

y

ze

sp

o

lo

n

ej

są

w

ie

rz

ch

o

łk

a

m

i

tr

ó

jk

ą

ta

.

W
y

zn

a

cz

y

ć

p

o

ło

że

n

ie

p

u

n

k

tu

p

rz

ec

ię

ci

a

śr

o

d

k

o

w

y

ch

te

g

o

tr

ó

jk

ą

ta

.

W
sk

a

zó

w

k

a

.

W
y

k

or

zy

st

a

ć

fa

k

t,

że

śr

o

d

k

o

w

e

tr

ó

jk

ą

ta

pr
ze

ci

n

a

ją

si

ę

w
jed
n

y

m
pun

k

ci

e

i

d

zi

el

ą

si

ę

w
st

o

sun
k

u

2

:

1

lic

zą

c

o

d

w

ier

zc

ho
łk

a

.

◦

Z

adan

ie

1

.7

[2

.1]

O

b

li

cz

y

ć

m

o

d

u

ły

p

o

d

a

n

y

ch

lic

zb

ze

sp

o

lo

n

y

ch

:

a

)

−

√

3

i;

b

)

6

−

8

i;

c)

4

√

2

+

4

√

3

i;

d

)

1

+
i

tg

α

,

α
∈



−

π

2

,

π

2



;

e

)

1

+
3

i

3

−

4

i .

∗

N

u

m

era
cj

a

zada
ń

z

k

si

ą

żk

i

A

lg

e

b

ra

lini
o

w

a

1

.

P

rz

y

k

ła

d

y

i

za

d

a

ni

a

,

w

y

dan

ie

IX

.

†

N

u

m

era
cj

a

zada
ń

z

k

si

ą

żk

i

A

lg

e

b

ra

lini
o

w

a

1

.

P

rz

y

k

ła

d

y

i

za

d

a

ni

a

,

w

y

dan

ie

V

II

I.

2

◦

Z

adan

ie

1

.8

[2

.2]

P

o

d

a

ć

in

te

rp

re

ta

cj

ę

g

eo

m

etr

y

cz

n

ą

m

o

d

u

łu

ró

żn

ic

y

li

cz

b

ze

sp

o

lo

n

y

ch

.

K

o

rz

y

st

a

ją

c

z

te

j

in

te

rp

re

ta

cj

i

n

a

ry

so

w

a

ć

zb

io

ry

li

cz

b

ze

sp

o

lo

n

y

ch
z

sp

eł

n

ia

ją

cy

ch

p

o

d

a

n

e

w

a

ru

n

k

i:

a

)

|z

−

3

+
4

i
|

=
1

;

b

)







z

−

2

i

z

+
1







=
1

;

c)

2

¬

|i

z

−

5

|

<
3

;

d

)

|z

+
1

−

2

i
|

­

3

o

ra

z

|z

−

3

|

<
4

;

e

)







z

+
i

z

2

+
1







­

1

;

f)

si

n
π

|z

+
2

i
|

>
0

;

g*
)

3

|z

+
i
|

¬





z

2

+
1





<
5

|z

−

i
|;

h

)





z

−

1

+
3

i





¬

5

.

◦

Z

adan

ie

1

.9

[2

.4]

P

o

d

a

n

e

li

cz

b

y

ze

sp

o

lo

n

e

za

p

is

a

ć

w
p

o

st

a

ci

tr

y

g

o

n

o

m

etr

y

cz

n

ej

:

a

)

7

+
7

i;

b

)

√

3

−

i;

c)

−

5

+
5

√

3

i;

d

)

si

n

α

+
i

co

s

α

;

e

)

−

co

s

α

+
i

si

n

α

;

f)

1

+
i

tg

α

.

U

w

aga

.

W
ćw

ic

ze

n

ia

ch

d

)

,

e

)

,

f)

k

ą

t

α
sp

eł

n

ia

n

ie

ró

w

n

o

śc

i

0

<
α
<

π

2

.

◦

Z

adan

ie

1

.10

[2

.5]

N

a

ry

so

w

a

ć

zb

io

ry

lic

zb

ze

sp

o

lo

n

y

ch
z

sp

eł

n

ia

ją

cy

ch

p

o

d

a

n

e

w

a

ru

n

k

i:

a

)

a

rg

z

=

5

π

4

;

b

)

π

6

<
a

rg

(z

+
3

i)

<

π

3

;

c)

π

¬
a

rg

(i

z

)

<
2

π

;

d

)

a

rg
z

6

=
π

;

e

)

π

3

¬
a

rg

(
−

z

)

¬

π

2

;

f*

)

a

rg

(z

−

1

−

2

i)

=

3

π

2

.

◦

Z

adan

ie

1

.11

[2

.6]

O

b

li

cz

y

ć

w

a

rt

o

śc

i

p

o

d

a

n

y

ch

w

y

ra

że

ń

(w

y

n

ik

p

o

d

a

ć

w
p

o

st

a

ci

a

lg

eb

ra

ic

zn

ej

):

a

)

(1

−

i)

12

;

b

)

1

+

√

3

i

8

;

c)

2

√

3

−

2

i

30

;

d

)



co

s

π

4

−

i

si

n

π

4



10

;

e

)

(1

+
i)

22

1

−

i √

3

6

;

f)



si

n

π

6

+
i

co

s

π

6



24

.

◦

Z

adan

ie

1

.12

[2

.7]

K

o

rz

y

st

a

ją

c

ze

w

zo

ru

d

e

M

o

iv

re

’a

w

y

ra

zi

ć:

a

)

si

n

3

x

p

rz

ez

fu

n

k

cj

ę

si

n

x

;

b

)

co

s

4

x

p

rz

ez

fu

n

k

cj

e

si

n

x

i

co

s

x

;

c*
)

tg

6

x

p

rz

ez

fu

n

k

cj

ę

tg

x

;

d*
)

ct

g

5

x

p

rz

ez

fu

n

k

cj

ę

ct

g

x.

◦

Z

adan

ie

1

.13

[2

.8]

N

a

ry

so

w

a

ć

zb

io

ry

lic

zb

ze

sp

o

lo

n

y

ch
z

sp

eł

n

ia

ją

cy

ch

p

o

d

a

n

e

w

a

ru

n

k

i:

a

)

Im

z

3

<
0

;

b

)

R

e
z

4

­

0

;

c)

Im

z

2

­
R

e



(z

)

2



;

d

)

Im

(1

+
i)

z

(1

−

i)

z

­

0

.

◦

Z

adan

ie

*

1

.14

[2

.9]

W
y

k

o

rz

y

st

u

ją

c

w

zó

r

n

a

su

m

ę

w

y

ra

zó

w
ze

sp

o

lo

n

eg

o

ci

ą

g

u

g

eo

m

etr

y

cz

n

eg

o

o

b

lic

zy

ć:

a

)

si

n

x

+
si

n

2

x

+
.

.

.

+
si

n

n

x

;

b

)

co

s

x

+
co

s

2

x

+
.

.

.

+
co

s

n

x

;

c)

1

2

+
co

s

x

+
co

s

2

x

+
.

.

.

+
co

s

n

x

;

d

)

si

n

x

+
si

n

3

x

+
.

.

.

+
si

n

(2

n

−

1

)x

;

e

)

1

+
(1

−

i)

+
(1

−

i)

2

+
.

.

.

+
(1

−

i)

n

;

f)

n

0

−

n

2

+

n

4

−

.

.

.

+
(
−

1

)

n

n

2

m

,

g

d

zi

e

n

∈

N

o

ra

z

m
=
E



n

2



.

3

◦

Z

adan

ie

1

.15

[3

.1]

S

to

su

ją

c

p

o

st

a

ć

w

y

k

ła

d

n

ic

zą

li

cz

b

y

ze

sp

o

lo

n

ej

ro

zw

ią

za

ć

p

o

d

a

n

e

ró

w

n

a

n

ia

:

a

)

z

7

=
z

;

b

)

(z

4

)

=
z

2





z

2





;

c)

(z

)

2





z

2





=

4

z

2

;

d

)

|z

|

3

=
iz

3

;

e

)

z

6

=
(z

)

6

;

f)





z

8





=
z

4

.

◦

Z

adan

ie

1

.16

[3

.2]

S

to

su

ją

c

w

zo

ry
E

u

le

ra

w

y

ra

zi

ć

p

o

d

a

n

e

fu

n

k

cj

e

w
p

o

st

a

ci

su

m
si

n

u

só

w
i

co

si

n

u

só

w
w

ie

lo

k

ro

tn

o

śc

i

k

ą

ta

x

:

a

)

si

n

3

x

;

b

)

co

s

2

x

;

c)

si

n

5

x

;

d

)

si

n

4

x

+
co

s

4

x.

◦

Z

adan

ie

1

.17

[3

.3]

K

o

rz

y

st

a

ją

c

z

d

efi

n

ic

ji

o

b

li

cz

y

ć

p

o

d

a

n

e

p

ie

rw

ia

st

k

i:

a

)

√

5

−

1

2

i;

b

)

√

−

1

1

+
6

0

i;

c)

3

√

i;

d

)

4

√

1

6

.

◦

Z

adan

ie

1

.18

[3

.4]

O

b

li

cz

y

ć

i

n

a

ry

so

w

a

ć

n

a

p

ła

sz

cz

y

źn

ie

ze

sp

o

lo

n

ej

p

o

d

a

n

e

p

ie

rw

ia

st

k

i:

a

)

p

−

1

+

√

3

i;

b

)

3

√

−

2

7

i;

c)

4

√

−

4

;

d

)

6

√

−

6

4

;

e

)

5

√

3

2

i;

f)

3

√

−

1

+
i;

g*
)

4

√

i;

h*
)

3

√

2

+
2

i.

◦

Z

adan

ie

1

.19

[3

.5]

O

d

g

a

d

u

ją

c

je

d

en

z

el

em

en

tó

w
p

o

d

a

n

y

ch

p

ie

rw

ia

st

k

ó

w
o

b

lic

zy

ć

p

o

zo

st

a

łe

el

em

en

ty

ty

ch

p

ie

rw

ia

st

k

ó

w

:

a

)

p

(5

−

4

i)

4

;

b

)

4

p

(
−

2

+
3

i)

4

;

c)

3

p

(2

−

i)

6

;

d

)

3

p

(2

−

2

i)

9

.

◦

Z

adan

ie

1

.20

[3

.6]

J

ed

n

y

m
z

w

ie

rz

ch

o

łk

ó

w
k

w

a

d

ra

tu
je

st

p

u

n

k

t

z

1

=
4

−
i.

W
y

zn

a

cz

y

ć

p

o

zo

st

a

łe

w

ie

rz

ch

o

łk

i

te

g

o

k

w

a

d

ra

tu

,

je

że

li

je

g

o

śr

o

d

k

ie

m
je

st:

a

)

p

o

cz

ą

te

k

u

k

ła

d

u

w

sp

ó

łr

zę

d

n

y

ch

;

b

)

p

u

n

k

t

u

=
1

;

c)

p

u

n

k

t

u

=
3

+
i;

d

)

p

u

n

k

t

u

=
7

+

√

2

i.

◦

Z

adan

ie

1

.21

[3

.7]

Z

n

a

le

źć

ro

zw

ią

za

n

ia

p

o

d

a

n

y

ch

ró

w

n

a

ń

:

a

)

z

4

=
(1

−

i)

4

;

b

)

(z

−

1

)

6

=
(i

−

z

)

6

;

c)

z

3

=
(i

z

+
1

)

3

.

2

.

W
ie

lo

m

ia

n

y

◦

Z

adan

ie

2

.1

[4

.1]

O

b

li

cz

y

ć

il

o

cz

y

n

y

p

o

d

a

n

y

ch

p

a

r

w

ie

lo

m

ia

n

ó

w
rz

ec

zy

w

is

ty

ch

lu

b

ze

sp

o

lo

n

y

ch

:

a

)

P

(x

)

=
x

4

−

3

x

3

+
x

−

1

,

Q

(x

)

=
x

2

−

x

+
4

;

b

)

W
(z

)

=
z

3

+
5

z

2

−

iz

+
3

,

V

(z

)

=
(1

+
i)

z

−

2

.

◦

Z

adan

ie

2

.2

[4

.2]

O

b

li

cz

y

ć

il

o

ra

zy

o

ra

z

re

sz

ty

z

d

zi

el

eń

w

ie

lo

m

ia

n

ó

w
P
p

rz

ez

w

ie

lo

m

ia

n

y

Q

,

je

że

li:

a

)

P

(x

)

=
2

x

4

−

3

x

3

+
4

x

2

−

5

x

+
6

,

Q

(x

)

=
x

2

−

3

x

+
1

;

b

)

P

(x

)

=
x

16

−

1

6

,

Q

(x

)

=
x

4

+
2

;

c)

P

(z

)

=
z

5

−

z

3

+
1

,

Q

(z

)

=
(z

−

i)

3

.

