ALGEBRA LINIOWA 1,

MAEW 102

Listy zada´

n na semestr zimowy 2007/08

Opracowanie: doc. Zbigniew Skoczylas

Lista pierwsza - Kombinatoryka

1. Obliczy´c: 5!;

10!

6!

;

7
3

;

10

8

; (3!)!; 6!!; 7!!:

*Ile zer ma na ko´ncu liczba 99! ?

2. Upro´sci´c wyra·

zenia:

a)

(n + 1)!

n!;

b)

(n+5)!
(n+3)!

;

c)

[(n+1)!]

2

(n!)

2

;

d)

(2n)!

[2(n+1)]!

:

3. Napisa´c w formie rozwini ¾

etej nast ¾

epuj ¾

ace symbole:

a)

6

P

n=1

n

n+2

;

b)

10

P

n=7

3;

c)

4

P

n=1

f (x

n

);

d)

3

P

n=0

(x

2)

n

;

e)

4

Q

n=2

p

3n + 1;

f)

13

Q

n=10

n

n

;

g)

5

Q

n=1

f (x

n

)

n+1

;

h)

4

Q

n=1

x x

n

x

n+1

x

n

:

4. U·

zywaj ¾

ac symbolu sumy i/lub iloczynu zapisa´c podane wyra·

zenia w prostszej postaci:

a)

1
2

+

2

2

2

+

3

2

3

+

4

2

4

+

5

2

5

+

6

2

6

+

7

2

7

;

b)

3! (x

1)

2

+ 4! (x

1)

3

+ : : : + 100! (x

1)

99

;

c)

a

1

b

11

+ a

2

b

10

+ a

3

b

9

+ : : : + a

11

b

1

;

d)

y

1

+ y

1

y

2

+ y

1

y

2

y

3

+ : : : + y

1

y

2

y

3

: : : y

100

;

e)

1

2

2

2

3

2

3

4

2

4

5

2

5

6

2

6

7

2

;

f )

p

x

1

3

p

x

2

4

p

x

3

5

p

x

4

6

p

x

5

7

p

x

6

8

p

x

7

9

p

x

8

10

p

x

9

;

g)

[f (x

2

)

f (x

1

)] [f (x

3

)

f (x

2

)] : : : [f (x

101

)

f (x

100

)] ;

h)

(a

1

+ a

2

) (a

1

+ a

2

+ a

3

) (a

1

+ a

2

+ a

3

+ a

4

) : : : (a

1

+ a

2

+ : : : + a

22

) :

5. Zastosowa´c wzór dwumianowy Newtona do wyra·

ze´n:

a)

(2x + y)

4

;

b)

(c

1)

7

;

c)

x +

1

x

3

5

;

d)

(

p

u +

4

p

v)

8

:

6. Korzystaj ¾

ac ze wzoru dwumianowego Newtona obliczy´c sumy:

a)

n

P

k=0

n
k

;

b)

n

P

k=0

n
k

2

k

;

c)

n

P

k=0

n
k

( 1)

k

;

d)

n

P

k=0

2n+1

k

:

7. Napisa´c wszystkie permutacje utworzone z elementów zbiorów:

fK; O; T g ;

f|; }; ~; •g :

8. Wyznaczy´c z÷

o·

zenia p

q; q

p; p

p; q

q

permutacji:

p =

1 2 3 4 5
2 1 5 4 3

;

q =

1 2 3 4 5
5 4 3 2 1

:

1

9. Znale´z´c permutacje odwrotne do permutacji:

r =

1 2 3 4
3 4 1 2

;

s =

1 2 3 4 5
5 4 3 2 1

:

10. Obliczy´c liczb ¾

e inwersji w permutacjach:

p = (5; 4; 3; 1; 2; 6) ;

q = (8; 6; 5; 4; 1; 3; 7; 2) :

Okre´sli´c znaki tych permutacji.

11. Podane permutacje roz÷

o·

zy´c na cykle:

p = (4; 3; 2; 6; 5; 1) ;

q = (2; 1; 5; 4; 3; 6; 7; 8) :

12. Uzasadni´c, ·

ze liczba wszystkich permutacji zbioru n-elementowego jest równa n!: *Opracowa´c

algorytm do generowania wszystkich permutacji zbioru n-elementowego.

Lista druga - Kombinatoryka (cd.)

