Algebra liniowa teoria

background image

MACIERZE

Macierz:

[ ]

=

=

×

mn

m

m

m

n

n

n

n

m

ij

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

K

K

K

K

K

K

K

K

K

3

2

1

3

33

32

31

2

23

22

21

1

13

12

11

,

m

j

1

n

i

1

kolumn

liczba

wierszy

liczba

kolumny,

numer

sza,

numer wier

n

m

j

i

Macierz jednostkowa:

=

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

M

O

K

K

M

I

(tylko dla macierzy kwadratowych)

Macierz jedynkowa:

=

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

M

O

K

K

M

E

Macierz kwadratowa:

n

m =

(liczba wierszy = liczba kolumn)

Macierz symetryczna:

ji

ij

n

j

n

i

a

a =

1

1

(tylko dla macierzy kwadratowych)

Macierz transponowana:

[ ]

=

=

×

mn

n

n

n

m

m

m

m

n

ij

T

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

K

K

K

K

K

K

K

K

K

3

2

1

3

33

23

13

2

32

22

12

1

31

21

11

DZIAŁANIA NA MACIERZACH

[ ]

n

m

ij

a

A

×

=

,

[ ]

n

m

ij

b

B

×

=

,

m

i

,

,

1 K

=

,

n

j

,

,

1 K

=

Dodawanie:

B

A

C

+

=

,

[ ]

n

m

ij

c

C

×

=

,

ij

ij

ij

b

a

c

+

=

Odejmowanie:

B

A

C

=

,

[ ]

n

m

ij

c

C

×

=

,

ij

ij

ij

b

a

c

=

Mnożenie macierzy przez stałą:

[

]

n

m

ij

a

A

×

=

α

α

Mnożenie macierzy:

k

m

k

n

n

m

C

B

A

×

×

×

=

,

nj

in

j

i

j

i

j

i

ij

b

a

b

a

b

a

b

a

c

+

+

+

+

=

K

3

3

2

2

1

1

,

m

i

,

,

1 K

=

,

k

j

,

,

1 K

=

(każdy wiersz pierwszej macierzy mnożony jest skalarnie przez każdą kolumnę drugiej macierzy)

WYZNACZNIK MACIERZY

(tylko dla macierzy kwadratowych)

π -permutacja zbioru liczb

{

}

n

,

,

2

,

1

K

Definicja:

( )

( )

(

)

=

=

n

n

i

i

i

i

n

i

i

I

a

a

a

A

,

,

,

,

,

2

,

1

2

1

2

1

1

det

K

K

π

π

( )

π

I

- liczba inwersji w permutacji

π

Sumowanie po wszystkich permutacjach zbioru

{

}

n

,

,

2

,

1

K

.

Wyznacznik stopnia drugiego:

21

12

22

11

22

21

12

11

det

a

a

a

a

a

a

a

a

A

=

=

Metoda Sarrusa:

(tylko dla wyznaczników stopnia trzeciego)

11

32

23

33

21

12

31

22

13

13

32

21

31

23

12

33

22

11

33

32

31

23

22

21

13

12

11

det

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

+

+

=

=

background image


MACIERZE

Rozwinięcie Laplace’a:

wyznacznik - suma iloczynów elementów wybranego wiersza lub kolumny przez ich

dopełnienie algebraiczne.

Minor elementu

ij

a

:

ij

M - wyznacznik macierzy otrzymanej po wykre

ś

leniu

i

-tego wiersza i

j

-tej kolumny

Dopełnienie algebraiczne elementu

ij

a :

( )

ij

j

i

ij

M

d

=

+

1

Macierz odwrotna:

[ ]

T

ij

def

d

A

A

det

1

1

=

Własności wyznaczników:

Zamiana miejscami dwóch sąsiednich kolumn lub wierszy zmienia znak wyznacznika, nie zmieniając jego wartości

bezwzględnej.

Jeśli dwa wiersze lub dwie kolumny macierzy są proporcjonalne (np. są równe), wyznacznik ma wartość zero.

