Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 1)
P
RZESTRZENIE I PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE
1.
Niech S i T b˛ed ˛
a sko´nczenie wymiarowymi podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V . Wyka˙z, ˙ze
(a) Je´sli dim S = dimV , to S = V .
(b) Je´sli dimV = n oraz {v
1
, . . . , v
k
} jest baz ˛
a S, to istniej ˛
a wektory v
k+1
, . . . , v
n
∈ V takie, ˙ze {v
1
, . . . , v
n
} jest baz ˛
a
przestrzeni V .
(c) Je´sli {v
1
, . . . , v
k
} jest baz ˛
a S za´s {v
k+1
, . . . , v
n
} jest baz ˛
a T , to {v
1
, . . . , v
n
} jest baz ˛
a V wtedy i tylko wtedy, gdy
V = S ⊕ T .
2.
Niech U i V b˛ed ˛
a przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Niech {u
1
, . . . , u
n
} b˛edzie baz ˛
a U , za´s {v
1
, . . . , v
n
}
dowolnym układem wektorów przestrzeni V . Wyka˙z, ˙ze:
(a) Istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe f : U → V takie, ˙ze f (u
i
) = v
i
dla i = 1, . . . , n.
(b) Przekształcenie f jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy {v
1
, . . . , v
n
} jest baz ˛
a V .
(c) U ∼
= V wtedy i tylko wtedy, gdy dimU = dimV .
3.
Niech K b˛edzie ciałem, A = [a
i j
] ∈ K
n
m
oraz b = [b
i
] ∈ K
n
. Oznaczmy, przez A
u
macierz, której pocz ˛
atkowych
n kolumn to kolumny macierzy A a ostatni ˛
a jest kolumna b = [b
i
]. Rozwa˙zmy układ m równa´n liniowych o n
niewiadomych.
A ·
X
1
..
.
X
n
= b
(?)
Wyka˙z, ˙ze:
(a) Układ (?) ma rozwi ˛
azanie wtedy i tylko wtedy, gdy r(A) = r(A
u
).
(b) Je´sli n = m oraz det A 6= 0, to układ (?) ma dokładnie jedno rozwi ˛
azanie.
(c) Je´sli b = 0, to zbiór rozwi ˛
aza´n układu (?) jest podprzestrzeni ˛
a przestrzeni K
n
o wymiarze równym n − r(A).
4.
Niech V b˛edzie n-wymiarow ˛
a przestrzeni ˛
a liniow ˛
a nad ciałem K, za´s {v
1
, . . . , v
n
} baz ˛
a V . Wska˙z naturalny izo-
morfizm V → K
n
.
5.
Niech V = R[X]
n
= { f ∈ R[X] : deg f ≤ n}, natomiast przekształcenie
δ
: V → V niech przyporz ˛
adkowuje wielo-
mianowi jego pochodn ˛
a. Pokaza´c, ˙ze
δ
jest endomorfizmem przestrzeni V oraz znale´z´c macierz
δ
w bazie:
(a) (1, X , X
2
, . . . , X
n
),
(b) (1, X − c,
(X − c)
2
2!
, . . . ,
(X − c)
n
n!
), gdzie c jest ustalon ˛
a liczb ˛
a rzeczywist ˛
a.
6.
Macierz przekształcenia
ϕ
: K
3
→ K
3
w bazie (
ε
1
,
ε
2
,
ε
3
) ma posta´c
(a)
∗
∗
0
∗
∗
0
∗
∗
1
,
(b)
∗
∗
0
∗
∗
0
∗
∗
0
,
(c)
∗
∗
0
∗
∗
0
0
0
∗
.
Jakie własno´sci przekształcenia
ϕ
mo˙zna st ˛
ad odczyta´c ?
7.
Obliczy´c wielomian charakterystyczny endomorfizmu, który w pewnej bazie ma macierz postaci
−a
n−1
−a
n−2
· · ·
−a
1
−a
0
1
0
· · ·
0
0
0
1
· · ·
0
0
..
.
..
.
. ..
..
.
..
.