13. Wypisa´c:

a)

wszystkie podzbiory 3-elementowe zbioru f4; N; O; Hg ;

b)

wszystkie ,‚s÷

owa” 4-literowe, które mo·

zna utworzy´c z liter A, B;

c)

wszystkie mo·

zliwo´sci obsady stanowisk: dyrektor, ksi ¾

egowy, magazynier, je·

zeli na konkurs

zg÷

osili si ¾

e Ania, Bartek, Czes÷

aw oraz Dominik. Za÷

o·

zy´c, ·

ze wszyscy mog ¾

a pe÷

ni´c ka·

zd ¾

a z tych

funkcji. Jaka b ¾

edzie odpowied´z, je´sli do pracy „musi by´c przyj ¾

eta” Ania?

14. Na okr ¾

egu umieszczono n

> 4 ró·znych punktów. Ile czworok ¾

atów wypuk÷

ych mo·

zna utworzy´c,

wybieraj ¾

ac te punkty jako wierzcho÷

ki?

15. Na ile sposobów 8 zawodników mo·

ze zdoby´c miejsca medalowe w biegu na 100 m?

16. Tajne S÷

u·

zby stwierdzi÷

y, ·

ze w pewnym pomieszczeniu mo·

zna zainstalowa´c ukryt ¾

a kamer ¾

e (bez

fonii) w 4 miejscach, a ukryty mikrofon w 7 miejscach. Na ile sposobów, TS mog ¾

a umie´sci´c w

tym pomieszczeniu 2 kamery oraz 3 mikrofony, aby mie´c go pod pe÷

n ¾

a kontrol ¾

a?

17. Odtwarzacz MP3 zawiera 100 legalnych utworów muzycznych. W÷¾

aczono odtwarzanie losowe 20

utworów. Ile jest mo·

zliwych realizacji tego polecenia?

18. Numer na banknotach 10 z÷sk÷

ada si ¾

e z 2 liter (spo´sród A, B, ..., Z) oraz z 7 cyfr (od 0 do 9). Ile

banknotów mo·

zna oznaczy´c takimi numerami?

19. Na ile sposobów, roztargniona sekretarka mo·

ze wpi ¾

a´c 5 dokumentów do 3 pustych segregatorów?

W ka·

zdym segregatorze mieszcz ¾

a si ¾

e 4 dokumenty.

20. W klasie uczy si ¾

e 15 ch÷

opców i tyle samo dziewcz ¾

at. Na ile sposobów, uczniowie mog ¾

a ustawi´c

si ¾

e w pary przed klas ¾

a, je·

zeli ka·

zda para sk÷

ada si ¾

e z dziewczynki i ch÷

opca?

21. Dysponujemy trzema pami ¾

eciami podr ¾

ecznymi o pojemno´sciach 500 MB, 1 GB oraz 2 GB. Na

ile sposobów, mo·

zna na nich zapisa´c 10 plików o wielko´sci 100 MB ka·

zdy oraz 5 plików 300 MB?

Plików nie mo·

zna dzieli´c na mniejsze.

22. Obliczy´c, na ile sposobów 100-osobow ¾

a wycieczk¾

e mo·

zna umie´sci´c w 10-osobowym busie,

40

-osobowym autobusie oraz w 50-osobowym autokarze.

2

23. Metodami kombinatorycznymi uzasadni´c to·

zsamo´sci:

n
k

=

n

n

k

;

n
k

+

n

k + 1

=

n + 1
k + 1

:

Lista trzecia - Liczby zespolone

24. Obliczy´c:

a)

(2

5i) + 3 + i

p

2 ;

b)

(7 + 6i)

(8

3i) ; c)

(4

i) (3 + 4i) ;

d)

1+i

6 5i

;

e)

i

11

;

f )

( 1 + 2i);

g)

( 3i);

h)

(3 + 4i)

2

;

i)

(2 + i)

3

:

25. Porównuj ¾

ac cz ¾

e´sci rzeczywiste i urojone obu stron podanych równa´n znale´z´c ich rozwi ¾

azania:

a)

z = (2

i)z; b) z

2

+ 4 = 0; c) (1 + 3i) z + (2

5i) z = 2i

3; d) z

3

= 1:

26. Na p÷

aszczy´znie zespolonej narysowa´c zbiory liczb zespolonych spe÷

ni ¾

acych podane warunki:

a)

