Czy jest podprzestrzenią?: 1) Niech x,y∈V0. Czy (x+x',y+y')∈V0? Z: x+y=0 x'+y'=0 T: x+x'+y+y'=0 || 2) ) Niech x,y∈V0. Czy λ(x,y)∈V0? Z: λ(x+y)=0 T: λ*0=0 Czy są liniowo niezależne?: Wyznacznik=0 - zależne, =/ - niezależne Czy generuje R^?: 1)Ustalamy wektor (x,y)∈R2. 2)czy jest on kombinacją liniową wektorów (1,2)(3,4)? a(1,2)+b(3,4)=(x,y) 3)Robimy układ równań. 4) Liczymy wyznacznik 5) Jeżeli różny od zera to układ cramerowski i jest jedno rozwiązanie i wektory są bazą przestrzeni liniowej
Dane jest odwzorowanie liniowe f(x,y)=(2x+y,-x+y). Podać macierz f w bazie e1'=(1,-1), e2'=(2,1)
1) f(e1')=[2 1 | -1 1](1,-1)=(1,-2) | a(1,-1)+b(2,1)=(2,1) || f(e2')=[2 1 | -1 1](2,1)=(5,-1) | c(1,-1)+d(2,1)=5,-1) 2) układ równan a,b,c,d i wyliczamy. 3)odp: Macierz AT=
Znajdź jądro i obraz odwzorowania f=(2x-y+z,y-t,2x+z+t). Podaj wymiary i wzór.
1) Wrzucamy w macierz. 2) wychodzi y=t i z=t-2x. 3)Przyjmujemy t=λ x=λ' y=λ z=λ-2λ 4) kerf={(λ', λ, λ, λ-2λ) λ,λ'∈R} 5) λ=1 λ'=0 (0,1,1,1) ; λ=0 λ'=1 (1,0,-2,0) 6) Czy liniowo niezalez? a(0,1,1,1)+b(1,0,-2,0)=0000 7) wektor przestrzeni kerf ma postać: (λ', λ, λ, λ-2λ)=λ(0,1,1,1)+ λ'(1,0,-2,0) | dim(kerf)=2 8) imf={(2x-y+z,y-t,2x+z+t) xyzt∈R} 9) f(e1)=(202) f2=(-110) f3=(101) f4=(0-1-1) 10) Wyznacznik i określenie niezależności. 11) wymiar imf 12) wymiar całości. Jeśli det=0-zalezna -inne nie
Wektor u∈R ma w bazie v1=(1,-2) v2=(3,1) współrzędne 2,-1. Znajdź jego współrzędne w bazie w1=(1,1) w2=(1,3): || u=2(1,-2)-1(3,1)=(-1,-5) || (-1,-5)=a(1,1)+b(1,3) || a=1 b=-2 || Odp (1,-2)
Odwzorowanie lin f:R2R2 dane jest w bazie (2,1)(1,2) poprzez macierz A=[-1 -2 | 2 1]. Znajdz jej macierz w bazie (1,1)(1,-1): || f(21)=-1(2,1)+2(1,2)=(0,3) || f(12)=-2(2,1)+1(1,2)=(-3,0) || Więc f(21)=[a b | c d](2,1) i f(12)=[a b | c d](1,2)=(-3 0) || Wyliczamy abcd. || Mamy macierz A' || Znajdz macierz odwz w bazie (1,1)(1,-1) || [1 -2 | 2 -1](1 1)=A(1,1)+B(1,-1) i [1 -2 | 2 -1](1 -1)=C(1,1)+D(1,-1) || Wyliczamy ABCD i wstawiamy A”=[A B | C D]
Podać równanie prostej przechodzącej przez punkty: (3,2,1) i (1,3,-1): a+TV=(3,2,1)+t(2,1,-2)=(3+2t,2+t,1-2t) || x=3+2t, y=2+t, z=1-2t || Wyliczamy t.
