Algebra liniowa z geometri¡ 2.

Plan wykªadu

(-3)

Przeksztaªcenia liniowe, wªasno±ci i przykªady, zadawanie przeksztaªce« liniowych

poprzez warto±ci na bazie przestrzeni liniowej. J¡dro i obraz przeksztaªcenia linio-

wego.

(-2)

Macierz przeksztaªcenia liniowego i jej zale»no±¢ od bazy (macierz przej±cia i jej

wªasno±ci).

(-1)

Przestrze« przeksztaªce« liniowych a przestrze« macierzy.

(0)

Iloczyn macierzy i jego wªasno±ci, macierze odwracalne, grupy GL(n, K) i SL(n, K).

(1)

Algebry liniowe, izomorzm algebr. Algebra endomorzmów oraz algebra macierzy

(2)

Przestrze« sprz¦»ona, przeksztaªcenia sprz¦»one.

(3)

Podprzestrzenie niezmiennicze, warto±ci i wektory wªasne endomorzmu, diagona-

lizowalno±¢ endomorzmu, twierdzenie Jordana (informacyjnie).

(4)

Funkcjonaª dwuliniowy i jego macierz, nieosobliwo±¢ funkcjonaªu dwuliniowego.

Forma kwadratowa.

(5)

Przestrze« dwuliniowa i jej podprzestrze«, przykªady. Prostopadªo±¢, dopeªnienie

oraz uzupeªnienie podprzestrzeni przestrzeni dwuliniowej

(6)

Przestrzenie dwuliniowe nad ciaªem liczb rzeczywistych, twierdzenie o bezwªadno-

±ci, sygnatura. Funkcjonaª dodatnio, ujemnie okre±lony, kryterium Sylvestera.

(7)

Izomorzm przestrzeni dwuliniowych; symetrie, rozkªad izometrii na symetrie.

(8)

Macierze ortogonalne, grupa ortogonalna. Endomorzmy samosprz¦»one, twierdze-

nie spektralne.

Podr¦czniki

A. Biaªynicki-Birula, Algebra liniowa z geometri¡, PWN 1976 (wyd. I), rozdziaªy V-VI

A. Biaªynicki-Birula, Algebra, PWN 1976

Literatura uzupeªniaj¡ca

J. Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk,

PWN 1978

A.I. Kostrykin, Wst¦p do algebry, PWN

S. Lang, Algebra, PWN 1973

A. Mostowski, M. Stark Algebra liniowa , PWN 1975 (wyd. 4)

1

2

Maªy sªownik czªowieka ±rednio wyksztaªconego

-A po co ja si¦ wªa±ciwie tej Mowy ucz¦, co?

-Po to, »eby j¡ pozna¢. Tego, czego si¦ nie zna wypada si¦ uczy¢. Ten, kto

nie zna j¦zyków, jest kalek¡.

-Wszyscy i tak mówi wspólnym!

-Fakt. Ale niektórzy nie tylko. Zar¦czam ci, Ciri, »e lepiej zalicza¢ si¦ do

niektórych ni» do wszystkich. 

A. Sapkowski Krew elfów

=

:

Wprowadzony przez Roberta Recorde (1510 - 1558) w 1557 symbol relacji rów-

no±ci, identyczno±ci. Napis a = b jest zdaniem orzekaj¡cym, »e a i b s¡ jednym i tym

samym obiektem. Dokªadniej, relacja identyczno±ci speªnia nast¦puj¡ce aksjomaty:

(1)

Dla ka»dego x zachodzi x = x;

(2)

Dla ka»dych x, y je±li x = y, to y = x;

(3)

Dla ka»dych x, y, z je±li x = y i y = z, to x = z;

(4)

Dla ka»dej funkcji n zmiennych f , dla ka»dych x, y, t

2

, . . . , t

n

je±li x = y, to

f (x, t

2

, . . . , t

n

) = f (y, t

2

, . . . , t

n

);

(5)

Dla ka»dej relacji n-argumentowej P , dla ka»dych x, y, t

2

, . . . , t

n

je±li x = y, to

P (x, t

2

, . . . , t

n

) ⇒ P (y, t

2

, . . . , t

n

).

Pierwszy aksjomat orzeka, »e relacja równo±ci jest zwrotna, z drugiego aksjo-

matu wynika, »e relacja równo±ci jest symetryczna. Trzeci aksjomat stwierdza

przechodnio±¢ relacji równo±ci. Ostatnie dwa aksjomaty stwierdzaj¡, »e rów-

nych obiektów nie mo»na w »aden sposób od siebie odró»ni¢.

Jeden z aksjomatów teorii mnogo±ci, aksjomat ufundowania (albo: regularno±ci),

zabrania (mi¦dzy innymi) pisania znaku równo±ci mi¦dzy zbiorem a jego elementem.

α

:

maªa pierwsza litera alfabetu greckiego; nazwa: alfa; warto±¢ fonetyczna: a;

ªaci«ski odpowiednik: a; pochodzi od fenickiej litery alef (A, a).

β

:

maªa druga litera alfabetu greckiego; nazwa: beta; warto±¢ fonetyczna: w; ªa-

ci«ski odpowiednik: b; pochodzi od fenickiej litery bét (B, b).

γ

:

maªa trzecia litera alfabetu greckiego; nazwa: gamma; warto±¢ fonetyczna: g;

ªaci«ski odpowiednik: g; pochodzi od fenickiej litery gimmel (G, g).

δ

:

maªa pi¡ta litera alfabetu greckiego; nazwa: delta; warto±¢ fonetyczna: d; ªaci«-

ski odpowiednik: d; pochodzi od fenickiej litery dalet (D, d).

ε

:

maªa szósta litera alfabetu greckiego; nazwa: epsilon; warto±¢ fonetyczna: e;

ªaci«ski odpowiednik: e; pochodzi od fenickiej litery hé (E, e).

ζ

:

maªa siódma litera alfabetu greckiego; nazwa: dzeta; warto±¢ fonetyczna: dz (z);

ªaci«ski odpowiednik: z; pochodzi od fenickiej litery zajin (Z).

3

η

:

maªa ósma litera alfabetu greckiego; nazwa: eta; warto±¢ fonetyczna: e; ªaci«ski

odpowiednik: e; pochodzi od fenickiej litery hét (H, h).

θ

:

maªa dziewi¡ta litera alfabetu greckiego; nazwa: theta; warto±¢ fonetyczna: th;

ªaci«ski odpowiednik: th, t; pochodzi od fenickiej litery tét ().

ϑ

:

maªa dziewi¡ta litera alfabetu greckiego; nazwa: theta; warto±¢ fonetyczna: th;

ªaci«ski odpowiednik: th, t; pochodzi od fenickiej litery tét ().

ι

:

maªa dziesi¡ta litera alfabetu greckiego; nazwa: jota; warto±¢ fonetyczna: i, j;

ªaci«ski odpowiednik: i; pochodzi od fenickiej litery jod (I).

κ

:

maªa jedenasta litera alfabetu greckiego; nazwa: kappa; warto±¢ fonetyczna: k;

ªaci«ski odpowiednik: c (k); pochodzi od fenickiej litery kaf (K, k).

λ

:

maªa dwunasta litera alfabetu greckiego; nazwa: lambda; warto±¢ fonetyczna:

l; ªaci«ski odpowiednik: l; pochodzi od fenickiej litery lamed (L, l).

µ

:

maªa trzynasta litera alfabetu greckiego; nazwa: mi; warto±¢ fonetyczna: m;

ªaci«ski odpowiednik: m; pochodzi od fenickiej litery mém (M, m).

ν

:

maªa czternasta litera alfabetu greckiego; nazwa: ni; warto±¢ fonetyczna: n;

ªaci«ski odpowiednik: n; pochodzi od fenickiej litery nun (N, n).

ξ

:

maªa pi¦tnasta litera alfabetu greckiego; nazwa: ksi; warto±¢ fonetyczna: x;

ªaci«ski odpowiednik: x; pochodzi od fenickiej litery sameh ().

o

:

maªa szesnasta litera alfabetu greckiego; nazwa: omikron; warto±¢ fonetyczna:

o; ªaci«ski odpowiednik: o; pochodzi od fenickiej litery 'ajin (O, o).

π

:

maªa siedemnasta litera alfabetu greckiego; nazwa: pi; warto±¢ fonetyczna: b;

ªaci«ski odpowiednik: p; pochodzi od fenickiej litery pé (P, p).

ρ

:

maªa osiemnasta litera alfabetu greckiego; nazwa: ro; warto±¢ fonetyczna: r;

ªaci«ski odpowiednik: r; pochodzi od fenickiej litery resz (R, r).

σ

:

maªa dziewi¦tnasta litera alfabetu greckiego; nazwa: sigma; warto±¢ fonetyczna:

s; ªaci«ski odpowiednik: s; pochodzi od fenickiej litery szin (S).

τ

:

maªa dwudziesta litera alfabetu greckiego; nazwa: tau; warto±¢ fonetyczna: t;

ªaci«ski odpowiednik: t; pochodzi od fenickiej litery taw (T).

υ

:

maªa dwudziesta pierwsza litera alfabetu greckiego; nazwa: ypsylon; warto±¢

fonetyczna: u; ªaci«ski odpowiednik: y.

φ

:

maªa dwudziesta trzecia litera alfabetu greckiego; nazwa: ; warto¢ fonetyczna:

f; ªaci«ski odpowiednik: ph.

ϕ

:

maªa dwudziesta trzecia litera alfabetu greckiego; nazwa: ; warto±¢ fonetyczna:

f; ªaci«ski odpowiednik: ph.

χ

:

maªa dwudziesta czwarta litera alfabetu greckiego; nazwa: chi; warto±¢ fone-

tyczna: bezd¹wi¦czne h lub sz (dialekt pontyjski); ªaci«ski odpowiednik: ch.

ψ

:

maªa dwudziesta pi¡ta litera alfabetu greckiego; nazwa: psi; warto±¢ fonetyczna:

ps; ªaci«ski odpowiednik: ps.

ω

:

maªa dwudziesta szósta litera alfabetu greckiego; nazwa: omega; warto±¢ fone-

tyczna: dªugie o; ªaci«ski odpowiednik: o.

ς

:

maªa dwudziesta siódma litera alfabetu greckiego; nazwa: ko«cowe sigma; war-

to±¢ fonetyczna: s; ªaci«ski odpowiednik: s.

4

ad:

(ªac) do; odsyªacz: ad 1. (ad primum) - do pierwszego; ad 2. (ad secundum) -

do drugiego, itd. Per aspera ad astra - przez trudy do gwiazd. Uwaga! Po ad nie

stawia si¦ kropki, gdy» sªowo to nie jest skrótem, lecz ªaci«skim przyimkiem o zna-

czeniu do (M. Ba«ko, M. Krajewska Sªownik wyrazów kªopotliwych; PWN

Warszawa 1994). W ameryka«skim angielskim 'ad' oznacza reklam¦, ogªoszenie

(skrót od advertisement, bez kropki).

adn.:

tak wygl¡daªby skrót sªowa adnotacja utworzony zgodnie z zasadami pol-

skiej ortograi, gdyby komukolwiek taki skrót kiedykolwiek do czegokolwiek byª

potrzebny.

adnotacja:

uwaga, dopisek, przypis, notatka, krótka informacja (np. bibliogra-

czna); ad notam (ªac.) do wiadomo±ci (W. Kopali«ski Sªownik wyrazów

obcych i zwrotów obcoj¦zycznych, wyd. XIII, WP Warszawa 1983). W

szczególno±ci rozwi¡zania zadania egzaminacyjnego nie mo»na nazwa¢ adnotacj¡;

dopisek sprawdzajcego typu nonsens! albo ort. jest przykadem adnotacji.

alfa:

nazwa pierwszej litery alfabetu greckiego α, A.

b

2

− 4ac

:

wzór na wyró»nik (nie: delt¦) trójmianu kwadratowego ax

2

+ bx + c

.

beta:

nazwa drugiej litery alfabetu greckiego β, B.

chi:

nazwa dwudziestej czwartej litery alfabetu greckiego χ, X.

ciaªo:

Poj¦cia ciaªa (bez nadawania mu nazwy) u»ywaª ju» Evariste Galois (25X1811-

30V1832), któy odkryª i sklasykowaª ciaªa sko«czone; pó¹niej podobnie post¡piª

B. Riemann (1857), którego interesowaªy ciaªa funkcji meromorcznych. Richard

W.R. Dedekinda (1831 - 1916) podaª formaln¡ denicj¦ ciaªa pod nazw¡ dziedzina

wymierno±ci. Nazwa K örper, ciaªo pojawiªa si¦ podobno po raz pierwszy w

Teorii Liczb, P. G. Lejeune-Dirichleta, jako zespóª, poczet albo uciele±nienie

elementów powstaj¡cych z operacji wymiernych (dodawanie, odejmowanie, mno»e-

nie, dzielenie). Problem pierwsze«stwa jest skomplikowany: Dedekind byª uczniem

Dirichleta, napisaª Suplementy do jego wykªadów; w XI Suplemencie (IV wydanie

- Braunschweig 1894) u»ywana jest nazwa ciaªo. Angielscy matematycy u»ywali

krótko ªaci«skiego odpowiednika corpus, za± francuscy matematycy u»ywali po-

krewnego corps, co znaczy ciaªo. U»ywane teraz po angielsku sªowo f ield

zapewne wprowadzili ameryka«scy algebraicy, którzy pocz¡dkowo uzywali równie»

nazwy realm.

delta:

nazwa czwartej litery alfabetu greckiego δ, ∆. Uwaga! To, »e warto±¢

wyró»nika trójmianu kwadratowego zwykle oznacza si¦ liter¡ ∆ nie oznacza, »e

sªowo delta jest nazw¡ wyró»nika. Sªowo delta jest nazw¡ typu uj±cia rzeki i typu

pªatowca samolotu. Natomiast sªowo delta nie jest nazw¡ wzoru na pierwiastki

trójmianu kwadratowego ani metody obliczania tych pierwiastków.

dzeta:

nazwa siódmej litery alfabetu greckiego ζ, Z.

epsilon:

nazwa szóstej litery alfabetu greckiego ε, E.

eta:

nazwa ósmej litery alfabetu greckiego η, H.

:

nazwa dwudziestej trzeciej litery alfabetu greckiego φ (ϕ), Φ.

5

funkcja:

odwzorowanie, operacja, przeksztaªcenie, jedno z najwa»niejszych poj¦¢

matematyki, dªugo u»ywane bez precyzyjnie sformuªowanej denicji; rozumiane in-

tuicyjnie jako przyporz¡dkowanie elementom jednego zbioru X elementów drugiego

zbioru Y tak, »e ka»demu elementowi x ∈ X odpowiada dokªadnie jedna warto±¢

y ∈ Y

. (...) Powstaªa wi¦c konieczno±¢ sformuªowania ogólnej, precyzyjnej denicji.

Tak¡ denicj¦ podano na gruncie teorii mnogo±ci; przez funkcj¦ f odwzorowuj¡c¡

zbiór X w zbiór Y rozumie si¦ dowolny zbiór par uporzdkowanych (x, y), x ∈ X,

y ∈ Y

(czyli relacj¦ w X × Y ) taki, »e dla ka»dego elementu x ∈ X istnieje dokªad-

nie jeden element y ∈ Y , oznaczany symbolem f(x) taki, »e (x, y) ∈ f . (...) Zbiór

X

nazywa si¦ dziedzin¡ funkcji f lub zbiorem argumentów funkcji f. (...) Zbiór Y

nazywa si¦ przeciwdziedzin¡ funkcji f. Zbiór Y

0

zªo»ony z tych elementów y ∈ Y ,

dla których istnieje x ∈ X takie, »e y = f(x) , nazywa si¦ zbiorem warto±ci f. (W.

Waliszewski i in. (red.), Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wyd. Szkolne

i Pedagogiczne, Warszawa 1988).

funkcja odwracalna:

funkcja ró»nowarto±ciowa i na ; funkcja f jest odwracalna

wtedy i tylko wtedy, gdy ma funkcj¦ odwrotn¡.

funkcja odwrotna:

je±li funkcja f : X → Y jest ró»nowarto±ciowa i speªniony

jest warunek f(X) = Y (czyli funkcja f odwzorowuje X na Y ), to wówczas istnieje

funkcja g : Y → X okre±lona nast¦puj¡co: dla dowolnego y ∈ Y wartoci¡ g(y) jest

jedyny element x ∈ X taki, »e f(x) = y; funkcj¦ g nazywa si¦ funkcj¡ odwrotn¡ do

f

i oznacza symbolem f

−1

. Funkcja maj¡ca funkcj¦ odwrotn¡ nazywa si¦ funkcj¡

odwracaln¡. Je±li g = f

−1

, to równie» f = g

−1

. Zªo»enie funkcji wzajemnie od-

wrotnych f i f

−1

jest funkcj¡ to»samo±ciow¡, tzn. (f

−1

◦ f )(x) = x

, dla ka»dego

x ∈ X

. (W. Waliszewski i in. (red.), Encyklopedia szkolna. Matematyka,

Wyd. Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988).

gamma:

nazwa trzeciej litery alfabetu greckiego γ, Γ.

jota:

nazwa dziesitej litery alfabetu greckiego ι, I.

kappa:

nazwa jedenastej litery alfabetu greckiego κ; K.

ksi:

nazwa pi¦tnastej litery alfabetu greckiego ξ, Ξ.

lambda:

nazwa dwunastej litery alfabetu greckiego λ, Λ.

mi:

nazwa trzynastej litery alfabetu greckiego µ, M.

ni :

nazwa czternastej litery alfabetu greckiego ν, H.

oczywisto±¢:

(1)

matematyk mówi to jest oczywiste gdy umie bez namysªu poda¢ krótki i

ªatwy dowód tego, co nazywa oczywistym;

(2)

niematematyk mówi to jest oczywiste gdy nie ma poj¦cia, jak to uzasadni¢,

ale wierzy, »e to jest prawd¡.

odwzorowanie:

funkcja.

omega:

nazwa dwudziestej szóstej litery alfabetu greckiego ω, Ω.

omikron:

nazwa szesnastej litery alfabetu greckiego o, O.

operator:

funkcja.

opuszczanie nawiasów:

Je±li przed nawiasem wyst¦puje znak +, to opuszczaj¡c

nawias przepisujemy wszystkie wyrazy z nawiasu z tymi samymi znakami. Je±li

6

przed nawiasem wyst¦puje znak − , to opuszczaj¡c nawias przepisujemy wszystkie

wyrazy z nawiasu z przeciwnymi znakami (podr¦cznik matematyki do IV klasy

szkoªy podstawowej) - sformuªowane po raz pierwszy w ksi¦dze pierwszej Aryt-

metyki Diofantosa z Aleksandrii (ok. 250 r.) zasady przeksztaªcania wyra»e«

algebraicznych, wynikaj¡ce z prawa rozdzielno±ci mno»enia wzgl¦dem dodawania i

denicji elementu przeciwnego. Uwaga! kreska uªamkowa te» jest nawiasem:

d ·

a + b

c

= d · (a + b) · c

−1

.

pi:

nazwa siedemnastej litery alfabetu greckiego π, Π.

pier±cie«:

Nazwa pier±cie« (ring) jest skrótem nazwy Z ahlring wprowadzonej

przez D. Hilberta w 1892 dla pier±cienia generowanego przez caªkowite liczby wy-

mierne i niewymierno±¢ kwadratow¡ η która speªnia równanie η

2

+ Bη + C = 0

.

Wydaje si¦, »e grupa generowana przez 1 i η zostaªa nazwana Z ahlring bo η

2

=

−Bη − C

, skr¦caj¡c na powrót do elementu tej grupy.

posiada¢:

[Czasownik nadu»ywany, cz¦sto bª¦dnie stosowany zamiast mie¢, np.

`Czy pan ma bilet' (a nie: posiada), `samochód ma (a nie posiada) cztery koªa']

(1)

mie¢ jak¡± rzecz (ziemi¦, nieruchomo±¢, pieni¡dze, przedmiot) w swym wªada-

niu, by¢ wªa±cicielem czego, mie¢: `Posiada¢ du»y plac budowlany, plantacj¦

tytoniu'.

(2)

w poª¡czeniu z rzeczownikiem oznaczaj¡cym wiadomo±ci, umiej¦tno±¢: mie¢,

umie¢ opanowa¢ co, by¢ wy¢wiczonym w czym: `Posiada¢ rozlegª¡ wiedz¦.'

'Posi¡±¢ tajniki rzemiosª.' 

(S. Skorupka i in. (red.) Maªy sªownik j¦zyka polskiego, PWN Warszawa

1969).

po»ytek z wiedzy:

Wiedziaªem, »e j¦zyki, jakich tam ucz¡, potrzebne s¡ dla zro-

zumienia ksi¡g staro»ytnych; »e powab ba±ni rozbudza umysª; »e godne pami¦ci

uczynki, przekazane przez histori¦, podnosz¡ go; i »e, czytane z rozeznaniem, po-

magaj¡ w uksztaªtowaniu s¡du; »e czytanie wszelkich dobrych ksi¡»ek jest niby

rozmowa z najgodniejszymi lud¹mi minionych wieków, b¦d¡cymi tych dzieª auto-

rami, ba, i to jest rozmowa przemy±lana, w której odsªaniaj¡ nam jedynie swe

najcenniejsze my±li; »e wymowa zawiera w sobie moc i pi¦kno nieporównane, a

poezja wykwinty i sªodycze czaruj¡ce; »e nauki matematyczne zawieraj¡ pomysªy

bardzo subtelne i zdolne wydatnie posªu»y¢ tak dla zadowolenia ciekawych, jak

dla uªatwienia wszelkich rzemiosª i zmniejszania pracy czowieka; »e pisma, traktu-

j¡ce o obyczajach, mieszcz¡ nauki i zach¦ty do cnoty nader u»yteczne; »e teologia

uczy, jak zdobywa¢ niebo; »e lozoa daje sposób rozprawiana z podobie«stwem

do prawdy o wszystkich rzeczach i budzenia podziwu mniej uczonych; »e prawo,

medycyna i inne nauki przynosz¡ zaszczyty i bogactwa tym, którzy je uprawiaj¡;

»e wreszcie dobrze jest zbada¢ je wszystkie, nawet te zabobonne i faªszywe, aby po-

zna¢ ich prawdziw¡ warto±¢ i ustrzec si¦ przed wprowadzeniem przez nie w bª¡d.

(René Descartes, Discours de la méthode; cytat za: Kartezjusz, Rozprawa

o metodzie, tªum. Boy, PIW, Warszawa 1980).

7

W szczególno±ci nie istnieje wiedza bezu»yteczna.

przeksztaªcenie:

(1)

zbioru A w zbiór B - funkcja A → B;

(2)

wyra»enia - inne wyra»enie o równej warto±ci albo równowa»ne przeksztaªca-

nemu wyra»eniu, np.:

•

A

0

∪ B

0

jest przeksztaªceniem wyra»enia (A ∩ B)

0

na podstawie prawa de

Morgana,

•

(x − 3)

2

− 2 = 0

jest przeksztaªceniem równania x

2

− 6x + 9 − 2 = 0

na

podstawie prawa rozdzielno±ci mno»enia wzgl¦dem dodawania.

psi:

nazwa dwudziestej pi¡tej litery alfabetu greckiego ψ, Ψ.

ro:

nazwa osiemnastej litery alfabetu greckiego ρ, P .

rozumienie:

wbrew nowej modzie j¦zykowej rozumie¢ nie jest antonimem wie-

dzie¢, umie¢. Nie mo»na rozumie¢ tego, czego si¦ nie wie. Cztery s¡ stopnie

przyswojenia reguªy:

(1)

ucz¡cy si¦ wyuczyª si¦ reguªy na pami¦¢, przyj¡wszy j¡ na wiar¦; jednak»e jest

w stanie korzysta¢ z niej, poprawnie stosuj¡c j¡ w praktyce (stadium mecha-

nicznego przyswojenia);

(2)

ucz¡cy si¦ wypróbowaª reguª¦ w najprostszych przypadkach, w których, jak si¦

przekonaª, daje ona poprawny rezultat (stadium indukcyjnego rozumienia);

(3)

ucz¡cy si¦ zrozumiaª dowód reguªy (stadium ±wiadomego zrozumienia);

(4)

ucz¡cy si¦ w peªni przyswoiª sobie regu¦ i tak jest jej pewien, »e nie pozo-

staªo w nim ±ladu w¡tpliwo±ci co do jej prawdziwo±ci (stadium wewn¦trznego

rozumienia)

(B. Spinoza Tractatus de Intellectus Emandatione; cytat i nazwy poziomów

- za: G. Polya, Mathematical discovery, John Wiley & Sons Inc. NY - London

1962). Wydaje si¦, »e mo»na doda¢ jeszcze dwa stopnie:

5.

ucz¡cy si¦ widzi, które twierdzenia i w jakim stopniu wykorzystuj¡ dane twier-

dzenie, a tak»e widzi do jakich sprzeczno±ci doprowadziªaby nieprawdziwo±¢

twierdzenia; umie odró»ni¢ rol¦ ró»nych zaªo»e« i pokaza¢ na przykadach, »e

s¡ one niezb¦dne; umie rozpozna¢ mo»liwe zastosowania twierdzenia i pozna¢

sytuacje, w których zastosowanie twierdzenia nie da rezultatów;

6.

ucz¡cy si¦ umie obej±¢ si¦ bez u»ycia twierdzenia osi¡gaj¡c te same albo lepsze

rezultaty ªatwiej i szybciej.

Osoby, które uznaj¡ tylko nast¦puj¡ce stopnie :

-1.

nic

0.

zapami¦tanie zapisu twierdzenia, dowodu, rozumowania tak, aby wyrecytowa¢

zapis bez wi¦kszych pomyªek i luk

nie maj¡ nic wspólnego ani z rozumieniem, ani z uczeniem si¦ i tutaj s¡ na niewªa-

±ciwym miejscu.

równo±¢ zbiorów:

W teorii mnogo±ci równo±¢ podstawowych obiektów (czyli zbio-

rów) deniuje si¦ za pomoc¡ relacji nale»enia ∈. Denicja jest nast¦puj¡ca:

A = B ⇔ ∀

x

[x ∈ A ⇔ x ∈ B].

8

Uwaga. Cz¦sto powtarzane pogl¡dowe sformuªowanie - zbiory s¡ równe gdy maj¡

te same elementy - nie nadaje si¦ na denicj¦, bo nie daje sposobu sprawdza-

nia, czy równo±¢ zbiorów zachodzi. Na przykªad gdy trzeba sprawdzi¢ równo±¢

{0, 1} = {1, 0}

, powstaje problem: czy 0 i 1 s¡ te same? Kiedy nale»y zako«czy¢

sprawdzanie, czy elementy s¡ te same? Natomiast denicja równo±ci nie sprawia

takich problemów: oba zdania x ∈ {0, 1} i x ∈ {1, 0} s¡ prawdziwe gdy x = 0 i gdy

x = 1,

oraz oba s¡ faªszywe, gdy x 6= 0 ∧ x 6= 1.

sigma:

nazwa dziewi¦tnastej litery alfabetu greckiego σ, Σ.

tau:

nazwa dwudziestej litery alfabetu greckiego τ, T .

theta:

nazwa dziewi¡tej litery alfabetu greckiego θ (ϑ), Θ.

transformacja:

(1)

funkcja.

(2)

przeksztaªcenie

twierdzenie:

matematyka polega na dowodzeniu i wykorzystywaniu twierdze«.

Twierdzenia maj¡ - oprócz zapisu (wypowiedzi) tak»e znaczenie (tre±¢); bez znajo-

mo±ci znaczenia twierdzenia trudno je wykorzysta¢ i nie mo»na mówi¢ o zrozumieniu

twierdzenia.

