Algebra 2 liniowa Zadania

background image

Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 1)

P

RZESTRZENIE I PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE

1.

Niech S i T b˛ed ˛

a sko´nczenie wymiarowymi podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V . Wyka˙z, ˙ze

(a) Je´sli dim S = dimV , to S = V .

(b) Je´sli dimV = n oraz {v

1

, . . . , v

k

} jest baz ˛

a S, to istniej ˛

a wektory v

k+1

, . . . , v

n

V takie, ˙ze {v

1

, . . . , v

n

} jest baz ˛

a

przestrzeni V .

(c) Je´sli {v

1

, . . . , v

k

} jest baz ˛

a S za´s {v

k+1

, . . . , v

n

} jest baz ˛

a T , to {v

1

, . . . , v

n

} jest baz ˛

a V wtedy i tylko wtedy, gdy

V = S T .

2.

Niech U i V b˛ed ˛

a przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Niech {u

1

, . . . , u

n

} b˛edzie baz ˛

a U , za´s {v

1

, . . . , v

n

}

dowolnym układem wektorów przestrzeni V . Wyka˙z, ˙ze:

(a) Istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe f : U V takie, ˙ze f (u

i

) = v

i

dla i = 1, . . . , n.

(b) Przekształcenie f jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy {v

1

, . . . , v

n

} jest baz ˛

a V .

(c) U

= V wtedy i tylko wtedy, gdy dimU = dimV .

3.

Niech K b˛edzie ciałem, A = [a

i j

] ∈ K

n

m

oraz b = [b

i

] ∈ K

n

. Oznaczmy, przez A

u

macierz, której pocz ˛

atkowych

n kolumn to kolumny macierzy A a ostatni ˛

a jest kolumna b = [b

i

]. Rozwa˙zmy układ m równa´n liniowych o n

niewiadomych.

A ·


X

1

..

.

X

n


= b

(?)

Wyka˙z, ˙ze:

(a) Układ (?) ma rozwi ˛

azanie wtedy i tylko wtedy, gdy r(A) = r(A

u

).

(b) Je´sli n = m oraz det A 6= 0, to układ (?) ma dokładnie jedno rozwi ˛

azanie.

(c) Je´sli b = 0, to zbiór rozwi ˛

aza´n układu (?) jest podprzestrzeni ˛

a przestrzeni K

n

o wymiarze równym n r(A).

4.

Niech V b˛edzie n-wymiarow ˛

a przestrzeni ˛

a liniow ˛

a nad ciałem K, za´s {v

1

, . . . , v

n

} baz ˛

a V . Wska˙z naturalny izo-

morfizm V K

n

.

5.

Niech V = R[X]

n

= { f ∈ R[X] : deg f n}, natomiast przekształcenie

δ

: V V niech przyporz ˛

adkowuje wielo-

mianowi jego pochodn ˛

a. Pokaza´c, ˙ze

δ

jest endomorfizmem przestrzeni V oraz znale´z´c macierz

δ

w bazie:

(a) (1, X , X

2

, . . . , X

n

),

(b) (1, X c,

(X c)

2

2!

, . . . ,

(X c)

n

n!

), gdzie c jest ustalon ˛

a liczb ˛

a rzeczywist ˛

a.

6.

Macierz przekształcenia

ϕ

: K

3

K

3

w bazie (

ε

1

,

ε

2

,

ε

3

) ma posta´c

(a)

0

0

1

,

(b)

0

0

0

,

(c)

0

0

0

0

.

Jakie własno´sci przekształcenia

ϕ

mo˙zna st ˛

ad odczyta´c ?

7.

Obliczy´c wielomian charakterystyczny endomorfizmu, który w pewnej bazie ma macierz postaci






a

n−1

a

n−2

· · ·

a

1

a

0

1

0

· · ·

0

0

0

1

· · ·

0

0

..

.

..

.

. ..

..

.

..

.