Znajdź punkt symetryczny do (7,2,2) względem prostej l=(2t+1,t+2,2t-1): A=(2,1,2) || Płaszczyzna prostopadła 2x+y+2z=d || 2*7+2+2*2=d = 20 || 2(2t+1)+t+2+2(2t-1)=20 t=2 || a'=(5,4,3) || a”=(7,6,4)
Tw. Wektory są liniowo niezależne⇔ jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych. Dowód: ⇒ z założenia istnieje kombinacja λ1v1+...λnvn=0, gdzie λ≠0 wówczas λ1v1= - λ2v2 - ...- λnvn/ * 1/λ1
V1= - λ2/λ1*vn- ...-λn/λ1*vn⇐ niech v1=λ2*v2+...+λnvn wówczas v1-λ2*v2-...-λnvn=0 a to jest kombinacja nie trywialna.
Tw. Część wspólna podprzestrzeni jest podprzestrzenią. Dowód: oznaczmy {vα} gdzie α∈A , Vα-podprzestrzeń niech V0= dla każdego α∈A Vα - część wspólna. Jest to zbiór niepusty bo zawiera 0. Czy V0 jest podprzestrzenią? . niech v,w ∈V0 .czy λ1v+λ2w∈V0 , (λ1,λ2∈K)? Z założenia dla każdego α,v,w∈V0⊂Vα , a więc λ1v+λ2w∈Vα. A zatem λ1v+λ2w∈ dla każdego α∈A Vα=V0.
Tw. Wektory a1....an tworzą bazę przestrzeni V ⇔ element przestrzeni w∈V daje się przedstawić jednoznacznie jako kombinacja liniowa tych wektorów. Dowód: ⇒niech w ∈V z definicji bazy wynika, że istnieje w= α1a1+...αkak. jest to jedyny rozkład , bo gdyby istniał inny w=β1a1+..+.βkak to odejmując stronami uzyskalibyśmy 0=(α1-β1)a1+...+(αk-βk)ak. A zatem wobec liniowej niezależności wektorów α1-β1=α2-β2=...=αk-βk a więc α1=β1, α2=β2,...,αk=βk. ⇐ wystarczy pokazać, że wektory a1....an są liniowo niezależne. Niech α1a1+...αkak=0 ponieważ także 0*a1+...+0*ak=0, więc z jednoznaczności rozkładu α1=...=αk=0.
Tw. Złożenie dwóch odwzorowań liniowych jest odwzorowaniem liniowym. Dowód: niech f:V→V', g:V'→V'' będą liniowe. Wówczas gf(av+bw)=g(f(av+bw))=g(a(f(v)+bf(w))=a(gf(v)+b(gf(w)).
Tw. Odwzorowanie liniowe jest różnowartościowe⇔Ker(f)=0 Dowód:⇒ jeśli v∈ker(f) to f(v)=0, a więc z różnowartościowości v=0. a zatem tylko 0∈ker(f) ⇐ przypuśćmy, że f(v)=f(w). pokazujemy, że v=w. otóż f(v-w)=f(v)-f(w)=0. stąd v-w∈ker(f).a zatem v-w=0, daje v=w.
Tw. Dwie przestrzenie v,w są izomorficzne, gdy jest między nimi izomorfizm (tzn. Istnieje między nimi odwzorowanie liniowe , wzajemnie równoznaczne -różnowartościowe I „na”) dimv=dimw.
Tw. Przestrzeń liniowa V wymiaru n zbudowana nad ciałem K jest izomorficzna z przestrzenią liniową Kn.