(1)

TWIERDZENIA POSTACI Φ ⇒ Ψ

Znaczenie: zdanie Φ ⇒ Ψ zachodzi (jest prawdziwe) wtedy i tylko wtedy, gdy

zdanie Ψ wynika (jest wnioskiem) ze zdania Φ, czyli ilekro¢ zdanie Φ zacho-

dzi (jest prawdziwe), to równie» zdanie Ψ zachodzi (jest prawdziwe); zdanie

Φ ⇒ Ψ

nie zachodzi (jest faªszywe) wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie Φ zachodzi

(jest prawdziwe) a zdanie Ψ nie zachodzi (jest faªszywe)

Korzystanie: je±li wiadomo, »e zdanie Φ zachodzi (jest prawdziwe), to z

twierdzenia Φ ⇒ Ψ wnioskujemy, »e zdanie Ψ zachodzi (jest prawdziwe) (re-

guªa odrywania); je±li wiadomo, »e zdanie Ψ nie zachodzi (jest faªszywe), to z

twierdzenia Φ ⇒ Ψ wnioskujemy, »e zdanie Φ nie zachodzi (jest faªszywe).

Dowodzenie:

1. sposób (wprost): zakªadamy, »e zdanie Φ zachodzi i wnioskujemy z tego

zaªo»enia, »e zachodzi zdanie Ψ;

2. sposób (niewprost): zakªadamy, »e zachodzi zdanie ∼ Ψ (»e zdanie Ψ nie

zachodzi), i wnioskujemy, »e zdanie ∼ Φ zachodzi (zdanie Φ nie zachodzi);

zatem je±li Φ zachodzi, to Ψ zachodzi.

(2)

TWIERDZENIA POSTACI Φ ⇔ Ψ

Znaczenie: zdanie Φ ⇔ Ψ zachodzi (jest prawdziwe) wtedy i tylko wtedy, gdy

zdania Φ i Ψ maj¡ t¦ sam¡ warto±¢ logiczn¡; zdanie Φ ⇔ Ψ nie zachodzi (jest

faªszywe) wtedy i tylko wtedy, gdy zdania Φ, Ψ maj¡ ró»ne warto±ci logiczne.

Korzystanie: je±li wiadomo, »e jedno ze zda« Φ, Ψ zachodzi (jest prawdziwe)

to wnioskujemy, »e drugie te» zachodzi (jest prawdziwe); je±li wiadomo, »e

jedno z tych zda« nie zachodzi (jest faªszywe) to wnioskujemy, »e drugie z nich

równie» nie zachodzi (jest faªszywe); ze zdania Φ ⇔ Ψ wynika ka»de ze zda«

Φ ⇒ Ψ

, Ψ ⇒ Φ, Ψ ⇔ Φ oraz to, »e je±li zdanie Φ jest zdaniem skªadowym

9

zdania zªo»onego Λ, to zast¦puj¡c dowolne wyst¡pienie zdania Φ w zdaniu Λ

przez zdanie Ψ uzyskamy zadnie równowa»ne zdaniu Λ, np. je±li Λ = Φ ∧ Γ

oraz Φ ⇔ Ψ, to Λ ⇔ (Ψ ∧ Γ) (reguªa ekstensjonalno±ci).

Dowodzenie:

1. sposób: nale»y udowodni¢ ka»d¡ z (ªatwiejszych) równowa»no±ci Φ ⇔ Φ

1

,

Φ

1

⇔ Φ

2

, . . ., Φ

n−1

⇔ Φ

n

, Φ

n

⇔ Ψ

(tzw. przej±cia równowa»no±ciowe);

2. sposób: nale»y udowodni¢ obie implikacje Φ ⇒ Ψ, Ψ ⇒ Φ.

(3)

TWIERDZENIA POSTACI ∀

x∈X

[Φ(x)]

Znaczenie: zdanie ∀x ∈ X [Φ(x)] zachodzi (jest prawdziwe) wtedy i tylko

wtedy, gdy ka»dy element x zbioru X ma wªasno±¢Φ(x) (speªnia form¦ zda-

niow¡ Φ(x)); zdanie to nie zachodzi gdy cho¢jeden element zbioru X nie speªnia

warunku Φ(x).

Korzystanie: je±li dane jest wyra»enie t przyjmuj¡ce warto±ci w zbiorze X i

zmienna x w wyra»eniu Φ(x) nie znajduje si¦ w zasi¦gu »adnego kwantyka-

tora wi¡»¡cego zmienn¡ wyst¦puj¡c¡ w t, to wnioskujemy, »e Φ(t) zachodzi;

je±li Φ(x) jest implikacj¡ Ψ ⇒ Λ(x) i x nie jest zmienn¡ woln¡ w Ψ, to wnio-

skujemy zdanie Ψ ⇒ ∀

x∈X

[Λ(x)]

;

Dowodzenie: dla ka»dego (dla dowolnego) elementu x zbioru X dowodzimy

zdania Φ(x).

(4)

TWIERDZENIA POSTACI ∃

x∈X

[Φ(x)]

Znaczenie: zdanie ∃

x∈X

[Φ(x)]

zachodzi (jest prawdziwe) wtedy i tylko wtedy,

gdy w zbiorze X istnieje element speªniaj¡cy warunek Φ(x); zdanie to nie za-

chodzi (jest faªszywe) wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi zdanie ∀

x∈X

[∼ Φ(x)]

.

Korzystanie: we¹my pod uwag¦ taki element a zbioru X, »e Φ(a).

Dowodzenie:

1. sposób (efektywny): nale»y wskaza¢ lub zbudowa¢ element a zbioru X taki,

»e zachodzi Φ(a);

2. sposób (nieefektywny): nale»y wykaza¢, »e z faªszywo±ci danego twierdzenia

wynika zaprzeczenie innego, ju» udowodnionego twierdzenia.

ukªad wspóªrz¦dnych:

na pªaszczy¹nie w geometrii euklidesowej - ukªad dwóch

osi liczbowych wzajemnie do siebie prostopadªych i maj¡cych wspólny pocz¡tek

(podr¦cznik matematyki do VII klasy szkoªy podstawowej).

Kartezjusz zauwa»yª, »e prosta konstrukcja geometryczna na pªaszczy¹nie z wybra-

nym ukªadem wspóªrz¦dnych pozwala przyporz¡dkowa¢ ka»demu punktowi pªasz-

czyzny uporz¡dkowan¡ par¦ liczb rzeczywistych, co okre±la wzajemnie jednoznaczne

odwzorowanie zbioru punktów pªaszczyzny na zbiór R

2

= R × R

uporz¡dkowanych

par liczb rzeczywistych.

Ogólnie ukªadem wspóªrz¦dnych nazywamy ró»nowarto±ciowe odwzorowanie przy-

porz¡dkowuj¡ce punktom zbioru, np. prostej, pªaszczyzny lub przestrzeni, ciagi

liczb nazywane wspóªrz¦dnymi tych punktów w danym ukªadzie wspóªrz¦dnych.

(W. Waliszewski i in. (red.), Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wyd.

Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988). Cz¦sto u»ywane ukªady wspóªrz¦dnych

10

maj¡ nazwy wªasne, np.: kartezja«ski ukªad wspóªrz¦dnych, ukªad wspóªrz¦dnych

biegunowych, ukªad wspóªrz¦dnych walcowych, ukªad wspóªrz¦dnych sferycznych.

Ukªad wspóªrz¦dnych sªu»y do przyporz¡dkowania punktom ci¡gów liczb. Ukªad

wspóªrz¦dnych nie sªu»y do zaznaczania punktów - do tej czynno±ci sªu»y oªówek.

v:

dwudziesta pierwsza (dwudziesta druga) litera alfabetu ªaci«skiego, pocztkowo

oznaczaªa równie» gªosk¦ u. Warto±¢ fonetyczna np. w angielskim: w , w niemiec-

kim: f , w polskim: nie wyst¦puje (o czym nie wiedzieli pomysªodawcy znanego

gestu). Nazwa - np. w angielskim: wi, w niemieckim: fau; w polskim: we.

ypsylon:

nazwa dwudziestej pierwszej litery alfabetu greckiego υ, Y .

zad:

u zwierz¡t: tylna cz¦±¢ ciaªa, po±ladki : ci¡gn¡ª lejce, a» konie siadªy na

zadach (S. Skorupka i in. (red.) Maªy sªownik j¦zyka polskiego, PWN

Warszawa 1969).

zad.:

skrót u»ywany przez osoby, dla których napisanie siedmioliterowego sªowa

zadanie jest zbyt trudne lub bardzo m¦czce (np. przez uczniów pierwszej klasy

szkoªy podstawowej).

zaznaczanie punktu:

czynno±¢ przy wykonywaniu rysunku. Do zaznaczania punktu

sªu»y oªówek (kreda, dªugopis itd.), a nie ukªad wspóªrz¦dnych. Punkt pªaszczyzny

nie zmienia w czasie zaznaczania go na rysunku: jest taki sam przed i po zaznacze-

niu.

zeta:

nazwa siódmej litery alfabetu greckiego ζ, Z

Ÿ 1. Alfabet grecki

Litera

Nazwa

Litera Nazwa

Litera

Nazwa

A, α

alfa

a

I, ι

jota

i

P, ρ

ro

r

B, β

beta

b (w)

K, κ

kappa

k

Σ, σ

sigma

s

Γ, γ

gamma

g

Λ, λ

lambda

l

T, τ

tau

t

∆, δ

delta

d

M, µ

mi

m

Y, υ

ypsilon y/u

E, ε (²)

epsilon

e

N, ν

ni

n

Φ, φ (ϕ)



f

Z, ζ

dzeta (zeta) dz (z)

Ξ, ξ

ksi

x

X, χ

chi

ch

H, η

eta

e

O, o

omikron

o

Ψ, ψ

psi

ps

Θ, θ (ϑ)

theta

th

Π, π

pi

p (b)

Ω, ω

omega

o

11

12

Ÿ 2. Przeksztaªcenia liniowe

2.1.

Które z podanych ni»ej przeksztaªce« ϕ : K

n

→ K

m

s¡ przeksztaªceniami liniowymi:

a) n = m = 3, ϕ(





x
y

z



) =





x + z

2x + z

3x − y + z



, b) n = m = 3, ϕ(





x
y

z



) =





x

y + 1
z + 2



,

c) n = m = 3, ϕ(





x
y

z



) =





2x + y

x + z

z



, d) n = m = 3, ϕ(





x
y

z



) =





x − y + z

z
y



,

e) n = 4, m = 3, ϕ(









x
y

z

t







) =





x − y + 2t

2x + 3y + 5z − t

x + z − t



,

f) n = 4, m = 3, ϕ(









x
y

z

t







) =





x − y + 2t

2x − 3y + 5z − t

x − z − t



,

g) n = m = 4, ϕ(









x
y

z

t







) =









x + 3y − 2t

x + y + z

2y + t

y + z







,

h) n = m = 4, ϕ(









x
y

z

t







) =









x + 3y − 2t

x + y + z

2y − 3t

2x + 4y + z − 2t







,

i) n = m = 3, ϕ(





x
y

z



) =





x + z

2xz

3x − y + z



.

W przypadku, gdy przeksztaªcenie ϕ jest przeksztaªceniem liniowym, zbada¢ czy jest to

monomorzm, epimorzm.

2.2.

Niech a

0

, a

1

, a

2

, . . . , a

n

∈ K

, n ∈ N. Wykaza¢, »e ψ : K[X]

m

→ K

n+1

okre±lone wzorem:

ψ(w(X)) = [w(a

0

), w(a

1

), . . . , w(a

n

)]

dla w(X) ∈ K[X]

m

,

jest przeksztaªceniem liniowym. Sprawdzi¢, »e gdy a

0

, a

1

, a

2

, . . . , a

n

s¡ parami ró»ne, to:

a) ψ jest na ⇔ m≥n,

b) ψ jest ró»nowarto±ciowe ⇔ m ≤ n.

2.3.

Wykaza¢, »e je»eli ϕ : K → K jest przeksztaªceniem liniowym, to istnieje a ∈ K takie,

»e ϕ(v) = av dla ka»dego v ∈ K. Dla jakich a przeksztaªcenie dane takim wzorem jest

monomorzmem, epimorzmem ?

2.4.

Ciaªo C liczb zespolonych mo»na rozpatrywa¢ jako przestrze« wektorow¡ nad ciaªem C (ozn.

C

1

) oraz jako przestrze« wektorow¡ nad ciaªem R liczb rzeczywistych (ozn. C

R

). Wykaza¢,

13

»e f : C → C, f(z) = z, jest endomorzmem przestrzeni C

R

, ale nie jest endomorzmem

przestrzeni C

1

.

2.5.

Sprawdzi¢, czy odwzorowanie ±lad macierzy tr : K

n

n

→ K

okre±lone wzorem

tr









a

11

a

12

· · · a

1n

a

21

a

22

· · · a

2n

... ... ... ...

a

n1

a

n2

· · · a

nn







 =

n

X

i=1

a

ii

jest przeksztaªceniem liniowym.

2.6.

a) W przestrzeni R

∞

niech U b¦dzie podzbiorem, zªo»onym z ci¡gów speªniaj¡cych warunek

Cauchy'ego:

(a

n

) ∈ U ⇔ ∀

ε>0

∃

N ∈N

∀

p>N

∀

q>N

[|a

p

− a

q

| < ε] .

Wykaza¢, »e U jest podprzestrzeni¡ i odwzorowanie ϕ : U → R okre±lone wzorem

ϕ((a

n

)) = lim

n→∞

(a

n

)

jest przeksztaªceniem liniowym.

b) Niech ψ : R

∞

→ R

∞

b¦dzie odwzorowaniem okre±lonym przez warunek:

(b

n

) = ψ((a

n

)) ⇔ ∀

n∈N

"

b

n

=

n

X

k=1

a

k

#

(czyli ψ((a

n

)) = (a

1

, a

1

+ a

2

, a

1

+ a

2

+ a

3

, ...)

). Sprawdzi¢, »e ψ jest przeksztaªceniem

liniowym. Czy ψ jest monomorzmem? epimorzmem? Czy przeksztaªcenie odwrotne do

ψ

jest przeksztaªceniem liniowym?

c) Niech W = ψ

−1

(U)

. Sprawdzi¢, »e wzór

σ((a

n

)) =

∞

X

n=1

a

n

okre±la odwzorowanie σ : W → R i »e σ jest przeksztaªceniem liniowym.

Sprawdzi¢, »e σ = ϕ ◦ ψ.

2.7.

Sprawdzi¢, »e dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, a < b odwzorowanie C

0

([a, b]) → R

przestrzeni funkcji ci¡gªych okre±lone wzorem f 7→

b

R

a

f (x)dx

jest przeksztaªceniem linio-

wym.

2.8.

Symbolem C

n

(a, b)

oznaczamy przestrze« funkcji rzeczywistych okre±lonych na przedziale

(a, b)

i maj¡cych pochodne ci¡gªe do rz¦du n wª¡cznie. Sprawdzi¢, »e dla ka»dego n >

0

odwzorowanie C

n

(a, b) → C

n−1

(a, b)

okre±lone wzorem f 7→ f

0

jest przeksztaªceniem

liniowym. Czy jest ono epimorzmem? monomorzmem?

2.9.

Niech V oraz W b¦d¡ przestrzeniami liniowymi nad ciaªem K, a ϕ : V → W odwzorowaniem.

Wykresem odwzorowania ϕ nazywamy zbiór Γϕ = {(v, ϕ(v)) ∈ V ×W : v ∈ V }. Wykaza¢,

»e ϕ jest przeksztaªceniem liniowym wtedy i tylko, gdy Γϕ jest podprzestrzeni¡ przestrzeni

liniowej V × W .

2.10.

Niech V oraz W b¦d¡ przestrzeniami liniowymi nad ciaªem K, i niech ϕ : V → W b¦dzie

przeksztaªceniem liniowym. Niech bϕ : V → V × W b¦dzie okre±lone wzorem bϕ(v) =

14

(v, ϕ(v))

, a π : V ×W → W wzorem π(v, w) = w. Sprawdzi¢, »e bϕ i π s¡ przeksztaªceniami

liniowymi, bϕ jest monomorzmem, π jest epimorzmem i »e π ◦ bϕ = ϕ.

2.11.

Wykaza¢, »e dla dowolnego przeksztaªcenia liniowego ϕ : V → W istnieje przestrze«

liniowa Z oraz epimorzm κ : V → Z i monomorzm ϕ : Z → W takie, »e ϕ = ϕ ◦ κ.

Dla jakiego przeksztaªcenia liniowego ϕ mo»na zamieni¢ miejscami sªowa epimorzm oraz

monomorzm?

2.12.

Przypu±¢my, »e V, W

1

, W

2

s¡ przestrzeniami liniowymi nad ciaªem K. Funkcj¦ f : V →

W

1

× W

2

mo»na zapisa¢ przy pomocy pary funkcji f

1

: V → W

1

oraz f

2

: V → W

2

wzorem

f (v) = (f

1

(v), f

2

(v))

. Wykaza¢, »e f jest przeksztaªceniem liniowym wtedy i tylko wtedy,

gdy f

1

i f

2

s¡ przeksztaªceniami liniowymi.

2.13.

Zaªó»my, »e A, B, C s¡ zbiorami, ∅ 6= B, C ⊂ A oraz V jest przestrzeni¡ liniow¡.

a) Pokaza¢, »e odwzorowanie Φ

B

: V

A

→ V

B

, f 7→ f |

B

dla f ∈ V

A

, jest przeksztaªce-

niem liniowym . Kiedy jest to epimorzm, a kiedy monomorzm ?

b) Z punktu (a) oraz poprzedniego zadania wynika, »e Φ : V

A

→ V

B

× V

C

dane

wzorem Φ(f) = (Φ

B

(f ), Φ

C

(f ))

dla f ∈ V , jest przeksztaªceniem liniowym. Kiedy Φ jest

monomorzmem, a kiedy epimorzmem?

2.14.

Niech V, V

1

, V

2

, W

b¦d¡ przestrzeniami liniowymi oraz niech V = V

1

⊕ V

2

. Pokaza¢, »e

dla dowolnych przeksztaªce« liniowych ϕ

i

: V

i

→ W

, i = 1, 2, istnieje dokªadnie jedno

przeksztaªcenie liniowe ϕ : V → W takie, »e ϕ |

V

i

= ϕ

i

. Je»eli V = W oraz ϕ

1

=

Id

V

1

, ϕ

2

= −Id

V

2

to ϕ nazywamy symetri¡ wzgl¦dem V

1

wzdªu» (albo równolegle do) V

2

. Je»eli natomiast ϕ

1

= Id

V

1

, a ϕ

2

jest endomorzmem zerowym, to ϕ nazywamy rzutem

przestrzeni V na V

1

wzdªu» (albo równolegle do) V

2

.

2.15.

Wykaza¢, »e:

a) je±li V = V

1

⊕ V

2

, to V ∼

= V

1

× V

2

,

b) je±li V = V

1

⊕ · · · ⊕ V

n

, to V ∼

= V

1

× · · · × V n

.

2.16.

Wyznaczy¢ j¡dra i obrazy przeksztaªce« liniowych z zada«

2.1

,

2.3

,

2.7

oraz

2.12

.

2.17.

Wyznaczy¢ j¡dro i obraz symetrii (rzutu) wzl¦dem V

1

(na V

1

) wzdªu» V

2

.

2.18.

Przeksztaªcenie liniowe ϕ : K

2

→ K

3

dane jest wzorem ϕ(

·

x
y

¸

) =





2x + 3y

x − y

3y



. Wyzna-

czy¢:

a) obrazy podprzestrzeni: K

2

, lin(

·

1
0

¸

)

, lin(

·

0
1

¸

)

, lin(

·

1
1

¸

)

,

{

·

x
y

¸

∈ K

2

: 2x + 3y = 0}

;

b) przeciwobrazy podprzestrzeni: K

3

, {





0
0
0



}, lin(





2
1
3



), lin(





2
1
0



),

lin(





3

−1

3



 ,





0
1
0



), {





x
y

z



 ∈ K

3

: x + y + z = 0}

.

15

2.19.

Przypu±¢my, »e ϕ : V → W jest przeksztaªceniem liniowym, X jest podprzestrzeni¡ prze-

strzeni V , a Y jest podprzestrzeni¡ przestrzeni W .

a) Wykaza¢, »e

(i) ϕ

−1

(ϕ(X)) = X + Ker(ϕ)

, (ii) ϕ(ϕ

−1

(Y )) = Y ∩ Im(ϕ)

.

b) Sformuªowa¢ warunek konieczny i wystarczaj¡cy na to, aby

(i) ϕ

−1

(ϕ(X)) = X

, (ii) ϕ(ϕ

−1

(Y )) = Y

.

c) Jaki warunek musi speªnia¢ ϕ, aby dla ka»dej podprzestrzeni X przestrzeni V zacho-

dziªa równo±¢ ϕ

−1

(ϕ(X)) = X

?

d) Jaki warunek musi speªnia¢ ϕ, aby dla ka»dej podprzestrzeni Y przestrzeni W zacho-

dziªa równo±¢ ϕ(ϕ

−1

(Y )) = Y

?

2.20.

Wiadomo, »e przeksztaªcenie liniowe ϕ : V → W speªnia warunki:

ϕ(α

1

) = β

1

+ 2β

2

+ 3β

3

,

ϕ(α

2

) = 4β

1

+ 5β

2

+ 6β

3

,

ϕ(α

3

) = 7β

1

+ 8β

2

+ 9β

3

oraz »e (α

1

, α

2

, α

3

)

jest baz¡ V , a (β

1

, β

2

, β

3

)

jest baz¡ W . Obliczy¢ wymiar obrazu i

wymiar j¡dra przeksztaªcenia ϕ.

2.21.

Niech ϕ i ψ b¦d¡ odwzorowaniami K

∞

→ K

∞

takimi, »e:

ϕ((a

1

, a

2

, a

3

, ...)) = (0, a

1

, a

2

, a

3

, ...),

ψ((a

1

, a

2

, a

3

, ...)) = (a

2

, a

3

, a

4

, ...).

a) Sprawdzi¢, »e ϕ i ψ s¡ endomorzmami przestrzeni K

∞

.

b) Obliczy¢ ϕ ◦ ψ i ψ ◦ ϕ.

c) Sprawdzi¢, czy ϕ lub ψ jest monomorzmem, epimorzmem, izomorzmem.

Ÿ 3. Przeksztaªcenia liniowe 2

3.1.

Czy istnieje przeksztaªcenie liniowe ϕ : R

3

→ R

3

speªniaj¡ce warunki:

a) ϕ(





1
1
0



) =





1
0
0



, ϕ(





0
1
1



) =





0
1
0



, ϕ(





1
0
1



) =





0
0
1



, ϕ(





1
1
1



) =





1
1
1



;

b) ϕ(





1
1
0



) =





1
2
3



, ϕ(





0
1
1



) =





3
2
1



, ϕ(





1
2
1



) =





4
4
4



;

c) ϕ(





1
1
0



) =





1
2
3



, ϕ(





0
1
1



) =





3
2
1



, ϕ(





1

−2

1



) =





4
4
4



;

d) ϕ(





1
1
0



) =





1
2
0



, ϕ(





0
1
1



) =





3
0
1



?

W przypadku pozytywnej odpowiedzi przeanalizowa¢ liczb¦ rozwi¡za« i znale¹¢ wzór

przynajmniej jednego takiego przeksztaªcenia liniowego.

16

3.2.

Skonstruowa¢ przeksztaªcenie liniowe τ : R

3

→ R

3

speªniaj¡ce warunki:

τ (





1
1
2



) =





2
1
1



 , τ(





2
1
1



) =





1
1
2



 , τ ◦ τ = id

R

3

.

Wyznaczy¢ wzór analityczny przeksztaªcenia τ.

3.3.

Znale¹¢ wzór analityczny:

a) symetrii przestrzeni R

2

wzgl¦dem lin(

·

1
2

¸

)

i wzdªu» lin(

·

0
1

¸

)

;

b) symetrii przestrzeni R

3

wzgl¦dem lin(





1
1
0



 ,





0
1
2



) i wzdªu» lin(





1
1
1



);

c) rzutu przestrzeni R

2

na lin(

·

2
3

¸

)

wzdªu» lin(

·

−1

1

¸

)

;

d) rzutu przestrzeni R

3

na lin(





1
0
1



) wzdªu» lin(





1
1
1



 ,





−1

1
2



).

3.4.

Poda¢ wzór analityczny przeksztaªcenia liniowego ψ : R

3

→ R

3

, o którym wiadomo, »e

Kerψ = lin(





1
1
0



 ,





1
1
1



) oraz Imψ = lin(





1
1
1



). Czy rozwi¡zanie jest jedyne?

3.5.

Przypu±¢my, »e V jest przestrzeni¡ liniow¡ nad ciaªem K, w którym 1 + 1 6= 0. Zaªó»my, »e

ϕ

oraz ψ s¡ endomorzmami przestrzeni V .

a) Wykaza¢, »e ϕ ◦ ϕ =Id

V

wtedy i tylko wtedy, gdy istniej¡ podprzestrzenie U

1

oraz U

2

przestrzeni V takie, »e ϕ jest symetri¡ wzgl¦dem U

1

i wzdªu» U

2

.

b) Wykaza¢, »e ψ ◦ ψ = ψ wtedy i tylko wtedy, gdy istniej¡ podprzestrzenie U

1

oraz U

2

przestrzeni V takie, »e ψ jest rzutem V na U

1

wzdªu» U

2

.

3.6.

Zaªó»my, »e ciaªo K ma q elementów oraz n ∈ N. Obliczy¢, ile jest

a) ró»nych przeksztaªce« liniowych K

n

→ K

n

;

b) ró»nych izomorzmów liniowych K

n

→ K

n

,

gdy: (i) n = 1, (ii) n = 2, (iii) n = 3, (iv) n jest dowolne.

3.7.

Niech V b¦dzie przestrzeni¡ liniow¡ nad K , a odwzorowanie f : V → V niech speªnia

warunek: f(u + v) = f(u) + f(v) dla dowolnych u, v ∈ V .

a) Wykaza¢, »e je±li K = Q lub K = Z

p

, to f jest przeksztaªceniem liniowym.

b) Poda¢ przykªad ciaªa K i przestrzeni liniowej nad nim, gdzie analogiczny rezultat nie

zachodzi.

3.8.

Niech V oraz W b¦d¡ przestrzeniami liniowymi nad ciaªem K. Przeksztaªcenie f : V → W

nazywamy jednorodnym stopnia 1, gdy f(av) = af(v) dla ka»dych a ∈ K oraz v ∈ V .

a) Wykaza¢, »e f jest liniowe, gdy dim V ≤ 1.

b) Wskaza¢ przestrzenie V i W oraz przeksztaªcenie f : V → W jednorodne stopnia 1

takie, »e dim V = 2 oraz f nie jest przeksztaªceniem liniowym.

17

3.9.

Ciaªo C jest przestrzeni¡ liniow¡ nad Q (ozn. C

Q

) oraz ciaªo R jest przestrzeni¡ liniow¡ nad

Q

(ozn. R

Q

). Wykaza¢, »e przestrzenie C

Q

oraz R

Q

s¡ izomorczne.

3.10.

Wykaza¢, »e je»eli U

1

oraz U

2

s¡ podprzestrzeniami przestrzeni V , to

(U

1

+ U

2

)/(U

1

∩ U

2

) ∼

= U

1

/(U

1

∩ U

2

) × U

2

/(U

1

∩ U

2

).

3.11.

Niech v

1

, . . . , v

m

b¦d¡ wektorami przestrzeni V , natomiast U niech b¦dzie podprzestrzeni¡

przestrzeni V .