0

0

· · ·

1

0






;

(b)






0

0

· · ·

0

a

0

1

0

· · ·

0

a

1

0

1

· · ·

0

a

2

..

.

..

.

. .

.

..

.

..

.

0

0

· · ·

1

a

n−1






.

Czy ka˙zdy wielomian unormowany, z dokładno´sci ˛

a do znaku, mo˙ze by´c wielomianem charakterystycznym jakiego´s

endomorfizmu ?

8.

Niech

ϕ

: R[X]

3

→ R[X]

3

b˛edzie przekształceniem danym wzorem

ϕ

( f (X )) = ((X + 3) f (X ))

0

. Sprawdzi´c, ˙ze

ϕ

jest

przekształceniem liniowym i obliczy´c jego warto´sci własne i wektory własne.

9.

Dana jest macierz

A =

−3

0

2

−4

1

2

−4

0

3

. Znale´z´c tak ˛

a macierz odwracaln ˛

a C M

3

(R) aby macierz C

−1

AC była

diagonalna. Obliczy´c A

2001

.

1

background image

Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 2)

G

EOMETRIA PRZESTRZENI EUKLIDESOWYCH

Wykorzystuj ˛

ac iloczyn skalarny udowodni´c nast˛epuj ˛

ace twierdzenia dotycz ˛

ace przestrzeni euklidesowej:

1.

Wysoko´sci dowolnego trójk ˛

ata przecinaj ˛

a si˛e w jednym punkcie.

2.

Symetralne boków dowolnego trójk ˛

ata przecinaj ˛

a si˛e w jednym punkcie.

3.

W dowolnym trójk ˛

acie punkty przeci˛ecia si˛e ´srodkowych, wysoko´sci i symetralnych boków le˙z ˛

a na jednej prostej.

4.

Twierdzenie cosinusów. Je˙zeli A, B,C s ˛

a trzema ró˙znymi punktami przestrzeni euklidesowej, to

k

−→

AB k

2

= k

−→

BC k

2

+ k

−→

CA k

2

−2 k

−→

CA k · k

−→

BC k · cos(

∠{

−→

CA,

−→

CB}).

Wyprowad´z st ˛

ad twierdzenie Pitagorasa.

5.

Je˙zeli A, B,C s ˛

a trzema ró˙znymi punktami przestrzeni euklidesowej, to

(

−→

CA,

−→

CB) =

k

−→

CA k

2

+ k

−→

CB k

2

− k

−→

AB k

2

2

.

6.

Je˙zeli A, B,C s ˛

a wierzchołkami trójk ˛

ata oraz punkt D jest rzutem punktu C na prost ˛

a AB (spodek wysoko´sci trójk ˛

ata

ABC), to k

−→

CD k

2

= (

−→

CA,

−→

CB) − (

−→

DA,

−→

DB).

Ponadto je´sli wektory

−→

CA,

−→

CB s ˛

a prostopadłe, to k

−→

CD k

2

=k

−→

DA k · k

−→

DB k.

7.

Je˙zeli A, B,C s ˛

a wierzchołkami trójk ˛

ata oraz punkt S jest ´srodkiem odcinka AB, to

k

−→

CS k

2

=k

−→

CA k · k

−→

CB k · cos(

∠{

−→

CA,

−→

CB}) +

1

4

k

−→

AB k

2

oraz

k

−→

CS k

2

=

2 k

−→

CA k

2

+2 k

−→

CB k

2

− k

−→

AB k

2

2

.

8.

Twierdzenie sinusów. Je˙zeli A, B,C s ˛

a wierzchołkami trójk ˛

ata, to

k

−→

AC k

sin(

∠{

−→

BA,

−→

BC})

=

k

−→

BC k

sin(

∠{

−→

AB,

−→

AC})

=

k

−→

AB k

sin(

∠{

−→

CA,

−→

CB})

.

9.

Wzór Herona. Pole trójk ˛

ata o bokach a, b, c wyra˙za si˛e wzorem s =

p p(p a)(p b)(p c), gdzie p =

a+b+c

2

.