Def. Rzędem odwzorowania liniowego f:v→w nazywamy wymiar obrazu rz(f)=dimf(v)
Tw. DimKer(f)+dimf(V)=dimV
Podprzestrzeń:podzbiór V0⊂V przestrzeni liniowej nazywamy podprzestrzenią ⇔ gdy jest zamknięty względem działań tzn: 1.jeśli v,w∈V0⇒v+w∈V0 2.jeśli v∈V0, λ∈K⇒λ*v∈V0
Liniowa niezależność zbiór wektorów v1...vnnazywamy liniowo niezależny⇔ dla dowolnych λ1...λn∈K jeśli λ1v1+...λnvn=0 to λ1=...=λn=0
Wartość własna Dane jest odwz liniowe f:VV. Wektor V=/0 nazywamy wektorem własnym istnieje λ∈R takie że f(V)= λV. Wówczas liczbę λ nazywamy wartością własną.
Wektor własny macierzy A to taki wektor x, dla którego istnieje taka wartość λ, że zachodzi równość:A*(wektor)x= λ*(wektor)x
Wielomian charakterystyczny Niech A będzie macierzą kwadratową. Wielomian wA(λ)=det(λI-A) nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy A.
Tw. Wielomian charakterystyczny przekształcenia nie zależy od bazy. Dowód: niech będzie dany w(λ)=det(A-λI), oraz nowa baza i macierz P od jednej bazy do drugiej, to w nowej bazie przekształcenie ma macierz P-1AP. Z równości det(P-1AP-λI)=det(P-1AP-P-1λP)=det(P-1(A-λI)A)=detP-1det(A-λI)detP=(detP)1det(A-λI)detP=det(A-λI) wynika niezależność od bazy.
Tw. Każda macierz rzeczywista posiada wartość własną zespoloną. Wynika to z zasadniczego twierdzenia algebry. Dowód: Zasadnicze twierdzenie algebry każdy wielomian o współczynnikach zespolonych
W(z)=a0zn+a1zn-1+...+an (a0,a1∈C, an≠0) posiada pierwiastki zespolone.
Wniosek: wielomian zespolony stopnia n posiada n pierwiastków, a zatem daje się rozłożyć W(z)=a0(z-z1)(z-z2)...(z-zn)
Tw. Niech f:V→V będzie odwzorowaniem liniowym. jeśli v1...vn są wektorami własnymi odpowiadającymi różnym wartościom własnym to są one liniowo niezależne. Dowód: ( dla n=2) przypuśćmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla n=2, niech odwzorowanie liniowe posiada wartości własne λ1, λ2 i wektory im odpowiadające v1,v2. pokażemy, że te wektory sa liniowo niezależne. Niech a1v1+a2v2=0, wówczas 0=f(a1v1+a2v2)=a1λ1v1+a2λ2v2 (*) z drugiej strony 0= λ2(a1v1+a2v2)=λ2a1v1+λ2a2v2 (**)
Odejmując stronami uzyskujemy (*)-(**)= a1v1(λ1-λ2)=0, z założenia v1,v2 sa liniowo niezależne, a więc a1(λ1-λ2)=0 ponieważ wobec założenia wartości własne sa różne więc (λ1-λ2)≠0 daje to a1=0 , a także a2=0.
Def:Sygnaturę formy kwadratowej nazywamy parą liczb (p,g) gdzie p=ilość di>0 q=ilość di<0.
Def:Formę kwadratową nazywamy dodatnio określoną f(x)>0 dla każdego x=/0 || ujemnie określoną f(x)<0 dla x=/0 || nieokreśloną f(x)>0 f(y)<0 dla pewnych x,y.
Tw. Kryterium Sylwestera Macierz symetryczna A stopnia n jest dodatnio określona⇔wszystkie minory główne są dodatnie, nieujemnie określona⇔wszystkie minory główne są nieujemne, ujemnie określona⇔(-1)kdk>0 dla każdego k=1,..,n, niedodatnio określona⇔(-1)kdk≥0 dla każdego k=1,..,n, nieokreślona⇔(-1)idi>0,(-1)jdj<0 dla pewnych i,j=1..k.