Pokaza¢, »e (v

1

+ U, . . . , v

m

+ U)

jest liniowo niezale»nym ukªadem wektorów przestrzeni

V /U

wtedy i tylko wtedy, gdy lin(v

1

, . . . , v

m

) ∩ U = {θ}

i (v

1

, . . . , v

m

)

jest ukªadem liniowo

niezale»nym.

Ÿ 4. Macierze przeksztaªce« liniowych

4.1.

W przestrzeni K

3

wybrano bazy

A

3

= (





1
1
0



 ,





−1

2
1



 ,





1
0
1



) oraz B

3

= (





1
0
0



 ,





0
1
0



 ,





0
0
1



),

natomiast w przestrzeni K

4

wybrano bazy

A

4

= (









2
1
0
1







 ,









1
1

−1

1







 ,









0
1
2
0







 ,









−2

0
0
0







) oraz B

4

= (









1
0
0
0







 ,









0
1
0
0







 ,









0
0
1
0







 ,









0
0
0
1







).

Znale¹¢ macierz przeksztaªcenia liniowego ϕ : K

n

→ K

m

w bazach A

n

oraz B

m

(A

n

oraz

A

m

; B

n

oraz B

m

; B

n

oraz A

m

), je»eli:

a) n = m = 3, ϕ(





x
y

z



) =





x + z

2x + z

3x − y + z



, b) n = m = 3, ϕ(





x
y

z



) =





x − y + z

y
z



,

c) n = 4, m = 3, ϕ(









x
y

z

t







) =





x − y + 2t

2x + 3y + 5z − t

x + z − t



, d) n = 4, m = 3, ϕ(









x
y

z

t







) =





x − y + 2t

2x − 3y + 5z − t

x − z − t



,

18

e) n = 3, m = 4, ϕ(





x
y

z



) =









x + 3y − 2z

x + y + z

2y

y + z







, f) n = 3, m = 4, ϕ(





x
y

z



) =









x + 3y − 2z

x + y + z

2y − 3z

2x + 4y + z







,

4.2.

Niech a

0

, a

1

, . . . , a

m

∈ K

, n, m ∈ N. Znale¹¢ macierz przeksztaªcenia liniowego ψ : K[X]

n

→

K

m+1

okre±lonego wzorem:

ψ(w(X)) = (w(a

0

), w(a

1

), . . . , w(a

m

))

dla w(X) ∈ K[X]

n

w bazach: (1, X, X

2

, . . . , X

n

)

przestrzeni K[X]

n

wielomianów stopnia

≤ n

oraz bazie standardowej przestrzeni K

m+1

. Jak si¦ ta macierz nazywa, gdy n = m?

4.3.

Niech V = R[X]

n

, natomiast przeksztaªcenie δ : V → V niech przyporz¡dkowuje wielomia-

nowi jego pochodn¡. Pokaza¢, »e δ jest endomorzmem przestrzeni V oraz znale¹¢ macierz

δ

w bazie:

a) (1, X, X

2

, . . . , X

n

)

,

b) (1, X − c,

(X−c)

2

2!

, . . . ,

(X−c)

n

n!

)

, gdzie c jest ustalon¡ liczb¡ rzeczywist¡.

4.4.

Niech V b¦dzie podprzestrzeni¡ przestrzeni C

0

(R)

wszystkich funkcji rzeczywistych ci¡gªych

rozpi¦t¡ przez cos x oraz sin x, a przeksztaªcenie δ niech b¦dzie przeksztaªceniem, przy-

pisuj¡cym funkcji jej pochodn¡. Sprawdzi¢, »e δ jest endomorzmem przestrzeni V oraz

znale¹¢ jego macierz wzgl¦dem bazy (cos x, sin x).

4.5.

Wybierzmy A =

·

a b

c d

¸

∈ K

2

2

i okre±lmy odwzorowanie y: K

2

2

→ K

2

2

wzorem ψ(B) = BA

dla B ∈ K

2

2

. Wykaza¢, »e ψ jest endomorzmem przestrzeni K

2

2

i znale¹¢ macierz tego

endomorzmu wzgl¦dem bazy (E

11

, E

12

, E

21

, E

22

)

.

4.6.

Niech ϕ : K

3

→ V

1

b¦dzie rzutem, a ψ : K

3

→ K

3

symetri¡ wzgl¦dem V

1

i wzdªu» V

2

, gdzie:

a) V

1

= lin(ε

1

, ε

2

)

, V

2

= lin(ε

1

+ ε

3

)

,

b) V

1

= lin(ε

1

, ε

2

)

, V

2

= lin(ε

2

+ ε

3

)

,

c) V

1

= lin(ε

1

+ ε

2

, ε

2

)

, V

2

= lin(ε

1

+ ε

3

)

.

W ka»dym przypadku znale¹¢ macierz ϕ w bazach (ε

1

, ε

2

, ε

3

)

przestrzeni K

3

oraz (ε

1

, ε

2

)

przestrzeni V

1

. Znale¹¢ macierz ψ w bazach (ε

1

, ε

2

, ε

3

)

oraz (ε

1

, ε

2

, ε

1

+ ε

3

)

przestrzeni K

3

.

Zwróci¢ uwag¦, »e ψ jest endomorzmem przestrzeni K

3

i znale¹¢ macierz tego endomor-

zmu w bazie (ε

1

, ε

2

, ε

3

)

.

4.7.

Niech f : V → W

1

× W

2

, f(v) = (f

1

(v), f

2

(v))

b¦dzie przeksztaªceniem liniowym z zadania

2.12

, str.

14

. Niech A

i

b¦dzie macierz¡ f

i

w bazach A przestrzeni V oraz B

i

przestrzeni W

i

.

Znale¹¢ macierz przeksztaªcenia f w bazach A przestrzeni V oraz (B

1

× {θ}) ∪ ({θ} × B

2

)

przestrzeni W

1

× W

2

.

4.8.

Niech ϕ : V

1

⊕ V

2

→ W

, ϕ(v

1

+ v

2

) = ϕ

1

(v

1

) + ϕ

2

(v

2

)

, b¦dzie przeksztaªceniem liniowym

z zadania

2.14

, str.

14

. Niech A

i

b¦dzie macierz¡ ϕ

i

w bazach A

i

przestrzeni V

i

oraz

19

B

przestrzeni W . Znale¹¢ macierz ϕ wzl¦dem baz A

1

∪ A

2

przestrzeni V

1

⊕ V

2

oraz B

przestrzeni W .

4.9.

Przeksztaªcenie liniowe ϕ : K

2

→ K

3

wzgl¦dem baz

(

·

1
2

¸

,

·

0

−1

¸

)

oraz (





1
1
1



 ,





−1

0
1



 ,





2
0
0



)

ma macierz





1 −1
0

2

3 −2



.Znale¹¢ wzór (analityczny) na ϕ(

·

x
y

¸

)

.

4.10.

Endomorzm ψ przestrzeni K ma w bazie (ε

1

, ε

2

, ε

1

+ ε

3

)

macierz





1

1 1

−1 0 2

3

2 4



. Znale¹¢

wzór analityczny opisuj¡cy ψ.

4.11.

Endomorzm ψ przestrzeni R

3

ma w bazie (ε

1

− ε

2

, ε

2

, ε

1

+ ε

3

)

macierz





1

2 1

−1 0 2

3

2 1



.

Znale¹¢ baz¦ j¡dra i baz¦ obrazu przeksztaªcenia ψ. Czy wektor





1
1

−1



 nale»y do j¡dra

ψ

? Jaki jest obraz wektora





0
1
0



?

4.12.

Niech A b¦dzie macierz¡ przeksztaªcenia liniowego γ : V → W wzgl¦dem bazy A przestrzeni

V

oraz bazy B przestrzeni W . Jak si¦ zmieni macierz A, gdy:

a) w bazie A zamienimy i-ty wektor z j-tym?

b) w bazie A zast¡pimy i-ty wektor jego iloczynem przez skalar a 6= 0?

c) w bazie A dodamy do j-tego wektora wektor i-ty pomno»ony przez skalar a 6= 0?

d) w bazie B zamienimy k-ty wektor z l-tym?

e) w bazie B zast¡pimy k-ty wektor jego iloczynem przez skalar a 6= 0?

f) w bazie B dodamy do l-tego wektora wektor k-ty pomno»ony przez skalar a 6= 0?

4.13.

Niech A b¦dzie macierz¡ endomorzmu γ przestrzeni V wzgl¦dem bazy A przestrzeni V .

Jak si¦ zmieni macierz A, gdy:

a) w bazie A zamienimy i-ty wektor z j-tym?

b) w bazie A zast¡pimy i-ty wektor jego iloczynem przez skalar a 6= 0?

c) w bazie A dodamy do j-tego wektora wektor i-ty pomno»ony przez skalar a 6= 0?

4.14.

Endomorzm γ przestrzeni R

4

ma wzgl¦dem bazy standardowej macierz









1 2

0

1

3 0 −1 2
2 5

3

1

1 2

1

3







.

Znale¹¢ mo»liwie szybko macierz γ wzgl¦dem bazy:

a) (ε

1

, ε

3

, ε

2

, ε

4

)

, b) (ε

1

, ε

1

+ ε

2

, ε

1

+ ε

2

+ ε

3

, ε

1

+ ε

2

+ ε

3

+ ε

4

)

.

20

4.15.

Endomorzm λ przestrzeni V nazywamy homoteti¡, je»eli istnieje skalar a taki, »e λ(v) = av

dla ka»dego v ∈ V . Wykaza¢, »e

a) λ jest homoteti¡ ⇔ λ ◦ ϕ = ϕ ◦ λ dla ka»dego ϕ ∈End(V ),

b) λ jest homoteti¡ ⇔ λ ma tak¡ sam¡ macierz wzgl¦dem ka»dej bazy V .

4.16.

Macierz przeksztaªcenia ϕ : K

3

→ K

3

w bazie (ε

1

, ε

2

, ε

3

)

ma posta¢

a)





∗ ∗ 0
∗ ∗ 0
∗ ∗ 1



, b)





∗ ∗ 0
∗ ∗ 0
∗ ∗ 0



, c)





∗ ∗ 0
∗ ∗ 0
0 0 ∗



.

Jakie wªasno±ci przeksztaªcenia ϕ mo»na st¡d odczyta¢ ?

4.17.

Udowodni¢, »e macierz przeksztaªcenia ϕ : K

n

→ K

n

w bazie (ε

1

, ε

2

, . . . , ε

n

)

a) ma posta¢

·

A C

0 B

¸

dla pewnej macierzy A stopnia k ⇔ ϕ(lin(ε

1

, ε

2

, . . . , ε

k

)) ⊂

lin(ε

1

, ε

2

, . . . , ε

k

)

;

b) ma posta¢

·

A 0

0 B

¸

dla pewnej macierzy A stopnia k i pewnej macierzy B stopnia

n−k ⇔ ϕ(lin(ε

1

, ε

2

, . . . , ε

k

)) ⊂ lin(ε

1

, ε

2

, . . . , ε

k

)

i ϕ(lin(ε

k+1

, . . . , ε

n

)) ⊂ lin(ε

k+1

, . . . , ε

n

)

.

4.18.

W przestrzeni R

n

dane s¡ bazy A oraz B. Oznaczmy przez E baz¦ standardow¡ (ε

1

, ε

2

, . . . , ε

n

)

.

Znale¹¢ macierze przej±cia od E do A, od E do B, od A do E oraz od A do B, gdy:

a) n = 2, A = (

·

1
2

¸

,

·

−3

5

¸

)

, B = (

·

−1

6

¸

,

·

0
4

¸

)

;

b) n = 3, A = (





8

−6

7



 ,





−16

7

−13



 ,





9

−3

7



), B = (





1

−2

1



 ,





3

−1

2



 ,





2
1
2



);

c) n = 4, A = (









1
0
1
1







 ,









−1

1
0
0







 ,









2
0
1
0







 ,









0
0
0
1







), B = (









1
2
0
0







 ,









−1

0
2
1







 ,









1
1
1
1







 ,









1
0
0
0







).

W ka»dym z powy»szych przypadków zapisa¢ wektor x

1

ε

1

+ · · · + x

n

ε

n

jako kombinacj¦

liniow¡ wektorów bazy A.

4.19.

Niech A = (α

1

, α

2

, α

3

)

, B = (β

1

, β

2

, β

3

)

b¦d¡ bazami przestrzeni C

3

. Znale¹¢ macierz syme-

trii wzgl¦dem V

1

= lin(α

1

, α

2

)

i wzdªu» V

2

= lin(α

3

)

w bazie B, gdy α

1

=





2

−1

2



 , α

2

=





3
0
1



 , α

3

=





0
0
1



, β

1

=





1
2
1



 , β

2

=





1
1

−1



 , β

3

=





1
0
0



. Podobnie dla rzutu na V

1

wzdªu» V

2

( potraktowanego jako odwzorowanie C

3

→ C

3

).

4.20.

Obliczy¢ wspóªrz¦dne wektora









1
1
1
1







 w bazie (









1
0
1
1







 ,









1
0
1
4







 ,









1
0

−1

0







 ,









0
1
0
0







) przestrzeni

K

4

je±li charakterystyka ciaªa K jest ró»na od 2 i od 3.

21

4.21.

Napisa¢ wzory na zmian¦ wspóªrz¦dnych wektorów przy przej±ciu od bazy

(









1
0
1
1







 ,









1
1
1
0







 ,









1
1
0
0







 ,









1
0
0

−1







)

do bazy

(









1
1
0
0







 ,









1
0
0
0







 ,









0
0
1
1







 ,









0
0
1

−1







)

przestrzeni K

4

je±li charakterystyka ciaªa K jest ró»na od 2.

4.22.

Korzystaj¡c z wzoru na zmian¦ macierzy endomorzmu przy zmianie bazy znale¹¢ macierz

przeksztaªcenia ϕ : K

3

→ K

3

w bazie (ε

1

, ε

2

+ ε

3

, ε

1

+ ε

2

)

wiedz¡c, »e macierz¡ przeksztaª-

cenia ϕ w bazie

a) (ε

1

, ε

2

, ε

3

)

,

b) (ε

1

+ ε

2

, ε

2

, ε

3

)

jest macierz





1 0 0
0 2 0
0 0 3



.

Ÿ 5. Mno»enie macierzy

5.1.

Obliczy¢ iloczyny macierzy:

(a)

·

1

2

−2 3

¸

·

·

−4 0
−1 5

¸

, (b)





6

4

−2 1

7

9



 ·

·

0 1 2
3 4 5

¸

, (c)





−3 4

1

0

2

8

1

3 −1





2

,

(d)

·

2 1
1 3

¸

3

, (e)

£

1 2 3 4 5

¤

T

·

£

1 2 3 4 5

¤

,

(f)

£

1 2 3 4 5

¤

·

£

1 2 3 4 5

¤

T

, (g)





2 0
3 1
3 2





T

·





2 0
3 1
3 2



.

5.2.

Dla A =

·

1 1
0 1

¸

i B =

·

0 1
1 0

¸

obliczy¢:

a) A

2

+ 2AB + B

2

i (A + B)

2

;

b) A

2

− 2AB + B

2

i (A − B)

2

;

c) A

2

− B

2

, (A − B)(A + B) i (A + B)(A − B).

5.3.

Pokaza¢, »e dla dowolnej liczby naturalnej m zachodz¡ równo±ci:

(a)

·

a 0
0 b

¸

m

=

·

a

m

0

0

b

m

¸

, b)

·

1 a
0 1

¸

m

=

·

1 ma
0

1

¸

,

22

c)

·

cos α − sin α

sin α

cos α

¸

m

=

·

cos mα − sin mα

sin mα

cos mα

¸

, d)

·

a 1
0 a

¸

m

=

·

a

m

ma

m−1

0

a

m

¸

,

e)





1 1 0
0 1 1
0 0 1





m

=





1 m

m(m−1)

2

0 1

m

0 0

1



.

5.4.

Je±li A ∈ K

n

n

, B ∈ K

m

m

, C ∈ K

m

n

, D ∈ K

n

m

, to macierz

·

A D
C B

¸

nazywamy macierz¡

klatkow¡ o klatkach A, D, C, B. Sprawdzi¢, »e

·

A

1

D

1

C

1

B

1

¸

·

·

A

2

D

2

C

2

B

2

¸

=

·

A

1

A

2

+ D

1

C

2

A

1

D

2

+ D

1

B

2

C

1

A

2

+ B

1

C

2

C

1

D

2

+ B

1

B

2

¸

.

5.5.

Dla A ∈ K

n

m

, B ∈ K

m

n

udowodni¢ równo±¢ tr(AB) = tr(BA).

5.6.

Dla A ∈ K

n

m

, B ∈ K

m

s

udowodni¢ równo±¢ (AB)

T

= B

T

A

T

. Poda¢ przykªad pary macierzy

C, D

dla których równo±¢ (CD)

T

= C

T

D

T

nie zachodzi.

5.7.

Znale¹¢ wszystkie takie macierze A ∈ K

2

2

, »e

(a) A

·

1 2
1 0

¸

=

·

1 2
1 0

¸

A

, (b) A

·

1 0
0 0

¸

=

·

1 1
0 0

¸

, (c)

·

1 0
0 0

¸

A =

·

1 1
0 0

¸

, (d)

A

2

=

·

0 0
0 0

¸

, (e) A

2

=

·

1 0
0 1

¸

.

5.8.

Centralizatorem macierzy A ∈ K

n

n

nazywamy zbiór Z(A) = {X ∈ K

n

n

: AX = XA}

.

a) Sprawdzi¢, »e Z(A) jest podalgebr¡ algebry K

n

n

(tzn. jest podprzestrzeni¡ przestrzeni

K

n

n

, zawiera macierz jednostkow¡ I oraz jest zamkni¦ty ze wzgl¦du na mno»enie).

b) Wyznaczy¢ Z(









0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0







).

c) Wyznaczy¢ Z(A) w zale»no±ci od danej dowolnej macierzy A ∈ K

2

2

.

d) Dla jakich A ∈ K

2

2

zachodzi równo±¢ Z(A) = lin(I, A)?

e) Udowodni¢, »e ka»da macierz A ∈ K

2

2

speªnia warunek A

2

∈ lin(I, A)

.

5.9.

Niech E

ir

oznacza macierz kwadratow¡ stopnia n, której element o wskanikach i, r równy

jest 1, a pozostaªe elementy s¡ równe 0. Obliczy¢:

(a) E

ir

· E

lk

, (b) A · E

ir

, (c) E

ir

· A

, (d) A · (I

n

+ aE

ir

)

, i 6= r, (e) (I

n

+ bE

ir

) · A

, i 6= r, (f)

(I

n

+ aE

ir

)(I

n

+ bE

ir

)

, i 6= r,

gdzie A ∈ K

n

n

, a, b ∈ K. Zinterpretowa¢ (d) oraz (e) w j¦zyku operacji elementarnych

wykonanych na A.

5.10.

Wykaza¢, »e dla dowolnego zbioru A ⊂ K

n

n

i dla dowolnej macierzy A ∈ K

n

n

, A jest

przemienna z ka»d¡ macierz¡ ze zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy A jest przemienna z

ka»d¡ macierz¡ ze zbioru lin(A).

5.11.

Macierze postaci aI

n

, a ∈ K, nazywamy macierzami skalarnymi. Wykaza¢, »e macierz

A ∈ K

n

n

jest przemienna z wszystkimi macierzami ze zbioru K

n

n

wtedy i tylko wtedy, gdy

A

jest macierz¡ skalarn¡.

5.12.

Obliczy¢ wyznacznik macierzy

23

a) A =

£

1 4 6 5 3 1 7 8 9

¤

T

·

£

1 4 6 5 3 1 7 8 9

¤

,

b) B =









a

b

c

d

−b

a

d

−c

−c −d

a

b

−d

c

−b

a







.

Wskazówka. Obliczy¢ wyznaczniki macierzy A

2

oraz BB

T

.

5.13.

Niech x

1

, x

2

, . . . , x

n

b¦d¡ wszystkimi pierwiastkami wielomianu f(X) = a

0

X

n

+ a

1

X

n−1

+

· · · + a

n−1

X + a

n

. Sumy k-tych pot¦g pierwiastków

s

k

= x

k

1

+ x

k

2

+ · · · + x

k

n

s¡ funkcjami symetrycznymi, wi¦c wyra»aj¡ si¦ przez wspóªczynniki wielomianu (np. s

0

=

n

; z wzorów Viète

1

) wynikaj¡ równo±ci s

1

= −

a

1

a

0

, s

2

= s

2

1

− 2

X

i<j

x

i

x

j

=

a

2

1

a

2

0

− 2

a

2

a

0

itd.)

Obliczy¢ wyznacznik D macierzy













s

0

s

1

s

2

· · ·

s

n−1

s

1

s

2

s

3

· · ·

s

n

s

2

s

3

s

4

· · ·

s

n+1

... ... ... ... ...

s

n−1

s

n

s

n+1

· · · s

2n−2













.

(Wskazówka: obliczy¢ najpierw V

T

V

, gdzie V = V (x

1

, x

2

, . . . , x

n

)

jest macierz¡ Vander-

monde'a pierwiastków).

Wyrazi¢ wynik przez wspóªczynniki wielomianu f(X) gdy n = 2 i f(X) = aX

2

+ bX + c

i

gdy n = 3, a f(X) = X

3

+ pX + q.

Warto±¢ ∆ = a

2n−2

0

D

nazywamy wyró»nikiem wielomianu f(X)

2

).

5.14.

Sprawdzi¢, czy nast¦puj¡ce macierze s¡ odwracalne oraz w przypadku pozytywnej odpo-

wiedzi obliczy¢ macierz odwrotn¡:

(a)

·

1 2
2 5

¸

, (b)





1 2 −3
0 1

2

0 0

1



, (c)









1 3 −5

7

0 1

2

−3

0 0

1

2

0 0

0

1







, (d)









1

1

1

1

1

1

−1 −1

1 −1

1

−1

1 −1 −1

1







,

(e)





2

3

2

1

−1 0

−1

2

1



.

5.15.

Je±li A ∈ K

n

n

, B ∈ K

m

m

, C ∈ K

m

n

, D ∈ K

n

m

, i det A 6= 0 to

a) obliczy¢

·

I

n

0

−CA

−1

I

m

¸

·

·

A D
C B

¸

;

1

) François Viète (1540-1603) - matematyk francuski, zwany ojcem algebry. Usystematyzowaª osi¡-

gni¦cia algebraiczne Odrodzenia. Wprowadziª oznaczenia literowe nie tylko dla niewiadomych, ale i dla

danych, np. wspóªczynników równa«, dzi¦ki czemu pojawiªy sie wzory matematyczne.

2

) Nazwa wyró»nik (discriminant, od ªaci«skiego discriminans, od discriminantis - rozdzielaj¡cy,

odró»niaj¡cy) pochodzi od J. Sylvestera.

24

b) wykaza¢, »e det

·

A D
C B

¸

= det A · det(B − CA

−1

D)

;

c) podzieli¢ na klatki 2 × 2 macierz z przykªadu (d) z poprzedniego zadania; porówna¢

jej wyznacznik z warto±ci¡ wyra»enia det A det B − det C det D.

5.16.

Rozwi¡za¢ nast¦puj¡ce równania macierzowe:

a) X

·

4 1
0 4

¸

=

·

4 −6
2

1

¸

,

b)

·

4 1
0 4

¸

X =

·

4 −6
2

1

¸

,

c) X





1

1

−1

2

1

0

1 −1

1



 =





1 −1 3
4

3

2

1 −2 5



,

d)

·

2 1
3 2

¸

X

·

−3 1

1

1

¸

=

·

−2

4

3

−1

¸

.

5.17.

Rozwi¡za¢ ukªady równa« macierzowych:

a)















·

2 1
1 1

¸

X +

·

3 1
2 1

¸

Y =

·

2 8
0 5

¸

·

3

−1

−1

1

¸

X +

·

2

1

−1 −1

¸

Y =

·

4

9

−1 −4

¸ ,

b)















·

1

1

−1 1

¸

X +

·

3 1
1 1

¸

Y =

·

3 5
1 1

¸

·

1 −1
1

1

¸

X +

·

1 1
1 3

¸

Y =

·

1 1
5 3

¸ .

5.18.

Obliczy¢ (I + aE

ir

)

−1

, i 6= r.

5.19.

Wiadomo, »e macierz odwracaln¡ mo»na sprowadzi¢ do macierzy jednostkowej za pomoc¡

przeksztaªce« elementarnych na wierszach. Pokaza¢, »e wykonuj¡c te same przeksztaªcenia

(w tej samej kolejno±ci!) na macierzy jednostkowej otrzymamy macierz odwrotn¡ do wyj-

±ciowej macierzy. Stosuj¡c t¦ metod¦ obliczy¢ macierze odwrotne do macierzy z zadania

13 oraz nast¦puj¡cych macierzy:

a)













0 1 1 · · · 1
1 0 1 · · · 1
1 1 0 · · · 1

... ... ... ... ...

1 1 1 · · · 0













, b)

















1

−1

0

· · ·

0

0

−1

2

−1 · · ·

0

0

0

−1

2

· · ·

0

0

... ... ... ... ... ...

0

0

0

· · ·

2

−1

0

0

0

· · · −1

1

















,

c)

















2

−1

0

· · ·

0

0

−1

2

−1 · · ·

0

0

0

−1

2

· · ·

0

0

... ... ... ... ... ...

0

0

0

· · ·

2

−1

0

0

0

· · · −1

1

















.

25

5.20.

a) Pokaza¢, »e je»eli A

2

= 0

, to macierz I

n

+ A

jest odwracalna i (I

n

+ A)

−1

= I

n

− A

.

b) Pokaza¢, »e je»eli A

m

= 0

, to macierz I

n

+ A

jest odwracalna i znale¹¢ (I

n

+ A)

−1

.

5.21.

Znale¹¢ kolejne pot¦gi macierzy













0 1 0 · · · 0
0 0 1 · · · 0

... ... ... ... 0

0 0 0 · · · 1
0 0 0 · · · 0













i wykorzysta¢ je do obliczenia macie-

rzy odwrotnej do macierzy

















1 1 1 · · · 1 1
0 1 1 · · · 1 1
0 0 1 · · · 1 1

... ... ... ... ... ...

0 0 0 · · · 1 1
0 0 0 · · · 0 1

















.

5.22.

Pokaza¢, »e dla A, B ∈ K

n

n

je»eli macierz I

n

+ AB

jest odwracalna, to równie» macierz

I

n

+ BA

jest odwracalna (lemat Vassersteina

3

) Wskazówka: Obliczy¢ (I

n

+ BA)(I

n

−

B(I

n

+ AB)

−1

A)

.

5.23.

Obliczy¢ macierze odwrotne do macierzy klatkowych:

·

A D

0 B

¸

,

·

A 0
C B

¸

. Obliczy¢

macierze odwrotne do nast¦puj¡cych macierzy:









2

1

0 0

3

2

0 0

1

1

3 4

2 −1 2 3







,













1 1 1

3

1

0 1 1 −1 2
0 0 1

2

1

0 0 0

1

0

0 0 0

1

1













.

5.24.

Komutatorem [A, B] macierzy nieosobliwych A, B ∈ GLn(K) nazywamy macierz [A, B] =

ABA

−1

B

−1

. Wykaza¢, »e

[I + aE

ij

, I + bE

kl

] =







I

dla j 6= k i i 6= l

I + abE

il

dla j = k i i 6= l

I − abE

kj

dla j 6= k i i = l

.