Re (z + 1) = Im (2z

4i) ; b) Re (z

2

) = 0;

c)

Im (z

2

)

6 8; d) Re

1
z

> Im (iz) :

27. Uzasadni´c to·

zsamo´sci:

a)

jzj = jzj ; b) z z = jzj

2

;

c)

jz

n

j = jzj

n

;

gdzie z 2 C oraz n 2 N:

28. Obliczy´c modu÷

y podanych liczb zespolonych:

a)

3;

b)

5

12i;

c)

p

11 + i

p

5; d)

3+4i
4 3i

; e) (1 + 2i) (i

3) ; f ) (1 + 2i)

8

;

g)

(sin 4

i cos 4 ) ;

gdzie

2 R; h) (ctg

+ i) ;

gdzie

6= n ; n 2 N:

29. Korzystaj ¾

ac z interpretacji geometrycznej modu÷

u ró·

znicy liczb zespolonych wyznaczy´c i narysowa´c

zbiory liczb zespolonych spe÷

niaj ¾

acych podane warunki:

a)

jz

2 + 3i

j < 4; b) jz + 5ij > 3; c) jz

1

j = j1 + 5i

z

j ; d) jz + 3ij < jz

1

4i

j ;

e)

jiz + 5

2i

j < j1 + ij ; f)

z 3i

z

> 1; g)

z

2

+4

z 2i

6 1; h) jz

2

+ 2iz

1

j < 9:

Lista czwarta - Liczby zespolone (cd.)

30. Wyznaczy´c argumenty g÷

ówne podanych liczb zespolonych (w razie potrzeby wykorzysta´c kalku-

lator):

a)

55;

b)

;

c)

p

2

2

i; d)

1
3

i; e) 3 + 3

p

3i;

f )

2 + 2i;

g)

1 + 3i;

h)

2

2

p

3i:

31. Podane liczby zespolone przedstawi´c w postaci trygonometrycznej:

a)

2;

b)

10 + 10i;

c)

1
2

+ i

p

3

2

;

d)

i;

e)

p

7

i

p

7;

f )

3

i

p

27:

32. Na p÷

aszczy´znie zespolonej narysowa´c zbiory liczb zespolonych spe÷

niaj ¾

acych podane warunki:

a)

arg (z) = ;

b)

6

< arg (z

i)

6

3

;

c)

2

< arg (iz) < ;

d)

arg ( z) =

4

;

e)

0 < arg (z)

6

2

3

;

f )

3

4

6 arg

1
z

6

3

2

:

33. Korzystaj ¾

ac ze wzoru de Moivre’a obliczy´c:

a)

(1

i)

11

;

b)

1
2

+ i

p

3

2

8

;

c)

2i

p

12

9

;

d)

5

p

2

i

5

p

2

10

:

34. Wyznaczy´c i narysowa´c na p÷

aszczy´znie zespolonej elementy podanych pierwiastków:

a)

4

p

16;

b)

3

p

8i;

c)

3

p

2

2i;

d)

4

p

4;

e)

6

p

1:

3

35. W zbiorze liczb zespolonych rozwi ¾

aza´c podane równania:

a)

z

2

2z + 10 = 0;

b)

z

2

+ 3iz + 4 = 0;

c)

z

4

+ 5z

2

+ 4 = 0;

d)

z

2

+ (1

3i) z

2

i = 0;

e)

z

6

= (1

i)

6

;

f )

(z

i)

4

= (z + 1)

4

:

36. *Niech !

0

; !

1

; !

2

; : : : ; !

n 1

oznaczaj ¾

a pierwiastki n-tego stopnia z jedno´sci. Pokaza´c, ·

ze

a)

!

0

+ !

1

+ !

2

+ : : : + !

n 1

= 0;

b)

!

0

!

1

!

2

: : : !

n 1

= ( 1)

n 1

:

Lista pi ¾

ata - Wielomiany

37. Dla podanych par wielomianów rzeczywistych lub zespolonych obliczy´c 3P

Q; P Q; P

2

:

a)

P (x) = x

2

3x + 2;

Q (x) = x

4

1;

b)

P (z) = z

2

1 + 4i;

Q (z) = z

3

+ (1

i) z

2

+ 5:

38. Obliczy´c iloraz wielomianu P przez Q oraz poda´c reszt ¾

e z tego dzielenia, je·

zeli:

a)

P (x) = x

4

3x

3

2x

2

+ 11x

15; Q (x) = x

3

2x + 5;

b)

P (x) = x

4

+ x + 16; Q (x) = x

2

3x + 4;

c)

P (z) = z

3

+ iz + 1; Q (z) = z

2

i:

39. Korzystaj ¾

ac ze schematu Hornera wyznaczy´c iloczyny P Q oraz ilorazy i reszty z dzielenia P : Q

dla wielomianów z zada´n 37 a), 38 a), b).