10.

Twierdzenie Ptolemeusza. W czworok ˛

acie wpisanym w okr ˛

ag iloczyn długo´sci przek ˛

atnych jest równy sumie ilo-

czynów długo´sci boków przeciwległych.

Wskazówki do rozwi ˛

azania powy˙zszych zada´n a tak˙ze dowody wielu innych interesuj ˛

acych faktów geometrycznych

mo˙zna znale´z´c w ksi ˛

a˙zce Edwarda Piegata pt. „Wektory i geometria", PZWS, Warszawa 1964.

2

background image

Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 3)

P

RZYKŁADY FUNKCJONAŁÓW DWULINIOWYCH

1.

Które z wymienionych funkcji s ˛

a formami dwuliniowymi na odpowiednich przestrzeniach liniowych:

(a)

β

(x, y) = x

T

· y, gdzie x, y K

n

za´s K jest ciałem;

(b)

β

(x, y) = x · y

T

, gdzie x, y K

n

za´s K jest ciałem;

(c)

β

(A, B) = tr (AB), gdzie A, B M(n, K) za´s K jest ciałem;

(d)

β

(A, B) = tr (AB BA), gdzie A, B M(n, K) za´s K jest ciałem;

(e)

β

(A, B) = AB, gdzie A, B M(n, K) za´s K jest ciałem;

(f)

β

(A, B) = tr (A + B), gdzie A, B M(n, K) za´s K jest ciałem;

(g)

β

(A, B) = tr (AB

T

), gdzie A, B M(n, K) za´s K jest ciałem;

(h)

β

(x, y) = Re (xy), gdzie x, y ∈ C za´s C jest przestrzeni ˛

a nad R;

(i)

β

(x, y) = Re (x ¯

y), gdzie x, y ∈ C za´s C jest przestrzeni ˛

a nad R;

(j)

β

(x, y) = Im (x ¯

y), gdzie x, y ∈ C za´s C jest przestrzeni ˛

a nad R;

(k)

β

(x, y) = |xy|, gdzie x, y ∈ C za´s C jest przestrzeni ˛

a nad R;

(l)

β

( f , g) =

R

b

a

f gdx, gdzie f , g s ˛

a funkcjami ci ˛

agłymi na przedziale [a, b];

(m)

β

( f , g) =

R

b

a

( f + g)

2

dx, gdzie f , g s ˛

a funkcjami ci ˛

agłymi na przedziale [a, b];

(n)

β

( f , g) =

R

b

a

f g

0

dx, gdzie f , g s ˛

a funkcjami ró˙zniczkowalnymi oraz f (a) = f (b) = g(a) = g(b) = 0;

(o)

β

( f , g) = ( f g)(a), gdzie f , g K[X ] oraz a K;

(p)

β

( f , g) = deg( f g), gdzie f , g K[X ].

W przypadku, gdy

β

jest funkcjonałem dwuliniowym zbadaj, czy jest on symetryczny, sko´snie symetryczny lub

alternuj ˛

acy.

2.

W sko´nczenie wymiarowych przestrzeniach dwuliniowych z poprzedniego zadania wybra´c baz˛e i znale´z´c macierz
funkcjonału dwuliniowego w tej bazie.

3.

Niech C(a, b) b˛edzie przestrzeni ˛

a funkcji ci ˛

agłych na odcinku (a, b) za´s G(x) b˛edzie ustalon ˛

a funkcj ˛

a na odcinku

(a, b) na C(a, b). Wykaza´c, ˙ze odwzorowanie

β

( f , g) =

R

b

a

G(x) f (x)g(x) dx jest form ˛

a dwuliniow ˛

a.

4.

