Algebra liniowa

1. Obliczyć

a) 2

"

1

2

−1

0

−1

2

#

− 3

"

2

−1 −1

3

0

2

#

f)

"

5

6

7

8

# "

1

2

3

4

#

b) 4

"

1

−1

−1

1

#

− 2

"

2

−4

−3

2

#

g)

"

−1 −1

2

0

# "

1

3

2

2

−1 2

#

c)

−3






−1 0
−1 2
−1 2






T

+ 3

"

3

−2 −1

−1

2

−2

#

h)

"

1

3

2

2

−1 2

#

T

"

−1 −1

2

0

#

d) 4





"

2

−1

−3 −1

#

− 2

"

3

−1

−3 −1

#

T





i)

"

−3 4
−2 3

#

−1

e)

"

1

2

3

4

# "

5

6

7

8

#

j)

"

2

−3

−5

6

#

−1

2. Obliczyć det A oraz A

−1

, gdy A =






1

3

3

4

13

10

−2 −9 −1






.

3. Dane są macierze

A =

"

2

−3

−1

4

#

B =

"

1

1

1

0

#

C =

"

1

2

3

0

3

1

#

D =






1

2

0

0

−1 3

2

1

5






Sprawdzić, czy wykonalne są następujące działania i jeśli tak to wykonać, je.

a) 2A + B

d) C

T

D

g) (AB)

−1

b) (A

− B)C

e) ACD

h) (BC)

T

c) DC

T

f) (AC)

T

i) B

T

C

T

Sprawdzić, czy zachodzą równości:

i) AB = BA

l) (A + B)

2

= A

2

+ 2AB + B

2

o) (AB)

−1

= A

−1

B

−1

j) (AB)

T

= A

T

B

T

m) A

2

− B

2

= (A + B)(A

− B)

p) (AB)

−1

= B

−1

A

−1

k) (AB)

=

B

T

A

T

n) (A + B)C = AC + BC

r) (B

−1

)

−1

= B

4. Obliczyć

a)







2

3

3

4













−1 −7

2

3







b)







2

3

3

4







"

−1 −7

2

3

#

c)

"

2

3

3

4

# "

−1 −7

2

3

#

Sprawdzić, czy wykonalne są następujące działania i jeśli tak to wykonać, je.

d)







2

3

3

4







+







−1 −7

2

3







e)







2

3

3

4







+

"

−1 −7

2

3

#

f)

"

2

3

3

4

#

+

"

−1 −7

2

3

#

1

5. Rozwiązać układy równań liniowych











2x + 3y + z = 4

x + 2y + 2z = 5

3x + 5y + 2z = 8











2x

− y + 3z = 9

3x

− 5y + z = −4

4x + 7y + z = 5











x

− 2y + 3z = 2

7x

− 16y + 9z = 0

5x

− 11y + 9z = 3











x

− 3y + 2z = −1

3x

− 7y + 13z = 4

3x

− 5y + 20z = 7











x

− 3y + 2z = −1

3x

− 10y + 9z = −1

2x

− 3y − 7z = −6











x + 2y

− 3z + t = 1

5x + 2y

− 4z − 2t = 7

4x

− z − 3t = 3

(Zastosować metodę eliminacji niewiadomych, a tam gdzie to możliwe również metodę Cramera)

6. W zależności od parametru a rozwiązać następujące układy równań:

(a)











x

+2y

+4z

= 4

(a

− 1)x

+(a + 1)y

+(2a + 2)z

= a + 1

(a + 1)x

+(3a

− 1)y

+16z

= 3a + 7

(b)











x

+3y

+z

= a + 1

(a + 1)x

+(4a + 1)y

+(2a

− 1)z = 4a + 1

2x

+2ay

+2z

= a + 4

(c)











x

+(a + 1)y

+(2a + 3)z

= 0

2x

+(3a + 1)y

+10z

= 0

x

+2y

+5z

= 0

(d)











3x

+5y

+6z

= 8

(a + 2)x

+(6 + a)y

+(8 + a)z

= 12 + a

(a

− 1)x

+5y

+(a + 2)z

= a + 4

(e)











ax

+y

+z

= 1

x

+ay

+z

= a

x

+y

+az

= a

2

7. Pewne przedsiębiorstwo produkuje trzy wyroby A, B, C. Nakłady materiałów M1, M2, M3 i

pracy P potrzebne do wytworzenia jednostki każdego z wyrobów przedstawia tabelka.

