1. Obliczyć
"
#
"
#
"
# "
#
1
2
−1
2
−1 −1
5
6
1
2
a) 2
− 3
f)
0
−1
2
3
0
2
7
8
3
4
"
#
"
#
"
# "
#
1
−1
2
−4
−1 −1
1
3
2
b) 4
− 2
g)
−1
1
−3
2
2
0
2
−1 2
T
−
1
0
"
#
"
#T "
#
3
−2 −1
1
3
2
−1 −1
c) −3 −1 2 + 3
h)
−1
2
−2
2
−1 2
2
0
−1 2
"
#
"
#T
"
#−1
2
−1
3
−1
−3 4
d) 4
− 2
−3 −1
−3 −1
i)
−2 3
"
# "
#
"
#−1
1
2
5
6
2
−3
e)
j)
3
4
7
8
−5
6
1
3
3
2. Obliczyć det A oraz A−1, gdy A =
4
13
10 .
−2 −9 −1
3. Dane są macierze
"
#
"
#
"
#
1
2
0
2
−3
1
1
1
2
3
A =
B =
C =
D = 0
−1 3
−1
4
1
0
0
3
1
2
1
5
Sprawdzić, czy wykonalne są następujące działania i jeśli tak to wykonać, je.
a) 2A + B
d) CT D
g) (AB)−1
b) (A − B)C
e) ACD
h) (BC)T
c) DCT
f) (AC)T
i) BT CT
Sprawdzić, czy zachodzą równości: i) AB = BA
l) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
o) (AB)−1 = A−1B−1
j) (AB)T = AT BT
m) A2 − B2 = (A + B)(A − B)
p) (AB)−1 = B−1A−1
k) (AB)=BT AT
n) (A + B)C = AC + BC
r) (B−1)−1 = B
4. Obliczyć
"
#
"
# "
#
2
3 −1 −7
2
3
−1 −7
2
3
−1 −7
a)
b)
c)
3
4
2
3
3
4
2
3
3
4
2
3
Sprawdzić, czy wykonalne są następujące działania i jeśli tak to wykonać, je.
"
#
"
#
"
#
2
3
−1 −7
2
3
−1 −7
2
3
−1 −7
d)
+
e)
+
f)
+
3
4
2
3
3
4
2
3
3
4
2
3
1
5. Rozwiązać układy równań liniowych
2x + 3y + z = 4
2x − y + 3z = 9
x + 2y + 2z = 5
3x − 5y + z = −4
3x + 5y + 2z = 8
4x + 7y + z = 5
x − 2y + 3z = 2
x − 3y + 2z = −1
7x − 16y + 9z = 0
3x − 7y + 13z = 4
5x − 11y + 9z = 3
3x − 5y + 20z = 7
x − 3y + 2z = −1
x + 2y − 3z + t = 1
3x − 10y + 9z = −1
5x + 2y − 4z − 2t = 7
2x − 3y − 7z = −6
4x
− z − 3t = 3
(Zastosować metodę eliminacji niewiadomych, a tam gdzie to możliwe również metodę Cramera) 6. W zależności od parametru a rozwiązać następujące układy równań:
x
+2y
+4z
= 4
(a)
(a − 1)x
+(a + 1)y
+(2a + 2)z
= a + 1
(a + 1)x
+(3a − 1)y
+16z
= 3a + 7
x
+3y
+z
= a + 1
(b)
(a + 1)x
+(4a + 1)y
+(2a − 1)z = 4a + 1
2x
+2ay
+2z
= a + 4
x
+(a + 1)y
+(2a + 3)z
= 0
(c)
2x
+(3a + 1)y
+10z
= 0
x
+2y
+5z
= 0
3x
+5y
+6z
= 8
(d)
(a + 2)x
+(6 + a)y
+(8 + a)z
= 12 + a
(a − 1)x
+5y
+(a + 2)z
= a + 4
ax
+y
+z
= 1
(e)
x
+ay
+z
= a
x
+y
+az
= a2
7. Pewne przedsiębiorstwo produkuje trzy wyroby A, B, C. Nakłady materiałów M1, M2, M3 i pracy P potrzebne do wytworzenia jednostki każdego z wyrobów przedstawia tabelka.