Wykaza´c, ˙ze wielomiany Legendre’a

P

0

(x) = 1,

P

k

(x) =

1

2

k

k!

d

k

dx

k

[(x

2

− 1)

k

],

k = 1, 2, . . . , n

tworz ˛

a baz˛e ortogonaln ˛

a w przestrzeni euklidesowej (R

n

[X ],

β

), gdzie

β

( f , g) =

R

1

−1

(x)g(x) dx.

5.

W przestrzeni liniowej C(0, 2

π

) wszystkich funkcji ci ˛

agłych okre´slonych na przedziale (0, 2

π

) funkcjonał dwuli-

niowy okre´slony jest wzorem

β

( f , g) =

Z

2

π

0

f g dx.

Niech

F

b˛edzie podprzestrzeni ˛

a przestrzeni C(0, 2

π

) generowan ˛

a przez zbiór {cos nx, sin nx : n Z} (elementy

przestrzeni

F

nazywamy wielomianami Fouriera).

Wyka˙z, ˙ze układ funkcji

(

1

2

π

,

1

π

cos nx,

1

π

sin nx : n N)

jest baz ˛

a ortonormaln ˛

a przestrzeni

F

oraz, ˙ze współrz˛edne a

0

, a

1

, b

1

, a

2

, b

2

, . . . funkcji f

F

w tej bazie wyra˙zaj ˛

a

si˛e wzorami:

a

0

=

1

2

π

Z

2

π

0

f (x) dx, a

n

=

1

π

Z

2

π

0

f (x) cos nx dx, b

n

=

1

π

Z

2

π

0

f (x) sin nx dx, n = 1, 2, . . .

(współrz˛edne te nazywamy współczynnikami Fouriera tej funkcji).

6.

Niech (

, P) b˛edzie przestrzeni ˛

a probabilistyczn ˛

a oraz F(

) przestrzeni ˛

a zmiennych losowych okre´slonych na tej

przestrzeni. Wykaza´c, ˙ze funkcja

β

(X ,Y ) = E(XY ) jest funkcjonałem dwuliniowym na F(

) (tutaj E(Z) oznacza

warto´s´c oczekiwan ˛

a zmiennej losowej Z). W przypadku, gdy

jest zbiorem sko´nczonym znale´z´c WKW na to aby

funkcjonał

β

był dodatnio okre´slony.

7.

Wykaza´c, ˙ze rodzina P(X ) podzbiorów zbioru X z ró˙znic ˛

a symetryczn ˛

a (jako dodawaniem) i naturalnym mno˙ze-

niem przez elementy ciała F

2

jest przestrzeni ˛

a liniow ˛

a nad F

2

. Sprawd´z, ˙ze odwzorowanie

β

(A, B) = |A B| mod 2

jest funkcjonałem dwuliniowym na tej przestrzeni.

3

background image

Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 4)

W

ŁASNO ´SCI PRZESTRZENI DWULINIOWYCH

K. S

ZYMICZEK

Wykłady z algebry dwuliniowej

:

Zadania 1–10 ze stron 20 i 21.

4

background image

Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 5)

M

ACIERZE PRZESTRZENI DWULINIOWYCH

K. S

ZYMICZEK

Wykłady z algebry dwuliniowej

:

Zadania 1–10 ze stron 29 i 30.

5

background image

Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 6)

I

ZOMETRIE

;

PRZESTRZENIE NIEOSOBLIWE

K. S

ZYMICZEK

Wykłady z algebry dwuliniowej

:

Zadania 1–10 ze stron 37–39 oraz zadania 3–7 ze stron 50–51.

6

background image

Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 7)

D

IAGONALIZACJA PRZESTRZENI DWULINIOWYCH

K. S

ZYMICZEK

Wykłady z algebry dwuliniowej

:

Zadania 1, 2, 3, 6, 9 ze stron 60–62.

7

background image

Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 8)

I

LOCZYN TENSOROWY

1.