5.1. Šamigªówki.
5.1.1. Gaszenie ±wiateª. Wiadomo±ci z algebry liniowej pozwalaj¡ ªatwo rozwi¡zywa¢

ªamigªówki okre±lonego typu: komputer wy±wietla na ekranie plansz¦ podzielon¡ na kwa-

dratowe pola, ponumerowane np. literami alfabetu; pola mog¡ mie¢ jeden z dwóch kolorów

(np. biaªy lub czarny); naci±ni¦cie klawisza z liter¡, b¦d¡c¡ numerem pola powoduje zmian¦

kolorów okre±lonych pól na przeciwny; celem grajcego jest uzyskanie jednobarwnej planszy

za pomoc¡ najmniejszej ilo±ci naci±ni¦¢ klawiszy.

3

) L. N. Vasserstein, wspóªczesny matematyk radziecki (do lat siedemdziesi¡tych) i ameryka«ski (od lat

osiemdziesi¡tych).

26

Przykªad: Plansza jest kwadratem o dziewi¦ciu polach:

A B C

D E F

G H I

Pola mog¡ by¢ biaªe albo czarne, pocz¡tkowy ukªad kolorów losuje komputer. Naci±ni¦cie

klawisza oznaczonego liter¡ A - I powoduje, »e zacienione pola zmieniaj¡ kolor na przeciwny

(je±li które± byªo biaªe, to stanie si¦ czarne, a je±li byªo czarne, to stanie si¦ biaªe):

A

B

C

D

A

B

C

D

E

F

G

H I

A

B

C

D

E

F

G H I

A

B

C

D

E

F

G H I

A

B C

D

E F

G

H I

E

F

G

H

A

B

C

D

E

F

G

H

I

A B

C

D E

F

G H

I

A

B

C

D

E

F

G

H

I

A

B

C

D

E

F

G

H

I

I

A B

C

D

E

F

G

H

I

Jakie klawisze trzeba nacisn¡¢, by z pocztkowego stanu z czarnymi naro»nymi polami :

A

B

C

D E F

G

H

I

uzyska¢ stan wszystkie pola biaªe? (Odpowied¹: wszystkie, ka»dy jeden raz).

Wybierzmy jedno pole X i zastanówmy si¦ nad zmianami jego barwy przy naciskaniu

klawiszy. Ponumerujemy kolory elementami ciaªa Z

2

: biaªy - 0, czarny - 1. Je±li naci±niemy

klawisz, wpªywaj¡cy na kolor danego pola, to numer x koloru pola X zmieni si¦ na x + 1.

Je±li naci±niemy klawisz nie wpªywaj¡cy na kolor danego pola X (w powy»szym przykªadzie

dla X =A b¦dzie to jeden z klawiszy C, E, F, G, H, I, a dla X =E jeden z klawiszy B, D,

F, H), to numer x koloru nie zmieni si¦, tzn. z x zrobi si¦ x+0. Jak wida¢, przy naci±ni¦ciu

kolejno dwóch klawiszy kolejno±¢ nie ma znaczenia, a dwukrotne naci±ni¦cie tego samego

klawisza daje efekt zerowy (nie zmienia koloru x pola X). Stan planszy mo»na zapisa¢

jako wektor v z przestrzeni Z

9

2

: jego wspóªrz¦dne to numery kolorów kolejnych pól. Zmiana

stanu planszy po naci±ni¦ciu klawisza polega na dodaniu do wektora v wektora, który ma

jedynki na wspóªrz¦dnych odpowiadajcych polom, na które dany klawisz wpªywa i zera na

pozostaªych wspóªrz¦dnych. W powy»szym przykªadzie tymi wektorami s¡:

27

u

A

=



























1
1
0
1
1
0
0
0
0



























, u

B

=



























1
1
1
0
0
0
0
0
0



























, u

C

=



























0
1
1
0
1
1
0
0
0



























, u

D

=



























1
0
0
1
0
0
1
0
0



























, u

E

=



























0
1
0
1
1
1
0
1
0



























, u

F

=



























0
0
1
0
0
1
0
0
1



























,

u

G

=



























0
0
0
1
1
0
1
1
0



























, u

H

=



























0
0
0
0
0
0
1
1
1



























, u

I

=



























0
0
0
0
1
1
0
1
1



























.

5.25.

Wykaza¢, »e sprawdzenie, czy ze stanu danego wektorem v mo»na uzyska¢ stan dany wek-

torem w polega na sprawdzeniu, czy v + w ∈ lin(u

A

, u

B

, u

C

, u

D

, u

E

, u

F

, u

G

, u

H

, u

I

).

5.26.

Opracowa¢ algorytm znajdowania ci¡gu klawiszy, które trzeba nacisn¡¢, aby ze stanu danego

wektorem v uzyska¢ stan dany wektorem w.

5.27.

Jedena±cie monet uªo»ono w rz¦dzie reszkami do góry. Dopuszczalny ruch to jednoczesne

odwrócenie trzech s¡siednich monet. Mo»liwie najmniejsz¡ ilo±ci¡ ruchów nale»y uzyska¢

ukªad, w którym ka»de dwie s¡siednie monety b¦d¡ zwrócone do góry przeciwn¡ stron¡:

o-r-o-r-o... albo r-o-r-o-r...

a) Który z tych ukªadów jest mo»liwy do si¡gni¦cia?

b) Poda¢ najkrótszy zestaw ruchów, prowadz¡cy do »¡danego ukªadu.

5.28.

W grze komputerowej Gaszenie ±wiateª plansza ma 25 pól oznaczonych kolejno literami

A, B, C, D, E; F, G, H, I, J; K, L, M, N, O; P, Q, R, S, T; U, V, W, X, Y. Naci±ni¦cie

klawisza powoduje zmian¦ koloru pól: oznaczonego t¡ liter¡ i tych, które maj¡ z nim

wspóln¡ kraw¦d¹. Stan pocz¡tkowy to same 0, stan ko«cowy - same 1.

a) Wykaza¢, »e je±li rozwi¡zanie istnieje, to istnieje rozwi¡zanie z ilo±ci¡ naci±ni¦¢ nie

przekraczaj¡c¡ 25.

b) Niech A =













1 1 0 0 0
1 1 1 0 0
0 1 1 1 0
0 0 1 1 1
0 0 0 1 1













∈ (Z

2

)

5

5

, I =













1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1













∈ (Z

2

)

5

5

,

28

y

1

=













x

1

x

2

x

3

x

4

x

5













, . . ., y

5

=













x

21

x

22

x

23

x

24

x

25













, P =













1
1
1
1
1













∈ Z

5

2

.

Sprawdzi¢, »e rozwi¡zanie tej ªamigªówki jest równowa»ne rozwi¡zaniu ukªadu pi¦ciu

równa« z pi¦cioma niewiadomymi wektorami y

1

, ..., y

5

:













A I

0

0

0

I A I

0

0

0

I A I

0

0

0

I A I

0

0

0

I A













·













y

1

y

2

y

3

y

4

y

5













=













P
P
P
P
P













.

5.29.

c) Sprawdzi¢, »e istniej¡ cztery rozwi¡zania.

d) Znale¹¢ wszystkie cztery rozwi¡zania.

Ÿ 6. Algebry

6.1. Kwadraty magiczne. Od najdawniejszych czasów zaciekawienie budziªy kwadra-

towe tabliczki n × n z liczbami naturalnymi od 1 do n

2

wpisanymi tak, by suma liczb w

ka»dym wierszu i w ka»dej kolumnie byªa taka sama.(ile wynosi ta suma ?) :





2 9 4
7 5 3
6 1 8



 ,









16

3

2

13

5

10 11

8

9

6

7

12

4

15 14

1







 ,























1

63 62

4

5

59 58

8

56 10 11 53 52 14 15 49
48 18 19 45 44 22 23 41
25 39 38 28 29 35 34 32
33 31 30 36 37 27 26 40
24 42 43 21 20 46 47 17
16 50 51 13 12 54 55

9

57

7

6

60 61

3

2

64























.

Wiara w czarodziejskie wªa±ciwo±ci takich tabliczek znalazªa odbicie w ich nazwie: na-

zywamy je kwadratami magicznymi, a wspóln¡ warto±¢ sumy wyrazów ka»dego wiersza i

ka»dej kolumny - sum¡ magiczn¡ danego kwadratu magicznego. Wi¦cej wiadomo±ci na

ten temat mo»na znale¹¢ w ksi¡»ce Lilavati Szczepana Jele«skiego. Kwadraty magiczne

z rzeczywistymi elementami i sum¡ magiczn¡ 1 nosz¡ nazw¦ macierzy podwójnie stocha-

stycznych i wyst¦puj¡ w rachunku prawdopodobie«stwa, w teorii procesów Markowa

4

).

Kwadratem magicznym n × n nad ciaªem F nazywamy macierz kwadratow¡ stopnia n

nad ciaªem F tak¡, »e suma wyrazów w ka»dym wierszu i w ka»dej kolumnie jest taka sama.

Wspóln¡ warto¢ sumy wyrazów ka»dego wiersza i ka»dej kolumny kwadratu magicznego A

nazywamy sum¡ magiczn¡ A i oznaczamy s(A). Zbiór wszystkich kwadratów magicznych

n × n

nad ciaªem F oznaczamy symbolem Mag(n, F ).

4

) Andriej A. Markow (1856-1922) - matematyk rosyjski znany gªównie z osi¡gni¦¢ w dziedzinie rachunku

prawdopodobie«stwa - zapocz¡tkowaª teori¦ procesów stochastycznych.

29

6.1.

Niech f : {1, 2, . . . , .n} × {1, 2, . . . , .n} → {1, 2, . . . , n

2

}

b¦dzie tak¡ funkcj¡ wzajemnie jed-

noznaczn¡, »e









f (1, 1) f (1, 2) · · · f (1, n)
f (2, 1) f (2, 2) · · · f (2, n)

...

...

...

...

f (n, 1) f (n, 2) · · · f (n, n)









jest kwadratem magicznym, a {a

k

: k ∈ {1, 2, . . . , n

2

}}

niech b¦dzie ci¡giem arytmetycz-

nym. Udowodni¢, »e macierz









a

f (1,1)

a

f (1,2)

· · · a

f (1,n)

a

f (2,1)

a

f (2,2)

· · · a

f (2,n)

...

...

...

...

a

f (n,1)

a

f (n,2)

· · · a

f (n,n)









jest kwadratem magicznym i obliczy¢ sum¦ magiczn¡ tego kwadratu magicznego.

6.2.

a) Sprawdzi¢, »e macierz zerowa i macierz jednostkowa s¡ kwadratami magicznymi.

b) Sprawdzi¢, »e macierz A jest kwadratem magicznym wtedy i tylko wtedy, gdy macierz

A

T

jest kwadratem magicznym.

c) Macierz kwadratow¡ stopnia n, która w ka»dym wierszu ma dokªadnie jedn¡ jedynk¦

i poza ni¡ same zera, oraz w ka»dej kolumnie ma dokªadnie jedn¡ jedynk¦ i poza ni¡

same zera nazywamy macierz¡ permutacji. Napisa¢ obie macierze permutacji stopnia 2,

wszystkie 6 macierzy permutacji stopnia 3. Sprawdzi¢, »e jest n! macierzy permutacji

stopnia n. Wykaza¢, »e ka»da macierz permutacji jest kwadratem magicznym.

6.3.

Niech V b¦dzie przestrzeni¡ wektorow¡, (v

1

, . . . , v

n

)

- jej baz¡, a σ : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n}

- permutacj¡ (tzn.odwzorowaniem ró»nowarto±ciowym i na). Endomorzm ϕσ przestrzeni

V

okre±lamy na bazie nast¦puj¡co:

ϕσ(v

i

) = v

σ(i)

dla i = 1, . . . , n.

a) sprawdzi¢, »e ϕσ(

n

X

i=1

x

i

v

i

) =

n

X

i=1

x

σ

−1

(i)

v

i

;

b) sprawdzi¢, »e macierz ϕσ w bazie (v

1

, . . . , v

n

)

jest macierz¡ permutacji (a wi¦c kwa-

dratem magicznym).

6.4.

Sprawdzi¢, »e zbiór Mag(n, F ) jest podprzestrzeni¡ przestrzeni F

n

n

.

6.5.

Sprawdzi¢, »e suma magiczna s : Mag(n, F ) → F jest funkcjonaªem liniowym. Oznaczenie:

Mag

0

(n, F ) = Ker(s)

.

6.6.

a) Wyznaczy¢ baz¦ przestrzeni Mag(2, R);

b) Wyznaczy¢ wszystkie kwadraty magiczne stopnia 3 z sum¡ magiczn¡ 5;

c) Znale¹¢ bazy przestrzeni Mag

0

(3, Q)

i Mag(3, Q).

6.7.

a) Zbudowa¢ izomorzm F

n

n

→ Mag

0

(n + 1, F )

(Wskazówka: obrazem A ma by¢

·

A ?

? ?

¸

).

b) Obliczy¢ wymiar przestrzeni Mag

0

(n, F )

i Mag(n, F ).

c) Znale¹¢ bazy przestrzeni Mag

0

(n, F )

i Mag(n, F ).

30

6.8.

Udowodni¢ twierdzenie Birkhoa: przestrze« Mag(n, F ) jest generowana przez macierze

permutacji.

6.9.

Dla macierzy A ∈ F

n

n

i skalara a ∈ F oznaczmy V (a, A) = {α ∈ F

n

: Aα = aα}

zbiór

wektorów wªasnych endomorzmu α 7→ Aα nale»¡cych do warto±ci wªasnej a. Udowodni¢

równowa»no±¢:

(A ∈ Mag(n, F ) ∧ s(A) = a) ⇔∈









1
1

...

1







 ∈ V (a, A) ∩ V (a, A

T

).

6.10.

Wykaza¢, »e iloczyn kwadratów magicznych jest kwadratem magicznym i wyrazi¢ s(AB)

przez s(A) i s(B). Sprawdzi¢, »e Mag(n, F ) jest podalgebr¡ algebry F

n

n

, a s : Mag(n, F ) →

F

jest homomorzmem F -algebr.

6.2. Kwaterniony.

Denicja 6.1.

Niech H

5

) b¦dzie przestrzeni¡ wektorow¡ nad ciaªem R wymiaru 4 z ustalon¡

baz¡, której elementy oznaczamy 1, i, j, k

6

). W zbiorze H okre±lamy mno»enie:

(a

0

1 + a

1

i + a

2

j + a

3

k) · (b

0

1 + b

1

i + b

2

j + b

3

k)

= (a

0

b

0

− a

1

b

1

− a

2

b

2

− a

3

b

3

)1 + (a

0

b

1

+ a

1

b

0

+ a

2

b

3

− a

3

b

2

)i +

+(a

0

b

2

− a

1

b

3

+ a

2

b

0

+ a

3

b

1

)j + (a

0

b

3

+ a

1

b

2

− a

2

b

1

+ a

3

b

0

)k.

Zamiast pisa¢ np. 0i opuszczamy skªadnik ze wspóªczynnikiem 0:

0 = 0 + 0i + 0j + 0k,

i = 0 + 1i + 0j + 0k,

itd. Podobnie zamiast 3 · 1 + (−1)i piszemy 3 − i.

6.11.

Uzupeªni¢ tabelk¦ mno»enia elementów bazowych:

·

1 i j k

1
i
j
k

.

Porówna¢ iloczyny: ij z ji, ik z ki, jk z kj.

6.12.

Sprawdzi¢, »e mno»enie elementów bazowych 1, i, j, k jest ª¡czne.

6.13.

Sprawdzi¢, »e H jest algebr¡ nad ciaªem liczb rzeczywistych.

6.14.

Sprawdzi¢, »e jest tylko jedno dziaªanie mno»enia w zbiorze H z iloczynami elementów

bazowych danymi tabelk¡ z poprzedniego zadania, które okre±la w H struktur¦ algebry.

5

) Na cze±¢ W. R. Hamiltona, odkrywcy kwaternionów.

6

) Oznaczenia tradycyjne.

31

6.15.

Sprawdzi¢, »e odwzorowanie

λ : H → R

4

4

λ (a

0

+ a

1

i + a

2

j + a

3

k) =









a

0

−a

1

−a

2

−a

3

a

1

a

0

−a

3

a

2

a

2

a

3

a

0

−a

1

a

3

−a

2

a

1

a

0









jest ró»nowarto±ciowym homomorzmem algebr.

6.16.

Sprawdzi¢, »e odwzorowanie

: H → H

a

0

+ a

1

i + a

2

j + a

3

k = a

0

− a

1

i − a

2

j − a

3

k

jest automorzmem przestrzeni wektorowej H i ma wªasno±¢ α · β = β · α dla α, β ∈ H.

Denicja 6.2.

Niech α = a

0

+ a

1

i + a

2

j + a

3

k

. Iloczyn

α · α = α · α = a

2

0

+ a

2

1

+ a

2

2

+ a

2

3

nazywamy norm¡ (zredukowan¡) N(α) kwaternionu α.

Sum¦ α + α = α + α = 2a

0

nazywamy ±ladem Tr(α) (zredukowanym) kwaternionu α.

6.17.

Sprawdzi¢, »e ±lad Tr : H → R jest przeksztaªceniem liniowym. Sprawdzi¢, »e zawsze

Tr(αβ) = Tr(βα)

.

6.18.

Sprawdzi¢, »e N(αβ) = N(βα) = N(α)N(β)

7

).

6.19.

Wykaza¢, »e ka»dy ró»ny od zera kwaternion ma element odwrotny.

6.20.

Sprawdzi¢, »e ka»dy kwaternion α jest pierwiastkiem trójmianu kwadratowego X

2

−Tr(α)X+

N(α)

. Sprawdzi¢, »e α i βαβ

−1

s¡ pierwiastkami tego samego trójmianu. Ile pierwiastków

w H ma trójmian kwadratowy o rzeczywistych wspóªczynnikach?
6.3. Reprezentacja regularna.

Ÿ 7. Wektory wªasne i warto±ci wªasne

7.1.

Niech V = V

1

⊕ V

2

b¦dzie przestrzeni¡ liniow¡ nad ciaªem K, w którym 1 + 1 6= 0.

Znale¹¢ wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V

1

wzdªu» V

2

oraz symetrii V

wzgl¦dem V

1

i wzdªu» V

2

.

7.2.

Zaªó»my, »e ϕ ∈ End(V ). Pokaza¢, »e

a) je»eli W < V oraz Im ϕ ⊂ W , to W jest podprzestrzeni¡ niezmiennicz¡ endo-

morzmu ϕ.

b) je»eli W jest podprzestrzeni¡ niezmiennicz¡ endomorzmu ϕ, to ϕ(W ) oraz

ϕ

−1

(W )

s¡ równie» podprzestrzeniami niezmienniczymi endomorzmu ϕ.

c) je»eli W

1

oraz W

2

s¡ podprzestrzeniami niezmienniczymi endomorzmu ϕ, to

W

1

∩ W

2

oraz lin(W

1

∪ W

2

)

s¡ równie» podprzestrzeniami niezmienniczymi endomorzmu

ϕ

.

7

) Równo±¢ N(αβ) = N(α)N(β) w jawnej postaci nosi nazw¦ to»samo±¢ Eulera. Jest ona tozsamo±ci¡ w

ka»dym ciele i mówi, »e zbiór sum czterech kwadratów w tym ciele jest zamkniety ze wzgl¦du na mno»enie.

32

d) je»eli ϕ ∈ Aut(V ) oraz W jest podprzestrzeni¡ niezmiennicz¡ ϕ, to W jest

podprzestrzeni¡ niezmiennicz¡ ϕ

−1

.

7.3.

Niech a

1

, . . . , a

k

b¦d¡ parami ró»nymi liczbami rzeczywistymi. Znale¹¢ wszystkie podprze-

strzenie niezmiennicze endomorzmu ϕ ∈ End(R

k

)

, ϕ(





x

1

...

x

k



) =





a

1

x

1

...

a

k

x

k



.

7.4.

Zaªó»my, »e ϕ, ψ ∈ End(V ) oraz ϕ ◦ ψ = ψ ◦ ϕ. Pokaza¢, »e je»eli W jest podprzestrzeni¡

niezmiennicz¡ endomorzmu ϕ, to ψ(W ) jest równie» podprzestrzeni¡ niezmiennicz¡ ϕ.

Zauwa»y¢, »e w charakterze ψ mo»na wzi¡¢ ϕ

k

, k ∈ N.

7.5.

Znale¹¢ wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze endomorzmu ϕ przestrzeni linowej R[X]

n

okre±lonego wzorem ϕ(f) = f

0

, f ∈ R[X]

n

.

7.6.

Endomorzm ϕ ∈ End(C

2

)

ma w bazie A = (

·

1
1

¸

,

·

0

i

¸

)

macierz

a)

·

3 4
5 2

¸

;

b)

·

2

1

−1 5

¸

.

Znale¹¢ warto±ci wªasne i wektory wªasne endomorzmu ϕ.

Jakie b¦dzie rozwi¡zanie, je»eli zaªo»ymy, »e A jest baz¡ standardow¡?

Jakie b¦dzie rozwi¡zanie, je»eli zaªo»ymy, »e ϕ ∈ End(R

2

)

?

7.7.

Macierz A jest macierz¡ endomorzmu ϕ ∈ End(C

n

)

w bazie standardowej. Obliczy¢ warto±ci

oraz wektory wªasne endomorzmu ϕ. Skonstruowa¢ (o ile to mo»liwe) baz¦ przestrzeni

C

n

zªo»on¡ z wektorów wªasnych ϕ. Znale¹¢ (o ile to mo»liwe) macierz C ∈ GL(n, C) tak¡,

»e macierz C

−1

AC

jest macierz¡ diagonaln¡.

n = 2

: (a) A =

·

0

2

−3 5

¸

; (b) A =

·

1

1

−1 3

¸

; (c) A =

·

1

2

2 −2

¸

; (d) A =

·

3 4
5 2

¸

,

n = 3

: (e) A =





0

2

1

−2

0

3

−1 −3 0



 ; (f) A =





0 0 1
0 1 0
1 0 0



 ; (g) A =





3

1

0

−4 −1

0

4

−8 −2



 ,

n = 4

: (h) A =









0 0 0 1
0 0 2 0
0 3 0 0
4 0 0 0







 ; (i) A =









0 0 0 0
0 0 1 0
0 2 0 0
3 0 0 0







 ; (j) A =









1 1 2

3

0 2 2

4

0 0 1 −2
0 0 0

2







 ;

(k) A =









1 1 2 3
0 1 1 2
0 0 2 0
0 0 0 2







; (l) A =









0

1 0

0

0

0 1

0

0

0 0

1

−6 1 7 −1







 ; (m) A =









1

1 0 0

3

0 1 0

−1 0 0 1
−2 0 0 0







 .

7.8.

Obliczy¢ wielomian charakterystyczny endomorzmu, który w pewnej bazie ma macierz po-

staci

33

a)













−a

n−1

−a

n−2

· · · −a

1

−a

0

1

0

· · ·

0

0

0

1

· · ·

0

0

...

...

... ...

...

0

0

· · ·

1

0













;

b)













0 0 · · · 0

−a

0

1 0 · · · 0

−a

1

0 1 · · · 0

−a

2

... ... ... ...

...

0 0 · · · 1 −a

n−1













.

Czy ka»dy wielomian unormowany, z dokªadno±ci¡ do znaku, mo»e by¢ wielomianem

charakterystycznym jakiego± endomorzmu ?

7.9.

Pokaza¢, »e odwzorowanie ϕ : R[X]

n

→ R[X]

n

okre±lone wzorem ϕ(f(X)) = f(aX + b),

gdzie a, b s¡ ustalonymi liczbami rzeczywistymi, a 6= 0, ±1, jest przeksztaªceniem liniowym.

Znale¹¢ wszystkie warto±ci wªasne endomorzmu ϕ.

7.10.

Zaªó»my, »e f ∈ K[X]. Pokaza¢, »e

a) ka»dy wektor wªasny endomorzmu ϕ przestrzeni liniowej V (nad K) jest wek-

torem wªasnym endomorzmu f(ϕ);

b) je»eli λ jest warto±ci¡ wªasn¡ endomorzmu ϕ przestrzeni liniowej V (nad K),

to f(λ) jest warto±ci¡ wªasn¡ endomorzmu f(ϕ).

7.11.

Znale¹¢ warto±ci wªasne oraz odpowiadaj¡ce im podprzestrzenie wektorów wªasnych endo-

morzmów liniowych rzeczywistych przestrzeni wspóªrz¦dnych o nast¦puj¡cych macierzach

w bazie kanonicznej

a)

·

−3

4

2

−1

¸

;

b)

·

1

1

1 −1

¸

;

c)

·

1

2

2 −2

¸

;

d)

·

2 4
5 3

¸

;

(e)





5

6 −3

−1 0

1

1

2 −1



; (f)





0 0 1
0 1 0
1 0 0



; (g)





0

2

1

−2

0

3

−1 −3 0



.

7.12.

Znale¹¢ warto±ci wªasne oraz odpowiadaj¡ce im podprzestrzenie wektorów wªasnych endo-

morzmów liniowych zespolonych przestrzeni wspóªrz¦dnych o nast¦puj¡cych macierzach

w bazie kanonicznej:

a)

·

−1 2i

−2i 2

¸

;

b)

·

0

a

−a 0

¸

dla a ∈ R;

c)

















0

1

0 · · ·

0

0

−1

0

1 · · ·

0

0

0

−1 0 · · ·

0

0

... ... ... ... ... ...

0

0

0 · · ·

0

1

0

0

0 · · · −1 0

















.

7.13.

Zaªó»my, »e a

2

jest warto±ci¡ wªasn¡ endomorzmu ϕ

2

. Pokaza¢, »e a lub −a jest warto±ci¡

wªasn¡ endomorzmu ϕ.

7.14.

Znale¹¢ wzór na elementy macierzy A

n

, je»eli A =

(a)

·

1 2
2 2

¸

; (b)

·

0

2

−3 5

¸

; (c)

·

1

1

−1 3

¸

; (d)

·

1

2

2 −2

¸

.

W ka»dym z przypadków obliczy¢ A

2001

.

7.15.

Znale¹¢ wzór na n-ty wyraz ci¡gu a

n

, gdy

34

a) a

0

= 0

, a

1

= 1

, a

n+2

= a

n+1

+a

n

(ci¡g Fibonacci'ego

8

); uzyskany wzór nosi nazw¦

wzoru Bineta

9

),

b) a

0

= 1

, a

1

= 2

, a

n+2

= 3a

n

− 2a

n+1

.

7.16.

Pokaza¢, »e je»eli ϕ ∈ Aut(V ), to ϕ oraz ϕ

−1

maj¡ te same wektory wªasne.

7.17.

Pokaza¢, »e je»eli ϕ, ψ ∈ End(V ) oraz ϕ ◦ ψ = ψ ◦ ϕ, to V (a, ϕ) := {α ∈ V : f(α) = aα}

jest podprzestrzeni¡ niezmiennicz¡ endomorzmu ψ.

7.18.

Niech ϕ : C

2

→ C

2

b¦dzie endomorzmem liniowym. Udowodni¢, »e istnieje taka baza

przestrzeni C

2

, w której ϕ ma macierz

·

c

1

0

0 c

2

¸

lub

·

c

1

1

0 c

1

¸

dla pewnych c

1

, c

2

∈ C

.

7.19.

Dla dowolnych dwóch endomorzmów ϕ, ψ sko«czenie wymiarowej przestrzeni wektorowej

udowodni¢, »e:

a) tr(ϕ ◦ ψ) = tr(ψ ◦ ϕ);

b) wielomiany charakterystyczne endomorzmów ϕ ◦ ψ i ψ ◦ ϕ s¡ równe.

c) Które z endomorzmów z zada«

7.11

i

7.12

s¡ diagonalizowalne?

7.20.

Dla jakich warto±ci parametrów a, b, c przebiegaj¡cych zbiór elementów ciaªa K macierze:

a)

·

a c
0 b

¸

; b)

·

0 a

b 0

¸

s¡ diagonalizowalne ?

7.21.