40. Znale´z´c wszystkie pierwiastki ca÷

kowite podanych wielomianów:

a)

x

3

+ 3x

2

4;

b)

x

4

2x

3

+ x

2

8x

12;

c)

x

4

x

2

2:

41. Znale´z´c wszystkie pierwiastki wymierne podanych wielomianów:

a)

6x

3

5x

2

2x + 1;

b)

3x

3

2x

2

+ 3x

2;

c)

6x

4

+ 7x

2

+ 2:

42. Odczyta´c pierwiastki rzeczywiste lub zespolone wraz z krotno´sciami podanych wielomianów:

a)

(x

1) (x + 2)

3

;

b)

(2x + 6)

2

(1

4x)

5

;

c)

(z

2

1) (z

2

+ 1)

3

(z

2

+ 9)

4

:

43. Nie wykonuj ¾

ac dziele´n wyznaczy´c reszty z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q; je·

zeli;

a)

P (x) = x

8

+ 3x

5

+ x

2

+ 4; Q (x) = x

2

1;

b)

P (x) = x

2007

+ 3x + 2008; Q (x) = x

2

+ 1;

c*)

P (x) = x

2006

+ x

1002

1; Q (x) = x

4

+ 1;

d*) P (x) = x

444

+ x

111

+ x

1; Q (x) = (x

2

+ 1)

2

:

44. Pokaza´c, ·

ze je·

zeli liczba zespolona z

1

jest pierwiastkiem wielomianu rzeczywistego P , to liczba

z

2

= z

0

tak·

ze jest pierwiastkiem wielomianu P .

Korzystaj ¾

ac z tego faktu znale´z´c pozosta÷

e

pierwiastki zespolone wielomianu P (x) = x

4

4x

3

+ 12x

2

16x + 15

wiedz ¾

ac, ·

ze jednym z nich

jest x

1

= 1 + 2i:

45. Podane wielomiany roz÷

o·

zy´c na nierozk÷

adalne czynniki rzeczywiste:

a) x

3

27;

b) x

4

+ 16;

c) x

4

+ x

2

+ 4;

d*) x

6

+ 1:

46. Podane funkcje wymierne roz÷

o·

zy´c na rzeczywiste u÷

amki proste:

a)

2x+5

x

2

x 2

;

b)

x+9

x(x+3)

2

;

c)

3x

2

+4x+3

x

3

x

2

+4x 4

;

d)

x

3

2x

2

7x+6

x

4

+10x

2

+9

:

Lista szósta - Macierze

4

47. Dla podanych par macierzy A; B wykona´c (je´sli to jest mo·

zliwe) wskazane dzia÷

ania 3A

1
2

B; A

T

;

AB; BA; A

2

:

a)

A =

1

4

2 0

; B =

0

6

8

2

;

b)

A = 1

3 2 ; B = 2

4 0 ;

c)

A =

2

6

6

4

1
0
3
0

3

7

7

5 ; B =

2 1 0 5 ;

d)

A =

2

4

1

0

1

2

1

4

3 0

2

3

5 ; B =

2

4

2 0

4

1

0

3

3

5 :

48. Rozwi ¾

aza´c równanie macierzowe

3

0

@

2

4

1

0

3 3

2

5

3

5 X

1

A = X+

2

4

4

3

0

6

1 2

3

5 :

49. Znale´z´c niewiadome x; y; z spe÷

niaj ¾

ace równanie

2

x + 2 y + 3

3

0

=

3 6
y z

T

:

50. Poda´c przyk÷

ady macierzy kwadratowych A; B; które spe÷

niaj ¾

a podane warunki:

a)

AB

6= BA;

b)

AB = 0;

ale A 6= 0; B 6= 0;

c)

A

2

= 0;

ale A 6= 0:

51. Uzasadni´c, ·

ze iloczyn

a)

macierzy diagonalnych tego samego stopnia jest macierz ¾

a diagonaln ¾

a;

b)

iloczyn macierzy trójk ¾

atnych dolnych tego samego stopnia jest macierz ¾

a trójk ¾

atn ¾

a doln ¾

a.