4

◦

Z

adan

ie

2

.3

[4

.3]

Z

n

a

le

źć

w

sz

y

st

k

ie

p

ie

rw

ia

st

k

i

ca

łk

o

w

it

e

p

o

d

a

n

y

ch

w

ie

lo

m

ia

n

ó

w

:

a

)

x

3

+
x

2

−

4

x

−

4

;

b

)

3

x

3

−

7

x

2

+
4

x

−

4

;

c)

x

5

−

2

x

4

−

4

x

3

+
4

x

2

−

5

x

+
6

;

d

)

x

4

+
3

x

3

−

x

2

+
1

7

x

+
9

9

.

◦

Z

adan

ie

2

.4

[4

.4]

Z

n

a

le

źć

w

sz

y

st

k

ie

p

ie

rw

ia

st

k

i

w

y

m

ie

rn

e

p

o

d

a

n

y

ch

w

ie

lo

m

ia

n

ó

w

:

a

)

x

3

−

7

6

x

2

−

3

2

x

−

1

3

;

b

)

4

x

4

+
4

x

3

+
3

x

2

−

x

−

1

;

c)

4

x

3

+
x

−

1

;

d

)

x

5

+

4

3

x

3

−

x

2

+

1

3

x

−

1

3

.

◦

Z

adan

ie

2

.5

[4

.5]

Z

n

a

le

źć

p

ie

rw

ia

st

k

i

p

o

d

a

n

y

ch

ró

w

n

a

ń

k

w

a

d

ra

to

w

y

ch

i

d

w

u

k

w

a

d

ra

to

w

y

ch

:

a

)

z

2

−

4

z

+
1

3

=
0

;

b

)

z

2

−

(3

−

2

i)

z

+
(5

−

5

i)

=
0

;

c)

z

4

+
8

z

2

+
1

5

=
0

;

d

)

z

4

−

3

iz

2

+
4

=
0

.

◦

Z

adan

ie

2

.6

[4

.6]

Z

n

a

ją

c

n

ie

k

tó

re

p

ie

rw

ia

st

k

i

p

o

d

a

n

y

ch

w

ie

lo

m

ia

n

ó

w
rz

ec

zy

w

is

ty

ch

,

zn

a

le

źć

ic

h

p

o

zo

st

a

łe

p

ie

rw

ia

st

k

i:

a

)

W
(x

)

=
x

3

−

3

√

2

x

2

+
7

x

−

3

√

2

,

x

1

=

√

2

+
i;

b

)

W
(x

)

=
x

4

−

2

x

3

+
7

x

2

+
6

x

−

3

0

,

x

1

=
1

−

3

i;

c)

W
(x

)

=
x

4

−

6

x

3

+
1

8

x

2

−

3

0

x

+
2

5

,

x

1

=
2

+
i;

d

)

W
(x

)

=
x

6

−

2

x

5

+
5

x

4

−

6

x

3

+
8

x

2

−

4

x

+
4

,

x

1

=
i,

x

2

=
−

√

2

i;

e

)

W
(x

)

=
x

6

−

6

x

5

+
1

8

x

4

−

2

8

x

3

+
3

1

x

2

−

2

2

x

+
1

4

,

x

1

=
1

−

i,

x

2

=
2

−

√

3

i.

◦

Z

adan

ie

2

.7

[4

.7]

Ni
e

w

y

k

o

n

u

ją

c

d

zi

el

eń

zn

a

le

źć

re

sz

ty

z

d

zi

el

eń

w

ie

lo

m

ia

n

ó

w
P
p

rz

ez

w

ie

lo

m

ia

n

y

Q

,

je

że

li:

a

)

P

(x

)

=
x

8

−

3

x

3

+
5

x

,

Q

(x

)

=
x

2

−

x

−

2

;

b

)

P

(x

)

=
x

14

−

4

x

10

+
x

2

+

√

2

x

,

Q

(x

)

=
x

2

+
2

;

c)

P

(x

)

=
x

30

+
3

x

14

+
2

,

Q

(x

)

=
x

3

+
1

;

d

)

P

(x

)

=
x

100

+
2

x

51

−

3

x

2

+
1

,

Q

(x

)

=
x

2

−

1

;

e

)

P

(x

)

=
x

5

+
x

−

2

,

Q

(x

)

=
x

2

−

2

x

+
5

;

f)

P

(x

)

=
x

6

+
x

−

5

0

,

Q

(x

)

=
x

3

+
8

.

◦

Z

adan

ie

2

.8

[5

.1]

P

o

d

a

ć

p

rz

y

k

ła

d

y

w

ie

lo

m

ia

n

ó

w
ze

sp

o

lo

n

y

ch

n

a

jn

iż

sz

eg

o

st

o

p

n

ia

,

k

tó

re

sp

eł

n

ia

ją

p

o

d

a

n

e

w

a

ru

n

k

i:

a

)

li

cz

b

y

0

,
1

−

5

i

są

p

ie

rw

ia

st

k

a

m

i

p

o

je

d

y

n

cz

y

m

i,

a

li

cz

b

y

−

1

,
−

3

+
i

są

p

ie

rw

ia

st

k

a

m

i

p

o

d

w

ó

jn

y

m

i

te

g

o

w

ie

lo

m

ia

n

u

;

b

)

li

cz

b

a

−

4

i

je

st

p

ie

rw

ia

st

k

ie

m
p

o

d

w

ó

jn

y

m

,

a

li

cz

b

y

3

,
−

5

p

ie

rw

ia

st

k

a

m

i

p

o

tr

ó

jn

y

m

i

te

g

o

w

ie

lo

-

m

ia

n

u

.

◦

Z

adan

ie

2

.9

[5

.2]

P

o

d

a

ć

p

rz

y

k

ła

d

y

w

ie

lo

m

ia

n

ó

w
rz

ec

zy

w

is

ty

ch

n

a

jn

iż

sz

eg

o

st

o

p

n

ia

,

k

tó

re

sp

eł

n

ia

ją

p

o

d

a

n

e

w

a

ru

n

k

i:

a

)

li

cz

b

y

1

,
−

5

,
−

√

2

o

ra

z

1

−

3

i

są

p

ie

rw

ia

st

k

a

m

i

p

o

je

d

y

n

cz

y

m

i

te

g

o

w

ie

lo

m

ia

n

u

;

b

)

li

cz

b

a

1

+
i

je

st

p

ie

rw

ia

st

k

ie

m
p

o

je

d

y

n

cz

y

m

,

li

cz

b

y

−

i

o

ra

z

3

są

p

ie

rw

ia

st

k

a

m

i

p

o

d

w

ó

jn

y

m

i,

a

li

cz

b

a

−

4

+
3

i

je

st

p

ie

rw

ia

st

k

ie

m
p

o

tr

ó

jn

y

m
te

g

o

w

ie

lo

m

ia

n

u

.

5

◦

Z

adan

ie

2

.10

[5

.3]

P

o

d

a

n

e

w

ie

lo

m

ia

n

y

ze

sp

o

lo

n

e

p

rz

ed

st

a

w

ić

w
p

o

st

a

ci

il

o

cz

y

n

u

d

w

u

m

ia

n

ó

w

:

a

)

z

2

−

2

iz

−

1

0

;

b

)

z

4

+
5

z

2

+
6

;

c)

z

3

−

6

z

−

9

.

◦

Z

adan

ie

2

.11

[5

.4]

P

o

d

a

n

e

w

ie

lo

m

ia

n

y

rz

ec

zy

w

ist
e

p

rz

ed

st

a

w

ić

w
p

o

st

a

ci

ilo

cz

y

n

u

n

ie

ro

zk

ła

d

a

ln

y

ch

cz

y

n

n

ik

ó

w
rz

ec

zy

-

w

is

ty

ch

:

a

)

x

6

+
8

;

b

)

x

4

+
4

;

c)

x

4

−

x

2

+
1

;

d

)

4

x

5

−

4

x

4

−

1

3

x

3

+
1

3

x

2

+
9

x

−

9

.

◦

Z

adan

ie

2

.12

[5

.5]

P

o

d

a

n

e

fu

n

k

cj

e

w

y

m

ie

rn

e

(r

ze

cz

y

w

ist

e

lu

b
ze

sp

o

lo

n

e)

ro

zł

o

ży

ć

n

a

su

m

y

w

ie

lo

m

ia

n

ó

w
o

ra

z

fu

n

k

cj

i

w

y

m

ie

rn

y

ch

w

ła

śc

iw

y

ch

:

a

)

z

5

−

3

z

2

+
z

z

3

+
4

z

2

+
1

;

b

)

x

5

+
3

x

5

+
4

;

c)

x

4

+
2

x

3

+
3

x

2

+
4

x

+
5

x

3

+
2

x

2

+
3

x

+
4

.

◦

Z

adan

ie

*

2

.13

[5

.6]

Z

a

p

ro

p

o

n

o

w

a

ć

ro

zk

ła

d

y

p

o

d

a

n

y

ch

ze

sp

o

lo

n

y

ch

fu

n

k

cj

i

w

y

m

ie

rn

y

ch

w

ła

śc

iw

y

ch

n

a

ze

sp

o

lo

n

e

u

ła

m

k

i

p

ro

st

e

(n

ie

o

b

li

cz

a

ć

n

ie

zn

a

n

y

ch

w

sp

ó

łc

zy

n

n

ik

ó

w

):

a

)

z

3

+
i

z

2

(z

−

2

i)

3

;

b

)

z

2

+
z

+
5

(z

+
1

)(

z

+
i)

2

[z

−

(1

+
i)]

3

;

c)

iz

+
7

(z

4

−

4

)

2

.

◦

Z

adan

ie

2

.14

[5

.7]

Z

a

p

ro

p

o

n

o

w

a

ć
ro

zk

ła

d

y
p

o

d

a

n

y

ch
rz

ec

zy

w

is

ty

ch
fu

n

k

cj

i

w

y

m

ie

rn

y

ch
w

ła

śc

iw

y

ch
n

a
rz

ec

zy

w

ist
e

u

ła

m

k

i

p

ro

st

e

(n

ie

o

b

li

cz

a

ć

n

ie

zn

a

n

y

ch

w

sp

ó

łc

zy

n

n

ik

ó

w

):

a

)

x

2

+
2

x

−

7

x

3

(x

−

1

)(

x

+
5

)

2

;

b

)

x

3

−

8

x

−

4

(x

2

+
4

)

(x

2

+
x

+
3

)

3

;

c)

x

4

+
x

3

(x

+
3

)

2

(x

2

−

4

x

+
5

)

2

.

◦

Z

adan

ie

*

2

.15

[5

.8]

P

o

d

a

n

e

ze

sp

o

lo

n

e

fu

n

k

cj

e

w

y

m

ie

rn

e

w

ła

śc

iw

e

ro

zł

o

ży

ć

n

a

ze

sp

o

lo

n

e

u

ła

m

k

i

p

ro

st

e:

a

)

z

2

(z

−

1

)(

z

+
2

)(

z

+
3

)

;

b

)

z

(z

2

−

1

)

2

;

c)

1

6

i

z

4

+
4

;

d

)

z

2

+
2

z

(z

2

+
2

z

+
2

)

2

.

◦

Z

adan

ie

2

.16

[5

.9]

P

o

d

a

n

e

rz

ec

zy

w

is

te

fu

n

k

cj

e

w

y

m

ie

rn

e

w

ła

śc

iw

e

ro

zł

o

ży

ć

n

a

rz

ec

zy

w

ist
e

u

ła

m

k

i

p

ro

st

e:

a

)

1

2

(x

−

1

)(

x

−

2

)(

x

−

3

)(

x

−

4

)

;

b

)

x

2

x

4

−

1

;

c)

4

x

(x

+
1

)

(x

2

+
1

)

2

;

d

)

x

2

+
2

x

(x

2

+
2

x

+
2

)

2

;

e

)

1

x

3

+
x

;

f)

x

2

+
1

x

3

(x

+
1

)

2

.

3

.

Mac

ie

rz

e

i

w

y

znaczn

ik

i

◦

Z

adan

ie

3

.1

[6

.1]

a

)

Z

a

p

ro

p

o

n

o

w

a

ć

o

p

is

,

w
fo

rm

ie

m

a

ci

er

zy
zł

o

żo

n

ej

z

li

cz

b
ca

łk

o

w

it

y

ch

,

p

o

ło

że

n

ia

fi

g

u

r

w
g

rz

e

w

sz

a

ch

y.