Niech K b¦dzie ciaªem algebraicznie domkni¦tym i niech A ∈ K

n

n

. Udowodni¢, »e

a) je±li a

1

, . . . , a

m

s¡ wszystkimi warto±ciami wªasnymi A, to dla dowolnej liczby

naturalnej r skalary a

r

1

, . . . , a

r

m

s¡ wszstkimi warto±ciami wªasnymi A

r

;

b) je±li A jest macierz¡ nieosobliw¡ i a

1

, . . . , a

m

s¡ wszystkimi warto±ciami wªasnymi

A

, to a

1

6= 0, . . . , a

m

6= 0

i a

−1

1

, . . . , a

−1

m

s¡ wszystkimi warto±ciami wªasnymi macierzy A

−1

.

7.22.

Niech ϕ : R[X]

3

→ R[X]

3

b¦dzie przeksztaªceniem danym wzorem

ϕ(f (X)) = ((X + 3)f (X))

0

.

Sprawdzi¢, »e ϕ jest przeksztaªceniem liniowym i obliczy¢ jego warto±ci wªasne i wektory

wªasne.

7.23.

Udowodni¢, »e je±li endomorzmy ϕ

1

: V

1

→ V

1

i ϕ

2

: V

2

→ V

2

s¡ diagonalizowalne, to

endomorzm Hom(ϕ

1

, ϕ

2

) : Hom(V

1

, V

2

) → Hom(V

1

, V

2

)

okre±lony wzorem ψ 7→ ϕ

2

◦ ψ ◦ ϕ

1

te» jest diagonalizowalny. Wyrazi¢ jego warto±ci wªasne i wektory wªasne przez warto±ci

wªasne i wektory wªasne endomorzmów ϕ

1

, ϕ

2

.

7.24.

Niech A b¦dzie podzbiorem przestrzeni endomorzmów End(V ) przestrzeni wektorowej V

nad algebraicznie domkni¦tym ciaªem skalarów. Zaªó»my, »e dla ka»dych ϕ, ψ ∈ A zachodzi

równo±¢ ϕ◦ψ = ψ ◦ϕ. Udowodni¢, »e istnieje wektor α ∈ V , który jest wektorem wªasnym

wszystkich endomorzmów ϕ ∈ A.

8

) Fibonacci (wª. lius Bonacci - syn Bonaccie'ego), wª. Leonardo z Pizy, 1180 - 1240, autor Liber

Abaci i Practica Geometriae, sformuªowaª sªynne zadanie o rozmna»aniu si¦ królików, które uwa»a sie za

pocz¡tek jednego z trzech dziaªów ekologii - teorii populacji; ilo±¢ par królików w roku n w tym zadaniu

jest n-tym wyrazem ci¡gu Fibonacci'ego.

9

) Jacques Philippe Marie Binet (1786-1856) - matematyk i astronom francuski; wprowadziª termin

β-funkcja; zajmowaª si¦ równie» liniowymi równaniami ró»nicowymi ze zmiennymi wspóªczynnikami.

35

7.25.

Niech f(X) ∈ K[X] b¦dzie wielomianem, a ϕ - endomorzmem przestrzeni wektorowej V .

Wykaza¢, »e je±li v ∈ V jest wektorem wªasnym endomorzmu ϕ nale»¡cym do warto±ci

wªasnej α, to v jest wektorem wªasnym f(ϕ) nale»¡cym do warto±ci wªasnej f(a): ϕ(v) =

av ⇒ f (ϕ)(v) = f (a)v

.

Ÿ 8. Warto±ci wªasne i wektory wªasne 2.

8.1.

Wyznaczy¢ wszystkie takie macierze A ∈ K

2

2

dla których równanie X

−1

·

1 1
0 1

¸

X = A

nie

ma rozwi¡zania.

8.2.

Wyznaczy¢ warto±ci wªasne endomorzmu ψ = ϕ

2

− 2ϕ + 3Id

C

3

, je±li A =





1 −1 0
2

3

2

1

1

2



 jest

macierz¡ ϕ w bazie kanonicznej przestrzeni C

3

.

8.3.

Niech a ∈ Q, M

1

= [a]

, M

n+1

=













M

n

0

...

0
1

0 · · · 0 1

a













. Wyprowadzi¢ wzór na wyraz

ogólny ci¡gu det (M

n

)

.

8.4.

Wyznaczy¢ warto±ci wªasne i wektory wªasne endomorzmu ϕ przestrzeni Q

4

, je±li jego

macierz A wzgl¦dem bazy kanonicznej speªnia równo±¢









1 4 3 2
2 1 4 3
3 2 1 4
4 3 2 1









−1

· A ·









1 4 3 2
2 1 4 3
3 2 1 4
4 3 2 1







 =









4 0 0 0
0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 5







 .

8.5.

Wyznaczy¢ dim V (1, ϕ) i dim V (−1, ϕ), sprawdzi¢, czy ϕ jest diagonalizowalny, gdy ϕ ma w

pewnej bazie macierz A:

a) A =









1

4

10

20

0 −6 −20 −45
0

4

15

36

0 −1

−4

−10







, V = Q

4

;

b) A =









10

20

35

56

−20 −45 −84 −140

15

36

70

120

−4

−10 −20

−35







, V = Q

4

;

c) A =















1

6

20

50

140

140

0 −16

−70

−195

−560

−560

0

26

125

366

1064

1064

0 −31 −154 −460 −1344 −1344
0

4

20

60

176

175

0

4

20

60

175

176















, V = Q

6

.

36

W ka»dym przypadku obliczy¢ A

2

, A

−1

i wielomian charakterystyczny A.

8.6.

Wykaza¢, »e dla dowolnego endomorzmu ϕ ∈ End(V ), je±li ϕ

2

= ϕ

, to ϕ i Id

V

− ϕ

s¡

diagonalizowalne.

8.7.

W zale»no±ci od macierzy A ∈ K

2

2

wyznaczy¢ warto±ci wªasne endomorzmu j ∈ End K

2

2

okre±lonego wzorem ϕ(X) = A · X.

8.8.

Dla macierzy A =





1

4

2

0 −3 −2
0

4

3





a) wyprowadzi¢ wzór na A

n

;

b) znale¹¢ wszystkie rozwi¡zania X ∈ K

3

3

równania X

2

= A

, dla K = Q, R, C, Z

5

, Z

7

.

8.9.

Zbiór Q(

3

√

2) = {a + b

3

√

2 + c

3

√

4 : a, b, c ∈ Q}

jest podciaªem ciaªa liczb rzeczywistych R.

a) Sprawdzi¢, »e Q(

3

√

2)

jest przestrzeni¡ wektorow¡ nad ciaªem Q i znale¹¢ cho¢

jedn¡ baz¦ tej przestrzeni.

b) Znale¹¢ wielomian charakterystyczny, warto±ci wªasne i wektory wªasne endo-

morzmu ϕ przestrzeni Q(

3

√

2)

gdy ϕ(x) =

3

√

2x

.

c) Wiedz¡c, »e y = 1 −

3

√

2 + 3

3

√

4

jest jedynym rzeczywistym pierwiastkiem wielo-

mianu f(X) = X

3

− 3X

2

+ 21X − 125

, wyznaczy¢ wielomian charakterystyczny i warto±ci

wªasne endomorzmu ψ przestrzeni Q(

3

√

2)

) takiego, »e y(x) = yx.

8.10.

Sprawdzi¢, czy endomorzm, maj¡cy wzgl¦dem pewnej bazy macierz

A =













0 0 1

5

15

0 1 0 −10 −40
1 0 0

10

45

0 0 0

−5

−24

0 0 0

1

5













jest diagonalizowalny. Obliczy¢ A

−1

.

8.11.

Endomorzm ϕ przestrzeni C

4

ma wzgl¦dem bazy kanonicznej macierz A =









1 2 3 4
4 1 2 3
3 4 1 2
2 3 4 1







.

a) Sprawdzi¢, »e wektory









1
1
1
1







 ,









1

−1

1

−1







 ,









1

i

−1

−i







 ,









1

−i

−1

i







 s¡ wektorami wªasnymi

ϕ

.

b) Niech P b¦dzie tak¡ macierz¡, »e P

−1

AP

jest macierz¡ diagonaln¡. Obliczy¢

wektory wªasne i warto±ci wªasne macierzy P P

T

.

37

8.12.

Niech a

0

, a

1

, ..., a

n−1

∈ K

. Cyrkulantem lub wyznacznikiem cyklicznym ci¡gu (a

0

, a

1

, ..., a

n−1

)

nazywamy wyznacznik macierzy A =













a

0

a

1

a

2

· · · a

n−1

a

n−1

a

0

a

1

· · · a

n−2

a

n−2

a

n−1

a

0

· · · a

n−3

...

... ... ... ...

a

1

a

2

a

3

· · ·

a

0













. Niech ε b¦dzie

pierwiastkiem stopnia n z 1 w ciele K (lub pewnym rozszerzeniu tego ciaªa) i niech

f (X) = a

0

+ a

1

X + ... + a

n−1

X

n−1

∈ K[X]

.

a) Sprawdzi¢, »e wektor













1
ε

ε

2

...

ε

n−1













jest wektorem wªasnym macierzy A nale»¡cym

do warto±ci wªasnej f(ε).

b) Obliczy¢ wyznacznik macierzy A.

Ÿ 9. Wielomian charakterystyczny i wielomian minimalny endomorfizmu

9.1.

Niech A b¦dzie macierz¡ kwadratow¡ stopnia n. Minorem gªównym stopnia r macierzy

A

nazywamy ka»dy wyznacznik macierzy, powstaªej z A przez skre±lenie n − r wierszy i

kolumn o jednakowych numerach. Oznaczmy symbolem c

r

sum¦ wszystkich

¡

n

r

¢

minorów

gªównych stopnia r macierzy A. Udowodni¢, »e

det(A − XI) = c

n

− c

n−1

X + c

n−2

X

2

− + · · · + (−1)

n

X

n

.

Czym s¡ c

n

i c

1

?

9.2.

Niech V b¦dzie przestrzeni¡ wektorow¡ sko«czonego wymiaru, ϕ ∈ End(V ), a U niech b¦dzie

podprzestrzeni¡ niezmiennicz¡ endomorzmu ϕ.

a) Sprawdzi¢, »e wzór

ϕ(v + U) = ϕ(v) + U

okre±la endomorzm przestrzeni ilorazowej V/U.

b) Niech f(X), g(X), h(X) b¦d¡ wielomianami charakterystycznymi endomorzmów

ϕ

, ϕ|

U

: U → U

,ϕ odpowiednio.Udowodni¢, »e f(X) = g(X) · h(X).

9.3.

Niech V b¦dzie przestrzeni¡ wektorow¡ sko«czonego wymiaru, ϕ ∈ End(V ), U niech b¦dzie

podprzestrzeni¡ niezmiennicz¡ endomorzmu ϕ, a ϕ(v + U) = ϕ(v) + U - indukowanym

endomorzmem przestrzeni ilorazowej V/U.Niech f(X), g(X), h(X) b¦d¡ wielomianami

minimalnymi endomorzmów ϕ, ϕ|

U

: U → U

, ϕ odpowiednio.

a) Wykaza¢, »e h(X)|f(X).

b) Wykaza¢, »e g(X)|f(X).

c) Wykaza¢, »e f(X)|g(X)h(X).

d) Wykaza¢, »e je±li g(X) i h(X) s¡ wzgl¦dnie pierwsze, to f(X) = g(X)h(X).

e) Poda¢ przykªad, w którym f(X) 6= g(X)h(X).

38

9.4.

a) Niech A ∈ Q

2

2

. Udowodni¢ równowa»no±¢:

∃

m∈N

[A

m

= 0] ⇔ tr(A) = tr(A

2

) = 0.

b) Niech B ∈ Q

3

3

. Udowodni¢ równowa»no±¢:

∃

m∈N

[B

m

= 0] ⇔ tr(B) = tr(B

2

) = tr(B

3

) = 0.

9.5.

Dla ka»dego wielomianu f(X) ∈ K[X] symbolem (f(X)) oznaczamy zbiór wszystkich wielo-

mianów podzielnych przez f(X):

(f (X)) = {f (X)g(X) : g(X) ∈ K[X]}

a) sprawdzi¢, »e (f(X)) jest podprzestrzeni¡ przestrzeni K[X];

b) sprawdzi¢, »e je±li stopie« wielomianu f wynosi n, to warstwy

1 + (f (X)), X + (f (X)), . . . , X

n−1

+ (f (X))

tworz¡ baz¦ przestrzeni ilorazowej K[X]/(f(X));

c) sprawdzi¢, »e mno»enie przez X: X · (g(X) + (f(X))) = Xg(X) + (f(X)), jest

poprawnie okre±lonym endomorzmem przestrzeni K[X]/(f(X));

d) obliczy¢ macierz mno»enia przez X w bazie z punktu b);

e) obliczy¢ wielomian charakterystyczny mno»enia przez X.

9.6.

(Twierdzenie Hamiltona - Cayley) Niech A ∈ K

n

n

i f(X) = det(A − XI) = a

0

+ a

1

X +

... + a

n−1

X

n−1

+ (−1)

n

X

n

b¦dzie wielomianem charakterystycznym macierzy A. Niech

B = [bij]

b¦dzie macierz¡ doª¡czon¡ macierzy charakterystycznej A − XI:

b

ij

= (−1)

i+j

det((A − XI)

ji

)

(tym samym B · (A − XI) = det(A − XI) · I = f(X)I). Wykaza¢, »e

a) bij ∈ K[X]

n−1

dla ka»dego i, j.

b) Istniej¡ macierze B

0

, B

1

, ..., B

n−1

∈ K

n

n

takie, »e B = B

0

+B

1

X +...+B

n−1

X

n−1

.

c) Udowodni¢ równo±ci:

B

0

A = a

0

I

B

1

A − B

0

= a

1

I

B

2

A − B

1

= a

2

I

...

B

n−1

A − B

n−2

= a

n−1

I

B

n−1

= (−1)

n

I.

d) Wywnioskowa¢ z c), »e f(A) = 0.

9.7.

Dla ka»dego wektora v ∈ V orbit¡ v wzgl¦dem endomorzmu ϕ ∈ End(V ) nazywamy zbiór

{v, ϕ(v), ϕ

2

(v), . . . , ϕ

n

(v), . . .}

.

a) Sprawdzi¢, »e podprzestrze« generowana przez dowoln¡ orbit¦ jest podprzestrze-

ni¡ niezmiennicz¡.

b) Wykaza¢, »e najmniejsz¡ podprzestrzenia niezmiennicz¡ do której nale»y wektor

v

jest podprzestrze« generowana przez jego orbit¦.

39

9.8.

Wektor v ∈ V nazywamy wektorem cyklicznym endomorzmu ϕ ∈ End(V ) gdy

lin{v, ϕ(v), ϕ

2

(v), . . . , ϕ

n

(v), . . .} = V

.

a) Udowodni¢, »e je±li v jest wektorem cyklicznym endomorzmu ϕ i dim V = n, to

(v, ϕ(v), ϕ

2

(v), . . . , ϕ

n−1

(v))

jest baz¡ V . Tak¡ baz¦ nazywamy baz¡ cykliczn¡.

b) Wyznaczy¢ pierwszych n−1 kolumn macierzy endomorzmu ϕ w bazie cyklicznej.

c) Znaj¡c macierz endomorzmu ϕ w bazie cyklicznej obliczy¢ jego wielomian cha-

rakterystyczny.

d) Znaj¡c wielomian charakterystyczny endomorzmu ϕ obliczy¢ jego macierz w

bazie cyklicznej.

e) Znale¹¢ wektor cykliczny endomorzmu z zadania

9.5

.

9.9.

a) Obliczy¢ wielomian charakterystyczny i wielomian minimalny klatki Jordana

10

)

A =

















a 1 0 · · · 0 0
0 a 1 · · · 0 0
0 0 a · · · 0 0

... ... ... ... ... ...

0 0 0 · · · a 1
0 0 0 · · · 0 a

















stopnia n.

b) Obliczy¢ wielomian charakterystyczny i wielomian minimalny macierzy klatkowo-

diagonalnej A =









A

1

0

· · ·

0

0

A

2

· · ·

0

... ... ... ...

0

0

· · · A

k







 w której A

1

, A

2

, ..., A

k

s¡ klatkami Jordana stopni

n

1

, n

2

, ..., n

k

odpowiednio, z jednym wspólnym skalarem a na przek¡tnej.

9.10.

Niech f(X) b¦dzie wielomianem o wspóªczynnikach rzeczywistych, a

A =

















a 1 0 · · · 0 0
0 a 1 · · · 0 0
0 0 a · · · 0 0

... ... ... ... ... ...

0 0 0 · · · a 1
0 0 0 · · · 0 a

















10

) Camille Marie Ennemond Jordan (5 I 1838 - 21 I 1922) - matematyk francuski, wydawca Journal

de mathématiques oures et appliquées, twierdzenie Jordana-Höldera, posta¢ kanoniczna Jordana macierzy,

krzywa Jordana i twierdzenie Jordana o rozcinaniu pªaszczyzny. Autor pierwszego w historii systematycz-

nego wykªadu teorii Galois .

40

- klatk¡ Jordana stopnia n dla pewnej liczby rzeczywistej a. Wykaza¢, »e

f (A) =



















f (a)

1

1!

f

0

(a)

1

2!

f

00

(a) · · ·

1

(n−2)!

f

(n−2)

(a)

1

(n−1)!

f

(n−1)

(a)

0

f (a}

1

1!

f

0

(a) · · ·

1

(n−3)!

f

(n−3)

(a)

1

(n−2)!

f

(n−2)

(a)

0

0

f (a)

· · ·

1

(n−4)!

f

(n−4)

(a)

1

(n−3)!

f

(n−3)

(a)

...

...

...

...

...

...

0

0

0

· · ·

f (a)

1

1!

f

0

(a)

0

0

0

· · ·

0

f (a)



















9.11.

Sprawdzi¢, »e wielomianem minimalnym macierzy









a

b

c

d

−b

a

−d

c

−c

d

a

−b

−d −c

b

a







 jest X

2

− 2aX +

(a

2

+b

2

+c

2

+d

2

)

, a wielomianem charakterystycznym jest (X

2

−2aX +(a

2

+b

2

+c

2

+d

2

))

2

.

Ÿ 10. * Macierze wielomianowe i diagonalna posta¢ kanoniczna

W tym zestawie stale R = K[X].

10.1.

Sprawdzi¢, »e relacja równowa»no±ci macierzy w zbiorze R

n

m

jest zwrotna, symetryczna i

przechodnia.

10.2.

Najwi¦kszym wspólnym dzielnikiem wielomianów f

1

(X), f

2

(X), . . . , f

n

(X)

nazywamy

- wielomian unormowany g(X) taki, »e

g(X)|f

1

(X), g(X)|f

2

(X), . . . , g(X)|f

n

(X)

(tzn. g(X) jest ich wspólnym dzielnikiem) i

ilekro¢ h(X)|f

1

(X), h(X)|f 2(X), ..., h(X)|f n(X)

, to h(X)|g(X)

- je±li cho¢ jeden z wielomianów f

i

(X)

jest niezerowy;

- wielomian zerowy 0 - je±li f

1

(X) = f

2

(X) = · · · = f

n

(X) = 0

.

Dla macierzy A ∈ R

n

m

symbolem D

k

A(X)

oznaczamy najwi¦kszy wspólny dzielnik

wszystkich minorów stopnia k macierzy A (k = 1, 2, . . . , min(n, m)). Udowodni¢, »e je-

±li D

k

A(X) 6= 0

, to D

k

A(X)|D

k+1

A(X)

.

10.3.

a) Niech n > k b¦d¡ dwoma liczbami naturalnymi i A ∈ R

k

n

, B ∈ R

n

k

(tzn. A ma k wierszy

i n kolumn, a B ma n wierszy i k kolumn). Wykaza¢, »e wyznacznik det(AB) jest sum¡

iloczynów wszystkich minorów stopnia k macierzy A i B.

b) Dla macierzy A, B ∈ R

n

n

wykaza¢, »e

D

k

A(X)|D

k

(AB)(X)

D

k

A(X)|D

k

(BA)(X).

c) Dla równowa»nych macierzy A, B ∈ R

n

n

wykaza¢, »e D

k

A(X) = D

k

B(X)

.

41

10.4.

Mówimy, »e macierz S ∈ R

n

n

jest diagonaln¡ postaci¡ kanoniczn¡ (albo: postaci¡ kanoniczn¡

Smitha

11

)) gdy jest ona macierz¡ diagonaln¡:

S =









f

1

(X)

0

· · ·

0

0

f

2

(X) · · ·

0

...

...

...

...

0

0

· · · f

n

(X)







 ∈ R

n

n

gdzie ka»dy niezerowy sporód wielomianów f

1

(X), f

2

(X), . . . , f

n

(X)

jest wielomianem unor-

mowanym, i

f

1

(X)|f

2

(X), f

2

(X)|f

3

(X), . . . , f

r−1

(X)|f

r

(X), f

r+1

(X) = · · · = f

n

(X) = 0.

Wiedz¡c, »e ka»da macierz A ∈ R

n

n

jest równowa»na z macierz¡ diagonalnej postaci ka-

nonicznej, udowodni¢, »e dwie macierze A, B ∈ R

n

n

s¡ równowa»ne wtedy i tylko wtedy, gdy

dla ka»dego k ∈ {1, 2, ..., n} najwi¦ksze wspólne dzielniki D

k

A(X)

i D

k

B(X)

wszystkich

minorów stopnia k macierzy A i B odpowiednio s¡ równe:

A≡B ⇔

∀

k∈{1,2,...n}

[D

k

A(X) = D

k

B(X)].

10.5.

Je±li A ∈ R

n

n

i A jest równowa»na z macierz¡ kanonicznej postaci diagonalnej









f

1

(X)

0

· · ·

0

0

f

2

(X) · · ·

0

...

...

...

...

0

0

· · · f

n

(X)







, to wielomiany f

1

(X), f

2

(X), . . . , f

n

(X)

nazywamy czyn-

nikami niezmienniczymi macierzy A. Udowodni¢ nast¦puj¡ce zwi¡zki mi¦dzy czynnikami

niezmienniczymi macierzy A i najwi¦kszymi wspólnymi dzielnikami jej minorów:

D

1

A(X) = f

1

(X)

, D

2

A(X) = f

1

(X) · f

2

(X)

, D

3

A(X) = f

1

(X) · f

2

(X) · f

3

(X)

, . . . ,

D

n

A(X) = f

1

(X) · f

2

(X) · · · · · f

n

(X)

, D

i+1

A(X) = D

i

A(X) · f

i+1

(X)

dlai = 1, 2, . . . , n − 1.

10.6.

Wykonuj¡c przeksztaªcenia elementarne znale¹¢ równowa»n¡ macierz kanonicznej postaci

diagonalnej (sprowadzi¢ dan¡ macierz do kanonicznej postaci diagonalnej):

a)





X − 2

−1

0

0

X − 2

−1

0

0

X − 2



, b)





X(X + 1) 0

0

0

X

0

0

0 (X + 1)

2



,

c)





1 − X

X

2

X

X

X

−X

1 + X

2

X

2

−X

2



.

11

) Henry J. S. Smith (1826-1883) - matematyk angielski. W 1861 r. udowodniª , »e ka»da macierz nad

pier±cieniem Z liczb caªkowitych jest równowa»na z dokªadnie jedn¡ macierz¡ analogicznej postaci. Dla

macierzy nad pier±cieniem wielomianów R = K[X] analogiczny fakt udowodniª Ferdynand G. Frobenius

(1849-1917) w 1878 r.

42

10.7.

Obliczaj¡c najwi¦ksze wspólne dzielniki minorów znale¹¢ kanoniczna posta¢ diagonaln¡

macierzy

a)









X

1

0

0

0 X

1

0

0

0 X

1

5

4

3 X + 2







, b)









a + X

b

1

0

−b

a + X

0

1

0

0

a + X

b

0

0

−b

a + X







.

10.8.

Wielomianem prymarnym nazywamy wielomian, który jest pot¦g¡ wielomianu nierozkªa-

dalnego. Ka»dy wielomian unormowany stopnia dodatniego jest iloczynem jednoznacznie

okre±lonych unormowanych wielomianów prymarnych, np. wielomian X

6

+3X

4

+3X

2

+1 ∈

R[X]

jest wielomianem prymarnym:

X

6

+ 3X

4

+ 3X

2

+ 1 = (X

2

+ 1)

3

;

ten sam wielomian X

6

+3X

4

+3X

2

+1 ∈ C[X]

jest iloczynem dwóch czynników prymarnych:

X

6

+ 3X

4

+ 3X

2

+ 1 = (X

2

+ 1)

3

= (X + i)

3

(X − i)

3

.

Dzielnikami elementarnymi macierzy A ∈ R

n

n

nazywamy czynniki prymarne wszystkich jej

czynników niezmienniczych dodatnich stopni. Ukªadem dzielników elementarnych macierzy

A

nazywamy ci¡g zªo»ony z wszystkich czynników prymarnych wszystkich jej niezerowych

czynników niezmienniczych.

a) Wiedz¡c, »e macierz A ∈ R

6

6

ma cztery niezerowe czynniki niezmiennicze i jej ukªadem

dzielników elementarnych jest X, X

2

, X

2

, X + 1, (X + 1)

3

, X − 1, X − 1

, znale¹¢ kanoniczna

posta¢ diagonaln¡ macierzy A.

b) Wiedz¡c, »e macierz B ∈ R

7

7

ma pi¦¢ niezerowych czynników niezmienniczych i jej

ukªadem dzielników elementarnych jest X, X

2

, X

2

, X + 1, (X + 1)

3

, X − 1, X − 1

, znale¹¢

kanoniczna posta¢ diagonaln¡ macierzy B.
c) Wykaza¢, »e ukªad dzielników elementarnych macierzy klatkowo diagonalnej

·

A 0

0 B

¸

powstaje przez dopisanie ukªadu dzielników elementarnych macierzy B do ukªadu dzielni-

ków elementarnych macierzy A.

10.9.

Znale¹¢ ukªad dzielników elementarnych macierzy:

a)









X

1

0

0

0 X

1

0

0

0 X

1

0

0

0 X







,

b)









0

0

1

X + 2

0

1

X + 2

0

1

X + 2

0

0

X + 2

0

0

0







,

c)









0

0

0

X

2

0

0

X(X − 1)

0

0

(X − 1)

2

0

0

X(X − 1)

0

0

0







.

43

10.10.

Obliczy¢ czynniki niezmiennicze macierzy:

a)









X(X + 1)

0

0

0

0

X

2

0

0

0

0

(X + 1)

2

0

0

0

0

X(X − 1)







, b)









X

1

2

3

0 X

1

2

0

0 X

1

0

0

0 X







,

c)









X

1

0

0

0 X

1

0

0

1 X

0

0

0

1 X







.

10.11.

Znale¹¢ dzielniki elementarne macierzy





X

2

+ 2 X

2

+ 1 X

2

+ 1

3

X

2

+ 1

3

X

2

+ 1 X

2

+ 1 X

2

+ 1



 nad ciaªem

a) K = Q, b) K = R, c) K = C.

10.12.

Obliczy¢ czynniki niezmiennicze i ukªad dzielników elementarnych macierzy charaktery-

stycznej A − XI klatki Jordana A =

















a 1 0 · · · 0 0
0 a 1 · · · 0 0
0 0 a · · · 0 0

... ... ... ... ... ...

0 0 0 · · · a 1
0 0 0 · · · 0 a

















.

Ÿ 11. * Posta¢ kanoniczna Jordana

11.1.

Niech K b¦dzie ciaªem algebraicznie domkni¦tym. Wykaza¢, »e posta¢ kanoniczna Jordana

macierzy A ∈ K

n

n

ma po jednej klatce Jordana

















a 1 0 · · · 0 0
0 a 1 · · · 0 0
0 0 a · · · 0 0

... ... ... ... ... ...