Wyka˙z nast˛epuj ˛

ace własno´sci iloczynu tensorowego przestrzeni liniowych nad ciałem K:

(a) V K

= V

= K V ,

(b) V

1

V

2

= V

2

V

1

,

(c) (V

1

V

2

) ⊗V

3

= V

1

V

2

V

3

,

(d) V

1

⊗ (V

2

V

3

) ∼

= V

1

V

2

V

3

,

(e) (V

1

V

2

) ⊗V

3

= (V

1

V

2

) ⊕ (V

1

V

3

),

(f) V

1

⊗ (V

2

V

3

) ∼

= (V

1

V

2

) ⊕ (V

1

V

3

),

(g) V

1

⊗ (V

2

⊗ . . . ⊗V

n

) ∼

= (V

1

⊗ . . . ⊗V

n−1

) ⊗V

n

,

(h) V

1

⊗ . . . ⊗V

n

= V

σ

(1)

⊗ . . . ⊗V

σ

(n)

dla dowolnego

σ

S(n).

(i) (V

1

⊗ . . .V

k

) ⊗ (V

k+1

⊗ . . . ⊗V

n

) ∼

= V

1

⊗ . . . ⊗V

n

,

2.

Wska˙z naturalne izomorfizmy podanych przestrzeni liniowych nad ciałem K:

(a) K

n

K

m

= K

m

n

,

(b) K

n

n

K

m

m

= K

nm

nm

,

(c) K[X ] ⊗ K[Y ] ∼

= K[X ,Y ],

(d) K[X ]

m

K[Y ]

n

= K[X , Y ]

m,n

,

gdzie K[X , Y ]

m,n

= lin

K

{ X

k

Y

l

: k m, l n}.

3.

Wyka˙z izomorfizm:

V

W

= Hom

K

(V,W ).

Wskazówka. Rozwa˙z odwzorowanie t : V

×W → Hom

K

(V,W ), takie, ˙ze t( f , w)(v) = f (v) · w.

4.

Niech (v

1

, v

2

, v

3

) b˛edzie baz ˛

a przestrzeni V , za´s (w

1

, w

2

) baz ˛

a przestrzeni W . Znajd´z współrz˛edne wektora v

1

w

1

w bazach przestrzeni V W wyznaczonych przez nast˛epuj ˛

ace bazy przestrzeni V i W :

(a) (v

1

, v

2

, v

3

) oraz (w

1

, w

2

),

(b) (v

1

+ v

2

, v

2

+ v

3

, v

3

) oraz (w

1

+ w

2

, w

2

),

(c) (v

1

, v

1

+ v

2

, v

1

+ v

2

+ v

3

) oraz (w

1

, −w

2

).

5.

Je´sli V jest przestrzeni ˛

a liniow ˛

a nad K oraz K < L, to przez V

L

oznaczmy przestrze´n otrzyman ˛

a przez rozszerzenie

ciała skalarów do ciała L. Wyka˙z, nast˛epuj ˛

ace izomorfizmy przestrzeni liniowych:

(a) (K

n

)

L

= L

n

,

(b) (K

n

m

)

L

= L

n

m

,

(c) (V

)

L

= (V

L

)

,

(d) (K[X ])

L

= L[X ].

6.

Niech

φ

: K

2

K

2

,

ψ

: K

3

K

2

b˛ed ˛

a przekształceniami liniowymi o macierzach w bazach jednostkowych rów-

nych odpowiednio

1 2

1

0

,

2 3 −1

1

2

2

. Znajd´z (

φ

ψ

)(

ε

1

ε

1

), (

φ

ψ

)(

ε

1

ε

2

), (

φ

ψ

)(

ε

1

ε

2

+

ε

2

ε

1

),

(

φ

ψ

)((

ε

1

+

ε

2

) ⊗ (

ε

1

ε

3

)).

7.