W
ja

k

i

sp

o

só

b

m

o

żn

a

b

y

sp

ra

w

d

zi

ć,

cz

y

d

a

n

a

m

a

ci

er

z

o

d

zw

ie

rc

ie

d

la

p

o

zy

cj

ę

m

o

żl

iw

ą

d

o

u

zy

sk

a

n

ia

w
cz

a

si

e

g

ry

?

6

b

)

Z

a

p

ro

p

o

n

o

w

a

ć

za

p

is

,

w
p

o

st

a

ci

je

d

n

ej

m

a

ci

er

zy

,

o

d

le

g

ło

śc

i

d

ro

g

o

w

y

ch

i

k

o

le

jo

w

y

ch

w
k

m
m

ię

d

zy

st

o

li

ca

m

i

w

sz

y

st

k

ic

h

w

o

je

w

ó

d

zt

w
w
P

o

ls

ce

.

c)

E

k

ra

n

m

o

n

it

o

ra

k

o

m

p

u

te

ro

w

eg

o

je

st

zł

o

żo

n

y

z

1

0

2

4

×

7

6

8

p

u

n

k

tó

w

.

K

a

żd

y

p

u

n

k

t

m

o

że

św

ie

ci

ć

je

d

n

y

m
z

2

0

k

o

lo

ró

w

.

K

o

lo

ro

w

e

o

b

ra

zy

n

a

ek

ra

n

ie

m

o

żn

a

za

p

is

y

w

a

ć

w
p

o

st

a

ci

m

a

ci

er

zy

zł

o

żo

n

ej

z

lic

zb

ca

łk

o

w

it

y

ch

.

Z

a

ło

ży

ć,

że

ek

ra

n

m

o

n

it

o

ra

p

rz

ed

st

a

w

ia

p

ie

rw

sz

ą

ćw

ia

rt

k

ę

u

k

ła

d

u

w

sp

ó

łr

zę

d

-

n

y

ch

,

z

p

o

cz

ą

tk

ie

m
u

k

ła

d

u

w
le

w

y

m
g

ó

rn

y

m
ro

g

u

ek

ra

n

u

.

Z

a

p

is

a

ć

w
fo

rm

ie

m

a

ci

er

zy

p

rz

y

b

li

żo

n

y

k

sz

ta

łt

ćw

ia

rt

k

i

k

o

lo

ro

w

ej

tę

cz

y

zł

o

żo

n

ej

z

p

ie

rś

ci

en

i

k

o

ło

w

y

ch

(r

y

su

n

ek

).

N

a

ry

su

n

k

u

:

0

–

o

zn

a

cz

a

k

o

lo

r

b

ia

ły

,

1

–

o

zn

a

cz

a

k

o

lo

r

n

ie

b

ie

sk

i,

2

–

o

zn

a

cz

a

k

o

lo

r

zi

el

o

n

y,

3

–

o

zn

a

cz

a

k

o

lo

r

żó

łt

y,

4

–

o

zn

a

cz

a

k

o

lo

r

cz

er

w

o

n

y.

-

?

2

0

0
2

5

0
3

0

0
3

5

0
4

0

0

x

0

1

2

3

4

0

y

q

q

q

q

q

d

)

N

a

ry

su

n

k

a

ch
p

rz

e

d

st

a

w

io

n

o

k

o

n

str
u

k

c

je

p

rę

to

w

e

z

p

o

n

u

m

e

ro

w

a

n

y

m

i

w

ę

z

ła

m

i:

1

)

płas

k

i

c

z

w

o

ro

k

ą

t

z

p

rz

e

k

ą

tn

y

mi
;

2

)

c

z

w

o

roś
c

ian

;

3

)

k

ons

tr

u

k

c

ja
p

rz

e

st

rz

e

n

n

a

c

c

c

c  

  

a

a

a

a

a

a

a

r

r

r

r

r

4

5

1

3

2

H

H

H

H

H 





 

H

H

H

H

H

H

%

%

%

%%

r

r

r

r

4

3

1

2

"

"

"

"

Z

Z

Z

r

r

r

r

r

r

r

r

r

9

5

6

1

3

7

4

8

2

Z

a

p

is

a

ć

w
p

o

st

a

c

i

m

a

c

ie

rz

y

sc

h

e

m

a

t

b

e

z

p

o

śr

e

d

n

ic

h
p

o

łą

c

z

e

ń
m

ię

d

z

y

w

ę

z

ła

m

i.

◦

Z

adan

ie

3

.2

[6

.2]

O

b

li

c

z

y

ć

:

a

)

2

h

0

4

5

−

1

i

−

h

1

−

1

3

−

2

i

;

b

)

"

0
3

1
1

1
0

#

+
4

"

0
0

0
2

1
1

#

;

c)

h

1

5
3

2

−

3
1

i

·

"

2

−

3

5

−

1

4

−

2

3

−

1

1

#

;

d

)

h

c

o

s

α

−

si

n

α

si

n

α

c

o

s

α

i
h

c

o

s

β

−

si

n

β

si

n

β

c

o

s

β

i

;

e

)









1
0

0
1

1
0

0
1

1
0









·

h

1

3

5

2

4

6

i

;

f)



1
2
3
4
5



·









5

4

3

2

1









.

◦

Z

adan

ie

3

.3

[6

.3]

R

o

z

w

ią

z

a

ć

p

o

d

a

n

e

ró

w

n

a

n

ia

m

a

c

ie

rz

o

w

e

i

u

k

ła

d

y

ró

w

n

a

ń
m

a

c

ie

rz

o

w

y

ch

:

a

)

X
+

h

1

0

0

0

2

0

i

=

1

2



X

−

h

0

0

2

0

4

0

i


;

b

)

2

Y

·

"

3

0

1

0

4

0

1

0

2

#

=

"

1

0

1

0

1

0

1

0

1

#

+
Y

·

"

2

0

2

0

4

0

2

0

0

#

;

7

c)























X
+
Y

=

"

2
0
0

0
2
0

0
0
2

#

,

X
−
Y

=

"

0
0
2

0
2
0

2
0
0

#

;

d

)











X
+

h

1
−

1

−

1

3

i

Y

=

h

1
0

0
1

i

,

h

3
1

1
1

i

X
+
Y

=

h

2
1

1
1

i

.

◦

Z

adan

ie

3

.4

[6

.4]

O

b

li

cz

y

ć

k

ilk

a

p

o

cz

ą

tk

o

w

y

ch

p

o

tę

g

m

a

ci

er

zy

A,

n

a

st

ęp

n

ie

w

y

su

n

ą

ć

h

ip

o

te

zę

o

p

o

st

a

ci

m

a

ci

er

zy

A

n

,

g

d

zi

e

n
∈

N

i

u

za

sa

d

n

ić

ją

za

p

o

m

o

cą

in

d

u

k

cj

i

m

a

te

m

a

ty

cz

n

ej

,

je

że

li:

a

)

A
=

h

1

1

0

1

i

;

b

)

A
=

h

2

−

1

3

−

2

i

;

c)

A
=

h

co

s

α

si

n

α

−
si

n

α

co

s

α

i

,

g

d

zi

e

α
∈

R

;

d

)

A
=

h

ch

x

sh

x

sh

x

ch

x

i

,

g

d

zi

e

x

∈

R

;

e

)

A
=

"

0

0

1

0

1

0

1

0

0

#

;

f*

)

A
=

"

a

1

0

0

a

1

0

0

a

#

,

g

d

zi

e

a

∈

R

;

g*
)

A
=
[a

i

j

],

g

d

zi

e

a

i

j

=
0

d

la

i

­
j
,

i,

j

=
1

,
2

,

.

.

.

,

k

.

◦

Z

adan

ie

3

.5

[6

.5]

U

k

ła

d

a

ją

c

o

d

p

o

w

ie

d

n

ie

u

k

ła

d

y

ró

w

n

a

ń

zn

a

le

źć

w

sz

y

st

k

ie

m

a

ci

er

ze

ze

sp

o

lo

n

e

X
sp

eł

n

ia

ją

ce

p

o

d

a

n

e

ró

w

n

a

n

ia

m

a

ci

er

zo

w

e:

a

)

h

1
1
0

0
1
0

i
h

0
2
1

1
1
0

i

T

X
=

h

2
2

1
2

i

;

b

)

X
=
X

T

h

1

2

−

2
−

3

i

;

c)

X
−
iX

T

=

h

4

i

0

6

−
2

i

−

2

i

;

d

)

"

1
1

2
1

3
1

#

X
=

"

−

1

0

1

#

;

e

)

h

1
1
2

0
1
1

i

X
=

h

7
3

4
1

i

;

f)

h

3
1

0
1

i

X
=
X

h

4
−

1

3

0

i

;

g

)

X

2

=

h

1

1

0
−

1

i

;

h

)

X

2

=

h

0
0

0
0

i

;

i)

X
·

X

T

=

h

0
2

2
0

i

,

X
je

st

tu

m

a

ci

er

zą

st

o

p

n

ia

2

;

j)

X
·

X

T

=
X

2

+

h

1
1

−

3
0

i

.

◦

Z

adan

ie

3

.6

[6

.6]

K

o

rz

y

st

a

ją

c

z

w

ła

sn

o

śc

i

d

zi

a

ła

ń

z

m

a

ci

er

za

m

i

o

ra

z

w

ła

sn

o

śc

i

o

p

er

a

cj

i

tr

a

n

sp

o

n

o

w

a

n

ia

m

a

ci

er

zy

u

za

-

sa

d

n

ić

p

o

d

a

n

e

to

żs

a

m

o

śc

i:

a

)

(A

B

C

)

T

=
C

T

B

T

A

T

,

g

d

zi

e

A

,

B

,

C
są

m

a

ci

er

za

m

i

o

w

y

m

ia

ra

ch
o

d

p

o

w

ie

d

n

io
n
×
m

,

m
×
k

,

k

×
l;

b

)

(A

±
B

)

2

=
A

2

±

2

A

B

+

B

2

,

g

d

zi

e

A
i

B
są

p

rz

em

ie

n

n

y

m

i

m

a

ci

er

za

m

i

k

w

a

d

ra

to

w

y

m

i

ty

ch

sa

m

y

ch

st

o

p

n

i.

U

w

aga

.

M
ó

w

im

y

,

ż

e

m

a

c

ie

rz

e

A
i

B
są

pr
z

e

m

ienne

,

gd
y

sp

e

łn

ia

ją

w

arune

k

A

B
=
B

A

.

c*
)

(A
+
I

)

n

=

n

0

A

n

+

n

1

A

n
−

1

+

n

2

A

n
−

2

+
.

.

.

+

n

n

−
1

A
+

n

n

I

,

g

d

zi

e

A
i

I

są

m

a

ci

er

za

m

i

k

w

a

d

ra

to

w

y

m

i

ty

ch

sa

m

y

ch

st

o

p

n

i,

p

rz

y

cz

y

m
I

je

st

m

a

ci

er

zą

je

d

n

o

st-

k

o

w

ą

.

◦

Z

adan

ie

3

.7

[7

.1]

O

b

li

cz

y

ć

p

o

d

a

n

e

w

y

zn

a

cz

n

ik

i

d

ru

g

ie

g

o

i

tr

ze

ci

eg

o

st

o

p

n

ia

:

a

)







−

3

2

8
−

5







;

b

)







si

n

α

co

s

α

si

n

β

co

s

β







;

c)











1
1
1

1
2
3

1
3
6











;

d

)











1

i
1

+
i

−

i

1

0

1

−
i
0

1











8

◦

Z

adan

ie

3

.8

[7

.2]

N

a

p

is

a

ć

ro

zw

in

ię

ci

a

L

a

p

la

ce

’a

p

o

d

a

n

y

ch

w

y

zn

a

cz

n

ik

ó

w
w

zg

lę

d

em
w

sk

a

za

n

eg

o

w

ie

rs

za

lu

b

k

o

lu

m

n

y

:

a

)









i

1

+
i

2

1

−
2

i

3

−

i

−

4

1

−
i
3

+
i









,

tr

ze

ci

a

k

o

lu

m

n

a

;

b

)













−

1

2
−

3

4

0

5

3
−

7

1

3
−

5

9

2
−

2

4

6













,

d

ru

g

i

w

ie

rs

z.

◦

Z

adan

ie

3

.9

[7

.3]

S

to

su

ją

c

ro

zw

in

ię

ci

e

L

a

p

la

ce

’a

o

b

li

cz

y

ć

p

o

d

a

n

e

w

y

zn

a

cz

n

ik

i.