M1 [kg]

M2 [kg]

M3 [kg]

P [godz]

produkt A

3

2

4

3

produkt B

4

6

2

2

produkt C

1

5

5

4

Koszty materiałów wynoszą odpowiednio 5, 4, 6 złkg. Godzina pracy kosztuje 13 zł. Planowane
wielkości produkcji wyrobów A, B, C w trzech kolejnych dekadach miesiąca są następujące:

I dekada

II dekada

III dekada

produkt A

200

300

400

produkt B

400

500

300

produkt C

300

400

300

2

(a) Obliczyć wielkość zapasów (dla każdej dekady) wszystkich czterech zasobów niezbędnych

do produkcji wyrobów A, B, C.

(b) Obliczyć koszty całkowite produkcji w każdej dekadzie.

(c) Zapisać powyższe dane w postaci macierzowej i przeprowadzić obliczenia z wykorzystaniem

działań na macierzach.

8. Załóżmy, że wiązka towarowa [x, y] składa się z dwóch wyrobów w ilościach odpowiednio x i y.

Przedstawić na rysunku zbiór wszystkich wiązek towarowych o wartościach
a) 20

b) 30

c) 40

d) 50

wiedząc, że cena pierwszego wyrobu wynosi 2, a cena drugiego wyrobu jest równa 5.

9. Pewien zakład produkuje dwa wyroby: I i II. Do produkcji tych wyrobów potrzebne są trzy

surowce: S

1

, S

2

, S

3

. Nakłady surowców i zyski jednostkowe są następujące:

Wyroby

Zasoby

Surowce

I

II

surowca

S

1

3

1

18

S

2

2

4

40

S

3

3

2

24

Zyski jednostkowe

2

3

Należy ustalić plan produkcji zapewniający maksymalny zysk.

10. Narysować wykres przedstawiający zależność wysokości podatku od dochodów podatnika wie-

dząc, że stawka podatku jest równa
20% przy dochodach 0 -20 000 zł;
30% przy dochodach 20 000 - 40 000 zł;
40% przydochodach powyżej 40 000 zł.

Dla uproszczenia zakładamy, że koszty uzyskania wynoszą 0 zł i podatnik nie korzysta z żad-
nych ulg podatkowych. Wysokość podatku dla każdego progu obliczamy według powszechnie
obowiązujących zasad.

11. Przy ograniczeniach 2x

1

+ 3x

2

6 30, x

1

+ 2x

2

> 10, x

1

> x

2

, x

1

> 0, 4x

2

> 2 znaleźć największą

i najmniejszą wartość funkcji celu z = x

1

+ 3x

2

.

12. Przy ograniczeniach x+y

> 8, 10x+6y > 60, 2x+y 6 16, x > 1 znaleźć największą i najmniejszą

wartość funkcji celu z = 9x + 7y.

13. Pewien (fikcyjny) system gospodarczy składa się z dwóch gałęzi. Macierz współczynników tego

systemu jest następująca

"

0.2

0.6

0.4

0.2

#

.

Ustalić plan produkcji globalnej tak, aby pierwsza gałąź wytworzyła produkt końcowy wartości
40 tys. zł, a druga 30 tys. zł. (Uwaga! Jednostką pieniężną jest 1 tys. zł.)

14. Załóżmy, że pewien system gospodarczy składa się z trzech gałęzi. Wielkości przepływów mię-

dzygałęziowych przedstawia tabela.

3

Przepływy

P.konc.

P.glob.

1

2

3

d

i

x

i

1

180

0

100

20

300

2

60

150

0

90

300

3

0

60

80

60

200

(a) Obliczyć, o ile wzrosną produkty końcowe w każdej gałęzi, jeżeli produkcje globalne wzrosną

o ∆x

1

= 30 , ∆x

2

= 24 , ∆x

3

= 20.

(b) O ile powinny wzrosnąć produkcje globalne poszczególnych gałęzi, jeżeli zażąda się wzrostu

produktów końcowych w każdej gałęzi odpowiednio o ∆d

1

= 1 , ∆d

2

= 2 , ∆d

3

= 1.

(c) Ustalić plan produkcji globalnych, tak aby produkty końcowe były równe d

1

= 5, d

2

= 10,

d

3

= 8. Jakie będą wtedy przepływy międzygałęziowe?

4