Wyka˙z, ˙ze:

(a) dla dowolnych przestrzeni liniowych V

1

, . . . ,V

n

zachodzi równo´s´c Id

V

1

⊗ . . . ⊗ Id

V

n

= Id

V

1

⊗...⊗V

n

,

(b) je´sli

φ

i

∈ Hom

K

(V

i

, W

i

),

ψ

i

∈ Hom

K

(W

i

, U

i

), dla i = 1, . . . , n, to

(

ψ

1

⊗ . . . ⊗

ψ

n

) ◦ (

φ

1

⊗ . . . ⊗

φ

n

) = (

ψ

1

φ

1

) ⊗ . . . ⊗ (

ψ

n

φ

n

).

(c) je´sli

φ

i

∈ Hom

K

(V

i

, W

i

) s ˛

a izomorfizmami dla i = 1, . . . , n, to

φ

1

⊗ . . . ⊗

φ

n

jest izomorfizmem oraz

(

ψ

1

⊗ . . . ⊗

ψ

n

)

−1

=

ψ

−1
1

⊗ . . . ⊗

ψ

−1

n

.

8.

Wyka˙z, ˙ze:

(a) macierze jednostkowe I

m

K

m

m

, I

n

K

n

n

spełniaj ˛

a równo´s´c I

m

I

n

= I

mn

,

(b) je´sli A

1

K

n

m

, B

1

K

l

k

, A

2

K

m

p

, B

2

K

k

q

, to (A

2

B

2

)(A

1

B

1

) = (A

2

A

1

) ⊗ (B

2

B

1

).

(c) je´sli A ∈ Gl (m, K), B ∈ Gl (n, K), to A B ∈ Gl (mn, K) oraz (A B)

−1

= A

−1

B

−1

.

Wskazówka. Wykorzystaj poprzednie zadanie.

9.

Wyka˙z, ˙ze:

(a) je´sli A K

n

m

, B

1

, B

2

K

l

k

, to A ⊗ (B

1

+ B

2

) = (A B

1

) + (A B

2

),

(b) je´sli A

1

, A

2

K

n

m

, B K

l

k

, to (A

1

+ A

2

) ⊗ B = (A

1

B) + (A

2

B).

10.

Wyka˙z, ˙ze je´sli A K

m

m

, B

1

, B

2

K

n

n

, to det(A B) = det A

n

det B

m

.

Wskazówka. Korzystaj ˛

ac z zadania 18(b) zapisz macierz A B jako iloczyn dwóch macierzy blokowych A B =

(A I

n

)(I

m

B) i zastosuj twierdzenie Cauchy’ego.

8

background image

Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 9)

S

UMY I ILOCZYNY PRZESTRZENI DWULINIOWYCH

K. S

ZYMICZEK

Wykłady z algebry dwuliniowej

:

Zadanie 8 i 9 ze strony 124 oraz zadania 2–6 i 9–11 ze stron 154–155.

9

background image

Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 10)

T

WIERDZENIA

W

ITTA

K. S

ZYMICZEK

Wykłady z algebry dwuliniowej

:

Zadanie 1–6 ze stron 71–72 oraz zadania 1–4 ze strony 83.

10

background image

Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 11)

P

IER ´SCIE ´

N

W

ITTA

K. S

ZYMICZEK

Wykłady z algebry dwuliniowej

:

Zadanie 1–6 ze stron 164–165.

11


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Algebra liniowa zadania 2
Algebra Liniowa Zadania(1)
Algebra liniowa zadania
Algebra liniowa zadania
Algebra liniowa-zadania
Algebra liniowa zadania id 57234
Algebra liniowa zadania 2
Algebra 2 liniowa Zadania
Algebra liniowa zadania id 5728 Nieznany (2)
Algebra liniowa zadania, mechanika i budowa maszyn, politechnika, polibuda, matma, matma
Algebra liniowa Zadania 2
Jurlewicz Skoczylas Algebra liniowa 2 Przykłady i zadania
,algebra liniowa z geometrią analityczną, PRZYKŁADY FUNKCJONAŁÓW DWULINIOWYCH zadania
zadania pochodne2 (dr R. Lizak), 2 Semestr, Analiza matematyczna i algebra liniowa, zad mat

więcej podobnych podstron