W
y

zn

a

cz

n

ik

i

ro

zw

in

ą

ć

w

zg

lę

d

em
w

ie

r-

sz

a

lu

b

k

o

lu

m

n

y

z

n

a

jw

ię

k

sz

ą

li

cz

b

ą

ze

r.

a

)













3

−

2

0

5

−

2

1

−

2

2

0

−

2

5

0

5

0

3

4













;

b

)

















3

2

0

0

0

0

3

2

0

0

0

0

3

2

0

0

0

0

3

2

2

0

0

0

3

















;

c)

















2

7

−

1

3

2

0

0

1

0

1

−

2

0

7

0

2

−

3

−

2

4

5

3

1

0

0

0

1

















.

◦

Z

adan

ie

*

3

.10

[7

.4]

K

o

rz

y

st

a

ją

c

z

za

sa

d

y

in

d

u

k

cj

i

m

a

te

m

a

ty

cz

n

ej

u

za

sa

d

n

ić

p

o

d

a

n

e

to

żs

a

m

o

śc

i

(n
o

zn

a

cz

a

st

o

p

ie

ń

w

y

-

zn

a

cz

n

ik

a

):

a

)

W

n

=





















5
1
0
.

.

.

0
0

4
5
1
.

.

.

0
0

0
4
5
.

.

.

0
0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

0
0
0
.

.

.

5
1

0
0
0
.

.

.

4
5





















=

4

n

+1

−

1

3

;

b

)

W

2

n

=

























a
.

.

.

0
0
.

.

.

b

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

0
.

.

.

a
b
.

.

.

0

0
.

.

.

b
a
.

.

.

0

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

b
.

.

.

0
0
.

.

.

a

























=

a

2

−

b

2

n

;

c)

W

n

=























2

co

s

x

1

0

.

.

.

0

0

1

2

co

s

x

1

.

.

.

0

0

0

1

2

co

s

x
.

.

.

0

0

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

0

0

0

.

.

.

2

co

s

x

1

0

0

0

.

.

.

1

2

co

s

x























=

si

n

[(

n

+
1

)x

]

si

n

x

,

g

d

zi

e

x

6

=
k

π
o

ra

z

k

∈
Z

.

◦

Z

adan

ie

3

.11

[7

.5]

Ni
e

o

b

li

cz

a

ją

c

w

y

zn

a

cz

n

ik

ó

w
zn

a

le

źć

ro

zw

ią

za

n

ia

p

o

d

a

n

y

ch

ró

w

n

a

ń

:

a

)













1

1

1

1

2

5

−
x

2

2

3

3

5

−
x

3

4

4

4

5

−
x













=
0

;

b

)













1

−

2

3

−

4

−

1

x

−

3

4

x

1

−

2

x

−

4

−

1

x

−

x

x

+
3













=
0

.

◦

Z

adan

ie

3

.12

[8

.1]

O

b

li

cz

y

ć

p

o

d

a

n

e

w

y

zn

a

cz

n

ik

i

w

y

k

o

rz

y

st

u

ją

c

w

y

st

ęp

u

ją

ce

w
n

ic

h

re

g

u

la

rn

o

śc

i:

a

)













1

2

3

4

4

3

2

1

5

6

7

8

8

7

6

5













;

b

)

















1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

1

2

3

3

3

1

2

3

4

4

1

2

3

4

5

















;

c)



















1

1

1

3

3

3

0

1

1

3

3

0

0

0

1

3

0

0

0

0

3

1

0

0

0

3

3

1

1

0

3

3

3

1

1

1



















.

◦

Z

adan

ie

3

.13

[8

.2]

O

b

li

cz

y

ć

p

o

d

a

n

e

w

y

zn

a

cz

n

ik

i

st

o

p

n

ia

n
­
2

w

y

k

o

rz

y

st

u

ją

c

w

y

st

ęp

u

ją

ce

w
n

ic

h

re

g

u

la

rn

o

śc

i:

9

a

)



















4
4
.

.

.
4
4

1
4
.

.

.
4
4

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

1
1
.

.

.
4
4

1
1
.

.

.
1
4



















;

b

)



















1
2
3
.

.

.
n

2
2
3
.

.

.
n

3
3
3
.

.

.
n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

n
n
n
.

.

.
n



















;

c*
)



















1
1

1

.

.

.

1

1
2
2

2

.

.

.
2

n
−

1

1
3
3

2

.

.

.
3

n
−

1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

1
n
n

2

.

.

.
n

n
−

1



















.

◦

Z

adan

ie

3

.14

[8

.3]

S

to

su

ją

c

o

p

er

a

cj

e

el

em

en

ta

rn

e

n

a

w

ie

rs

za

ch
lu

b
k

o

lu

m

n

a

ch
p

o

d

a

n

y

ch
w

y

zn

a

cz

n

ik

ó

w
(p

o

w

o

d

u

ją

ce

o

b

n

iż

en

ie

ic

h

st

o

p

n

i)

o

b

li

cz

y

ć:

a

)











1
−

1
0

2

3
5

−

4

0
6











;

b

)











−

1
4

0

2
5
−

2

−

3
0

3











;

c)













4

2
1
1

1
−

1
0
2

3

0
1
3

2

2
0
3













;

d

)













1

0

1
−

1

2

1
−

1

2

−

1

2

1

3

3
−

1

4

0













;

e

)

















1

2
−

1

0

3

2

4

5

1
−

6

−

1
−

2

3

0
−

2

−

2
−

2

1
−

1

1

2

4
−

2

0

3

















;

f)

















2

7
−

1
3
2

0

2

1
3
1

−

2

4

7
2
2

−

3
−

2

4
5
3

1

2

0
1
1

















.

◦

Z

adan

ie

*

3

.15

[8

.4]

K

o

rz

y

st

a

ją

c

z

a

lg

o

ry

tm

u

C

h

ió

o

b

lic

zy

ć

p

o

d

a

n

e

w

y

zn

a

cz

n

ik

i:

a

)











4

2

−

3

2

5

1

−

1

6

2











;

b

)













3

2

−

1

1

1

0

1

2

2

1

1

−

1

1

1

1

0













;

c)

















3

4

1

0

1

2

1

5

1

2

1

3

2

1

4

2

1

1

5

2

3

−

1

1

−

1

1

















.

◦

Z

adan

ie

3

.16

[8

.5]

K

o

rz

y

st

a

ją

c

z

tw

ie

rd

ze

n

ia

o

p

o

st

a

ci

m

a

ci

er

zy

o

d

w

ro

tn

ej

zn

a

le

źć

m

a

ci

er

ze

o

d

w

ro

tn

e

d

o

p

o

d

a

n

y

ch

:

a

)

h

3
−

5

6

2

i

;

b

)

h

co

s

α

−
si

n

α

si

n

α

co

s

α

i

,

g

d

zi

e

α
∈

R

;

c)

"

2

7

3

3

9

4

1

5

3

#

.

◦

Z

adan

ie

3

.17

[8

.6]

K

o

rz

y

st

a

ją

c

z

m

et

o

d

y

b

ez

w

y

zn

a

cz

n

ik

o

w

ej

o

b

li

cz

y

ć

m

a

ci

er

ze

o

d

w

ro

tn

e

d

o

p

o

d

a

n

y

ch

:

a

)

"

1

2

2

2

1

−

2

2

−

2

1

#

;

b

)





1

0

0

1

0

0

2

1

0

1

1

1

2

1

1

2





;

c)





1

2

3

4

2

3

1

2

1

1

1

−

1

1

0

−

2

−

6





.

◦

Z

adan

ie

3

.18

[8

.7]

R

o

zw

ią

za

ć

p

o

d

a

n

e

ró

w

n

a

n

ia

m

a

ci

er

zo

w

e

w

y

k

o

rz

y

st

u

ją

c

o

p

er

a

cj

ę

o

d

w

ra

ca

n

ia

m

a

ci

er

zy

:

a

)

X
·

h

−

1

1

3
−

4

i

=

h

−

2
−

1

3

4

i

;

b

)

h

3
1

2
1

i

·

X
·

h

1
3

1
2

i

=

h

3
3

2
2

i

;

c)


h

0

3

5
−

2

i

+
4

·

X



−

1

=

h

1

2

3

4

i

;

d

)

3

·

X
+

h

1
3

−

2
1

i

=

h

5
6

7
8

i

·

X

.

◦

Z

adan

ie

3

.19

[8

.8]

J

a

k

ie

są

m

o

żli

w

e

w

a

rt

o

śc

i

w

y

zn

a

cz

n

ik

a

m

a

ci

er

zy

rz

ec

zy

w

is

te

j

A
st

o

p

n

ia

n

,

je

że

li:

a

)

A

2

=
8

A

−

1

;

b

)

A

3

−
A
=
0

;

c)

A

T

=
4

A

−

1

?

10

4

.

U

k

ład

y
r

ó

w

na
ń
li

n

io

w

y

c

h

◦

Z

adan

ie

4

.1

[9

.1]

Dl
a

ja

k

ic

h

w

a

rt

o

śc

i

p

a

ra

m

etr

u

p

∈

R

p

o

d

a

n

e

u

k

ła

d

y

ró

w

n

a

ń

są

u

k

ła

d

a

m

i

C

ra

m

er

a

:

a

)

n

(p

+
1

)x
−

py

=

1

2

x
+
(p

−
1

)y
=
3

p

;

b

)

(

2

px

+
4

y
−
p

z
=
4

2

x
+

y
+
p

z
=
1

(4

+
2

p

)x
+
6

y
+
p

z
=
3

;

c)

(

px

+
3

y
+
p

z
=
0

−

px

+
2

z
=
3

x
+
2

y
+
p

z
=
p

;

d

)







x
−
y
−
z
−
t

=
px

−

x
+
y
−
z
−
t

=
py

−

x
−
y
+
z
−
t

=
p

z

−

x
−
y
−
z
+
t

=

p

t

?

◦

Z

adan

ie

4

.2

[9

.2]

K

o

rz

y

st

a

ją

c

ze

w

zo

ru

C

ra

m

er

a

zn

a

le

źć

ro

zw

ią

za

n

ia

p

o

d

a

n

y

ch

u

k

ła

d

ó

w
ró

w

n

a

ń

:

a

)

n

5

x
−
2

y
=
6

3

x
+

y
=
4

;

b

)

(

x
+
2

y
+
3

z
=
1

2

x
+
3

y
+

z
=
3

3

x
+

y
+
2

z
=
2

;

c)

(

x
+
2

y
+
3

z
=
1

4

4

x
+
3

y
−

z
=

7

x
−

y
+

z
=

2

.

◦

Z

adan

ie

4

.3

[9

.3]

S

to

su

ją

c

w

zó

r

C

ra

m

er

a

o

b

li

cz

y

ć

n

ie

w

ia

d

o

m

ą

y

z

p

o

d

a

n

y

ch

u

k

ła

d

ó

w
ró

w

n

a

ń

:

a

)







3

x
+
7

y
+
2

z
+
4

t

=
0

2

y
+

z

=
0

x
+
4

y
+

z

=
1

5

x
+
3

y
+
2

z

=
0

;

b

)







x
+
3

y
+
3

z
+
3

t

=
1

3

x
+

y
+
3

z
+
3

t

=
1

3

x
+
3

y
+

z
+
3

t

=
1

3

x
+
3

y
+
3

z
+

t

=
1

;

c)

x

+
2

y

−
4

=
3

y

+
4

z

−
6

=
5

z

+
6

s

=
7

s

+
8

t

=
x

+
y

+
z

+
s

+
t

−
2

=
0

.

◦

Z

adan

ie

4

.4

[9

.4]

R

o

zw

ią

za

ć

p

o

d

a

n

e

u

k

ła

d

y

ró

w

n

a

ń

m

et

o

d

ą

m

a

ci

er

zy

o

d

w

ro

tn

ej

:

a

)

n

2

x
−
y
=
3

3

x
+
y
=
2

;

b

)

(

x
+

y
+
z
=
5

2

x
+
2

y
+
z
=
3

3

x
+
2

y
+
z
=
1

;

c)

(

x
+

y
+

z
=

4

2

x
−
3

y
+
5

z
=
−

5

−

x
+
2

y
−

z
=

2

;

d

)







y
+
z
+
t

=

4

x

+
z
+
t

=
−

1

x
+
y

+
t

=

2

x
+
y
+
z

=
−

2

.