0 0 0 · · · a 1
0 0 0 · · · 0 a

















stopnia k dla war-

to±ci wªasnej a dla ka»dego dzielnika elementarnego (X − a)

k

macierzy charakterystycznej

A − XI

.

11.2.

Znale¹¢ posta¢ kanoniczn¡ Jordana macierzy

a)





3

1

−3

−7 −2

9

−2 −1

4



, b)





6 −6 −3
1

1

−1

1 −2

2



, c)









2 −1

0

1

0

3

−1 0

0

1

1

0

0 −1

0

3









nad ciaªem liczb zespolonych C.

11.3.

Podprzestrzeni¡ pierwiastkow¡ dla warto±ci wªasnej a endomorzmu ϕ ∈ End(V ) nazy-

wamy zbiór {v ∈ V : ∃

n∈N

[(ϕ − a · id

V

)

n

(v) = θ]}

.

a) Wykaza¢, »e ka»da podprzestrze« pierwiastkowa jesrt podprzestrzeni¡ niezmiennicz¡ en-

domorzmu ϕ.

44

b) Wykaza¢, »e ró»ne podprzestrzenie pierwiastkowe endomorzmu ϕ tworz¡ sum¦ prost¡.

c) Niech macierz ϕ wzgl¦dem pewnej bazy przestrzeni V b¦dzie klatk¡ Jordana. Sprawdzi¢,

»e caªa przestrze« V jest jedyn¡ podprzestrzeni¡ pierwiastkow¡ endomorzmu ϕ.

d) Wykaza¢, »e wymiar podprzestrzeni pierwiastkowej dla warto±ci wªasnej a endomorzmu

ϕ

zespolonej przestrzeni V jest równy krotnoci a jako pierwiastka wielomianu charaktery-

stycznego endomorzmu ϕ.

e) Wykaza¢, »e zespolona przestrze« V jest sum¡ prost¡ podprzestrzeni pierwiastkowych

endomorzmu ϕ.

f) Wykaza¢, »e wymiar podprzestrzeni V (a, ϕ) = {v ∈ V : ϕ(v) = av} dla warto±ci wªasnej

a

endomorzmu ϕ zespolonej przestrzeni V jest równy ilo±ci klatek Jordana dla warto±ci

wªasnej a w postaci kanonicznej Jordana macierzy tego endomorzmu.

g) Niech V

1

, V

2

, . . . , V

k

b¦d¡ wszystkimi podprzestrzeniami pierwiastkowymi endomorzmu

ϕ

zespolonej przestrzeni wektorowej V . Wykaza¢, »e ka»da podprzestrze« niezmiennicza

U

endomorzmu ϕ jest sum¡ prost¡ przekrojów U ∩ V

1

, U ∩ V

2

, ..., U ∩ V

k

.

11.4.

Wykaza¢, »e endomorzm ϕ zespolonej przestrzeni sko«czonego wymiaru jest diagonalizo-

walny wtedy i tylko wtedy, gdy pierwiastki jego wielomianu minimalnego s¡ parami ró»ne.

11.5.

Znale¹¢ macierz w postaci kanonicznej Jordana podobn¡ do macierzy A (sprowadzi¢ A do

postaci kanonicznej Jordana) je±li

a) A =





6

2 −2

−2 2

2

2

2

2



, b) A =





6

2 2

−2 2 0

0

0 2



.

11.6.

Niech ϕ b¦dzie endomorzmem przestrzeni V , a a - warto±ci¡ wªasn¡ endomorzmu ϕ.

Niech (v

1

, v

2

, . . . , v

s

)

b¦dzie baz¡ podprzestrzeni V (a, ϕ) = {v ∈ V : ϕ(v) = av}. Po-

wtarzamy nast¦puj¡cy proces, którego wynikiem ma by¢ ci¡g liczb (r

1

, r

2

, ..., r

s

)

i ci¡g

wektorów (w

1

, w

2

, ..., w

m

)

, gdzie m = r

1

+ r

2

+ · · · + r

s

. W opisie procesu i jest numerem

kroku i wyrazu ci¡gu (w

1

, w

2

, . . . , w

m

)

, a t jest numerem ostatnio u»ytego wektora spo±ród

v

1

, v

2

, . . . , v

s

i numerem wyrazu ciagu (r

1

, r

2

, . . . , r

s

)

. Zaczynamy od t = 1 i i = 1:

1) oznaczamy w

i

= v

t

;

2) dla wektora w

i

tworzymy ukªad równa« ϕ(x) = ax + w

i

;

3) je±li ten ukªad równa« ma rozwi¡zanie x ∈ V , to przyjmujemy w

i+1

= x

, zwi¦kszamy i

o 1 i wracamy do punktu 2);

4) je±li ukªad równa« z p. 2) nie ma rozwi¡zania, to oznaczamy r

t

= i − (r

1

+ · · · + r

t−1

)

,

zwi¦kszamy i oraz t o 1 i wracamy do punktu 1).

a) Wykona¢ opisany proces dla endomorzmu ϕ, który w pewnej bazie ma macierz z punktu

a) zadania 6 i dla endomorzmu ψ, który w pewnej bazie ma macierz z punktu b) zadania

6.

b) Sprawdzi¢, »e ka»dy wektor w

i

nale»y do przestrzeni pierwiastkowej endomorzmu ϕ

dla warto±ci wªasnej a.

c) Je±li ukªad (w

1

, w

2

, ..., w

m

)

mo»na uzupeªni¢ do bazy (w

1

, w

2

, . . . , w

m

, w

m+1

, . . . , w

n

)

45

przestrzeni V , to w tej bazie macierz ϕ ma posta¢













A

1

0

· · ·

0

0

A

2

· · ·

0

... ... ... ...

0

0

· · · A

s

∗

0

∗













, gdzie A

j

jest klatk¡ Jordana stopnia r

j

dla warto±ci wªasnej a.

d) Sprawdzi¢, »e wektory w

1

, w

2

, . . . , w

m

uzyskane w procesie opisanym w zadaniu s¡ li-

niowo niezale»ne.

e) Niech wektor u nale»y do przestrzeni pierwiastkowej endomorzmu ϕ dla warto±ci wªa-

snej a, h jest liczb¡ naturaln¡ tak¡, »e (ϕ − a · id

V

)

h

(u) = θ

ale (ϕ − a · id

V

)

h−1

(u) 6= θ

.

Niech w

i

= (ϕ − a · id

V

)

h−i

(u)

dla i = 1, 2, . . . , h. Sprawdzi¢, »e w

1

= (ϕ − a · id

V

)

h−1

(u)

jest wektorem wªasnym ϕ nale»¡cym do warto±ci wªasnej a, oraz ϕ(w

i+1

) = aw

i+1

+ w

i

.

f) Wykaza¢, »e je±li macierz endomorzmu ϕ w pewnej bazie ma posta¢ kanoniczn¡ Jor-

dana, to ci¡g (w

1

, w

2

, ..., w

m

)

jest baz¡ przestrzeni pierwiastkowej endomorzmu ϕ dla

warto±ci wªasnej a.

11.7.

Znale¹¢ wszystkie zespolone macierze stopnia 6 w kanonicznej postaci Jordana, które maj¡

wielomian minimalny (X

2

+ 1)(X − 2)

2

.

11.8.

Znale¹¢ wszystkie zespolone macierze stopnia 5 w kanonicznej postaci Jordana, które maj¡

wielomian minimalny(X

2

+ i)(X − 1)

2

.

Ÿ 12. Przestrzenie sprz¦»one

12.1.

Zaªó»my, »e V jest przestrzeni¡ liniow¡. Dla dowolnych v, v

1

, v

2

∈ V

pokaza¢, »e

a) v 6= θ ⇔ istnieje funkcjonaª f ∈ V

∗

taki, »e f(v) 6= 0;

b) v

1

6= v

2

⇔

istnieje funkcjonaª f ∈ V

∗

taki, »ef(v

1

) 6= f (v

2

)

.

Dla dowolnychf, f

1

, f

2

∈ V

∗

pokaza¢, »e

c) f 6= 0 ⇔ istnieje wektor v ∈ V taki, »e f(v) 6= 0;

d) f

1

6= f

2

⇔

istnieje wektor v ∈ V taki, »e f

1

(v) 6= f

2

(v)

.

12.2.

Znale¹¢ wszystkie f ∈ (R

3

)

∗

takie, »e Ker(f) = U, je»eli

a) U = {





x
y

z



 ∈ R

3

: x + 2y − z = 0}

,

b) U = lin(





1
2
1



 ,





−1

0
2



).

12.3.

Pokaza¢, »e je»eli U < V oraz v ∈ V \U, to istnieje fukcjonaª f ∈ V

∗

taki, »e f(v) 6= 0 oraz

f (u) = 0

dla ka»dego u ∈ U. Znale¹¢ co najmniej jeden taki funkcjonaª f, je»eli

a) V = R

2

, U = {

·

x
y

¸

∈ R

2

: x + 5y = 0}

, v =

·

−2

3

¸

,

b) V = R

2

, U = lin(

·

4

−1

¸

)

, v =

·

1
1

¸

,

46

c) V = R

3

, U = {





x
y

z



 ∈ R

3

: x − 3y + z = 0}

, v =





1

−2

1



 ,

d) V = R

3

, U =











x
y

z



 ∈ R

3

:

½

x − 3y − z = 0

−x + y + z = 0





,

v =





0
1
2



 ,

e) V = R

3

, U = lin(





1
2
3



 ,





−2

0
1



), v =





1
1
1



.

12.4.

Dla dowolnego podzbioru U przestrzeni liniowej V (dim V < ∞) oraz dowolnego podzbioru

W

przestrzeni V

∗

deniujemy

U

°

:= {f ∈ V

∗

: f (α) = 0

dla dowolnego α ∈ U}

W

°

:= {α ∈ V : f (α) = 0

dla dowolnego f ∈ W }.

Pokaza¢, »e

a) U

°

< V

∗

, W

°

< V

,

b) je»eli U < V , to dim U + dim U

°

= dim V

,

c) je»eli U

1

, U

2

< V

, to (U

°

1

= U

°

2

⇔ U

1

= U

2

),

d) je»eli U, U

1

, U

2

< V

, to (U

°

)

°

= U, (U

1

+ U

2

)

°

= U

°

1

∩ U

°

2

, (U

1

∩ U

2

)

°

=

U

°

1

+ U

°

2

.

12.5.

Przy oznaczeniach z poprzedniego zadania znale¹¢ baz¦ U

°

, je»eli

a) V = R

3

, U = Sol(







x + y + 2z = 0
2x − y + z = 0

x + z = 0

)

,

b) V = R

3

, U = lin(





1
3

−1



),

c) V = K

n

, U jest zbiorem rozwi¡za« niezale»nych równa« liniowych jednorodnych

a

i1

x

1

+ · · · + a

in

x

n

= 0,

i = 1, . . . , m.

d) V = K

n

, (α

1

, . . . , α

m

)

jest baz¡ U.

12.6.

Udowodni¢, »e funkcjonaªy f

1

, . . . , f

k

okre±lone na n-wymiarowej przestrzeni liniowej V

tworz¡ ukªad liniowo niezale»ny w V

∗

wtedy i tylko wtedy, gdy dim(ker f

1

∩ · · · ∩ ker f

k

) =

n − k

. Zatem funkcjonaªy f

1

, . . . , f

n

tworz¡ baz¦ V

∗

wtedy i tylko wtedy, gdy ker f

1

∩ · · · ∩

ker f

k

= {θ}

.

12.7.

Znale¹¢ baz¦ sprz¦»on¡ z baz¡ A przestrzeni liniowej V , je»eli

a) V = R

2

, A = (

·

1
1

¸

,

·

0
1

¸

)

,

b) V = R

2

, A = (





1
1
0



 ,





0

−1

0



 ,





2
1
1



),

c) V = R[X]

2

, A = (1, X − 1, (X − 1)

2

)

.

47

12.8.

Pokaza¢, »e je»eli f

1

, f

2

s¡ niezerowymi funkcjonaªami przestrzeni liniowej V , to istnieje

ϕ ∈ Aut(V )

takie, »e f

1

= f

2

◦ ϕ

.

12.9.

Zaªó»my, »e V i W s¡ przestrzeniami liniowymi , f ∈ V

∗

oraz β ∈ W . Zdeniujmy

odwzorowanie ϕ : V → W wzorem ϕ(α) := f(α)β dla α ∈ V . Sprawdzi¢, »e ϕ jest

przeksztaªceniem liniowym oraz znale¹¢ rz¡d r(ϕ) przeksztaªcenia ϕ.

12.10.

Zaªó»my, »e V i W s¡ przestrzeniami liniowymi , α ∈ V oraz β ∈ W . Zdeniujmy

odwzorowanie ϕ : V

∗

→ W

wzorem ϕ(f) := f(α)β dla f∈ V

∗

. Sprawdzi¢, »e ϕ jest

przeksztaªceniem liniowym oraz znale¹¢ r(ϕ).

12.11.

Niech (v

1

, . . . , v

n

)

, (w

1

, . . . , w

m

)

b¦d¡ bazami odpowiednio przestrzeni wektorowych V i W

(nad K). Niech a

ij

∈ K

, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. Odwzorowanie f : V → W okre±lone

jest wzorem

ϕ(v) =

n

X

j=1

m

X

i=1

a

ij

v

∗

j

(v)w

i

.

a) Sprawdzi¢, »e ϕ jest przeksztaªceniem liniowym;

b) Znale¢ macierz ϕ w bazach (v

1

, . . . , v

n

)

, (w

1

, . . . , w

m

)

;

c) Sprawdzi¢, »e ϕ

∗

(f ) =

n

P

j=1

m

P

i=1

a

ij

f (w

i

)v

∗

j

.

Pokaza¢, »e dla dowolnego przeksztaªcenia liniowego ϕ : V → W istniej¡ a

ij

∈ K

, i =

1, . . . , m

, j = 1, . . . , n takie, »e ϕ(v) =

n

P

j=1

m

P

i=1

a

ij

v

∗

j

(v)w

i

. Zastanowi¢ si¦ nad szczególnym

przypadkiem : V = W , v

i

= w

i

, ϕ = id

V

.

12.12.

Zaªó»my, »e (v

1

, . . . , v

n

)

tworzy baz¦ V oraz (f

1

, . . . , f

n

)

jest dowolnym ukªadem funkcjo-

naªów przestrzeni V

∗

. Oznaczmy a

ij

:= f

i

(v

j

)

. Pokaza¢, »e (f

1

, . . . , f

n

)

jest baz¡ V

∗

wtedy

i tylko wtedy, gdy macierz [a

ij

]

jest odwracalna.

12.13.

Zaªó»my, »e (f

1

, . . . , f

n

)

tworzy baz¦ V

∗

oraz (v

1

, . . . , v

n

)

jest dowolnym ukªadem wektorów

przestrzeni V . Oznaczmy b

ij

:= f

i

(v

j

)

. Pokaza¢, »e (v

1

, . . . , v

n

)

jest baz¡ V wtedy i tylko

wtedy, gdy macierz [b

ij

]

jest odwracalna.

12.14.

Niech ϕ : V → W b¦dzie przeksztaªceniem liniowym. Pokaza¢, »e macierz przeksztaªcenia

ϕ

wzgl¦dem bazy (v

1

, . . . , v

n

)

przestrzeni V oraz bazy (w

1

, . . . , w

m

)

przestrzeni W jest

równa [w

∗

i

(ϕ(v

j

)]

.

12.15.

Udowodni¢, »e

a) (V ⊕ W )

∗

∼

= V

∗

⊕ W

∗

,

b) (V × W )

∗

∼

= V

∗

× W

∗

.

12.16.

Pokaza¢, »e je»eli ϕ : V → W jest przeksztaªceniem liniowym, to r(ϕ) = r(ϕ

∗

)

.

12.17.

Pokaza¢, »e je»eli ϕ ∈ End(V ), to ϕ oraz ϕ

∗

maj¡ te same wielomiany charakterystyczne,

wyznaczniki i ±lady.

12.18.

Dla dowolnego przeksztaªcenia liniowego ϕ : V → W deniuje si¦ jego koobraz i koj¡dro:

Coim ϕ := V /ker ϕ,

Coker ϕ := W/im ϕ.

a) Wskaza¢ izomorzm Im ϕ ∼

= Coim ϕ

.

b) Pokaza¢, »e ϕ jest monomorzmem ⇔ Coim ϕ = V , ϕ jest epimorzmem ⇔

Coker ϕ = {θ}

.

48

c) Wskaza¢ izomorzmy

Ker (ϕ

∗

) ∼

= (Coker ϕ)

∗

,

Im (ϕ

∗

) ∼

= (Coim ϕ)

∗

,

Coker (ϕ

∗

) ∼

= (Ker ϕ)

∗

,

Coim (ϕ

∗

) ∼

= (Im ϕ)

∗

.

12.19.

Dla dowolnych podprzestrzeni U, W < V okre±lamy odwzorowania:

ϕ : (U + W )

∗

→ U

∗

× W

∗

,

ψ : U

∗

× W

∗

→ (U ∩ W )

∗

ϕ(f ) = (f |

U

, f |

W

),

ψ(f, g) = f |

U ∩W

− g|

U ∩W

.

Sprawdzi¢, »e ϕ i ψ s¡ przeksztaªceniami liniowymi. Udowodni¢, »e ϕ jest monomorzmem,

a ψ jest epimorzmem, oraz im ϕ = ker ψ.

12.20.

C

R

oznacza zbiór liczb zespolonych traktowany jako przestrze« wektorowa nad R. Odwzo-

rowanie ϕ : C

R

→ C

∗

R

okre±lone jest warunkiem:

ϕ(z) = f ⇔ ∀

u∈C

R

·

f (u) =

1
2

(zu + zu)

¸

.

Sprawdzi¢, »e ϕ jest izomorzmem rzeczywistych przestrzeni wektorowych.

12.21.

Dla przeksztaªcenia liniowego ϕ : V → W udowodni¢ równowa»no±¢:

r(ϕ) = 1 ⇔ ∃

f ∈V

∗

∃

w∈W

∀

v∈V

[ϕ(v) = f (v)w] .

12.22.

Dla przeksztaªcenia liniowego f : V → W , dim W = m udowodni¢, »e istniej¡ f

1

, . . . , f

m

∈

V

∗

i w

1

, . . . , w

m

∈ W

speªniaj¡ce warunek

∀

v∈V

"

ϕ(v) =

m

X

i=1

f

i

(v)w

i

#

.

Ÿ 13. Funkcjonaªy dwuliniowe

13.1.

Sprawdzi¢, czy nast¦puj¡ce odwzorowania ξ : R

3

× R

3

→ R

:

a) ξ(





x
y

z



 ,





x

0

y

0

z

0



) = xx

0

+ x

2

y

0

+ z

0

;

b) ξ(





x
y

z



 ,





x

0

y

0

z

0



) = xz

0

+ yx

0

+ 2

;

c) ξ(





x
y

z



 ,





x

0

y

0

z

0



) = xx

0

+ 2yz

0

+ zz

0

;

d) ξ(





x
y

z



 ,





x

0

y

0

z

0



) = xx

0

+ xy

0

+ z

0

;

e) ξ(





x
y

z



 ,





x

0

y

0

z

0



) = 0;

f) ξ(





x
y

z



 ,





x

0

y

0

z

0



) = 1.

s¡ funkcjonaªami dwuliniowymi. Które z nich s¡ symetryczne ?

13.2.

Niech V = R[X]

n

b¦dzie przestrzeni¡ wektorow¡ wielomianów stopnia ≤ n nad ciaªem R

liczb rzeczywistych. Odwzorowanie b : V × V → R okre±lone jest wzorem

b(f (X), g(X)) =

1

Z

−1

f (x)g(x)dx.

49

Wykaza¢, »e b jest funkcjonaªem dwuliniowym, symetrycznym, niezdegenerowanym, do-

datnio okre±lonym. Wyznaczy¢ macierz b wzgl¦dem bazy 1, X, . . . , X

n

.

13.3.

W przestrzeni ortogonalnej (Q

3

, ξ)

macierz funkcjonaªu dwuliniowego ξ w bazie

B = (





1
0

−1



 ,





2
0
3



 ,





1
1
1



)

jest równa:

a)





2

1

−2

1

1

−1

−2 −1

2





b)





1

1

3

1

0

−1

3 −1

2





c)





2 1 0
1 3 2
0 1 2





13.4.

Znale¹¢ wzór analityczny na ξ(





x
y

z



 ,





x
y

z



). Znale¹¢ baz¦ prostopadª¡ przestrzeni V .

13.5.

Funkcjonaª dwuliniowy ξ : Q

4

× Q

4

→ Q

ma w bazie kanonicznej (ε

1

, ε

2

, ε

3

, ε

4

)

macierz









1

0 0 −1

0

2 1

0

0

1 3

1

−1 0 1

4









Niech W = lin(ε

1

, ε

1

+ ε

2

)

. Znale¹¢ baz¦ prostopadª¡ przestrzeni W .

13.6.

Przestrze« ortogonaln¡ (K

3

, ξ)

, w której ξ ma w bazie (ε

1

, ε

2

, ε

3

)

macierz





2

1

−2

1

1

−1

−2 −1

2





przedstawi¢ jako sum¦ prost¡ ortogonaln¡ podprzestrzeni niezdegenerowanej i podprze-

strzeni caªkowicie zdegenerowanej.

13.7.

Funkcjonaª dwuliniowy ξ : V × V → K ma w pewnej bazie przestrzeni V macierz

















a 1 1 · · · 1 1
1 a 1 · · · 1 1
1 1 a · · · 1 1

... ... ... ... ... ...

1 1 1 · · · a 1
1 1 1 · · · 1 a

















. Obliczy¢ wymiar V

⊥

.

Ÿ 14. Przestrzenie dwuliniowe (ortogonalne)

14.1.

Niech char(F ) 6= 2. Sprawdzi¢, »e

a) je±li ξ jest symetryczn¡ form¡ dwuliniow¡ nad F , q(α) = ξ(α, α) i ζ(α, β) =

1
2

(q(α +

β) − q(α) − q(β))

, to ζ = ξ;

b) je±li q jest form¡ kwadratow¡ nad F , ξ(α, β) =

1
2

(q(α+β)−q(α)−q(β))

, N(α) = ξ(α, α),

to N = q.

50

14.2.

Niech w przestrzeni Z

2

5

forma kwadratowa wyra»a si¦ wzorem

q

µ·

x
y

¸¶

= x

2

+ y

2

.

a) Wyznaczy¢ uzupeªnienie ortogonalne

·

2
1

¸

⊥

wektora

·

2
1

¸

;

b) Wyznaczy¢ dopeªnienie ortogonalne prostej lin

µ·

2
1

¸¶

.

14.3.

Niech w przestrzeni Z

2

2

forma dwuliniowa ξ b¦dzie okre±lona wzorem

ξ

µ·

a
b

¸

,

·

c
d

¸¶

=

¯

¯

¯

¯

a c
b d

¯

¯

¯

¯ .

Wykaza¢, »e (Z

2

2

, ξ)

jest niezdegenerowan¡ przestrzeni¡ ortogonaln¡, w której ka»dy wektor

jest izotropowy. Wykaza¢, »e ta przestrze« nie ma bazy prostopadªej.

14.4.

Niech w przestrzeni R

2

forma kwadratowa wyra»a si¦ wzorem:

i) q

µ·

x
y

¸¶

= x

2

+ 2xy + y

2

ii) q

µ·

x
y

¸¶

= x

2

+ y

2

.

a) Wyznaczy¢ uzupeªnienie ortogonalne wektora

·

1
−1

¸

;

b) wyznaczy¢ wszystkie dopeªnienienia ortogonalne prostej lin

µ·

1
−1

¸¶

.

14.5.

Niech (V, ξ) b¦dzie przestrzeni¡ ortogonaln¡, za± qξ - form¡ kwadratow¡ tej przestrzeni.

Wykaza¢, »e

a) ξ(α, β) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy qξ(α + β) = qξ(α) + qξ(β);

b) qξ(α + β) + qξ(α − β) = 2(qξ(α) + qξ(β)) dla ka»dych α, β ∈ V ;

c) qξ(α) = qξ(β) wtedy i tylko wtedy, gdy ξ(α + β, α − β) = 0;

14.6.

a) Udowodni¢, »e dla dowolnej formy dwuliniowej ξ i dowolnych wektorów α, β zachodzi

to»samo±¢ Cauchy'ego:

q(α)(q(α)q(β) − ξ(α, β)ξ(β, α)) = q(q(α)β − ξ(α, β)α);

b) wykaza¢, »e dla dowolnych dwóch wektorów α i β z dodatnio okre±lonej przestrzeni

ortogonalnej (V, ξ) zachodzi nierówno±¢ Cauchy'ego:

ξ(α, β)

2

≤ q(α)q(β).

14.7.

Znale¹¢ baz¦ prostopadª¡ przestrzeni (Q

3

, ξ)

gdy q









x
y
z







 = yz + xz + xy.

14.8.

Niech (V, ξ) b¦dzie niezdegenerowan¡ przestrzeni¡ ortogonaln¡ nad ciaªem F , a v

1

, . . . , v

n

-

jej baz¡ prostopadª¡ unormowan¡. Niech

W = {x

1

v

1

+ · · · + x

n

v

n

∈ V : x

1

+ · · · + x

n

= 0}.

51

Wykaza¢, »e nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:

a) char(F ) dzieli n;

b) W

⊥

jest zdegenerowana;

c) W

⊥

⊂ W

;

d) W jest zdegenerowana.

14.9.

Macierz funkcjonaªu dwuliniowego ξ : R

3

× R

3

→R

w bazie (ε

1

+ ε

2

+ ε

3

, ε

1

+ ε

3

, ε

3

)

jest

równa





−1 0 1
0

1 1

1

1 1



. Znale¹¢ uzupeªnienie ortogonalne:

a) wektora





1
2
0



,

b) podprzestrzeni lin(





1
1
1



),

c) podprzestrzeni Sol(X − Z = 0).

14.10.

Niech ξ b¦dzie zwykªym iloczynem skalarnym w przestrzeni F

n

, a A - macierz¡ o m wier-

szach i n kolumnach. Oznaczmy W podprzestrze« F

n

generowan¡ przez transponowane

wiersze A, za± A· - przeksztaªcenie liniowe v 7→ A · v. Wykaza¢, »e

a) W

⊥

= Ker(A·)

;

b) (Ker(A·))

⊥

= W

;

c) dimW + dim(Ker(A·)) = n.

Jak¡ wªasno±¢ musi mie¢ ciaªo F , »eby dla wszystkich m, n zachodziªa równo±¢ F

n

=

W ⊕ Ker(A·)

?

14.11.

Obliczy¢ (w zale»no±ci od parametru a) wymiar radykaªu przestrzeni ortogonalnej w której

forma dwuliniowa ma wzgl¦dem pewnej bazy macierz













a 1 1 · · · 1
1 a 1 · · · 1
1 1 a · · · 1

... ... ... ... ...

1 1 1 · · · a













.

14.12.

W przestrzeni F

n

n

macierzy kwadratowych stopnia n nad ciaªem F okre±lamy form¦ kwa-

dratow¡ wzorem q(A) = tr(A

2

) − (tr(A))

2

. Wykaza¢, »e F

n

n

jest sum¡ prost¡ ortogonaln¡

swoich podprzestrzeni A

n

(F )

macierzy antysymetrycznych i S

n

(F )

macierzy symetrycz-

nych.

14.13.