0
0
· · ·
1
0
;
(b)
0
0
· · ·
0
−a
0
1
0
· · ·
0
−a
1
0
1
· · ·
0
−a
2
..
.
..
.
. .
.
..
.
..
.
0
0
· · ·
1
−a
n−1
.
Czy ka˙zdy wielomian unormowany, z dokładno´sci ˛
a do znaku, mo˙ze by´c wielomianem charakterystycznym jakiego´s
endomorfizmu ?
8.
Niech
ϕ
: R[X]
3
→ R[X]
3
b˛edzie przekształceniem danym wzorem
ϕ
( f (X )) = ((X + 3) f (X ))
0
. Sprawdzi´c, ˙ze
ϕ
jest
przekształceniem liniowym i obliczy´c jego warto´sci własne i wektory własne.
9.
Dana jest macierz
A =
−3
0
2
−4
1
2
−4
0
3
. Znale´z´c tak ˛
a macierz odwracaln ˛
a C ∈ M
3
(R) aby macierz C
−1
AC była
diagonalna. Obliczy´c A
2001
.
1
Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 2)
G
EOMETRIA PRZESTRZENI EUKLIDESOWYCH
Wykorzystuj ˛
ac iloczyn skalarny udowodni´c nast˛epuj ˛
ace twierdzenia dotycz ˛
ace przestrzeni euklidesowej:
1.
Wysoko´sci dowolnego trójk ˛
ata przecinaj ˛
a si˛e w jednym punkcie.
2.
Symetralne boków dowolnego trójk ˛
ata przecinaj ˛
a si˛e w jednym punkcie.
3.
W dowolnym trójk ˛
acie punkty przeci˛ecia si˛e ´srodkowych, wysoko´sci i symetralnych boków le˙z ˛
a na jednej prostej.
4.
Twierdzenie cosinusów. Je˙zeli A, B,C s ˛
a trzema ró˙znymi punktami przestrzeni euklidesowej, to
k
−→
AB k
2
= k
−→
BC k
2
+ k
−→
CA k
2
−2 k
−→
CA k · k
−→
BC k · cos(
∠{
−→
CA,
−→
CB}).
Wyprowad´z st ˛
ad twierdzenie Pitagorasa.
5.
Je˙zeli A, B,C s ˛
a trzema ró˙znymi punktami przestrzeni euklidesowej, to
(
−→
CA,
−→
CB) =
k
−→
CA k
2
+ k
−→
CB k
2
− k
−→
AB k
2
2
.
6.
Je˙zeli A, B,C s ˛
a wierzchołkami trójk ˛
ata oraz punkt D jest rzutem punktu C na prost ˛
a AB (spodek wysoko´sci trójk ˛
ata
ABC), to k
−→
CD k
2
= (
−→
CA,
−→
CB) − (
−→
DA,
−→
DB).
Ponadto je´sli wektory
−→
CA,
−→
CB s ˛
a prostopadłe, to k
−→
CD k
2
=k
−→
DA k · k
−→
DB k.
7.
Je˙zeli A, B,C s ˛
a wierzchołkami trójk ˛
ata oraz punkt S jest ´srodkiem odcinka AB, to
k
−→
CS k
2
=k
−→
CA k · k
−→
CB k · cos(
∠{
−→
CA,
−→
CB}) +
1
4
k
−→
AB k
2
oraz
k
−→
CS k
2
=
2 k
−→
CA k
2
+2 k
−→
CB k
2
− k
−→
AB k
2
2
.
8.
Twierdzenie sinusów. Je˙zeli A, B,C s ˛
a wierzchołkami trójk ˛
ata, to
k
−→
AC k
sin(
∠{
−→
BA,
−→
BC})
=
k
−→
BC k
sin(
∠{
−→
AB,
−→
AC})
=
k
−→
AB k
sin(
∠{
−→
CA,
−→
CB})
.
9.
Wzór Herona. Pole trójk ˛
ata o bokach a, b, c wyra˙za si˛e wzorem s =
p p(p − a)(p − b)(p − c), gdzie p =
a+b+c
2
.
10.