◦

Z

adan

ie

4

.5

[5

.1

#

]

‡

Z

n

a

le

źć

rz

ęd

y

p

o

d

a

n

y

ch

m

a

ci

er

zy

w

sk

a

zu

ją

c

n

ie

ze

ro

w

e

m

in

o

ry

m

a

k

sy

m

a

ln

y

ch

st

o

p

n

i:

a

)

h

4
−

2

−

8

4

i

;

b

)

"

1
3
5

2
2
1

−

1
0
3

#

c)

"

2
3
−

1

1

4
2

0

5

0
4
−

2
−

3

#

;

d

)





1
2

3

2
1
−

2

4
5

4

1
3

4





e

)









1
0
1
0
1
0
1

1
5
1
0
1
6
1

1
0
1
7
1
0
1

1
8
1
0
1
9
1

1
0
1
0
1
0
1









f)









1
1

2
0
0

2
1
−

1
0
0

4
3

3
0
0

0
0

0
7
5

0
0

0
1
6









.

‡

N

u

m

era

c

ja

zada
ń
z

k

si

ą

żk

i

A

lg

e

b

ra

lini
o

w

a

2

.

P

rz

y

k

ła

d

y

i

za

d

a

ni

a

,

w

y

dan

ie

IV

.

11

◦

Z

adan

ie

4

.6

[5

.2

#

]

W
y

k

o

n

u

ją

c

o

p

er

a

cj

e

el

em

en

ta

rn

e

n

a

w

ie

rs

za

ch

lu

b

k

o

lu

m

n

a

ch

p

o

d

a

n

y

ch

m

a

ci

er

zy

o

b

li

cz

y

ć

ic

h

rz

ęd

y

:

a

)

"

1
−

3

2
1
2

2

1
−

1
3
1

4
−

5

3
5
6

#

;

b

)

"

−

2

1
−

3

1
−

5

4

5
1

5

3

0
−

6

0

7

5

5

3

2

−

8

7

#

;

c)





3
1
6
2
1

2
1
4
2
2

3
1
3
1
3

2
1
2
1
4





;

d

)





1

2

3

4

5

6

7

8

9
1

0
1

1
1

2

1

3
1

4
1

5
1

6





;

e

)









−

4

1

1

1

1

1
−

4

1

1

1

1

1
−

4

1

1

1

1

1
−

4

1

1

1

1

1
−

4









;

f*

)











1
1
1
0
0
0
0

3
2
2
1
0
0
0

5
3
2
2
1
0
0

5
2
1
2
1
1
0

3
1
0
1
0
1
0

1
0
0
0
0
0
1











.

◦

Z

adan

ie

4

.7

[5

.3

#

]

S

p

ro

w

a

d

za

ją

c

p

o

d

a

n

e

m

a

ci

er

ze

d

o

p

o

st

a

ci

sc

h

o

d

k

o

w

ej

w

y

zn

a

cz

y

ć

ic

h

rz

ęd

y

:

a

)





1

2

3
1

5

0

4

7
1

2

1

2

3
4

6

−

1
−

2
−

3
5
−

3





;

b

)











4

1

2

5

0

1

3

4

4

4

7

1

3

4

1
−

2

1

8

5

5

1

4

−

4
−

1

2
−

1











;

c)

A
=
[a

i

j

]

je

st

m

a

ci

er

zą

w

y

m

ia

ru

5

×
7

,

g

d

zi

e

a

i

j

=
i

+
j

d

la

1

¬
i

¬
5

,

1

¬
j

¬
7

;

d

)

B
=
[b

i

j

]

je

st

m

a

ci

er

zą

w

y

m

ia

ru

6

×
6

,

g

d

zi

e

b

i

j

=
i

2

j

d

la

1

¬
i,

j

¬
6

.

◦

Z

adan

ie

4

.8

[5

.5

#

]

Z

n

a

le

źć

rz

ęd

y

p

o

d

a

n

y

ch

m

a

ci

er

zy

w
za

le

żn

o

śc

i

o

d

p

a

ra

m

etr

u

rz

ec

zy

w

ist
eg

o

p

:

a

)

"

1
1
p

3
p
3

2

p
2
2

#

b

)

"

1

p

2

1

−

2

7

+
p

1
2

+
2

p
−

3

−
p

#

;

c)

"

p

−
1

p

−
1

1

1

1

p

2

−
1

1

p

−
1

1

p

−
1

p

−
1

1

#

d

)

"

1
1
1
p

1
1
p
p

1
p
p
p

#

e

)





p
−

p

1
−

p

−

2

2
−

2

2

3

p

3

p

p

1

p

1





;

f*

)





p

2

4

4

4
4

p

2

2

p

4

4
4

p

2

2

p
2

|p

|

4
4

p

2

2

p
2

|p

|
2

p

4





◦

Z

adan

ie

4

.9

[6

.1

#

]

W
p

o

d

a

n

y

ch

u

k

ła

d

a

ch

ró

w

n

a

ń

lin

io

w

y

ch

o

k

re

śl

ić

(n

ie

ro

zw

ią

zu

ją

c

ic

h

)

li

cz

b

y

ro

zw

ią

za

ń

o

ra

z

li

cz

b

y

p

a

ra

m

etr

ó

w

:

a

)







x
+

y
+

z
=
1

x
+
2

y
+
3

z
=
1

2

x
+
3

y
+
4

z
=
2

3

x
+
2

y
+

z
=
3

;

b

)







2

x
−

y
=

3

x
+

y
=

4

4

x
+
8

y
=
1

1

x
+
4

y
=
1

0

;

c)







5

x
−
3

y
−

z
=

3

2

x
+

y
−

z
=

1

3

x
−
2

y
+
2

z
=
−

4

x
−

y
−
2

z
=
−

2

;

d

)

(

x
−

y
+
2

z
−
t

=

1

2

x
−
3

y
−

z
+
t

=
−

1

x
+
7

y

−
t

=

4

;

e

)

(

x
−
3

y
+
2

z

=
7

x

−

t

=
2

−

x
−
3

y
+
2

z
+
2

t

=
3

.

◦

Z

adan

ie

4

.10

[6

.2

#

]

Ws

k

a

za

ć

w

sz

y

st

k

ie

m

o

żli

w

e

zb

io

ry

n

ie

w

ia

d

o

m

y

ch

,

k

tó

re

m

o

g

ą

b

y

ć

p

a

ra

m

etr

a

m

i

o

k

re

śl

a

ją

cy

m

i

ro

z-

w

ią

za

n

ia

p

o

d

a

n

y

ch

u

k

ła

d

ó

w
ró

w

n

a

ń

lin

io

w

y

ch

:

12

a

)

(

x
−

y
+

z
=
−

1

2

x
+
2

y
−
2

z
=

3

3

x
+

y
−

z
=

2

;

b

)

(

x
+
2

y
+

3

z
+

4

t

=
−

1

−

x
+
8

y
+
1

1

z
+
1

2

t

=

5

2

x
−

y
−

z

=
−

4

;

c)

(

x
−
3

y
+

z
−
2

s
+
t

=

−

5

2

x
−
6

y

−
4

s
+
t

=
−

1

0

2

z

+
t

=

0

.

◦

Z

adan

ie

4

.11

[6

.3

#

]

O

k

re

śli

ć

li

cz

b

y

ro

zw

ią

za

ń

p

o

d

a

n

y

ch

u

k

ła

d

ó

w
ró

w

n

a

ń

li

n

io

w

y

ch

w
za

le

żn

o

śc

i

o

d

p

a

ra

m

etr

u

rz

ec

zy

w

i-

st

eg

o

p

:

a

)



(p

+
1

)x
+
(2

−
p

)y
=

p

(1

−
3

p

)x
+
(p

−
1

)y
=
−

6

;

b

)







(p

+
1

)x
−

y
+
p

z
=

1

(3

−
p

)x
+
4

y
−
p

z
=
−

4

px

+
3

y

=
−

3

;

c)

(

px

+

y
+

2

z
=
1

x
+
py

+

2

z
=
1

x
+

y
+
2

p

z
=
1

;

d

)







2

x
+
py

+
p

z
+
p

t

=
1

2

x
+
2

y
+
p

z
+
p

t

=
2

2

x
+
2

y
+
2

z
+
p

t

=
3

2

x
+
2

y
+
2

z
+
2

t

=
4

;

e

)

(

x
+
(p

−
2

)y
−

2

p

z
=
4

px

+
(3

−
p

)y
+

4

z
=
1

(1

+
p

)x
+

y
+
2

(2

−
p

)z
=
7

.

◦

Z

adan

ie

4

.12

[6

.6

#

]

W
w

y

tw

ó

rn

i

m

o

n

tu

je

si

ę

w

y

ro

b

y

A

,

B

,

C

,

D

,

E
z

cz

te

re

ch

ty

p

ó

w
d

et

a

li

a

,

b,

c

,

d

.

L

ic

zb

y

d

et

a

li

w

ch

o

-

d

zą

cy

ch

w
sk

ła

d

p

o

sz

cz

eg

ó

ln

y

ch

w

y

ro

b

ó

w
p

o

d

a

n

e

są

w
ta

b

eli

A

B

C

D

E

a

1

2

0

4

1

b

2

1

4

5

1

c

1

3

3

5

4

d

1

1

2

3

1

.

a

)

C

zy

m

o

żn

a

o

b

lic

zy

ć,

ile

w

a

żą

w

y

ro

b

y

D
i

E

,

je

że

li

w

y

ro

b

y

A

,

B

,

C
w

a

żą

o

d

p

o

w

ie

d

n

io

1

2

,

2

0

i

1

9

d

a

g

.

P

o

d

a

ć

zn

a

le

zi

o

n

e

w

a

g

i.

b

)

Ile

w

a

żą

d

et

a

le

a

,

b,

c
,

je

że

li

d

et

a

l

d

w

a

ży

1

d

a

g

?

◦

Z

adan

ie

4

.13

[9

.5]

R

o

zw

ią

za

ć

p

o

d

a

n

e

u

k

ła

d

y

ró

w

n

a

ń

m

et

o

d

ą

el

im

in

a

cj

i

G

a

u

ss

a

:

a

)

n

2

x
+
3

y
=
1

3

x
+

y
=
0

;

b

)

(

x
+

y

=

1

x
+
2

y
−
3

z
=
−

3

2

x
+
4

y
+

z
=

1

;

c)

(

3

x
+

y
+

z
=
−

1

x

+
2

z
=
−

6

3

y
+
2

z
=

0

;

d

)

(

2

x
+
3

y
+
2

z
=
1

3

x
+
4

y
+
2

z
=
2

4

x
+
2

y
+
3

z
=
3

;

e

)







x
+

y
+

z
+

t

=
1

2

x
+
2

y
+

z
+

t

=
0

3

x
+
2

y
+
3

z
+
2

t

=
3

6

x
+
4

y
+
3

z
+
2

t

=
2

;

f)















x
−
2

y

+
3

s
+

t

=

1

2

x
−
3

y
+
z
+
8

s
+
2

t

=

3

x
−
2

y
+
z
+
3

s
−

t

=

1

y

+
3

s
+
5

t

=

0

x
−
2

y

+
5

s
+
8

t

=
−

1

.

◦

Z

adan

ie

4

.14

[9

.6]

S

to

su

ją

c

„

m

et

o

d

ę

k

o

lu

m

n

je

d

n

o

st

k

o

w

y

ch

”

ro

zw

ią

za

ć

p

o

d

a

n

e

u

k

ła

d

y

C

ra

m

er

a

:

13

a

)

(

5

x
+
2

y
−
2

z
=
5

3

x
+

y
+
2

z
=
1

2

x
+
3

y
+
2

z
=
5

;

b

)







x
−
2

y
+

z
−
t

=
−

4

2

x
−

y
−

z
+
t

=

1

x
+

y
+
2

z
−
t

=

5

x
+

y
−

z
+
t

=

4

;

c)















2

x
+
y
+
z

+
t

=
0

y
+
z

=
0

2

x
+
y
+
z
+
s

=
0

y
+
z
+
s
+
t

=
4

x

+
z

+
t

=
0

;

d

)















2

x
+
3

y
+
2

z

−

t

=
3

2

x
+

y
+

z
+
2

s
+
3

t

=
6

3

x

−

z
+

s
+

t

=
3

y

+
4

s
+

t

=
1

2

x
+

y
+

z
−
2

s
+
5

t

=
8

.

◦

Z

adan

ie

4

.15

[10
.1]

S

to

su

ją

c

m

et

o

d

ę

eli

m

in

a

cj

i

G

a

u

ss

a

ro

zw

ią

za

ć

p

o

d

a

n

e

u

k

ła

d

y

ró

w

n

a

ń

:

a

)







x
−
2

y
+

z
=

4

x
+

y
+

z
=

1

2

x
−
3

y
+
5

z
=
1

0

5

x
−
6

y
+
8

z
=
1

9

;

b

)

(

x
+
2

y
+

z
+

t

=
7

2

x
−

y
−

z
+
4

t

=
2

5

x
+
5

y
+
2

z
+
7

t

=
1

;

c)







x
+
2

y
+

3

z
+

t

=
1

2

x
+
4

y
−

z
+
2

t

=
2

3

x
+
6

y
+
1

0

z
+
3

t

=
3

x
+

y
+

z
+

t

=
0

;

d

)

(

x
−

y
+

z
−
2

s
+

t

=

0

3

x
+
4

y
−

z
+

s
+
3

t

=

1

x
−
8

y
+
5

z
−
9

s
+

t

=
−

1

.

