MACIERZE

Macierz:

 







































mn

m

m

m

n

n

n

n

m

ij

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A



















3

2

1

3

33

32

31

2

23

22

21

1

13

12

11

,

m

j

1

n

i

1

kolumn

liczba

wierszy

liczba

kolumny,

numer

sza,

numer wier

















n

m

j

i

Macierz jednostkowa:



































1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1











I

(tylko dla macierzy kwadratowych)

Macierz jedynkowa:



































1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1











E

Macierz kwadratowa:

n

m



(liczba wierszy = liczba kolumn)

Macierz transponowana:

 







































mn

n

n

n

m

m

m

m

n

ij

T

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A



















3

2

1

3

33

23

13

2

32

22

12

1

31

21

11

Macierz symetryczna:

ji

ij

n

j

n

i

a

a













1

1

(tylko dla macierzy kwadratowych)

DZIAŁANIA NA MACIERZACH

 

n

m

ij

a

A





,

 

n

m

ij

b

B





,

m

i

,

,

1 



,

n

j

,

,

1 



Dodawanie:

B

A

C





,

 

n

m

ij

c

C





,

ij

ij

ij

b

a

c





Odejmowanie:

B

A

C





,

 

n

m

ij

c

C





,

ij

ij

ij

b

a

c





Mnożenie macierzy przez stałą:





n

m

ij

a

A













Mnożenie macierzy:

k

m

k

n

n

m

C

B

A











,

nj

in

j

i

j

i

j

i

ij

b

a

b

a

b

a

b

a

c





















3

3

2

2

1

1

,

m

i

,

,

1 



,

k

j

,

,

1 



(każdy wiersz pierwszej macierzy mnożony jest skalarnie przez każdą kolumnę drugiej macierzy)

WYZNACZNIK MACIERZY

(tylko dla macierzy kwadratowych)



-permutacja zbioru liczb





n

,

,

2

,

1 

Definicja:

 

 













n

n

i

i

i

i

n

i

i

I

a

a

a

A

,

,

,

,

,

2

,

1

2

1

2

1

1

det









 



I

- liczba inwersji w permutacji



Sumowanie po wszystkich permutacjach zbioru





n

,

,

2

,

1 

.

Wyznacznik stopnia drugiego:

21

12

22

11

22

21

12

11

det

a

a

a

a

a

a

a

a

A







Metoda Sarrusa: (tylko dla wyznaczników stopnia trzeciego)

11

32

23

33

21

12

31

22

13

13

32

21

31

23

12

33

22

11

33

32

31

23

22

21

13

12

11

det

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A















MACIERZE

Rozwinięcie Laplace’a: wyznacznik - suma iloczynów elementów wybranego wiersza lub kolumny przez ich
dopełnienie algebraiczne.

Minor elementu

ij

a

:

ij

M

- wyznacznik macierzy otrzymanej po wykreśleniu i -tego wiersza i j -tej kolumny

Dopełnienie algebraiczne elementu

ij

a

:

 

ij

j

i

ij

M

d









1

Macierz odwrotna:

 

T

ij

def

d

A

A

det

1

1





Własności wyznaczników:



Zamiana miejscami dwóch sąsiednich kolumn lub wierszy zmienia znak wyznacznika, nie zmieniając jego wartości
bezwzględnej.



Jeśli dwa wiersze lub dwie kolumny macierzy są proporcjonalne (np. są równe), wyznacznik ma wartość zero.



Jeśli jakiś wiersz jest kombinacją liniową innych wierszy (np. wiersz składa się tylko z zer), wyznacznik ma wartość zero.
To samo dotyczy kolumn.



Pomnożenie dowolnej kolumny lub dowolnego wiersza przez stałą mnoży przez tę samą stałą wartość wyznacznika.



Dodając lub odejmując od dowolnego wiersza/kolumny inny wiersz/kolumnę lub kombinacje liniowe innych
wierszy/kolumn nie zmieniamy wartości wyznacznika.

RZĄD MACIERZY

Rząd niezerowej macierzy

n

m

A



- najwyższy stopień (różny od zera) minora tej macierzy.

Rząd niezerowej macierzy

n

m

A



= liczba liniowo niezależnych wierszy lub kolumn tej macierzy.

Własności rzędów:

 

n

m

rzA

n

m

,

min







Zamiana miejscami dwóch dowolnych kolumn lub wierszy nie zmienia rzędu macierzy.



Jeśli dwa wiersze lub dwie kolumny macierzy są proporcjonalne (np. są równe), to ten wiersz lub kolumna nie wpływa na
rząd macierzy (można wykreślić).



Jeśli jakiś wiersz jest kombinacją liniową innych wierszy (np. wiersz składa się tylko z zer), to ten wiersz nie wpływa na
rząd macierzy (można wykreślić). To samo dotyczy kolumn.



Pomnożenie dowolnej kolumny lub dowolnego wiersza przez stałą nie wpływa na rząd macierzy.



Dodając lub odejmując od dowolnego wiersza/kolumny inny wiersz/kolumnę lub kombinacje liniowe innych
wierszy/kolumn nie zmieniamy rzędu macierzy.

UKŁAD RÓWNAŃ LINIOWYCH





































m

n

mn

m

m

n

n

n

n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a







2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

1

1

2

12

1

11

.......

..........

..........

..........

..........

Postać macierzowa:

b

Ax





























mn

m

m

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A















2

1

2

22

21

1

12

11

,



























n

x

x

x

x



2

1

,



























n

b

b

b

b



2

1

Twierdzenie Cramera (tylko dla układów, gdy

n

m



):

0

det



A

,

A

W

x

i

x

i

det



.

i

x

W

- wyznacznik macierzy, która powstaje z macierzy A po zastąpieniu i -tej kolumny wektorem wyrazów

wolnych

b

.

Twierdzenie Kroneckera-Capellego:

1. Jeżeli

rzU

rzA



i

0

.





rzU

n

l

, to układ jest zależny (od

rzA

n

l



.

parametrów).

2. Jeżeli

rzU

rzA



i

0

.





rzA

n

l

, to układ jest niezależny.

3. Jeżeli

rzU

rzA



, to układ jest sprzeczny.

U

- uzupełniona macierz

A

o wektor wyrazów wolnych

b

,

n

l.

- liczba niewiadomych.