Twierdzenie Ptolemeusza. W czworok ˛
acie wpisanym w okr ˛
ag iloczyn długo´sci przek ˛
atnych jest równy sumie ilo-
czynów długo´sci boków przeciwległych.
Wskazówki do rozwi ˛
azania powy˙zszych zada´n a tak˙ze dowody wielu innych interesuj ˛
acych faktów geometrycznych
mo˙zna znale´z´c w ksi ˛
a˙zce Edwarda Piegata pt. „Wektory i geometria", PZWS, Warszawa 1964.
2
Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 3)
P
RZYKŁADY FUNKCJONAŁÓW DWULINIOWYCH
1.
Które z wymienionych funkcji s ˛
a formami dwuliniowymi na odpowiednich przestrzeniach liniowych:
(a)
β
(x, y) = x
T
· y, gdzie x, y ∈ K
n
za´s K jest ciałem;
(b)
β
(x, y) = x · y
T
, gdzie x, y ∈ K
n
za´s K jest ciałem;
(c)
β
(A, B) = tr (AB), gdzie A, B ∈ M(n, K) za´s K jest ciałem;
(d)
β
(A, B) = tr (AB − BA), gdzie A, B ∈ M(n, K) za´s K jest ciałem;
(e)
β
(A, B) = AB, gdzie A, B ∈ M(n, K) za´s K jest ciałem;
(f)
β
(A, B) = tr (A + B), gdzie A, B ∈ M(n, K) za´s K jest ciałem;
(g)
β
(A, B) = tr (AB
T
), gdzie A, B ∈ M(n, K) za´s K jest ciałem;
(h)
β
(x, y) = Re (xy), gdzie x, y ∈ C za´s C jest przestrzeni ˛
a nad R;
(i)
β
(x, y) = Re (x ¯
y), gdzie x, y ∈ C za´s C jest przestrzeni ˛
a nad R;
(j)
β
(x, y) = Im (x ¯
y), gdzie x, y ∈ C za´s C jest przestrzeni ˛
a nad R;
(k)
β
(x, y) = |xy|, gdzie x, y ∈ C za´s C jest przestrzeni ˛
a nad R;
(l)
β
( f , g) =
R
b
a
f gdx, gdzie f , g s ˛
a funkcjami ci ˛
agłymi na przedziale [a, b];
(m)
β
( f , g) =
R
b
a
( f + g)
2
dx, gdzie f , g s ˛
a funkcjami ci ˛
agłymi na przedziale [a, b];
(n)
β
( f , g) =
R
b
a
f g
0
dx, gdzie f , g s ˛
a funkcjami ró˙zniczkowalnymi oraz f (a) = f (b) = g(a) = g(b) = 0;
(o)
β
( f , g) = ( f g)(a), gdzie f , g ∈ K[X ] oraz a ∈ K;
(p)
β
( f , g) = deg( f g), gdzie f , g ∈ K[X ].
W przypadku, gdy
β
jest funkcjonałem dwuliniowym zbadaj, czy jest on symetryczny, sko´snie symetryczny lub
alternuj ˛
acy.
2.
W sko´nczenie wymiarowych przestrzeniach dwuliniowych z poprzedniego zadania wybra´c baz˛e i znale´z´c macierz
funkcjonału dwuliniowego w tej bazie.
3.
Niech C(a, b) b˛edzie przestrzeni ˛
a funkcji ci ˛
agłych na odcinku (a, b) za´s G(x) b˛edzie ustalon ˛
a funkcj ˛
a na odcinku
(a, b) na C(a, b). Wykaza´c, ˙ze odwzorowanie
β
( f , g) =
R
b
a
G(x) f (x)g(x) dx jest form ˛
a dwuliniow ˛
a.
4.
Wykaza´c, ˙ze wielomiany Legendre’a
P
0
(x) = 1,
P
k
(x) =
1
2
k
k!
d
k
dx
k
[(x
2
− 1)
k
],
k = 1, 2, . . . , n
tworz ˛
a baz˛e ortogonaln ˛
a w przestrzeni euklidesowej (R
n
[X ],
β
), gdzie
β
( f , g) =
R
1
−1
(x)g(x) dx.
5.