◦

Z

adan

ie

4

.16

[10
.2]

R

o

zw

ią

za

ć

p

o

d

a

n

e

u

k

ła

d

y

ró

w

n

a

ń

„

m

et

o

d

ą

k

o

lu

m

n

je

d

n

o

st

k

o

w

y

ch

”

:

a

)







3

x
+
2

y
+
z
−

t

=

0

5

x
−

y
+
z
+
2

t

=
−

4

7

x
+
8

y
+
z
−
7

t

=

6

x
−

y
+
z
+
2

t

=

4

;

b

)







2

x
+
3

y
+

z
−
2

s
−

t

=

6

4

x
+
7

y
+
2

z
−
5

s
+

t

=
1

7

6

x
+
5

y
+
3

z
−
2

s
−

9

t

=

1

2

x
+
6

y
+

z
−
5

s
−
1

0

t

=
1

2

;

c)



















3

x
+

y

−
2

t

=

1

5

x
+
2

y
+
2

z
−

t

=

5

x
−

y

−
2

t

=
−

5

5

x
+

y
+

z
−
3

t

=

0

−

7

x
−
3

y
+

z
+
5

t

=
−

4

4

x
+

y
−
2

z
−
5

t

=
−

2

;

d

)



















x
−
3

y
+

z
−
2

s
+
t

=

−

5

2

x
−
6

y

−
4

s
+
t

=
−

1

0

2

z

+
t

=

0

−

2

x
+
6

y
+
2

z
+
4

s

=

1

0

−

2

x
+
6

y
+
4

z
+
4

s
+
t

=

1

0

−

x
+
3

y
+

z
+
2

s

=

5

.

◦

Z

adan

ie

4

.17

[10
.3]

Dl
a

ja

k

ic

h

w

a

rt

o

śc

i

p

a

ra

m

etr

u

p

p

o

d

a

n

e

u

k

ła

d

y

ró

w

n

a

ń

m

a

ją

d

o

k

ła

d

n

ie

je

d

n

o

ro

zw

ią

za

n

ie

?

O

k

re

śli

ć

li

cz

b

y

ro

zw

ią

za

ń

ty

ch

u

k

ła

d

ó

w
w
p

o

zo

st

a

ły

ch

p

rz

y

p

a

d

k

a

ch

:

a

)

(

x
+

py

−

z
=
1

x
+
1

0

y
−
6

z
=
p

2

x
−

y
+
p

z
=
0

;

b

)

(

x
+

4

y
−
2

z
=
−

p

3

x
+

5

y
−
p

z
=

3

px

+
3

py

+

z
=

p

.

◦

Z

adan

ie

4

.18

[10
.4]

W
y

k

o

n

a

n

ie

p

ew

n

eg

o

p

o

je

m

n

ik

a

w

y

m

a

g

a

w

y

k

o

n

a

n

ia

cz

te

re

ch

cz

y

n

n

o

śc

i:

n

a

ry

so

w

a

n

ia

fo

rm

y,

w

y

ci

ęc

ia

,

zł

o

że

n

ia
m

o

d

el

u
i

je

g

o
p

o

m

a

lo

w

a

n

ia

.

L

ic

zb

y
p

o

sz

cz

eg

ó

ln

y

ch
cz

y

n

n

o

śc

i

w
k

o

le

jn

y

ch
d

n

ia

ch
p

ra

cy

p

ew

n

eg

o

p

ra

co

w

n

ik

a

p

o

d

a

je

ta

b

el

a

:

ry

so

w

a

n

ie

w

y

ci

n

a

n

ie

sk

ła

d

a

n

ie

m

a

lo

w

a

n

ie

p

o

n

ie

d

zi

a

łe

k

3

0

2

0

1

0

5

w

to

re

k

2

0

1

5

1

5

1

0

śr

o

d

a

4

0

2

5

2

0

2

0

cz

w

a

rt

ek

3

0

2

0

2

0

2

0

O

b

li

cz

y

ć

cz

a

s

w

y

k

o

n

y

w

a

n

ia

p

o

sz

cz

eg

ó

ln

y

ch
cz

y

n

n

o

śc

i,

je

że

li

w
k

o

le

jn

y

ch
d

n

ia

ch
łą

cz

n

y

cz

a

s

p

ra

cy

w

y

n

o

si

ł

o

d

p

o

w

ie

d

n

io

2

h

1

0

m

in

,

2

h

1

5

m

in

,

3

h

5

5

m

in

,

3

h

3

0

m

in

.

14

5

.

G

e

o

m
e

tr

ia
ana

li

ty

czn

a
w
p

r

z

e

st

r

z

e

n

i

◦

Z

adan

ie

5

.1

[11
.1]

O

b

li

cz

y

ć

d

łu

g

o

śc

i

p

o

d

a

n

y

ch

w

ek

to

ró

w

:

a

)

~

a

=
(3

,
−

4

,
1

2

);

b

)

~

b

=

√

3

,
−

√

5

,
2

√

2

;

c)

~

c

=
(%

co

s

ϕ

,

%

si

n

ϕ

,

h

),

g

d

zi

e

%

­

0

o

ra

z

ϕ

,

h

∈

R

;

d

)

~

d

=
(%

co

s

ϕ

co

s

ψ

,

%

si

n

ϕ

co

s

ψ

,

%

si

n

ψ

),

g

d

zi

e

%

­

0

o

ra

z

ϕ

,

ψ
∈

R

.

◦

Z

adan

ie

5

.2

[11
.2]

W
ek

to

ry

~

a

,

~

b

tw

o

rz

ą

d

w

a

są

si

ed

n

ie

b

o

k

i

tr

ó

jk

ą

ta

.

W
y

ra

zi

ć

śr

o

d

k

o

w

e

te

g

o

tr

ó

jk

ą

ta

p

rz

ez

w

ek

to

ry

~

a

,

~

b

.

◦

Z

adan

ie

5

.3

[11
.3]

Z

n

a

le

źć

w

ers

o

r

~

u

,

k

tó

ry

:

a

)

le

ży

w
p

ła

sz

cz

y

źn

ie

x

O

y

i

tw

o

rz

y

k

ą

t

α
z

d

o

d

a

tn

ią

cz

ęś

ci

ą

o

si
O

x

;

b

)

tw

o

rz

y

z

d

o

d

a

tn

im

i

cz

ęś

ci

a

m

i

o

si
O

x

,

O

y

,

O

z

o

d

p

o

w

ie

d

n

io

k

ą

ty

α

,

β

,

γ

;

c)

tw

o

rz

y

je

d

n

a

k

o

w

e

k

ą

ty

z

w

ek

to

ra

m

i

~

a

=
(0

,
3

,
−

4

),

~

b

=
(8

,
6

,
0

)

i

je

st

p

o

ło

żo

n

y

w
p

ła

sz

cz

y

źn

ie

w

y

zn

a

cz

o

n

ej

p

rz

ez

te

w

ek

to

ry

.

◦

Z

adan

ie

5

.4

[11
.4]

O

b

li

cz

y

ć

il

o

cz

y

n

y

sk

a

la

rn

e

p

o

d

a

n

y

ch

p

a

r

w

ek

to

ró

w

:

a

)

~

a

=
(1

,
−

2

,
5

),

~

b

=
(3

,
−

1

,
0

);

b

)

~

u

=
3 ~

i

−

2

~

k

,

~

v

=
−

~

i

+
3 ~

j

+
7

~

k

;

c*
)

~

x

=

~

p

+
2

~

q

−

~

r

,

~

y

=
3

~

p

−

~

q

+
2

~

r

,

g

d

zi

e

~

p

,

~

q

,

~

r

są

w

ers

o

ra

m

i

p

a

ra

m

i

p

ro

st

o

p

a

d

ły

m

i.

◦

Z

adan

ie

5

.5

[11
.5]

K

o

rz

y

st

a

ją

c

z

il

o

cz

y

n

u

sk

a

la

rn

eg

o

o

b

li

cz

y

ć

m

ia

ry

k

ą

tó

w
m

ię

d

zy

:

a

)

w

ek

to

ra

m

i

~

a

=
(
−

3

,
0

,
4

),

~

b

=
(0

,
1

,
−

2

);

b

)

w

u

si

ec

zn

y

m

i

k

ą

tó

w
u

tw

o

rz

o

n

y

ch

p

rz

ez

o

si

e

O

x

,

O

y

o

ra

z

o

si

e

O

y

,

O

z

u

k

ła

d

u

O

x

y

z

;

c)

p

rz

ek

ą

tn

y

m

i

ró

w

n

o

le

g

ło

śc

ia

n

u
ro

zp

ię

te

g

o
n

a
w

ek

to

ra

ch

~

u

=
(1

,
2

,
3

),

~

v

=
(
−

1

,
0

,
2

),

~

w

=

(3

,
1

,
5

).

◦

Z

adan

ie

5

.6

[11
.6]

O

b

li

cz

y

ć

d

łu

g

o

ść

rz

u

tu

p

ro

st

o

k

ą

tn

eg

o

w

ek

to

ra

~

a

=

√

2

, √

3

,
−

√

5

n

a

w

ek

to

r

~

b

=

−

√

8

,
0

, √

5

.

◦

Z

adan

ie

5

.7

[11
.7]

O

b

li

cz

y

ć

il

o

cz

y

n

y

w

ek

to

ro

w

e

p

o

d

a

n

y

ch

p

a

r

w

ek

to

ró

w

:

a

)

~

a

=
(
−

3

,
2

,
0

),

~

b

=
(1

,
5

,
−

2

);

b

)

~

u

=
2 ~

i

−

3

~

k

,

~

v

=

~

i

+

~

j

−

4

~

k

;

c*
)

~

x

=
2

~

p

+

~

q

+

~

r

,

~

y

=

~

p

+

3

~

q

+

4

~

r

,

g

d

zi

e

~

p

,

~

q

,

~

r

są

p

a

ra

m

i

p

ro

st

o

p

a

d

ły

m

i

w

er

so

ra

m

i

o

o

ri

en

ta

cj

i

zg

o

d

n

ej

z

o

ri

en

ta

cj

ą

u

k

ła

d

u

w

sp

ó

łr

zę

d

n

y

ch

.

◦

Z

adan

ie

5

.8

[11
.8]

O

b

li

cz

y

ć

p

o

la

p

o

d

a

n

y

ch

p

o

w

ie

rz

ch

n

i:

a

)

ró

w

n

o

le

g

ło

b

o

k

ro

zp

ię

ty

n

a

w

ek

to

ra

ch

~

a

=
(1

,
2

,
3

),

~

b

=
(0

,
−

2

,
5

);

b

)

tr

ó

jk

ą

t

o

w

ie

rz

ch

o

łk

a

ch

A
=
(1

,
−

1

,
3

),
B
=
(0

,
2

,
−

3

),
C
=
(2

,
2

,
1

);

c)

cz

w

o

ro

śc

ia

n

ro

zp

ię

ty

n

a

w

ek

to

ra

ch

~

u

,

~

v

,

~

w

.

15

◦

Z

adan

ie

5

.9

[11
.9]

T

ró

jk

ą

t

A

B

C
ro

zp

ię

ty

je

st

n

a

w

ek

to

ra

ch

−

→

A

B

=
(1

,
5

,
−

3

),

−

→

A

C

=
(
−

1

,
0

,
4

).

O

b

li

cz

y

ć

w

y

so

k

o

ść

te

g

o

tr

ó

jk

ą

ta

o

p

u

sz

cz

o

n

ą

z

w

ie

rz

ch

o

łk

a

C

.

◦

Z

adan

ie

5

.10

[12
.1]

O

b

li

cz

y

ć

il

o

cz

y

n

y

m

ie

sz

a

n

e

p

o

d

a

n

y

ch

tr

ó

je

k

w

ek

to

ró

w

:

a

)

~

a

=
(
−

3

,
2

,
1

),

~

b

=
(0

,
1

,
−

5

),

~

c

=
(2

,
3

,
−

4

);

b

)

~

u

=

~

i

+

~

j

,

~

v

=
2 ~

i

−

3 ~

j

+

~

k

,

~

w

=
−

~

i

+
2 ~

j

−

5

~

k

.