Iloczynem skalarnym nazywamy funkcję: < , >:VxVR t,że: 1.<x,y+z>=<x,y>+<x,z> 2.< λx,y>=λ<x,y> 3.<x,y>=<y,x> 4.<x,x>>=0 oraz <x,x>=0x=0
Normą wektora v∈V nazywamy liczbę ||v||=det pierwiastek z<v,v>. Definicja poprawna bo <v,v>>=0
Nierównosc Schwarza. Dla dowolnych wektorów w przestrzeni unormowanej zachodzi
nierównosc | < x, y > | ≤ ||x|| ·|| y||. Ponadto równosc ma miejsce <=> wektory x, y sa
współliniowe
Kat między dwoma niezerowymi wektorami v i w określamy poprzez: cosfi=<x,y>/||x||*||y|| fi=arccos(<x,y>/||x||*||y||)
Tw Pitagorasa. Jesli v⊥w to ||v||2+||w||2=||v+w||2.
Dowód.||v+w||2=<v+w,v+w>=<v,v>+<v,w>+<w,v>+<w,w>=<v,v>+<w,w>=||v||2+||w||2
Tw. Wektory parami prostopadłe są liniowo niezależne.
Tw. Każda przestrzeń posiada bazę
Tw.Każde dwie bazy są równoliczne
Tw. Baza=minimalny układ generatorów=maksymalny podzbiór liniowo niezależny
Wzór de Moivre'a zk=rk(coskα+isinkα)
Czy jest podprzestrzenią?: 1) Niech x,y∈V0. Czy (x+x',y+y')∈V0? Z: x+y=0 x'+y'=0 T: x+x'+y+y'=0 || 2) ) Niech x,y∈V0. Czy λ(x,y)∈V0? Z: λ(x+y)=0 T: λ*0=0 Czy są liniowo niezależne?: Wyznacznik=0 - zależne, =/ - niezależne Czy generuje R^?: 1)Ustalamy wektor (x,y)∈R2. 2)czy jest on kombinacją liniową wektorów (1,2)(3,4)? a(1,2)+b(3,4)=(x,y) 3)Robimy układ równań. 4) Liczymy wyznacznik 5) Jeżeli różny od zera to układ cramerowski i jest jedno rozwiązanie i wektory są bazą przestrzeni liniowej
Dane jest odwzorowanie liniowe f(x,y)=(2x+y,-x+y). Podać macierz f w bazie e1'=(1,-1), e2'=(2,1)
1) f(e1')=[2 1 | -1 1](1,-1)=(1,-2) | a(1,-1)+b(2,1)=(2,1) || f(e2')=[2 1 | -1 1](2,1)=(5,-1) | c(1,-1)+d(2,1)=5,-1) 2) układ równan a,b,c,d i wyliczamy. 3)odp: Macierz AT=
Znajdź jądro i obraz odwzorowania f=(2x-y+z,y-t,2x+z+t). Podaj wymiary i wzór.
1) Wrzucamy w macierz. 2) wychodzi y=t i z=t-2x. 3)Przyjmujemy t=λ x=λ' y=λ z=λ-2λ 4) kerf={(λ', λ, λ, λ-2λ) λ,λ'ER} 5) λ=1 λ'=0 (0,1,1,1) ; λ=0 λ'=1 (1,0,-2,0) 6) Czy liniowo niezalez? a(0,1,1,1)+b(1,0,-2,0)=0000 7) wektor przestrzeni kerf ma postać: (λ', λ, λ, λ-2λ)=λ(0,1,1,1)+ λ'(1,0,-2,0) | dim(kerf)=2 8) imf={(2x-y+z,y-t,2x+z+t) xyztER} 9) f(e1)=(202) f2=(-110) f3=(101) f4=(0-1-1) 10) Wyznacznik i określenie niezależności. 11) wymiar imf 12) wymiar całości.