W przestrzeni liniowej C(0, 2
π
) wszystkich funkcji ci ˛
agłych okre´slonych na przedziale (0, 2
π
) funkcjonał dwuli-
niowy okre´slony jest wzorem
β
( f , g) =
Z
2
π
0
f g dx.
Niech
F
b˛edzie podprzestrzeni ˛
a przestrzeni C(0, 2
π
) generowan ˛
a przez zbiór {cos nx, sin nx : n ∈ Z} (elementy
przestrzeni
F
nazywamy wielomianami Fouriera).
Wyka˙z, ˙ze układ funkcji
(
1
√
2
π
,
1
√
π
cos nx,
1
√
π
sin nx : n ∈ N)
jest baz ˛
a ortonormaln ˛
a przestrzeni
F
oraz, ˙ze współrz˛edne a
0
, a
1
, b
1
, a
2
, b
2
, . . . funkcji f ∈
F
w tej bazie wyra˙zaj ˛
a
si˛e wzorami:
a
0
=
1
√
2
π
Z
2
π
0
f (x) dx, a
n
=
1
√
π
Z
2
π
0
f (x) cos nx dx, b
n
=
1
√
π
Z
2
π
0
f (x) sin nx dx, n = 1, 2, . . .
(współrz˛edne te nazywamy współczynnikami Fouriera tej funkcji).
6.
Niech (
Ω
, P) b˛edzie przestrzeni ˛
a probabilistyczn ˛
a oraz F(
Ω
) przestrzeni ˛
a zmiennych losowych okre´slonych na tej
przestrzeni. Wykaza´c, ˙ze funkcja
β
(X ,Y ) = E(XY ) jest funkcjonałem dwuliniowym na F(
Ω
) (tutaj E(Z) oznacza
warto´s´c oczekiwan ˛
a zmiennej losowej Z). W przypadku, gdy
Ω
jest zbiorem sko´nczonym znale´z´c WKW na to aby
funkcjonał
β
był dodatnio okre´slony.
7.
Wykaza´c, ˙ze rodzina P(X ) podzbiorów zbioru X z ró˙znic ˛
a symetryczn ˛
a (jako dodawaniem) i naturalnym mno˙ze-
niem przez elementy ciała F
2
jest przestrzeni ˛
a liniow ˛
a nad F
2
. Sprawd´z, ˙ze odwzorowanie
β
(A, B) = |A ∩ B| mod 2
jest funkcjonałem dwuliniowym na tej przestrzeni.
3
Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 4)
W
ŁASNO ´SCI PRZESTRZENI DWULINIOWYCH
K. S
ZYMICZEK
Wykłady z algebry dwuliniowej
:
Zadania 1–10 ze stron 20 i 21.
4
Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 5)
M
ACIERZE PRZESTRZENI DWULINIOWYCH
K. S
ZYMICZEK
Wykłady z algebry dwuliniowej
:
Zadania 1–10 ze stron 29 i 30.
5
Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 6)
I
ZOMETRIE
;
PRZESTRZENIE NIEOSOBLIWE
K. S
ZYMICZEK
Wykłady z algebry dwuliniowej
:
Zadania 1–10 ze stron 37–39 oraz zadania 3–7 ze stron 50–51.
6
Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 7)
D
IAGONALIZACJA PRZESTRZENI DWULINIOWYCH
K. S
ZYMICZEK
Wykłady z algebry dwuliniowej
:
Zadania 1, 2, 3, 6, 9 ze stron 60–62.
7
Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 8)
I
LOCZYN TENSOROWY
1.