◦

Z

adan

ie

5

.11

[12
.2]

O

b

li

cz

y

ć

o

b

ję

to

śc

i

p

o

d

a

n

y

ch

w

ie

lo

śc

ia

n

ó

w

:

a

)

ró

w

n

o

le

g

ło

śc

ia

n

ro

zp

ię

ty

n

a

w

ek

to

ra

ch

~

a

=
(0

,
0

,
1

),

~

b

=
(
−

1

,
2

,
3

),

~

c

=
(2

,
5

,
−

1

);

b

)

cz

w

o

ro

śc

ia

n

o

w

ie

rz

ch

o

łk

a

ch

A
=
(1

,
1

,
1

),
B
=
(1

,
2

,
3

),
C
=
(2

,
3

,
−

1

),
D
=
(
−

1

,
3

,
5

);

c*
)

ró

w

n

o

le

g

ło

śc

ia

n

o

p

rz

ek

ą

tn

y

ch

~

u

,

~

v

,

~

w

.

◦

Z

adan

ie

5

.12

[12
.3]

S

p

ra

w

d

zi

ć,

cz

y

a

)

w

ek

to

ry

~

a

=
(
−

1

,
3

,
−

5

),

~

b

=
(1

,
−

1

,
1

),

~

c

=
(4

,
−

2

,
0

)

są

w

sp

ó

łp

ła

sz

cz

y

zn

o

w

e;

b

)

p

u

n

k

ty

P
=
(0

,
0

,
0

),
Q
=
(
−

1

,
2

,
3

),
R
=
(2

,
3

,
−

4

),

S
=
(2

,
−

1

,
5

)

są

w

sp

ó

łp

ła

sz

cz

y

zn

o

w

e.

◦

Z

adan

ie

5

.13

[12
.4]

N

a

p

is

a

ć

ró

w

n

a

n

ia

o

g

ó

ln

e

i

p

a

ra

m

etr

y

cz

n

e

p

ła

sz

cz

y

zn

sp

eł

n

ia

ją

cy

ch

p

o

d

a

n

e

w

a

ru

n

k

i:

a

)

p

ła

sz

cz

y

zn

a

p

rz

ec

h

o

d

zi

p

rz

ez

p

u

n

k

t

P
=
(1

,
−

2

,
0

)

i

je

st

p

ro

st

o

p

a

d

ła

d

o

w

ek

to

ra

~

n

=
(0

,
−

3

,
2

);

b

)

p

ła

sz

cz

y

zn

a

p

rz

ec

h

o

d

zi

p

rz

ez

p

u

n

k

ty

P

1

=
(0

,
0

,
0

),
P

2

=
(1

,
2

,
3

),
P

3

=
(
−

1

,
−

3

,
5

);

c)

p

ła

sz

cz

y

zn

a

p

rz

ec

h

o

d

zi

p

rz

ez

p

u

n

k

ty
P

1

=
(1

,
−

3

,
4

),

P

2

=
(2

,
0

,
−

1

)

o

ra

z

je

st

p

ro

st

o

p

a

d

ła

d

o

p

ła

sz

cz

y

zn

y

x

O

z

;

d

)

p

ła

sz

cz

y

zn

a

p

rz

ec

h

o

d

zi

p

rz

ez

p

u

n

k

t

P
=
(1

,
−

1

,
3

)

o

ra

z

je

st

ró

w

n

o

le

g

ła

d

o

w

ek

to

ró

w

~

a

=
(1

,
1

,
0

),

~

b

=
(0

,
1

,
1

);

e

)

p

ła

sz

cz

y

zn

a

p

rz

ec

h

o

d

zi

p

rz

ez

p

u

n

k

t

P
=
(0

,
3

,
0

)

i

je

st

ró

w

n

o

le

g

ła

d

o

p

ła

sz

cz

y

zn

y

π

:

3

x

−

y

+

2

=

0

;

f)

p

ła

sz

cz

y

zn

a

p

rz

ec

h

o

d

zi

p

rz

ez

p

u

n

k

t

P
=
(2

,
1

,
−

3

)

i

je

st

p

ro

st

o

p

a

d

ła

d

o

p

ła

sz

cz

y

zn

π

1

:

x

+

y

=
0

,

π

2

:

y

−

z

=
0

.

◦

Z

adan

ie

5

.14

[12
.5]

N

a

p

is

a

ć

ró

w

n

a

n

ia

p

a

ra

m

etr

y

cz

n

e

i

k

ie

ru

n

k

o

w

e

p

ro

st

y

ch

sp

eł

n

ia

ją

cy

ch

p

o

d

a

n

e

w

a

ru

n

k

i:

a

)

p

ro

st

a

p

rz

ec

h

o

d

zi

p

rz

ez

p

u

n

k

t

P
=
(
−

3

,
5

,
2

)

i

je

st

ró

w

n

o

le

g

ła

d

o

w

ek

to

ra

~

v

=
(2

,
−

1

,
3

);

b

)

p

ro

st

a

p

rz

ec

h

o

d

zi

p

rz

ez

p

u

n

k

ty

P

1

=
(1

,
0

,
6

),
P

2

=
(
−

2

,
2

,
4

);

c)

p

ro

st

a

p

rz

ec

h

o

d

zi

p

rz

ez

p

u

n

k

t

P
=
(0

,
−

2

,
3

)

i

je

st

p

ro

st

o

p

a

d

ła

d

o

p

ła

sz

cz

y

zn

y

π

:

3

x

−

y

+

2

z

−

6

=

0

;

d

)

p

ro

st

a
p

rz

ec

h

o

d

zi

p

u

n

k

t

P
=
(7

,
2

,
0

)

i

je

st

p

ro

st

o

p

a

d

ła
d

o
w

ek

to

ró

w

~

v

1

=
(2

,
0

,
−

3

),

~

v

2

=

(
−

1

,
2

,
0

);

e

)

p

ro

st

a

je

st

d

w

u

si

ec

zn

ą

k

ą

ta

o

st

re

g

o

u

tw

o

rz

o

n

eg

o

p

rz

ez

p

ro

st

e

l

1

:

x

+
2

3

=

y

−

4

−

1

=

z

5

,

l

2

:

x

+
2

1

=

y

−

4

−

5

=

z

3

;

f*

)

p

ro

st

a

je

st

d

w

u

si

ec

zn

ą

k

ą

ta

o

st

re

g

o

u

tw

o

rz

o

n

eg

o

p

rz

ez

p

ro

st

e

l

1

:

x

−

1

2

=

y

+
1

−

1

=

z

−

2

2

,

l

2

:

x

+
6

4

=

y

−

1

−

3

=

z

+
2

9

−

1

2

.

16

◦

Z

adan

ie

5

.15

[12
.6]

Z

b

a

d

a

ć,

cz

y

a

)

p

u

n

k

ty

A
=
(1

,
2

,
3

),
B
=
(
−

1

,
−

2

,
0

)

n

a

le

żą

d

o

p

ro

st

ej

l

:

(

x

=
1

+
t,

y

=
2

+
2

t,

z

=
3

−

t,

g

d

zi

e
t

∈

R

;

b

)

p

ro

st

a

m
:

n

2

x

+
y

−

z

+
3

=
0

x

−

2

y

+
z

−

5

=
0

je

st

za

w

a

rt

a

w
p

ła

sz

cz

y

źn

ie

π

:

5

y

−

3

z

+
1

3

=
0

;

c)

p

u

n

k

ty

A
=
(0

,
1

,
5

),
B
=
(1

,
2

,
3

)

n

a

le

żą

d

o

p

ła

sz

cz

y

zn

y

π

:

(

x

=
−

1

+
s

+
t,

y

=
2

+
3

s

−

t,

z

=
3

−

s

+
2

t,

g

d

zi

e
s

,

t

∈

R

;

d

)

p

ro

st

e

l

1

:

x

+
1

−

2

=

y

−

3

1

=

z

+
4

−

8

,

l

2

:

x

1

=

y

−

1

1

=

z

−

2

2

m

a

ją

p

u

n

k

t

w

sp

ó

ln

y

;

e

)

p

ro

st

a

l

:

(

x

=
t,

y

=
1

+
2

t,

z

=
2

+
3

t,

g

d

zi

e
t

∈

R

,

je

st

ró

w

n

o

le

g

ła

d

o

p

ła

sz

cz

y

zn

y

π

:

x

+
y

−

z

+
3

=
0

.

◦

Z

adan

ie

5

.16

[12
.7]

Z

n

a

le

źć

p

u

n

k

ty

p

rz

ec

ię

ci

a

:

a

)

p

ro

st

y

ch

l

1

:

n

x

+
2

y

−

z

+
4

=
0

,

y

+
z

−

3

=
0

,

l

2

:

n

2

x

−

y

−

2

z

+
8

=
0

,

x

+
2

y

+
2

z

−

5

=
0

;

b

)

p

ro

st

ej

l

:

x

−

1

0

=

y

+
2

3

=

z

−

4

−

1

i

p

ła

sz

cz

y

zn

y

π

:

(

x

=
s

+
t,

y

=
1

+
s

+
2

t,

z

=
3

+
2

s

+
4

t,

g

d

zi

e
s

,

t

∈

R

;

c)

p

ła

sz

cz

y

zn

π

1

:

3

x

+
y

+
z

+
1

=
0

,

π

2

:

x

+
2

z

+
6

=
0

,

π

3

:

3

y

+
2

z

=
0

.

◦

Z

adan

ie

5

.17

[13
.1]

O

b

li

cz

y

ć

o

d

le

g

ło

ść

:

a

)

p

u

n

k

tu

P
=
(1

,
−

2

,
3

)

o

d

p

ła

sz

cz

y

zn

y

π

:

x

+
y

−

3

z

+
5

=
0

;

b

)

p

ła

sz

cz

y

zn

ró

w

n

o

le

g

ły

ch

π

1

:

2

x

+
y

−

2

z

=
0

,

π

2

:

2

x

+
y

−

2

z

−

3

=
0

;

c)

p

ła

sz

cz

y

zn

π

1

:

x

−

2

y

+
2

z

+
5

=
0

,

π

2

:

3

x

−

6

y

+
6

z

−

3

=
0

;

d

)

p

u

n

k

tu

P
=
(0

,
1

,
−

1

)

o

d

p

ro

st

ej

l

:

x

2

=

y

−

1

=

z

3

;

e

)

p

ro

st

y

ch

ró

w

n

o

le

g

ły

ch

l

1

:

x

−

1

1

=

y

+
1

2

=

z

−

1

,
l

2

:

x

−

2

=

y

−

1

−

4

=

z

−

3

2

;

f)

p

ro

st

y

ch

sk

o

śn

y

ch

l

1

:

n

x

=
0

,

y

=
0

,

l

2

:

n

x

=
1

,

z

=
1

;

g

)

p

ro

st

y

ch

l

1

:

x

−

9

4

=

y

−

2

−

3

=

z

1

,
l

2

:

x

−

2

=

y

+
7

9

=

z

−

2

2

;

h

)

p

ro

st

ej

l

:

(

x

=
2

+
t,

y

=
−

3

+
2

t,

z

=
2

−

t,

g

d

zi

e

t

∈

R

,

o

d

p

ła

sz

cz

y

zn

y

π

:

2

x

+
y

+
4

z

=
0

.

17

◦

Z

adan

ie

5

.18

[13
.2]

O

b

li

cz

y

ć

m

ia

rę

k

ą

ta

m

ię

d

zy

:

a

)

p

ro

st

ą

l

:

x

−

3

2

=

y

−

1

0

=

z

+
2

−

3

i

p

ła

sz

cz

y

zn

ą

π

:

x

−

z

=
0

;

b

)

p

ła

sz

cz

y

zn

a

m

i

π

1

:

x

−

2

y

+
3

z

−

5

=
0

,

π

2

:

2

x

+
y

−

z

+
3

=
0

;

c)

p

ro

st

y

m

i

l

1

:

(

x

=
1

−

t,

y

=
−

2

+
t,

z

=
3

t,

g

d

zi

e

t

∈

R

,
l

2

:

(

x

=
3

−

2

t,

y

=
4

−

t,

z

=
1

+
3

t,

g

d

zi

e

t

∈

R

.

◦

Z

adan

ie

5

.19

[13
.3]

Z

n

a

le

źć

rz

u

t

p

ro

st

o

k

ą

tn

y

:

a

)

p

u

n

k

tu

P
=
(
−

3

,
2

,
0

)

n

a

p

ła

sz

cz

y

zn

ę

π

:

x

+
y

+
z

=
0

;

b

)

p

u

n

k

tu

P
=
(
−

1

,
2

,
0

)

n

a

p

ro

st

ą

l

:

x

=
y

=
z

;

c)

p

ro

st

ej

l

:

x

−

3

1

=

y

−

5

2

=

z

+
1

0

n

a

p

ła

sz

cz

y

zn

ę

π

:

x

+
3

y

−

2

z

−

6

=
0

.