W przestrzeni F

2

2

macierzy kwadratowych stopnia 2 nad ciaªem F okre±lamy form¦ kwa-

dratow¡ wzorem q(A) = det(A). Wykaza¢, »e F

2

2

jest sum¡ ortogonaln¡ podprzestrzeni

S

2

(F )

macierzy symetrycznych i A

2

(F )

macierzy antysymetrycznych.

14.14.

W przestrzeni F

n

n

macierzy kwadratowych stopnia n nad ciaªem F okre±lamy form¦ kwa-

dratow¡ wzorem q(A) = tr(A

|

· A)

. Wykaza¢, »e F

n

n

jest sum¡ ortogonaln¡ swoich pod-

przestrzeni S

n

(F )

macierzy symetrycznych i A

n

(F )

macierzy antysymetrycznych.

52

14.15.

Dwa ukªady wektorów (v

1

, v

2

, . . . , v

k

)

i (w

1

, w

2

, . . . , w

k

)

przestrzeni ortogonalnej (V, ξ)

nazywamy wzajemnymi wtedy i tylko wtedy, gdy

ξ(v

i

, w

j

) =

½

0

gdy i 6= j

1

gdy i = j

.

a) wykaza¢, »e je±li ukªady wektorów (v

1

, v

2

, . . . , v

k

)

i (w

1

, w

2

, . . . , w

k

)

s¡ wzajemne,

to ka»dy z nich jest liniowo niezale»ny;

b) wykaza¢, »e je±li ukªad wektorów (v

1

, v

2

, . . . , v

k

)

niezdegenerowanej przestrzeni

ortogonalnej jest liniowo niezale»ny, to istnieje dla niego ukªad wzajemny;

c) znale¹¢ cho¢ jeden ukªad wzajemny dla (ε

1

, ε

2

)

w przestrzeni (F

2

, ξ)

je±li

c1) q(

·

x
y

¸

) = x

2

+ y

2

;

c2) q(

·

x
y

¸

) = 2x

2

+ xy + y

2

;

c3) q(

·

x
y

¸

) = xy

;

d) poda¢ przykªad przestrzeni ortogonalnej i liniowo niezale»nego ukªadu wektorów,

dla którego nie istnieje ukªad wzajemny.

e) wykaza¢, »e ukªad wzajemny z baz¡ jest baz¡.

14.16.

Niech (v

1

, v

2

, . . . , v

k

)

i (w

1

, w

2

, . . . , w

k

)

b¦d¡ wzajemnymi bazami niezdegenerowanej prze-

strzeni ortogonalnej (V, ξ). Sprawdzi¢, »e:

a) je±li dwa endomorzmy ϕ, ψ ∈ End(V ) maj¡ wªasno±¢: bazy (ϕ(v

1

), ϕ(v

2

), . . . , ϕ(v

k

))

i (ψ(w

1

), ψ(w

2

), . . . , ψ(w

k

))

s¡ wzajemne, to det(ϕ) det(ψ) = 1;

b) endomorzm ϕ ∈ End(V ) taki, »e bazy (ϕ(v

1

), ϕ(v

2

), . . . , ϕ(v

k

))

i (ϕ(w

1

), ϕ(w

2

), . . . , ϕ(w

k

))

s¡ wzajemne, jest automorzmem ortogonalnym.

14.17.

Sprawdzi¢, »e dla ustalonej macierzy A ∈ F

n

n

wzór ξ(X, Y ) = tr(X

|

AY )

okre±la funkcjonaª

dwuliniowy w przestrzeni F

n

n

. Kiedy ten funkcjonaª jest symetryczny? niezdegenerowany?

14.18.

Wykaza¢, »e przestrze« R

3

z funkcjonaªem dwuliniowym ξ : R

3

× R

3

→ R

danym którym-

kolwiek ze wzorów:

a) ξ(





x

1

x

2

x

3



 ,





y

1

y

2

y

3



) = x

1

y

1

+ x

2

y

2

+ x

2

y

1

+ x

1

y

2

+ x

3

y

3

,

b) ξ(





x

1

x

2

x

3



 ,





y

1

y

2

y

3



) = (x

1

− x

2

)(y

1

− y

2

) + (x

1

− x

3

)(y

1

− y

3

) + x

3

y

3

,

jest przestrzeni¡ euklidesow¡, natomiast przestrze« R

3

z funkcjonaªem dwuliniowym ξ :

R

3

× R

3

→ R

danym którymkolwiek ze wzorów:

c) ξ(





x

1

x

2

x

3



 ,





y

1

y

2

y

3



) = x

1

y

1

+ x

2

y

2

,

d) ξ(





x

1

x

2

x

3



 ,





y

1

y

2

y

3



) = x

2

y

1

+ x

1

y

2

+ x

3

y

3

,

53

e) ξ(





x

1

x

2

x

3



 ,





y

1

y

2

y

3



) = x

1

y

1

+ x

2

y

2

+ x

3

y

3

+ x

2

y

1

+ x

1

y

2

+ x

3

y

1

+ x

1

y

3

.

nie jest przestrzeni¡ euklidesow¡. Które z tych przestrzeni s¡ niezdegenerowane?

14.19.

W przestrzeniach ortogonalnych R

3

z funkcjonaªami dwuliniowymi ξ okre±lonymi wzorami

c), d), e) z poprzedniego zadania wskaza¢ niezerowe podprzestrzenie caªkowicie zdegenero-

wane.

14.20.

Niech ξ : R[X]

n

× R[X]

n

→ R

b¦dzie przeksztaªceniem danym wzorem

ξ(f, g) =

1

Z

−1

f (t)g(t)dt.

Sprawdzi¢, »e (R[X]

n

, ξ)

jest przestrzeni¡ euklidesow¡. Napisa¢ macierz ξ w bazie

(1, X, X

2

, . . . , X

n

)

dla n = 1, 2, 3, 4.

14.21.

Niech I b¦dzie dowolnym niejednopunktowym przedziaªem domkni¦tym, a V niech b¦dzie

dowoln¡ sko«czenie wymiarow¡ podprzestrzeni¡ przestrzeni C(I) i niech

ξ(f, g) =

Z

I

f (t)g(t)dt.

Wykaza¢, »e (V, ξ) jest przestrzeni¡ euklidesow¡.

Ÿ 15. * Wektory izotropowe. Pªaszczyzny hiperboliczne.

15.1.

Wykaza¢, »e

a) α ⊥ β ⇔ q(α + β) = q(α) + q(β);

b) suma dwóch wektorów izotropowych jest wektorem izotropowym wtedy i tylko

wtedy, gdy skªadniki s¡ do siebie prostopadªe.

15.2.

Niech (V, ξ) b¦dzie dwuwymiarow¡ niezdegenerowan¡ przestrzeni¡ ortogonaln¡ nad ciaªem

F

w którym 1 + 1 6= 0. Wykaza¢, »e nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:

i) (V, ξ) jest przestrzeni¡ izotropow¡;

ii) istnieje baza przestrzeni V , wzgl¦dem której macierz funkcjonaªu ξ jest równa dla pew-

nego a∈F;

iii) istnieje baza przestrzeni V , wzgl¦dem której macierz funkcjonaªu ξ jest równa ;

iv) istnieje baza przestrzeni V , wzgl¦dem której macierz funkcjonaªu ξ jest równa ;

v) det(x) = −c

2

dla pewnego c ∈ F

∗

.

Przestrze« (V, ξ) speªniaj¡c¡ powy»sze warunki nazywamy pªaszczyzn¡ hiperboliczn¡.

15.3.

Wykaza¢, »e ka»da niezdegenerowana przestrze« ortogonalna jest izotropowa wtedy i tylko

wtedy, gdy zawiera pªaszczyzn¦ hiperboliczn¡.(niech α b¦dzie niezerowym wektorem izo-

tropowym; obliczy¢ dim(Ker(ξ

0

(α)))

; rozwa»y¢ wektor β ∈ V \Ker(ξ

0

(α))

).

15.4.

Znale¹¢ baz¦ prostopadª¡ przestrzeni (Q

3

, ξ)

gdy q(





x
y
z



) = yz + xz + xy.

54

15.5.

Dana jest przestrze« ortogonalna (V, ξ) nad ciaªem Z

5

z baz¡ prostopadª¡ unormowan¡ v

1

,

v

2

, v

3

, v

4

. Znale¹¢ cho¢ jedn¡ pªaszczyzn¦ hiperboliczn¡ U zawart¡ w V . Sprawdzi¢, czy

jej uzupeªnienie ortogonalne jest pªaszczyzn¡ hiperboliczn¡.

15.6.

Wykaza¢, »e przestrzenie ortogonalne (Z

3

3

, ξ)

i (Z

3

3

, ζ)

s¡ izomorczne, gdzie q

ξ

(





a
b
c



) =

a

2

+ b

2

+ c

2

i q

ζ

(





a
b
c



) = a

2

− b

2

− c

2

.

15.7.

Wykaza¢, »e je±li q(α) = q(β), to α + β ⊥ α − β. Sprawdzi¢, »e tak jest dla α =

·

5
5

¸

i β =

·

1
7

¸

na pªaszczy¹nie R

2

ze zwykªym iloczynem skalarnym i narysowa¢ punkty

P =

µ

0
0

¶

, Q =

µ

5
5

¶

, R =

µ

1
7

¶

, S =

µ

5
5

¶

+

µ

1
7

¶

oraz odcinki P Q, P R, RS, QS

i odcinki P S, RQ. Obliczy¢ wektory

−→

P S

i

−→

RQ

.

Wykaza¢, »e je±li wektory α i β s¡ izotropowe, to dla ka»dych skalarów a, b wektory aα+bβ

i aα − bβ s¡ prostopadªe.

15.8.

Wykaza¢, »e przestrze« ortogonalna (V, ξ) jest anizotropowa wtedy i tylko wtedy, gdy nie

ma podprzestrzeni zdegenerowanych.

15.9.

Przestrze« ortogonaln¡ (V, ξ) nazywamy hiperboliczn¡ wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona

sum¡ prost¡ ortogonaln¡ pªaszczyzn hiperbolicznych. Udowodni¢, »e nad ciaªem o charak-

terystyce ró»nej od 2 nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:

a) (V, ξ) jest hiperboliczna ;

b) (V, ξ) jest niezdegenerowana i istnieje podprzestrze« U przestrzeni V o wªasno±ci

U = U

⊥

;

c) (V, ξ) jest niezdegenerowana i istniej¡ podprzestrzenie U, W przestrzeni V takie,

»e V = U ⊕ W , ξ|

U ×U

jest zerowa i ξ|

W ×W

jest zerowa.

15.10.

Wykaza¢, »e izotropowa przestrze« ortogonalna ma baz¦ zªo»on¡ z wektorów izotropowych

(wskazówka: zaªo»y¢ niewprost, »e zbiór wektorów izotropowych zawiera si¦ w hiperpªasz-

czynie α

⊥

).

15.11.

Znale¹¢ rozkªad Witta przestrzeni Z

4

3

ze zwykªym iloczynem skalarnym.

Ÿ 16. Przeksztaªcenia ortogonalne. Izomorfizmy przestrzeni

ortogonalnych.

16.1.

Udowodni¢, »e dla ka»dego przeksztaªcenia ortogonalnego f : (V, ξ) → (W, ζ) zachodzi

inkluzja Ker(f) ⊂ rad(V ).

16.2.

Sprawdzi¢, czy przestrzenie ortogonalne (R

2

, ξ)

, (R

2

, ζ)

w których q

ξ

(

·

x
y

¸

) = x

2

− y

2

,

q

ζ

(

·

x
y

¸

) = x

2

+ 2xy + y

2

s¡ izomorczne.

55

16.3.

Pokaza¢, »e macierze

·

1 0
0 1

¸

i

·

1 0
0 2

¸

s¡ podobne nad ciaªami Z

7

i R, ale nie s¡ podobne

nad ciaªami Z

3

i Q.

16.4.

Niech A b¦dzie symetryczn¡ macierz¡ stopnia n nad ciaªem F . Niech φ : F

n

→ F

n

b¦dzie

endomorzmem o macierzy A w bazie kanonicznej, ζ - form¡ dwuliniow¡ o macierzy A

wzgl¦dem bazy kanonicznej, ξ - zwykªym iloczynem skalarnym. Wykaza¢, »e:

a) wektory wªasne endomorzmu φ nale»¡ce do ró»nych warto±ci wªasnych s¡ prostopadªe

do siebie wzgl¦dem ζ i wzgl¦dem ξ;

b) je±li baza (v

1

, . . . , v

n

) przestrzeni F

n

jest baz¡ prostopadª¡ zarówno dla ζ jak i dla ξ, to

jest to baza zªo»ona z wektorów wªasnych endomorzmu φ.

16.5.

Udowodni¢, »e przestrzenie ortogonalne nad ciaªem F , w których funkcjonaªy dwuliniowe

maj¡ macierze

·

1 0
0 1

¸

i

·

a 0
0 a

¸

s¡ izomorczne wtedy i tylko wtedy, gdy a jest sum¡

dwóch kwadratów elementów ciaªa F .
Czy macierze

·

1 0
0 1

¸

i

·

3 0
0 3

¸

(

·

1 0
0 1

¸

i

·

7 0
0 7

¸

) s¡ podobne nad ciaªem R? nad

ciaªem Q ? (Sprawdzi¢, »e liczby 3 oraz 7 nie s¡ sumami dwóch kwadratów liczb wymier-

nych).

16.6.

Twierdzenie Lagrange'a gªosi, »e ka»da dodatnia liczba wymierna jest sum¡ czterech kwa-

dratów liczb wymiernych. Wykaza¢, »e dla ka»dej dodatniej liczby wymiernej r przestrzenie

ortogonalne (Q

4

, ξ)

i (Q4, ζ), w których funkcjonaªy dwuliniowe maj¡ wzgl¦dem baz kano-

nicznych macierze I oraz rI, s¡ izomorczne. (Wskazówka: je±li r = a

2

+ b

2

+ c

2

+ d

2

, to

zbada¢ wektory









a
b
c
d







,









−b
a
−d
c







,









−d
−c
b
a







 w przestrzeni z macierz¡ I).

16.7.

Sprawdzi¢, czy przeksztaªcenia ϕ, ψ ∈ End(R[X]

5

)

:

ϕ(f (X)) = f (−X);

ψ(f (X)) = X

5

· f (

1

X

)

s¡ automorzmami ortogonalnymi przestrzeni ortogonalnej (R[X]

5

, ξ)

, je±li

a) ξ(f, g) =

1

R

−1

f (t)g(t)dt

;

b) ξ(a

0

+a

1

X +a

2

X

2

+a

3

X

3

+a

4

X

4

+a

5

X

5

, b

0

+b

1

X +b

2

X

2

+b

3

X

3

+b

4

X

4

+b

5

X

5

) =

5

P

i=0

a

i

b

i

16.8.

Czy macierze





1 2

3

2 0

−1

3 −1 3



 i





1 3 0
3 1 1
0 1 5



 s¡ podobne

a) nad ciaªem liczb rzeczywistych?

b) nad ciaªem liczb wymiernych?

16.9.

Wykaza¢, »e dla a, b ∈ F

∗

macierze aI i bI stopnia 2 s¡ podobne nad ciaªem F wtedy i

tylko wtedy, gdy ab jest sum¡ dwóch kwadratów w F .

56

16.10.

Wykaza¢, »e dla a ∈ F

∗

macierze I i aI stopnia 4 s¡ podobne nad ciaªem F wtedy i tylko

wtedy, gdy a jest sum¡ czterech kwadratów w ciele F .(Wskazówka. Porówna¢ z zadaniem

16.6

ze str.

55

.)

16.11.

Wykaza¢, »e dla a, b ∈ F

∗

macierze I i









a 0 0 0
0 a 0 0
0 0 b 0
0 0 0 b







stopnia 4 s¡ podobne nad ciaªem F

wtedy i tylko wtedy, gdy a jest sum¡ czterech kwadratów i ab jest sum¡ dwóch kwadratów..

16.12.

Zbudowa¢ izomorzm przestrzeni ortogonalnych (V, ξ) i (W, ζ) nad ciaªem Z

3

lub udowod-

ni¢, »e nie s¡ one izomorczne:

a) ξ i ζ maj¡ wzgl¦dem pewnych baz macierze





1

0

0

0 −1

0

0

0

−1



 i





1 0 0
0 1 0
0 0 1



 odpowiednio;

b) ξ jest zwykªym iloczynem skalarnym w V = Z

3

4

, a q

ζ

(xw

1

+ yw

2

+ zw

3

+ tw

4

) = xy + zt

dla pewnej bazy (w

1

, w

2

, w

3

, w

4

)

przestrzeni W .

Ÿ 17. Rzuty prostopadªe i symetrie.

17.1.

W przestrzeni ortogonalnej(R

3

, ξ)

forma kwadratowa wyra»a si¦ wzorem q

ξ

(





x
y
z



) =

x

2

− 2xy + 3y

2

+ z

2

.

a) Znale¹¢ macierz rzutu prostopadªego na pªaszczyzn¦ lin(





1
−1
0



 ,





0
1
2



) w bazie (ε

1

, ε

1

+

ε

2

, ε

3

)

;

b) Znale¹¢ macierz symetrii prostopadªej wzgl¦dem pªaszczyzny Sol(X − Y + Z = 0) w

bazie kanonicznej.
c) Znale¹¢ wzór okre±laj¡cy symetri¦ prostopadª¡ wzgl¦dem prostej Sol

µ½

X + 2Y − Z = 0

2X + Y = 0

¶

.

17.2.

Obliczy¢ rzut prostopadªy wektora v na podprzestrze« L w przestrzeni euklidesowej R

4

ze

zwykªym iloczynem skalarnym, gdy

a) v =









4
−1
−3
4







, L = lin(









1
1
1
1







 ,









1
2
2
1







 ,









1
0
0
3







);

b) v =









7
−4
−1
2







 , L = Sol











2x

1

+ x

2

+ x

3

+ 3x

4

= 0

3x

1

+ 2x

2

+ 2x

3

+ x

4

= 0

x

1

+ 2x

2

+ 2x

3

− 4x

4

= 0



.

17.3.

ξ

jest zwykªym iloczynem skalarnym w przestrzeni wspóªrz¦dnych F

n

. Wykaza¢, »e:

a) Macierz kwadratowa A stopnia n nad ciaªem F jest symetryczna i idempotentna (tzn.

A

2

= A

) ⇔ A jest macierz¡ rzutu prostopadªego na pewn¡ podprzestrze« wzgl¦dem bazy

57

kanonicznej;

b) Macierz kwadratowa B stopnia n nad ciaªem F jest symetryczna i inwolutywna (tzn.

B

2

= I

) ⇔ B jest macierz¡ symetrii wzgl¦dem pewnej podprzestrzeni w bazie kanonicznej

przestrzeni F

n

ze zwykªym iloczynem skalarnym.

17.4.

Poda¢ macierze wzgl¦dem bazy kanonicznej dwóch ró»nych symetrii osiowych przeksztaª-

caj¡cych lin(

·

1
−1

¸

)

na lin(

·

−1
7

¸

)

w przestrzeni R

2

ze zwykªym iloczynem skalarnym.

17.5.

W przestrzeni R

3

ze zwykªym iloczynem skalarnym dane s¡ pªaszczyzny lin(





1
2
1



 ,





−1
0
1



)

i lin(





1
3
−2



 ,





1
−2
3



). Poda¢ macierze wzgl¦dem bazy kanonicznej dwóch ró»nych sy-

metrii pªaszczyznowych przeksztaªcaj¡cych jedn¡ z tych pªaszczyzn na drug¡.

17.6.

Symetria τα wzgl¦dem hiperpªaszczyzny α

⊥

wyra»a si¦ wzorem

τα(β) = β − 2

ξ(β, α)
ξ(α, α)

α

a) Wykaza¢, »e je±li wektory nieizotropowe u i v s¡ liniowo zale»ne lub prostopadªe, to

τ

u

◦ τ

v

= τ

v

◦ τ

u

.

b) Poda¢ przykªad przestrzeni ortogonalnej i nieizotropowych wektorów u, v dla których

τ

u

◦ τ

v

6= τ

v

◦ τ

u

.

c) Wykaza¢, »e je±li u i v s¡ wektorami nieizotropowymi i w = τ

v

(u)

, to τ

v

◦ τ

u

= τ

w

◦ τ

v

.

17.7.

W przestrzeni R

4

ze zwykªym iloczynem skalarnym dane s¡ wektory u =









−9
6
2
0







 i v =









2
−1
0
2







. Wyznaczy¢ baz¦, uzupeªnienie ortogonalne i równanie ogólne hiperpªaszczyzny

U

takiej, »e symetria wzgl¦dem U przeksztaªca lin(u) na lin(v).

17.8.

Wykaza¢, »e nie istnieje symetria hiperpªaszczyznowa w przestrzeni R

4

ze zwykªym iloczy-

nem skalarnym, która przeksztaªca lin(ε

1

, ε

2

)

na lin(ε

3

, ε

4

)

. (Wskazówka: niech φ b¦dzie

automorzmem ortogonalnym przeksztaªcaj¡cym pierwsz¡ z pªaszczyzn na drug¡. Zbada¢

wªasno±ci czwórki wektorów ε

1

± φ(ε

1

)

, ε

2

± φ(ε

2

)

przy zaªo»eniu φ

2

= Id

i obliczy¢ wymiar

przestrzeni punktów staªych φ).

17.9.

Wykaza¢, »e

a) je±li ϕ jest symetri¡ hiperpªaszczyznow¡, to

1
2

(Id + ϕ)

jest rzutem na hiperpªaszczyzn¦;

b) je±li ψ jest rzutem prostopadªym na hiperpªaszczyzn¦, to 2ψ − Id jest symetri¡ hiper-

pªaszczyznow¡.

58

Ÿ 18. Bazy prostopadªe.

18.1.

Niech (v

1

, v

2

, . . . , v

n

)

b¦dzie baz¡ prostopadª¡ unormowan¡ przestrzeni ortogonalnej (V, ξ),

a (u

1

, u

2

, . . . , u

n

)

- dowolnym ukªadem wektorów. Udowodni¢, »e macierz P = [ξ(v

i

, u

j

)]

,

jest macierz¡ przejcia od (v

1

, v

2

, . . . , v

n

)

do (u

1

, u

2

, . . . , u

n

)

.

18.2.

Znale¹¢ baz¦ ortogonaln¡ przestrzeni ortogonalnej (V, ξ), jesli:

a) V = R

3

, a macierz funkcjonaªu dwuliniowego ξ : R

3

×R

3

→ R

w bazie (ε

1

+ ε

2

+ ε

3

, ε

1

+

ε

3

, ε

3

)

jest równa





−1 0 1
0

1 1

1

1 1



;

b) V = R

4

, a q

ξ

(









x
y
z
t







) = 2xz + yz − xy;

c) V = Z

3

5

, a macierz ξ w bazie kanonicznej jest równa





0 1 1
1 0 1
1 1 0



.

18.3.

Znale¹¢ baz¦ prostopadª¡ unormowan¡ przestrzeni (Q

2

, ξ)

w której q(

·

x
y

¸

) = 2x

2

+ 2y

2

.

Czy ma baz¦ prostopadª¡ unormowan¡ przestrze« (Q

2

, ξ)

, w której q(

·

x
y

¸

) = 7x

2

+ 7y

2

?

(Wskazówka: zadanie

16.9

str.

55

)

18.4.

Metoda Jacobiego znajdowania podobnej macierzy diagonalnej.

a) Niech A

i

= G

ξ

(v

1

, . . . , vi)

b¦dzie macierz¡ Grama ukªadu poczatkowych i wektorów spo-

ród wektorów v

1

, . . . , v

k

, a u

1

, . . . , u

k

b¦d¡ wektorami otrzymanymi z v

1

, . . . , v

k

za pomoc¡

ortogonalizacji Grama. Wykaza¢, »e je±li v

1

, . . . , v

k

s¡ liniowo niezale»ne i lin(v

1

, . . . , v

k

)

jest anizotropowa, to G

ξ

(u

1

, . . . , u

k

)

jest macierz¡ diagonaln¡ maj¡c¡ na przek¡tnej skalary

det(A

1

)

,

det(A

2

)

det(A

1

)

,

det(A

3

)

det(A

2

)

, . . . ,

det(A

k

)

det(A

k−1

)

.

b) Niech dla macierzy symetrycznej A = [a

ij

]

stopnia n macierze A

1

= [a

11

]

, A2 =

·

a

11

a

12

a

21

a

22

¸

, . . ., A

n

= A

maj¡ wyznaczniki ró»ne od 0. Udowodni¢, »e macierz A i ma-

cierz diagonalna, maj¡ca na przek¡tnej skalary det(A

1

)

,

det(A

2

)

det(A

1

)

,

det(A

3

)

det(A

2

)

, . . . ,

det(A

n

)

det(A

n−1

)

s¡ macierzami podobnymi.

18.5.

Metoda Lagrange'a znajdowania podobnej macierzy diagonalnej.

Niech w niezdegenerowanej przestrzeni ortogonalnej (V, ξ) wzór na warto±¢ formy kwa-

dratowej

q(









x

1

x

2

...

x

n







) = F (x

1

, x

2

, . . . , x

n

)

59

w zale»no±ci od wspóªrz¦dnych w bazie (v

1

, . . . , v

n

)

dany b¦dzie wielomianem

F (X

1

, X

2

, . . . , X

n

) =

n

X

i=1

n

X

j=i

a

ij

X

i

X

j

.

Tworzymy ci¡g wielomianów:

krok 1.

i)

je±li a

11

6= 0

, to

(18.1)

F (X

1

, X

2

, . . . , X

n

) = a

11

X

2

1

+

n

X

i=2

a

1i

X

1

X

i

+

n

X

i=2

n

X

j=i

a

ij

X

i

X

j

;

dodaj¡c i odejmuj¡c

Ã

1

2a

11

n

X

i=2

a

1i

X

1

X

i

!

2

i oznaczaj¡c Y

1

= X

1

+

1

2a

11

n

X

i=2

a

1i

X

i

,

b

1

= a

11

przepisujemy wzór

18.1

w postaci

F (X

1

, X

2

, . . . , X

n

) = b

1

Y

2

1

+ F

1

(X

2

, . . . , X

n

)

gdzie F

1

(X

2

, . . . , X

n

) =

n

X

i=2

n

X

j=i

a

ij

X

i

X

j

− a

11

Ã

1

2a

11

n

X

i=2

a

1i

X

1

X

i

!

2

;

ii)

je±li a

11

= 0

, to

(18.2)

F (X

1

, X

2

, . . . , X

n

) =

n

X

i=2

a

1i

X

1

X

i

+

n

X

i=2

n

X

j=i

a

ij

X

i

X

j

i je±li k jest najmniejszym takim numerem, »e a

1k

6= 0

(dlaczego istnieje takie k?),

to oznaczamy Z

k

=

n

X

i=k

a

1i

X

i

− X

1

, wyliczamy z tej równo±ci X

k

=

1

a

1k

(Z

k

+ X

1

−

n

X

i=k+1

a

1i

X

i

)

i wstawiamy do wielomianu F ; porz¡dkujemy otrzymane wyra»enie

doprowadzaj¡c je do postaci

F (X

1

, X

2

, . . . , X

n

) = X

1

(Z

k

+ X

1

) + F

0

(X

2

, . . . , X

k−1

, Z

k

, X

k+1

, . . . , X

n

)

i to wyra»enie przeksztaªcamy jak w przypadku i).

krok 2. po wykonaniu kroku 1. i uzyskaniu wyra»enia

F (X

1

, X

2

, . . . , X

n

) = b

1

Y

2

1

+ F

1

(X

2

, . . . , X

n

)

stosujemy krok 1. do wzoru F

1

(X

2

, . . . , X

n

)

na warto±¢ formy kwadratowej na wektorze z

przestrzeni lin(v

2

, . . . , v

n

)

; uzyskane wyra»enie F

1

(X

2

, . . . , X

n

) = b

2

Y

2

2

+ F

2

(X

3

, . . . , X

n

)

wstawiamy do wzoru F (X

1

, X

2

, . . . , X

n

) = b

1

Y

2

1

+ F

1

(X

2

, . . . , X

n

)

i uzyskujemy wzór

F (X

1

, X

2

, . . . , X

n

) = b

1

Y

2

1

+ b

2

Y

2

2

+ F

2

(X

3

, . . . , X

n

)

...