Wyka˙z nast˛epuj ˛
ace własno´sci iloczynu tensorowego przestrzeni liniowych nad ciałem K:
(a) V ⊗ K ∼
= V ∼
= K ⊗V ,
(b) V
1
⊗V
2
∼
= V
2
⊗V
1
,
(c) (V
1
⊗V
2
) ⊗V
3
∼
= V
1
⊗V
2
⊗V
3
,
(d) V
1
⊗ (V
2
⊗V
3
) ∼
= V
1
⊗V
2
⊗V
3
,
(e) (V
1
⊕V
2
) ⊗V
3
∼
= (V
1
⊗V
2
) ⊕ (V
1
⊗V
3
),
(f) V
1
⊗ (V
2
⊕V
3
) ∼
= (V
1
⊗V
2
) ⊕ (V
1
⊗V
3
),
(g) V
1
⊗ (V
2
⊗ . . . ⊗V
n
) ∼
= (V
1
⊗ . . . ⊗V
n−1
) ⊗V
n
,
(h) V
1
⊗ . . . ⊗V
n
∼
= V
σ
(1)
⊗ . . . ⊗V
σ
(n)
dla dowolnego
σ
∈ S(n).
(i) (V
1
⊗ . . .V
k
) ⊗ (V
k+1
⊗ . . . ⊗V
n
) ∼
= V
1
⊗ . . . ⊗V
n
,
2.
Wska˙z naturalne izomorfizmy podanych przestrzeni liniowych nad ciałem K:
(a) K
n
⊗ K
m
∼
= K
m
n
,
(b) K
n
n
⊗ K
m
m
∼
= K
nm
nm
,
(c) K[X ] ⊗ K[Y ] ∼
= K[X ,Y ],
(d) K[X ]
m
⊗ K[Y ]
n
∼
= K[X , Y ]
m,n
,
gdzie K[X , Y ]
m,n
= lin
K
{ X
k
Y
l
: k ≤ m, l ≤ n}.
3.
Wyka˙z izomorfizm:
V
∗
⊗W ∼
= Hom
K
(V,W ).
Wskazówka. Rozwa˙z odwzorowanie t : V
∗
×W → Hom
K
(V,W ), takie, ˙ze t( f , w)(v) = f (v) · w.
4.
Niech (v
1
, v
2
, v
3
) b˛edzie baz ˛
a przestrzeni V , za´s (w
1
, w
2
) baz ˛
a przestrzeni W . Znajd´z współrz˛edne wektora v
1
⊗ w
1
w bazach przestrzeni V ⊗W wyznaczonych przez nast˛epuj ˛
ace bazy przestrzeni V i W :
(a) (v
1
, v
2
, v
3
) oraz (w
1
, w
2
),
(b) (v
1
+ v
2
, v
2
+ v
3
, v
3
) oraz (w
1
+ w
2
, w
2
),
(c) (v
1
, v
1
+ v
2
, v
1
+ v
2
+ v
3
) oraz (w
1
, −w
2
).
5.
Je´sli V jest przestrzeni ˛
a liniow ˛
a nad K oraz K < L, to przez V
L
oznaczmy przestrze´n otrzyman ˛
a przez rozszerzenie
ciała skalarów do ciała L. Wyka˙z, nast˛epuj ˛
ace izomorfizmy przestrzeni liniowych:
(a) (K
n
)
L
∼
= L
n
,
(b) (K
n
m
)
L
∼
= L
n
m
,
(c) (V
∗
)
L
∼
= (V
L
)
∗
,
(d) (K[X ])
L
∼
= L[X ].
6.
Niech
φ
: K
2
→ K
2
,
ψ
: K
3
→ K
2
b˛ed ˛
a przekształceniami liniowymi o macierzach w bazach jednostkowych rów-
nych odpowiednio
1 2
1
0
,
2 3 −1
1
2
2
. Znajd´z (
φ
⊗
ψ
)(
ε
1
⊗
ε
1
), (
φ
⊗
ψ
)(
ε
1
⊗
ε
2
), (
φ
⊗
ψ
)(
ε
1
⊗
ε
2
+
ε
2
⊗
ε
1
),
(
φ
⊗
ψ
)((
ε
1
+
ε
2
) ⊗ (
ε
1
−
ε
3
)).
7.
Wyka˙z, ˙ze:
(a) dla dowolnych przestrzeni liniowych V
1
, . . . ,V
n
zachodzi równo´s´c Id
V
1
⊗ . . . ⊗ Id
V
n
= Id
V
1
⊗...⊗V
n
,
(b) je´sli
φ
i
∈ Hom
K
(V
i
, W
i
),
ψ
i
∈ Hom
K
(W
i
, U
i
), dla i = 1, . . . , n, to
(
ψ
1
⊗ . . . ⊗
ψ
n
) ◦ (
φ
1
⊗ . . . ⊗
φ
n
) = (
ψ
1
◦
φ
1
) ⊗ . . . ⊗ (
ψ
n
◦
φ
n
).