52. Pokaza´c, ·

ze ka·

zd ¾

a macierz kwadratow ¾

a mo·

zna przedstawi´c jednoznacznie jako sum ¾

e macierzy

symetrycznej A

T

= A

i antysymetrycznej A

T

=

A

. Napisa´c to przedstawienie dla macierzy

B =

2

6

6

4

0

1

4

2

3 5

2

8

2

4

3

4

6

0

0

1

3

7

7

5 :

53. Macierze kwadratowe A; B s ¾

a przemienne, tzn. spe÷

niaj ¾

a równo´s´c AB = BA: Pokaza´c, to·

zsamo´sci:

a)

(A

B) (A + B) = A

2

B

2

;

b) (BA)

2

= A

2

B

2

;

c) A

2

B

3

= B

3

A

2

:

54. Dla podanych macierzy A obliczy´c A

n

dla kilka pocz ¾

atkowych warto´sci n; nast ¾

epnie wysun ¾

a´c

hipotez ¾

e o postaci tych pot ¾

eg i uzasadni´c j ¾

a za pomoc ¾

a indukcji matematycznej:

a)

A =

2

4

1

0

0

0

2 0

0

0

3

3

5 ; b) A =

2

4

2 0 2
0 2 0
2 0 2

3

5 ; c*) A =

2

4

1 1 0
0 1 1
0 0 1

3

5 :

55. W zbiorze macierzy rzeczywistych znale´z´c wszystkie rozwi ¾

azania podanych równa´n:

a)

X

2

=

4 0
0 9

;

b)

X

2

=

0 0
0 0

c)

X

2

=

0 1
1 0

:

Lista siódma - Wyznaczniki

5

56. Napisa´c rozwini ¾

ecia Laplace’a podanych wyznaczników wg wskazanych kolum lub wierszy (nie

oblicza´c wyznaczników w otrzymanych rozwini ¾

eciach):

a)

1 4

3

3 1

0

2

5

2

;

trzecia kolumna;

b)

1

4

3

7

2 4

2

0

5

4

1

6

2

0

0

3

;

czwarty wiersz.

57. Obliczy´c podane wyznaczniki:

a)

2

5

3

7

;

b)

1

1

2

3

2

4

2

2

1

;

c)

2

0

0

0

3

3 5

7

4

0

1

4

5

0

2

2

d)

p

2

p

3

p

5

p

3

p

6

p

21

p

10

2

p

3

p

10 2

p

15

5

p

6

2

2

p

6

p

10

p

15

:

58. Korzystaj ¾

ac z w÷

asno´sci wyznaczników uzasadni´c, ·

ze podane macierze s ¾

a osobliwe:

a)

2

4

2

4

4

1

2

2

3

5

6

3

5 ; b)

2

4

1 2 3
4 4 4
3 2 1

3

5 ;

c)

2

6

6

4

1 5 2

2

7 5 2

5

5 7 4

4

3 3 0

3

3

7

7

5 :

59. Jakie s ¾

a mo·

zliwe warto´sci wyznacznika macierzy kwadratowej A stopnia n spe÷

niaj ¾

acej podane

warunki:

a) A

3

= 4A

dla n = 3; 4;

b) A

T

=

A

2

dla n = 3; 4 ?

60. Obliczy´c wyznaczniki podanych macierzy:

a)

2

6

6

6

6

4

1 2 3 4 5

2 2

3 4 5

3 3 3 4 5

4 4 4 4

5

6 6 6 6 6

3

7

7

7

7

5

;

b)

2

6

6

6

6

4

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

1

3

7

7

7

7

5

;

c)

2

6

6

6

6

6

4

5 3

0 : : : 0

2 5 3

: : : 0

0 2 5 : : : 0

..

.

..

.

..

.

. .. 3

0 0 0 : : : 5

3

7

7

7

7

7

5

61. *Uzasadni´c, ·

ze niezale·

znie od liczb ukrytych pod znakiem zapytania, podany wyznacznik jest

równy 0

2

6

6

6

6

4

? ?

?

? ?

? 0 0 0 ?
? 0 0 0 ?
? 0 0 0 ?
? ?

?

? ?

3

7

7

7

7

5

:

6