60

krok m. je±li po wykonaniu kroków 1, 2, . . . , m − 1 mamy wzór

F (X

1

, X

2

, . . . , X

n

) = b

1

Y

2

1

+ · · · + b

m−1

Y

2

m−1

+ F

m−1

(X

m

, . . . , X

n

),

to stosujemy krok 1. do wzoru F

m−1

(X

m

, . . . , X

n

)

na warto±¢ formy kwadratowej na

podprzestrzeni lin(v

m

, . . . , v

n

)

; rezultat F

m−1

(X

m

, . . . , X

n

) = b

m

Y

2

m

+ F

m

(X

m+1

, . . . , X

n

)

wstawiamy do wzoru uzyskanego w kroku m − 1.

Ostatecznie po n krokach uzyskujemy wzór

F (X

1

, X

2

, . . . , X

n

) = b

1

Y

2

1

+ · · · + b

n

Y

2

n

.

a) sprawdzi¢, »e macierz diagonalna diag(b

1

, . . . , b

n

)

jest macierz¡ funkcjonaªu ξ wzgl¦dem

pewnej bazy prostopadªej przestrzeni V ;
b) sprawdzi¢, »e funkcjonaªy liniowe f

1

, . . . , f

n

takie, »e f

i

(

n

X

j=1

x

i

v

i

) = Y

i

(x

1

, . . . , x

n

)

dla

i = 1, 2, . . . , n

tworz¡ baz¦ przestrzeni sprz¦»onej V

∗

.

Stosuj¡c metod¦ Jacobiego i metod¦ Lagrange'a znale¹¢ dwoma sposobami macierz funk-

cjonaªu dwuliniowego w pewnej bazie prostopadªej i porówna¢ obj¦to¢ oblicze«:

a) F (x

1

, x

2

) = x

2

1

+ x

1

x

2

+ x

2

2

;

b) F (x

1

, x

2

, x

3

) = x

1

x

2

+ x

2

x

3

+ x

1

x

3

c) F (x

1

, x

2

, x

3

) = 99x

2

1

− 12x

1

x

2

+ 48x

1

x

3

+ 130x

2

2

− 60x

2

x

3

+ 71x

2

3

;

d) F (x

1

, x

2

, x

3

, x

4

) = x

2

1

+ 4x

2

2

+ 8x

2

3

− x

2

4

− 4x

1

x

2

+ 6x

1

x

3

− 12x

2

x

3

+ 2x

3

x

4

;

e) F (x

1

, x

2

, x

3

, x

4

, x

5

) = x

2

1

+ 4x

2

2

+ 8x

2

3

− x

2

4

− 4x

1

x

2

+ 6x

1

x

3

− 12x

2

x

3

+ 2x

3

x

4

+

x

2

x

5

− x

4

x

5

.

18.6.

Zbudowa¢ macierz diagonaln¡ podobn¡ do macierzy

a)





1 1 0
1 1 1
0 1 0



;

b)





0 1 0
1 0 1
0 1 0





nad ciaªem F .

18.7.

Znale¹¢ przynajmniej jedn¡ macierz nieosobliw¡ P ∈ GL

n

(Q)

tak¡, »e macierz P

|

AP

jest

diagonalna, je±li

a) A =





1 1 0
1 2 2
0 2 3



,

b) A =





1 1

1

1 5

−1

1 −1 5



,

c) A =

·

1 1
1 1

¸

,

d) A =









2 1 1 0
1 2 0 1
1 0 2 1
0 1 1 2







,

e) A =

·

2 1
1 2

¸

.

18.8.

Niech A b¦dzie macierz¡ kwadratow¡ stopnia n o wyrazach rzeczywistych. Poda¢ warunek

konieczny i wystarczaj¡cy na to, by równanie A = X

|

X

miaªo rozwi¡zanie X ∈ GL

n

(R)

.

(Wskazówka: jakie równowa»ne równanie speªnia niewiadoma Y = X

−1

? czy to równanie

ma zwi¡zek z izomorzmami przestrzeni ortogonalnych?).

61

18.9.

Znale¹¢ przynajmniej jedn¡ macierz nieosobliw¡ P ∈ GL

n

(R)

tak¡, »e P

|

P = A

, je±li

a) A =

·

2 1
1 5

¸

,

b) A =

·

2 2
2 3

¸

,

c) A =





1 1 1
1 2 1
1 1 3



, d) A =





1

1

1

1

5

−1

1 −1

5



.

Czy istnieje rozwi¡zanie P ∈ GL

3

(Q)

?

18.10.

Znale¹¢ cho¢ jedno rozwi¡zanie X ∈ GL

4

(R)

równaniaX

|

X =









1

2

−5

−5

2

5

−12 −13

−5 −12

30

33

−5 −13

33

39







.

18.11.

Sprawdzi¢, »e w przestrzeni F

n

ze zwykªym iloczynem skalarnym

a) dla n = 2: wektorem prostopadªym do

·

a
b

¸

jest

·

−b
a

¸

;

b) dla n = 3: wektorem prostopadªym do





a
b
c



 i





d
e
f



 jest

















¯

¯

¯

¯

b e
c f

¯

¯

¯

¯

−

¯

¯

¯

¯

a d
c f

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a d
b e

¯

¯

¯

¯

















;

c) dla dowolnego n: wektorem prostopadªym do v

1

, v

2

, . . . , v

n−1

jest ostatnia kolumna

macierzy doª¡czonej do macierzy

£

v

1

v

2

· · · v

n−1

∗

¤

.

Ÿ 19. Automorfizmy przestrzeni ortogonalnych. Macierze ortogonalne.

Równolegªo±cian u+R(v

1

, v

2

, . . . , v

k

)

to zbiór {u + x

1

v

1

+ x

2

v

2

+ · · · + x

k

v

k

: 0 ≤ x

1

, x

2

, . . . , x

k

≤ 1}

,

przy czym zakªada si¦, »e wektory v

1

, v

2

, . . . , v

k

s¡ liniowo niezale»ne.

19.1.

Izometriami wªasnymi gury nazywamy te automorzmy ortogonalne (izometrie), dla

których obrazem danej gury jest ona sama. Wyznaczy¢ wszystkie izometrie wªasne (ich

macierze wzgl¦dem bazy kanonicznej))
a) kwadratu

µ

−1
−1

¶

+ R(2ε

1

, 2ε

2

)

w R

2

ze zwykªym iloczynem skalarnym (jest ich 8);

b) kwadratu





−1
−1
0



 + R(2ε

1

, 2ε

2

)

w R

3

ze zwykªym iloczynem skalarnym (jest ich 16);

c) sze±cianu





−1
−1
−1



+R(2ε

1

, 2ε

2

, 2ε

3

)

w R

3

ze zwykªym iloczynem skalarnym (jest ich 48);

(Wskazówka: ka»de przeksztaªcenie, przeksztaªcaj¡ce wierzchoªki na wierzchoªki i s¡siednie

wierzchoªki na s¡siednie wierzchoªki musi by¢ izometri¡).

62

19.2.

Przedstawi¢ jako zªo»enie symetrii hiperpªaszczyznowych endomorzm przestrzeni R

4

ze

zwykªym iloczynem skalarnym, maj¡cy macierz









0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0







 wzgl¦dem bazy kanonicz-

nej.

19.3.

Sprawdzi¢, »e zbiór SO(R, 2) rzeczywistych macierzy ortogonalnych stopnia 2 o wyznacz-

niku 1 jest równy

½·

cos(x) − sin(x)
sin(x) cos(x)

¸

: x ∈ [0, 2π)

¾

}

. Wyznaczy¢ zbiór O(R, 2) rzeczy-

wistych macierzy ortogonalnych stopnia 2.

19.4.

Niech w R

2

q(

·

x
y

¸

) = x

2

−y

2

. Sprawdzi¢, »e SO(R, q) =

½

±

·

cosh(x)

sinh(x)

− sinh(x) cosh(x)

¸

: x ∈ R

¾

.

Wyznaczy¢ O(R, q)

Denicje funkcji hiperbolicznych:

sinh(x) =

e

x

− e

−x

2

cosh(x) =

e

x

− e

−x

2

th(x) =

sinh(x)

cosh(x)

.

19.5.

Dwa obiekty geometryczne nazywamy przystaj¡cymi, gdy istnieje automorzm ortogo-

nalny przeksztaªcaj¡cy jeden z nich na drugi, i ±ci±le przystaj¡cymi, gdy istnieje izome-

tria parzysta przeksztaªcaj¡ca jeden z nich na drugi.

a) wykaza¢, »e ka»da z relacji: przystawania i ±cisªego przystawania jest relacj¡ rownowa»-

no±ci;

b) wykaza¢, »e ka»de dwie bazy prostopadªe unormowane przestrzeni ortogonalnej s¡ przy-

staj¡ce;

c) wykaza¢, »e zbiór wszystkich baz prostopadªych unormowanych rozpada si¦ na dwa

podzbiory tak, »e ka»de dwie bazy nale»¡ce do jednego podzbioru s¡ ±ci±le przystaj¡ce, a

nale»¡ce do ró»nych podzbiorów - nie s¡ ±ci±le przystaj¡ce (podzbiory te nazywamy orien-

tacjami );

d) z wektorów ε

1

, ε

2

, ε

3

przestrzeni R

3

ze zwykªym iloczynem skalarnym mo»na utworzy¢

sze¢ ró»nych baz prostopadªych unormowanych. Które z nich s¡ do siebie ±ci±le przysta-

j¡ce?

19.6.

Wykaza¢, »e dla ka»dej izometrii parzystej przestrzeni R

3

ze zwykªym iloczynem skalarnym

istnieje baza, wzgl¦dem której macierz¡ tej izometrii jest macierz





cos(x) − sin(x) 0
sin(x) cos(x)

0

0

0

1



.

(Skorzysta¢ z tego, »e taka izometria musi by¢ zªo»eniem dwóch symetrii pªaszczyznowych)

19.7.

ξ

jest zwykªym iloczynem skalarnym w przestrzeni wspóªrz¦dnych F

n

. Wykaza¢:

a) Macierz kwadratowa A stopnia n nad ciaªem F jest symetryczna i idempotentna (tzn.

A

2

= A

)⇔ A jest macierz¡ rzutu prostopadªego na pewn¡ podprzestrze« wzgl¦dem bazy

63

kanonicznej. (wskazówka: zadanie

17.3

str.

56

);

b) Macierz kwadratowa B stopnia n nad ciaªem F jest symetryczna i inwolutywna (tzn.

B

2

= I

)⇔ B jest macierz¡ symetrii wzgl¦dem pewnej podprzestrzeni w bazie kanonicznej

przestrzeni F

n

ze zwykªym iloczynem skalarnym.

19.8.

Wykaza¢, »e dla macierzy kwadratowej A stopnia n nad ciaªem F nast¦puj¡ce warunki s¡

równowa»ne:

i) A

|

· A = I

;

ii) A jest macierz¡ w bazie kanonicznej automorzmu ortogonalnego przestrzeni F

n

ze

zwykªym iloczynem skalarnym;

iii) A jest macierz¡ automorzmu ortogonalnego pewnej przestrzeni orogonalnej wzgl¦dem

bazy prostopadªej unormowanej;

iv) A jest macierz¡ przejcia od jednej bazy prostopadªej unormowanej do drugiej bazy

prostopadªej unormowanej pewnej przestrzeni ortogonalnej;

v) kolumny A tworz¡ baz¦ prostopadª¡ unormowan¡ przestrzeni F

n

ze zwykªym iloczynem

skalarnym;

vi) transponowane wiersze A tworz¡ baz¦ prostopadª¡ unormowan¡ przestrzeni F

n

ze zwy-

kªym iloczynem skalarnym.

Macierz speªniaj¡c¡ powy»sze warunki nazywamy macierz¡ ortogonaln¡.

19.9.

Udowodni¢, »e:

a) macierz jednostkowa I jest macierz¡ ortogonaln¡;

b) macierz odwrotna do macierzy ortogonalnej jest macierz¡ ortogonaln¡;

c) iloczyn macierzy ortogonalnych jest macierz¡ ortogonaln¡.

19.10.

Niech v b¦dzie unormowanym wektorem przestrzeni ortogonalnej (F

n

, ξ)

ze zwykªym ilo-

czynem skalarnym ξ (tzn. q(v) = 1). Sprawdzi¢, »e macierz P = I − 2vv

|

jest macierz¡

ortogonaln¡. Obliczy¢ P v i P w przy zaªo»eniu, »e w ⊥ v.

Jak zbudowa¢ macierz ortogonaln¡ z dowolnego wektora nieizotropowego?

19.11.

Dobra¢ trzeci¡ kolumn¦ tak, by macierz A o wyrazach rzeczywistych byªa macierz¡ orto-

gonaln¡:

A =





1

√

3

1

√

2

?

1

√

3

0

?

1

√

3

−

1

√

2

?





19.12.

Sprawdzi¢, »e dla dwóch rozwi¡za« X, Y równania z zadania

18.9

str.

61

macierz XY

−1

jest macierz¡ ortogonaln¡. Sprawdzi¢, »e je±li X jest rozwi¡zaniem tego równania, a P jest

macierz¡ ortogonaln¡, to P X jest rozwi¡zaniem tego równania.

19.13.

Udowodni¢ równowa»no±ci:

a) ϕ ∈ O(V, ξ) ⇔ ϕ

−1

∈ O(V, ξ)

b) (ϕ ∈ O(V, ξ)∧ψ ∈ O(V, ξ)) ⇔ (ϕ ∈ O(V, ξ) ⇔ ϕ◦ψ ∈ O(V, ξ)) ⇔ (ψ ∈ O(V, ξ)∧ϕ◦ψ ∈

O(V, ξ))

.

19.14.

Niech V = R[X]

n

b¦dzie przestrzeni¡ wielomianów stopnia ≤ n nad ciaªem R. Odwzoro-

wanie b : V · V → R okre±lono wzorem

64

a) b(f, g) =

1

Z

−1

f (x)g(x)dx

,

b) b(f, g) =

1

Z

0

f (x)g(x)dx

.

Wykaza¢, »e b jest form¡ dwuliniow¡ symetryczn¡, niezdegenerowan¡ i dodatnio okre±lon¡.

Wyznaczy¢ macierz b wzgl¦dem bazy 1, X, . . . , X

n

. Dla n = 4 znale¢ baz¦ prostopadª¡

unormowan¡.

19.15.

Wykaza¢, »e przestrze« ortogonalna (R

3

, ξ)

, gdzie ξ(





x
y
z



 ,





x

0

y

0

z

0



) = xx

0

+ xy

0

− x

0

y +

3yy

0

+ zz

0

jest przestrzeni¡ euklidesow¡. Znale¹¢ równanie ogólne prostej prostopadªej do

pªaszczyzny Sol(X

1

= 0)

i przecinaj¡cej proste L

1

, L

2

, gdzie L

1

=





0
1
0



 + lin(





1
1
1



),





0
1
1



 + lin(





2
1
0



).

19.16.

Dla jakich warto±ci parametru a ∈ R przestrze« ortogonalna (R

6

, ξ)

w której

q(















x

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

6















) = a(x

2

1

+ x

2

2

+ x

2

3

+ x

2

4

+ x

2

5

+ x

2

6

) + 2(x

1

x

2

+ x

1

x

3

+ x

1

x

4

+ x

1

x

5

+ x

1

x

6

+ x

2

x

3

+ x

2

x

4

+ x

2

x

5

+ x

2

x

6

+ x

3

x

4

+ x

3

x

5

+ x

3

x

6

+ x

4

x

5

+ x

4

x

6

+ x

5

x

6

)

jest euklidesowa ?

Ÿ 20. Klasyfikacja przestrzeni ortogonalnych nad ciaªem liczb

rzeczywistych.

20.1.

Które z poni»szych macierzy s¡ podobne nad ciaªem liczb rzeczywistych, a które nad ciaªem

liczb zespolonych:

·

1 2
2 1

¸

,

·

1 0
0 −1

¸

,

·

1 1
1 4

¸

,

·

1 0
0 1

¸

,

·

2 0
0 3

¸

.

20.2.

Obliczy¢ sygnatur¦ przestrzeni ortogonalnej (R

3

, ξ)

w której q(





x
y
z



) = yz + xz + xy.

20.3.

Sprawdzi¢, czy macierze





1 2

3

2 0

−1

3 −1 3



,





1 3 0
3 1 1
0 1 5



 s¡ podobne:

a) nad ciaªem liczb rzeczywistych,

65

b) nad ciaªem liczb wymiernych,

c) nad ciaªem liczb zespolonych.

20.4.

Obliczy¢ w zale»no±ci od parametrów a, b, c, d sygnatur¦ przestrzeni (R

4

, ξ)

, w której

q(









x

1

x

2

x

3

x

4







) = a

2

x

2

1

+ 2ax

1

(x

2

+ x

3

+ x

4

) + (b

2

+ 1)x

2

2

2 + (4b + 2)x

2

x

3

+ (6b + 2)x

2

x

4

+ (c

2

+ 5)x

2

3

+ (6c + 14)x

3

x

4

+ (d

2

+ 19)x

2

4

.

20.5.

Obliczy¢ sygnatur¦ przestrzeni ortogonalnej (R

3

, ξ)

w zale»no±ci od parametru a, gdy

q(





x

1

x

2

x

3



) =

a) 5x

2

1

+ x

2

2

+ ax

2

3

+ 4x

1

x

2

− 2x

1

x

3

− 2x

2

x

3

;

b) 2x

2

1

+ x

2

2

+ 3x

2

3

+ 2ax

1

x

2

+ 2x

1

x

3

;

c) x

2

1

+ x

2

2

+ 5x

2

3

+ 2ax

1

x

2

− 2x

1

x

3

+ 4x

2

x

3

;

d) x

2

1

+ 4x

2

2

+ x

2

3

+ 2ax

1

x

2

+ 10x

1

x

3

+ 6x

2

x

3

;

e) −x

2

1

+ ax

2

3

− x

2

3

+ 4x

1

x

2

+ 8x

2

x

3

;

f) ax

2

1

− 2x

2

2

− 3x

2

3

+ 2x

1

x

2

− 2x

1

x

3

+ 2x

2

x

3

.

20.6.

Dla jakich warto±ci parametru a ∈ R s¡ izomorczne przestrzenie ortogonalne (R

3

, ξ)

i

(R

3

, η)

gdy:

a) ξ(





p
q
r



 ,





x
y
z



) = px + qy − rz, q

η

(





x
y
z



) = x

2

+ 2xy − 2xz + (3 − a)y

2

+ (2 − 2a)yz +

(4 − 2a)z

2

;

b) ξ(





p
q
r



 ,





x
y
z



) = px − qy + rz, q

η

(





x
y
z



) = x

2

+ 2xy − 2xz + (3 − a)y

2

+ (2 − 2a)yz +

(6 − 2a)z

2

;

c) ξ(





p
q
r



 ,





x
y
z



) = px + qy + rz, q

η

(





x
y
z



) = x

2

+ 4xy + (6 − a)y

2

+ (12 − 6a)yz +

(19 − 10a)z

2

;

d) ξ(





p
q
r



 ,





x
y
z



) = px−qy−rz, q

η

(





x
y
z



) = x

2

+6xy+(11−a)y

2

+(8−4a)yz+(1−a)z

2

;

Ÿ 21. Jednokªadno±ci i podobie«stwa.

21.1.

Dla skalara a ∈ F oznaczmy symbolem χ

a

odwzorowanie χ

a

: V →V

okre±lone wzorem

χ

a

(v) = av

. Przeksztaªcenie χ

a

nazywamy homoteti¡ o skali a.

a) sprawdzi¢, »e χ

a

jest endomorzmem przestrzeni linowej V , »e χ

1

= id

V

, χ

−1

a

= χ

a

−1

,

66

χ

a

◦ χ

b

= χ

ab

, χ

a

+ χ

b

= χ

a+b

;

b) wyznaczy¢ macierz homotetii χ

a

wzgl¦dem bazy (v

1

, . . . , v

n

)

przestrzeni V (takie ma-

cierze nazywamy macierzami skalarnymi);

c) sprawdzi¢, »e dla ka»dego endomorzmu ϕ przestrzeni wektorowej V i dla ka»dego ska-

lara a ∈ F zachodzi równo¢ ϕ◦χ

a

= χ

a

◦ ϕ

;

d) wykaza¢, »e je±li macierz kwadratowa A jest przemienna z wszystkimi macierzami kwa-

dratowymi X, to A jest macierz¡ skalarn¡;

e) wykaza¢, »e jesli endomorzm przestrzeni wektorowej V jest przemienny z wszystkimi

endomorzmami tej przestrzeni, to jest on homoteti¡;

f) wykaza¢, »e endomorzm jest przemienny z wszystkimi automorzmami ortogonalnymi

przestrzeni ortogonalnej (V, ξ) wtedy i tylko wtedy, gdy jest przemienny z wszystkimi sy-

metriami hiperpªaszczyznowymi i wtedy i tylko wtedy, gdy jest homoteti¡..

21.2.

Udowodni¢, »e w przestrzeni euklidesowej V ka»dy automorzm ϕ o wªasno±ci:

u ⊥ v ⇒ ϕ(u) ⊥ ϕ(v)

jest zªo»eniem automormu ortogonalnego i homotetii. (Wskazówka: rozwa»y¢ baz¦ pro-

stopadª¡ unormowan¡ (v

1

, . . . , v

n

)

przestrzeni V i baz¦ prostopadª¡ (ϕ(v

1

), . . . , ϕ(v

n

))

; sko-

rzysta¢ z q(u) = q(v) ⇔ u + v ⊥ u − v).

Ÿ 22. Przeksztaªcenia sprz¦»one i samosprz¦»one.

22.1.

Wykaza¢, »e:

a) przeksztaªcenie liniowe ϕ : V → W jest ró»nowarto±ciowe (na) wtedy i tylko wtedy, gdy

przeksztaªcenie ϕ

∗

: V

∗

→ W

∗

jest na (ró»nowarto±ciowe);

b) endomorzm ϕ ∈ End(V ) niezdegenerowanej przestrzeni ortogonalnej jest ró»nowarto-

±ciowy (na) wtedy i tylko wtedy, gdy endomorzm sprz¦»ony ϕ

◦

jest na (ró»nowarto±ciowy);

c) Ker(ϕ

◦

) = (Im(ϕ))

⊥

, Im(ϕ

◦

) = (Ker(ϕ))

⊥

.

22.2.

Sprawdzi¢, »e symetria hiperpªaszczyznowa jest przeksztaªceniem samosprz¦»onym.

22.3.

Wykaza¢, »e rzut prostopadªy jest przeksztaªceniem samosprz¦»onym.

22.4.

Znale¹¢ macierz ortogonaln¡ C tak¡, »e macierz C

|

AC

jest diagonalna, je±li A =

a)

·

1 1
1 1

¸

;

b)

·

1 2
2 1

¸

;

c)

"

1
2

√

3

2

√

3

2

−

1
2

#

;

d)





0 1 1
1 0 1
1 1 0



;

e)









2

−3 −2

1

−3

2

−2 −1

−2 −2

1

0

1

−1

0

4







; f)









2 1 1 0
1 2 0 1
1 0 2 1
0 1 1 2







; g)

·

0 1
1 0

¸

; h)

·

1 + t cos(

2

t

) t sin(

2

t

)

t sin(

2

t

)

1 − t cos(

2

t

)

¸

.

22.5.

Udowodni¢: je±li U jest podprzestrzeni¡ niezmiennicz¡ endomorzmu samosprz¦»onego, to

U

⊥

jest te» podprzestrzeni¡ niezmiennicz¡ tego enomorzmu.

22.6.

67

a) znale¹¢ macierz diagonaln¡ D =









p 0 0 0
0 q 0 0
0 0 r 0
0 0 0 s







 speªniaj¡c¡ warunek p ≥ q ≥ r ≥ s i

macierz ortogonaln¡ P takie, »e P

|

·









2 1 1 1
1 2 1 1
1 1 2 1
1 1 1 2







 · P = D.

b) Obliczy¢ Q

|

Q

, je±li Q =









√

p

0

0

0

0

√

q

0

0

0

0

√

r

0

0

0

0

√

s







 · P

|

.

c) Niech α, β, γ, δ b¦d¡ kolumnami macierzy Q, traktowanymi jako wektory przestrzeni

(R

4

, ξ)

ze zwykªym iloczynem skalarnym ξ. Obliczy¢ macierz Grama G

ξ

(α, β, γ, δ)

.

22.7.

Udowodni¢ nast¦puj¡cy wzór na endomorzm sprz¦»ony: je±li (v

1

, v

2

, . . . , v

n

)

jest baz¡

prostopadª¡ niezdegenerowanej przestrzeni ortogonalnej (V, ξ), to

ϕ

◦

(a) =

n

X

i=1

ξ(α, ϕ(v

i

))

q(v

i

)

v

i

.

22.8.

Udowodni¢, »e ka»dy automorzm ortogonalny niezdegenerowanej przestrzeni ortogonalnej

jest zªo»eniem samosprz¦»onych automorzmów ortogonalnych.

22.9.

Obliczy¢ endomorzm sprz¦»ony φ

◦

z endomorzmem f : R[X]

2

→ R[X]

2

przestrzeni wie-

lomianów stopnia ≤ 2 okre±lonego wzorem φ(f(X)) = X

2

f (

1

X

)

, je±li ξ(f, g) = f(0)g(0) +

f

0

(0)g

0

(0) + f

00

(0)g

00

(0)

.

Spis tre±ci

Ÿ 1. Alfabet grecki

10

Ÿ 2. Przeksztaªcenia liniowe

12

Ÿ 3. Przeksztaªcenia liniowe 2

15

Ÿ 4. Macierze przeksztaªce« liniowych

17

Ÿ 5. Mno»enie macierzy

21

5.1. Šamigªówki

25

Ÿ 6. Algebry

28

6.1. Kwadraty magiczne

28

6.2. Kwaterniony

30

6.3. Reprezentacja regularna

31

Ÿ 7. Wektory wªasne i warto±ci wªasne

31

Ÿ 8. Warto±ci wªasne i wektory wªasne 2.

35

Ÿ 9. Wielomian charakterystyczny i wielomian minimalny endomorzmu

37

Ÿ 10. * Macierze wielomianowe i diagonalna posta¢ kanoniczna

40

Ÿ 11. * Posta¢ kanoniczna Jordana

43

68

Ÿ 12. Przestrzenie sprz¦»one

45

Ÿ 13. Funkcjonaªy dwuliniowe

48

Ÿ 14. Przestrzenie dwuliniowe (ortogonalne)

49

Ÿ 15. * Wektory izotropowe. Pªaszczyzny hiperboliczne.

53

Ÿ 16. Przeksztaªcenia ortogonalne. Izomorzmy przestrzeni ortogonalnych.

54

Ÿ 17. Rzuty prostopadªe i symetrie.

56

Ÿ 18. Bazy prostopadªe.

58

Ÿ 19. Automorzmy przestrzeni ortogonalnych. Macierze ortogonalne.

61

Ÿ 20. Klasykacja przestrzeni ortogonalnych nad ciaªem liczb rzeczywistych.

64

Ÿ 21. Jednokªadno±ci i podobie«stwa.

65

Ÿ 22. Przeksztaªcenia sprz¦»one i samosprz¦»one.

66