(c) je´sli
φ
i
∈ Hom
K
(V
i
, W
i
) s ˛
a izomorfizmami dla i = 1, . . . , n, to
φ
1
⊗ . . . ⊗
φ
n
jest izomorfizmem oraz
(
ψ
1
⊗ . . . ⊗
ψ
n
)
−1
=
ψ
−1
1
⊗ . . . ⊗
ψ
−1
n
.
8.
Wyka˙z, ˙ze:
(a) macierze jednostkowe I
m
∈ K
m
m
, I
n
∈ K
n
n
spełniaj ˛
a równo´s´c I
m
⊗ I
n
= I
mn
,
(b) je´sli A
1
∈ K
n
m
, B
1
∈ K
l
k
, A
2
∈ K
m
p
, B
2
∈ K
k
q
, to (A
2
⊗ B
2
)(A
1
⊗ B
1
) = (A
2
A
1
) ⊗ (B
2
B
1
).
(c) je´sli A ∈ Gl (m, K), B ∈ Gl (n, K), to A ⊗ B ∈ Gl (mn, K) oraz (A ⊗ B)
−1
= A
−1
⊗ B
−1
.
Wskazówka. Wykorzystaj poprzednie zadanie.
9.
Wyka˙z, ˙ze:
(a) je´sli A ∈ K
n
m
, B
1
, B
2
∈ K
l
k
, to A ⊗ (B
1
+ B
2
) = (A ⊗ B
1
) + (A ⊗ B
2
),
(b) je´sli A
1
, A
2
∈ K
n
m
, B ∈ K
l
k
, to (A
1
+ A
2
) ⊗ B = (A
1
⊗ B) + (A
2
⊗ B).
10.
Wyka˙z, ˙ze je´sli A ∈ K
m
m
, B
1
, B
2
∈ K
n
n
, to det(A ⊗ B) = det A
n
det B
m
.
Wskazówka. Korzystaj ˛
ac z zadania 18(b) zapisz macierz A ⊗ B jako iloczyn dwóch macierzy blokowych A ⊗ B =
(A ⊗ I
n
)(I
m
⊗ B) i zastosuj twierdzenie Cauchy’ego.
8
Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 9)
S
UMY I ILOCZYNY PRZESTRZENI DWULINIOWYCH
K. S
ZYMICZEK
Wykłady z algebry dwuliniowej
:
Zadanie 8 i 9 ze strony 124 oraz zadania 2–6 i 9–11 ze stron 154–155.
9
Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 10)
T
WIERDZENIA
W
ITTA
K. S
ZYMICZEK
Wykłady z algebry dwuliniowej
:
Zadanie 1–6 ze stron 71–72 oraz zadania 1–4 ze strony 83.
10
Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 11)
P
IER ´SCIE ´
N
W
ITTA
K. S
ZYMICZEK
Wykłady z algebry dwuliniowej
:
Zadanie 1–6 ze stron 164–165.
11
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Algebra liniowa zadania 2
Algebra Liniowa Zadania(1)
Algebra liniowa zadania
Algebra liniowa zadania
Algebra liniowa-zadania
Algebra liniowa zadania id 57234
Algebra liniowa zadania 2
Algebra liniowa zadania id 5728 Nieznany (2)
Algebra liniowa zadania, mechanika i budowa maszyn, politechnika, polibuda, matma, matma
Algebra liniowa Zadania 2
Algebra 2 liniowa Zadania
Jurlewicz Skoczylas Algebra liniowa 2 Przykłady i zadania
,algebra liniowa z geometrią analityczną, PRZYKŁADY FUNKCJONAŁÓW DWULINIOWYCH zadania
zadania pochodne2 (dr R. Lizak), 2 Semestr, Analiza matematyczna i algebra liniowa, zad mat
więcej podobnych podstron