Zadania z matematyki dla studentów studiów zaocznych w Wałbrzychu

Zestaw 2

Algebra liniowa

1.

Wykonaj podane działania na macierzach:

B

A

°

,

C

B

°

,

C

B

A

°

°

,

T

T

B

A

°

A =



0

1

1

2

2

1

, B =



3

1

1

4

2

3

, C =



1

2

1

1

1

2

1

0

1

.

2.

Znajdź zbiór macierzy B, które dla danej macierzy A spełniają warunek A

°

B = B

°

A.

A =

1

3

2

0

.

3.

Wyznacz macierz C = A

°

B – B

°

A dla

A =



3

1

1

2

, B =

1

0

2

3

.

4.

Za pomocą operacji elementarnych na wierszach znajdź macierze odwrotne do danych:

A =

8

4

1

2

, B =

0

0

4

0

2

0

6

0

0

C =

0

1

1

1

0

2

1

2

1

.

5.

Rozwiąż równania macierzowe: dla A =

7

2

4

1

, B =

3

4

2

1

, C =



1

2

1

2

.

a)

B

C

B

X

A

°

°

°



, b)

C

B

X)

(A





°

, c)

C

A

-

X

B)

(A





°

.

6.

Wiedząc, że A, B, C są nieosobliwe znajdź macierze odwrotne do

1

T

T

2

2

)

(

)

(





B

C

B

A

C

A

°

°

°

°

°

,

1

T

1

)

(





B

B

B

A

°

°

°

,

1

1





C

B

A

°

°

.

7.

Dane są macierze : A =

2

1

3

2

i C =

4

4

1

2

.

Znajdź macierz X spełniającą równanie

1

1

1

(







B

A)

B

X

A

°

°

°

°

= C.

8.

Niech A =

4

4

1

2

, B =

3

2

4

3

.

Oblicz

1

T

1

T

T

1

T

]

)

(

[

)

(









B

A

A

B

B

A

A

C

°

°

°

°

°

°

.

9.

Oblicz ilość inwersji w permutacjach:
a) (5, 7, 6, 2, 1, 4, 3, 8), d) (2, 3, 4,...,n – 1 , n, 1)
b) (n, n – 1 , n – 2 ,...,3, 2, 1), e) ( 3, 2, 1, 6, 5, 4,...,3n, 3n – 1 , 3n – 2 ).
c) ( 2, 1, 4, 3, 6, 5,...,2n, 2n – 1 ),

10.

Zbadaj, czy iloczyn jest składnikiem wyznacznika, a jeśli jest, ustal z jakim znakiem wejdzie do
wyznacznika:

54

41

35

22

14

a

a

a

a

a









,

24

15

33

51

42

a

a

a

a

a









,

55

41

36

25

14

a

a

a

a

a









.

11.

Oblicz wyznaczniki:

a)

2

2

2

2

2

2

1

1

1

2

1

2

1

1

x

x

x

x

x

x

x

x















, b)

2

4

3

3

5

2

1

2

3

, c)

0

0

0

0

d

c

o

b

a

, d)

x

b

a

b

x

a

b

a





1

1

1

.

12.

Rozwiąż równania zapisane w postaci wyznaczników

0

log

1

log



x

x

x

x

,

2

3

2

3

3

2

x

x

x

x

x

x

x

x



,

0

1

1

1

)

1

(







x

x

x

,

0

1

3

2

1

5

3

2

4

3

2

5

4

3

2

1

2

2







x

x

,

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1











x

x

x

x

,

13.

Oblicz det (3A

°

B) oraz det ( A

°

2B

-1

) wiedząc, że A i B są macierzami stopnia 5 i

det A = 4, det B = 5.

14.

Oblicz wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia n, w której elementy

0



ij

a

dla

j

i



.

15.

Rozwiązać metodą Cramera następujące układy równań liniowych:

a)

0

3

4

2

3

2

4

3

3

3

2

2

2

1

1



























x

x

x

x

x

x

x

x

b)

0

1

0

1

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1











































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

.

16.

Metodą wyznacznikową znajdź macierze odwrotne do danych:

A =

a

a

a

1

2

, B =

1

1

2

4

1

1

1

2

1

, C =

a

a

a

1

1

1

1

1

1

.

Ustal warunki istnienia macierzy odwrotnych.

17.

Zbadaj rozwiązalność układów równań i znajdź rozwiązania, o ile istnieją:

a)

2

4

6

3

3

6

3

2

5

3

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1





























x

x

x

x

x

x

x

x

x

, b)

0

1

5

5

2

4

2

3

2

2

2

2

1

1

1

1































x

x

x

x

x

x

x

x

c)

8

4

3

2

3

3

2

2

1

1



















x

x

x

x

x

x

18.

Zbadaj ilość rozwiązań układu w zależności od parametru k.

a)















k

x

k

x

x

k

x

4

3

2

1

2

1

, b)

0

4

1

3

3

3

2

2

2

1

1



























x

x

x

x

x

x

x

k

x

c)

k

z

z

y

y

y

xk

x

x

4

2

3

2

2



























19.

Zakład wytwarza wyroby W

1

, W

2

, W

3

używając do produkcji trzech surowców S

1

, S

2

, S

3

. Zużycie

surowca S

i

na jednostkę wyrobu W

j

oraz zapasy surowców przedstawia tabela.

W

1

W

2

W

3

Zapasy

S

1

1 1 2 40

S

2

2 3 5 30

S

3

3 4 7 m

Przy jakim poziomie zapasu S

3

można podjąć decyzję o ilości produkcji każdego z wyrobów, jeśli

założyć konieczność wyczerpania zapasów?

20.

Rozwiąż jednorodne układy równań liniowych zadanych macierzami

A =

2

1

4

2

, B =





1

2

3

1

4

1

1

1

1

, C =



4

3

2

1

2

1

1

1

, D =

1

2

1

1

2

0

1

1

0

1

0

1

.