◦

Z

adan

ie

5

.20

[13
.4]

Z

n

a

le

źć

p

u

n

k

t

sy

m

etr

y

cz

n

y

d

o

p

u

n

k

tu

P
=
(2

,
3

,
−

1

)

w

zg

lę

d

em

:

a

)

p

u

n

k

tu

S
=
(1

,
−

1

,
2

);

b

)

p

ro

st

ej

l

:

n

x

+
y

=
0

,

y

+
z

=
0

;

c)

p

ła

sz

cz

y

zn

y

π

:

2

x

−

y

+
z

−

6

=
0

.

◦

Z

adan

ie

5

.21

[13
.5]

Z

n

a

le

źć

rz

u

t

u

k

o

śn

y

w
k

ie

ru

n

k

u

w

ek

to

ra

~

v

=
(2

,
3

,
−

1

):

a

)

p

u

n

k

tu

O
=
(0

,
0

,
0

)

n

a

p

ła

sz

cz

y

zn

ę

π

:

x

−

2

z

+
8

=
0

;

b

)

p

ro

st

ej

l

:

x

−

1

=
y

+
1

=
z

−

2

n

a

p

ła

sz

cz

y

zn

ę

π

:

x

−

y

+
z

−

1

=
0

.

◦

Z

adan

ie

5

.22

[13
.6]

O

b

li

cz

y

ć

o

b

ję

to

śc

i

i

p

o

la

p

o

w

ie

rz

ch

n

i

b

ry

ł

o

g

ra

n

ic

zo

n

y

ch

p

o

d

a

n

y

m

i

p

ła

sz

cz

y

zn

a

m

i:

a

)

x

=
1

,

y

=
−

1

,

z

=
3

,

x

+
y

+
z

=
5

;

b

)

x

−

y

=
1

,

x

−

y

=
5

,

x

+
2

z

=
0

,

x

+
2

z

=
3

,

z

=
−

1

,

z

=
4

.

◦

Z

adan

ie

5

.23

[13
.7]

O

b

li

cz

y

ć

p

o

le

tr

ó

jk

ą

ta

u

tw

o

rz

o

n

eg

o

p

rz

ez

p

a

ra

m

i

p

rz

ec

in

a

ją

ce

si

ę

p

ro

st

e:

l

1

:

(

x

=
−

2

+
2

t,

y

=
0

,

z

=
4

t,

l

2

:

(

x

=
0

,

y

=
3

+
3

s

,

z

=
−

4

s

,

l

3

:

(

x

=
−

2

p,

y

=
3

−

3

p,

z

=
0

,

g

d

zi

e

t,

s

,

p

∈

R

.

◦

Z

adan

ie

5

.24

[14
.1]

T

rz

y
st

a

cj

e

ra

d

io

lo

k

a

cy

jn

e
S

1

,

S

2

,

S

3

u

m

ie

sz

cz

o

n

e

są
w
w

ie

rz

ch

o

łk

a

ch
tr

ó

jk

ą

ta
p

ro

st

o

k

ą

tn

eg

o
o

p

rz

y

p

ro

st

o

k

ą

tn

y

ch

l

1

=
3

0

0

k

m

,

l

2

=
4

0

0

k

m
(r

y

su

n

ek

).

P

o

m

ia

ry

o

d

le

g

ło

śc

i

ra

k

ie

ty

R
o

d

ty

ch

st

a

cj

i

d

a

ły

n

a

st

ęp

u

ją

ce

w

y

n

ik

i

d

1

=
3

0

0

k

m

,

d

2

=
4

0

0

k

m

,

d

3

=
4

0

0

k

m

.

O

b

li

cz

y

ć,

n

a

ja

k

ie

j

w

y

so

k

o

śc

i

h

le

ci

a

ła

ra

k

ie

ta

.

18

-

6

e

e

e

e

ee

r

r

rr

r

r

x

S

1

l

1

S

3

d

1

d

3

h

R

z

d

2

l

2

S

2

y

◦

Z

adan

ie

5

.25

[14
.2]

C

zą

st

ec

zk

a

p

o

ru

sz

a

si

ę

p

o

lin

ii

p

ro

st

ej

ze

st

a

łą

p

rę

d

k

o

śc

ią

.

W
ch

w

ili
t

1

=
2

cz

ą

st

ec

zk

a

zn

a

jd

o

w

a

ła

si

ę

w
p

u

n

k

ci

e

P

1

=
(0

,
−

2

,
5

),

a

w
ch

w

ili

t

2

=
3

w
p

u

n

k

ci

e

P

2

=
(2

,
3

,
3

).

Z

n

a

le

źć

p

o

ło

że

n

ie

P

0

te

j

cz

ą

st

ec

zk

i

w
ch

w

ili

t

0

=
0

.

◦

Z

adan

ie

5

.26

[14
.3]

N

a

p

o

ch

y

ły

m
p

ła

sk

im
te

re

n

ie

w

y

ty

cz

o

n

o

k

w

a

d

ra

t

A

1

A

2

A

3

A

4

.

W
zn

ie

si

en

ia

n

a

d

p

o

zi

o

m
m

o

rz

a

p

u

n

k

-

tó

w
A

1

,

A

2

,

A

3

w

y

n

o

sz

ą

o

d

p

o

w

ie

d

n

io

h

1

=
1

0

0

m

,

h

2

=
1

1

0

m

,

h

3

=
1

6

0

m

.

O

b

li

cz

y

ć

w

zn

ie

si

en

ie

h

4

p

u

n

k

tu

A

4

n

a

d

p

o

zi

o

m
m

o

rz

a

.

◦

Z

adan

ie

5

.27

[14
.5]

W
ce

lu

o

k

re

śl

en

ia

k

ą

ta

n

a

ch

y

le

n

ia

p

ła

sk

ie

g

o

n

a

sy

p

u

d

o

p

o

zi

o

m

u

,

w

y

k

o

n

a

n

o

p

o

m

ia

ry

k

ą

ta

n

a

ch

y

le

n

ia

te

g

o

n

a

sy

p

u

w
k

ie

ru

n

k

u

w

sc

h

o

d

n

im
i

p

o

łu

d

n

io

w

y

m

.

P

o

m

ia

ry

te

d

a

ły

n

a

st

ęp

u

ją

ce

w

y

n

ik

i:

w
k

ie

ru

n

k

u

w

sc

h

o

d

n

im
n

a

sy

p
w

zn

o

si

si

ę

p

o

d
k

ą

te

m
α
=
3

0

◦

,

a
w
k

ie

ru

n

k

u
p

o

łu

d

n

io

w

y

m
o

p

a

d

a
p

o

d
k

ą

te

m

β

=
4

5

◦

.

O

b

li

cz

y

ć

k

ą

t

n

a

ch

y

le

n

ia

te

g

o

n

a

sy

p

u

d

o

p

o

zi

o

m

u

.

◦

Z

adan

ie

5

.28

[14
.6]

S

ia

tk

a

m

a

sk

u

ją

ca

ta

jn

y

o

b

ie

k

t

w

o

js

k

o

w

y

za

cz

ep

io

n

a

je

st

n

a

tr

ze

ch
m

a

sz

ta

ch
(r

y

su

n

ek

).

M

a

sz

ty

te

m

a

ją

w

y

so

k

o

śc

i

h

1

=
5

m

,

h

2

=
7

m

,

h

3

=
1

0

m
i

u

st

a

w

io

n

e

są

w
w

ie

rz

ch

o

łk

a

ch

tr

ó

jk

ą

ta

ró

w

n

o

b

o

cz

-

n

eg

o

o

b

o

k

u

a

=
2

0

m

.

O

b

li

cz

y

ć

p

o

le

si

a

tk

i

m

a

sk

u

ją

ce

j.

B

B

B

B

BB













L

L

L

LL















h

3

a

h

2

a

a

h

1

◦

Z

adan

ie

5

.29

[14
.8]

N

a

d
W
ro

cł

a

w

ie

m
p

rz

eb

ie

g

a

ją
d

w

a
p

ro

st

o

li

n

io

w

e

k

o

ry

ta

rz

e

p

o

w

ie

tr

zn

e

d

la
sa

m

o

lo

tó

w

.

P

ie

rw

sz

y
z

n

ic

h

p

rz

eb

ie

g

a

p

o

zi

o

m

o

n

a

w

y

so

k

o

śc

i

h

1

=
1

0

0

0

m
ze

w

sc

h

o

d

u

n

a

za

ch

ó

d

.

N

a

to

m

ia

st

d

ru

g

i

p

rz

eb

ie

g

a

z

p

o

łu

d

n

io

w

eg

o

-w

sc

h

o

d

u

n

a

p

ó

łn

o

cn

y

-z

a

ch

ó

d

i

w

zn

o

si

si

ę

p

o

d

k

ą

te

m
α
=
1

0

◦

S

a

m

o

lo

ty

p

o

ru

sz

a

ją

ce

si

ę

ty

m
k

o

ry

ta

rz

em
p

rz

el

a

tu

ją

n

a

d
W
ro

cł

a

w

ie

m
n

a

w

y

so

k

o

śc

i

h

2

=
3

0

0

0

m

.

O

b

li

cz

y

ć

n

a

jm

n

ie

js

zą

m

o

żli

w

ą

o

d

le

g

ło

ść

m

ię

d

zy

sa

m

o

lo

ta

m

i

le

cą

cy

m

i

ty

m

i

k

o

ry

ta

rz

a

m

i.

◦

Z

adan

ie

5

.30

[14
.4]

T

rz

y

p

u

n

k

ty

m

a

te

ri

a

ln

e

o

m

a

si

e

m
p

rz

y

m

o

co

w

a

n

e

są

d

o

n

ie

w

a

żk

ic

h

ra

m

io

n

o

d

łu

g

o

śc

i

l,

k

tó

re

tw

o

rz

ą

m

ię

d

zy

so

b

ą

k

ą

ty

1

2

0

◦

(r

y

su

n

ek

).

U

k

ła

d

te

n

o

sa

d

zo

n

y

je

st

n

a

p

o

zi

o

m

ej

o

si

i

m

o

że

o

b

ra

ca

ć

si

ę

w

o

k

ó

ł

n

ie

j.

U

za

sa

d

n

ić

,

że

u

k

ła

d

te

n

p

o

zo

st

a

je

w
ró

w

n

o

w

a

d

ze

,

n

ie

za

le

żn

ie

o

d

p

o

ło

że

n

ia

p

o

cz

ą

tk

o

w

eg

o

.

19

d

A

A

AA

s

s

s

α

m

m

m

1

2

0

◦

1

2

0

◦

1

2

0

◦

















 

o”s

l

l

l

I

 *



Y

j

?

6

◦

Z

adan

ie

5

.31

[14
.7]

W

w

ie

rz

ch

o

łk

a

ch
sz

eś

ci

a

n

u
o

k

ra

w

ęd

zi

a
=
1

0

u

m

ie

sz

cz

o

n

e

są

p

u

n

k

ty

m

a

te

ri

a

ln

e

o

m

a

sa

ch
o

d

p

o

-

w

ie

d

n

io

:

m

1

=
1

,

m

2

=
2

,

m

3

=
3

,

m

4

=
4

,

m

5

=
5

,

m

6

=
6

,

m

7

=
7

,

m

8

=
8

(r

y

su

n

ek

).

a

)

O

k

re

śli
ć

p

o

ło

że

n

ie

śr

o

d

k

a

m

a

sy

te

g

o

u

k

ła

d

u

;

b

)

O

b

li

cz

y

ć

m

o

m

en

t

b

ez

w

ła

d

n

o

śc

i

p

o

d

a

n

eg

o

u

k

ła

d

u

m

a

s

w

zg

lę

d

em
o

si
O
z

;

c)

O

b

li

cz

y

ć

m

o

m

en

t

b

ez

w

ła

d

n

o

śc

i

p

o

d

a

n

eg

o

u

k

ła

d

u

m

a

s

w

zg

lę

d

em
o

si

łą

cz

ą

ce

j

m

a

sy

m

3

i

m

7

;

-

6

O

r

r

r

r

r

r

r

r

m

2

x

m

3

m

4

y

m

8

m

7

m

6

m

1

m

5

z

a

C

d

)

O

b

li

cz

y

ć

sił
ę

p

rz

y

ci

ą

g

a

n

ia

g

ra

w

it

a

cy

jn

eg

o

m

a

sy

m

8

p

rz

ez

u

k

ła

d

p

o

zo

st

a

ły

ch

si

ed

m

iu

m

a

s.

20