Jeśli jakiś wiersz jest kombinacją liniową innych wierszy (np. wiersz składa się tylko z zer), wyznacznik ma wartość zero.

To samo dotyczy kolumn.

Pomnożenie dowolnej kolumny lub dowolnego wiersza przez stałą mnoży przez tę samą stałą wartość wyznacznika.

Dodając lub odejmując od dowolnego wiersza/kolumny inny wiersz/kolumnę lub kombinacje liniowe innych
wierszy/kolumn nie zmieniamy wartości wyznacznika.

RZĄD MACIERZY

Rząd

niezerowej

macierzy

n

m

A

×

- najwy

ż

szy stopie

ń

(ró

ż

ny od zera) minora tej macierzy.

Rząd

niezerowej

macierzy

n

m

A

×

=

liczba liniowo niezale

ż

nych wierszy lub kolumn tej macierzy.

Własności rzędów:

(

)

n

m

rzA

n

m

,

min

×

Zamiana miejscami dwóch dowolnych kolumn lub wierszy nie zmienia rzędu macierzy.

Jeśli dwa wiersze lub dwie kolumny macierzy są proporcjonalne (np. są równe), to ten wiersz lub kolumna nie wpływa na

rząd macierzy (można wykreślić).

Jeśli jakiś wiersz jest kombinacją liniową innych wierszy (np. wiersz składa się tylko z zer), to ten wiersz nie wpływa na

rząd macierzy (można wykreślić). To samo dotyczy kolumn.

Pomnożenie dowolnej kolumny lub dowolnego wiersza przez stałą nie wpływa na rząd macierzy.

Dodając lub odejmując od dowolnego wiersza/kolumny inny wiersz/kolumnę lub kombinacje liniowe innych

wierszy/kolumn nie zmieniamy rzędu macierzy.

UKŁAD RÓWNAŃ LINIOWYCH



=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

m

n

mn

m

m

n

n

n

n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

K

K

K

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

1

1

2

12

1

11

.......

..........

..........

..........

..........

Postać macierzowa:

b

Ax =

=

mn

m

m

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

K

K

K

K

K

K

K

2

1

2

22

21

1

12

11

,

=

n

x

x

x

x

M

2

1

,

=

n

b

b

b

b

M

2

1

Twierdzenie Cramera

(tylko dla układów, gdy

n

m =

)

:

0

det

A

,

A

W

x

i

x

i

det

=

.

i

x

W

- wyznacznik macierzy, która powstaje z macierzy A po zast

ą

pieniu i -tej kolumny wektorem wyrazów

wolnych

b

.

Twierdzenie Kroneckera-Capellego:

1.

Je

ż

eli

rzU

rzA =

i

0

.

rzU

n

l

, to układ jest zale

ż

ny (od

rzA

n

l

.

parametrów).

2.

Je

ż

eli

rzU

rzA =

i

0

.

=

rzA

n

l

, to układ jest niezale

ż

ny.

3.

Je

ż

eli

rzU

rzA

, to układ jest sprzeczny.

U - uzupełniona macierz A o wektor wyrazów wolnych b , n

l. - liczba niewiadomych.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Algebra liniowa teoria, mechanika i budowa maszyn, politechnika, polibuda, matma, matma
Algebra liniowa teoria id 57269 Nieznany (2)
Algebra liniowa i geometria kolokwia AGH 2012 13
Algebra Liniowa 2 Definicje Twierdzenia Wzory Jurlewicz Skoczylas
Egzamin z Algebry Liniowej 2004
programowanie liniowe teoria
Geometia i Algebra Liniowa
Poprawa 1 go kolokwium z algebry liniowej
do wydruku sc, WTD, algebra liniowa
Algebra liniowa 1B Definicje
LICZBY ZESPOLONE I ALGEBRA LINIOWA M GRZESIAK
Algebra liniowa1 id 57289 Nieznany
Algebra z geometrią teoria, przykłady, zadania
[Algebra liniowa 1 definicje, twierdzenia, wzory] [Jurlewicz, Skoczylas]
Analiza i Algebra liniowa semestr 2 Politechnika koszalińska kierunek informmatyka

więcej podobnych podstron