M1 [kg]
M2 [kg]
M3 [kg]
P [godz]
produkt A
3
2
4
3
produkt B
4
6
2
2
produkt C
1
5
5
4
Koszty materiałów wynoszą odpowiednio 5, 4, 6 złkg. Godzina pracy kosztuje 13 zł. Planowane wielkości produkcji wyrobów A, B, C w trzech kolejnych dekadach miesiąca są następujące: I dekada
II dekada
III dekada
produkt A
200
300
400
produkt B
400
500
300
produkt C
300
400
300
2
(a) Obliczyć wielkość zapasów (dla każdej dekady) wszystkich czterech zasobów niezbędnych do produkcji wyrobów A, B, C.
(b) Obliczyć koszty całkowite produkcji w każdej dekadzie.
(c) Zapisać powyższe dane w postaci macierzowej i przeprowadzić obliczenia z wykorzystaniem działań na macierzach.
8. Załóżmy, że wiązka towarowa [x, y] składa się z dwóch wyrobów w ilościach odpowiednio x i y.
Przedstawić na rysunku zbiór wszystkich wiązek towarowych o wartościach a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
wiedząc, że cena pierwszego wyrobu wynosi 2, a cena drugiego wyrobu jest równa 5.
9. Pewien zakład produkuje dwa wyroby: I i II. Do produkcji tych wyrobów potrzebne są trzy surowce: S1 , S2 , S3. Nakłady surowców i zyski jednostkowe są następujące: Wyroby
Zasoby
Surowce
I
II
surowca
S1
3
1
18
S2
2
4
40
S3
3
2
24
Zyski jednostkowe
2
3
Należy ustalić plan produkcji zapewniający maksymalny zysk.
10. Narysować wykres przedstawiający zależność wysokości podatku od dochodów podatnika wiedząc, że stawka podatku jest równa 20% przy dochodach 0 -20 000 zł; 30% przy dochodach 20 000 - 40 000 zł; 40% przydochodach powyżej 40 000 zł.
Dla uproszczenia zakładamy, że koszty uzyskania wynoszą 0 zł i podatnik nie korzysta z żad-nych ulg podatkowych. Wysokość podatku dla każdego progu obliczamy według powszechnie obowiązujących zasad.
11. Przy ograniczeniach 2x1 + 3x2 6 30, x1 + 2x2 > 10, x1 > x2, x1 > 0, 4x2 > 2 znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji celu z = x1 + 3x2.
12. Przy ograniczeniach x+y > 8, 10x+6y > 60, 2x+y 6 16, x > 1 znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji celu z = 9x + 7y.
13. Pewien (fikcyjny) system gospodarczy składa się z dwóch gałęzi. Macierz współczynników tego
"
#
0.2
0.6
systemu jest następująca
.
0.4
0.2
Ustalić plan produkcji globalnej tak, aby pierwsza gałąź wytworzyła produkt końcowy wartości 40 tys. zł, a druga 30 tys. zł. (Uwaga! Jednostką pieniężną jest 1 tys. zł.) 14. Załóżmy, że pewien system gospodarczy składa się z trzech gałęzi. Wielkości przepływów mię-
dzygałęziowych przedstawia tabela.
3
P.konc.
P.glob.
1
2
3
di
xi
1
180
0
100
20
300
2
60
150
0
90
300
3
0
60
80
60
200
(a) Obliczyć, o ile wzrosną produkty końcowe w każdej gałęzi, jeżeli produkcje globalne wzrosną o ∆x1 = 30 , ∆x2 = 24 , ∆x3 = 20.
(b) O ile powinny wzrosnąć produkcje globalne poszczególnych gałęzi, jeżeli zażąda się wzrostu produktów końcowych w każdej gałęzi odpowiednio o ∆d1 = 1 , ∆d2 = 2 , ∆d3 = 1.
(c) Ustalić plan produkcji globalnych, tak aby produkty końcowe były równe d1 = 5, d2 = 10, d3 = 8. Jakie będą wtedy przepływy międzygałęziowe?
4