Wektor uER ma w bazie v1=(1,-2) v2=(3,1) współrzędne 2,-1. Znajdź jego współrzędne w bazie w1=(1,1) w2=(1,3): || u=2(1,-2)-1(3,1)=(-1,-5) || (-1,-5)=a(1,1)+b(1,3) || a=1 b=-2 || Odp (1,-2)
Odwzorowanie lin f:R2R2 dane jest w bazie (2,1)(1,2) poprzez macierz A=[-1 -2 | 2 1]. Znajdz jej macierz w bazie (1,1)(1,-1): || f(21)=-1(2,1)+2(1,2)=(0,3) || f(12)=-2(2,1)+1(1,2)=(-3,0) || Więc f(21)=[a b | c d](2,1) i f(12)=[a b | c d](1,2)=(-3 0) || Wyliczamy abcd. || Mamy macierz A' || Znajdz macierz odwz w bazie (1,1)(1,-1) || [1 -2 | 2 -1](1 1)=A(1,1)+B(1,-1) i [1 -2 | 2 -1](1 -1)=C(1,1)+D(1,-1) || Wyliczamy ABCD i wstawiamy A”=[A B | C D]
Podać równanie prostej przechodzącej przez punkty: (3,2,1) i (1,3,-1): a+TV=(3,2,1)+t(2,1,-2)=(3+2t,2+t,1-2t) || x=3+2t, y=2+t, z=1-2t || Wyliczamy t.
Znajdź punkt symetryczny do (7,2,2) względem prostej l=(2t+1,t+2,2t-1): A=(2,1,2) || Płaszczyzna prostopadła 2x+y+2z=d || 2*7+2+2*2=d = 20 || 2(2t+1)+t+2+2(2t-1)=20 t=2 || a'=(5,4,3) || a”=(7,6,4)
Tw. Wektory są liniowo niezależne⇔ jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych. Dowód: ⇒ z założenia istnieje kombinacja λ1v1+...λnvn=0, gdzie λ≠0 wówczas λ1v1= - λ2v2 - ...- λnvn/ * 1/λ1
V1= - λ2/λ1*vn- ...-λn/λ1*vn⇐ niech v1=λ2*v2+...+λnvn wówczas v1-λ2*v2-...-λnvn=0 a to jest kombinacja nie trywialna.
Tw. Część wspólna podprzestrzeni jest podprzestrzenią. Dowód: oznaczmy {vα} gdzie α∈A , Vα-podprzestrzeń niech V0= dla każdego α∈A Vα - część wspólna. Jest to zbiór niepusty bo zawiera 0. Czy V0 jest podprzestrzenią? . niech v,w ∈V0 .czy λ1v+λ2w∈V0 , (λ1,λ2∈K)? Z założenia dla każdego α,v,w∈V0⊂Vα , a więc λ1v+λ2w∈Vα. A zatem λ1v+λ2w∈ dla każdego α∈A Vα=V0.
Tw. Wektory a1....an tworzą bazę przestrzeni V ⇔ element przestrzeni w∈V daje się przedstawić jednoznacznie jako kombinacja liniowa tych wektorów. Dowód: ⇒niech w ∈V z definicji bazy wynika, że istnieje w= α1a1+...αkak. jest to jedyny rozkład , bo gdyby istniał inny w=β1a1+..+.βkak to odejmując stronami uzyskalibyśmy 0=(α1-β1)a1+...+(αk-βk)ak. A zatem wobec liniowej niezależności wektorów α1-β1=α2-β2=...=αk-βk a więc α1=β1, α2=β2,...,αk=βk. ⇐ wystarczy pokazać, że wektory a1....an są liniowo niezależne. Niech α1a1+...αkak=0 ponieważ także 0*a1+...+0*ak=0, więc z jednoznaczności rozkładu α1=...=αk=0.
Tw. Złożenie dwóch odwzorowań liniowych jest odwzorowaniem liniowym. Dowód: niech f:V→V', g:V'→V'' będą liniowe. Wówczas gf(av+bw)=g(f(av+bw))=g(a(f(v)+bf(w))=a(gf(v)+b(gf(w)).
Tw. Odwzorowanie liniowe jest różnowartościowe⇔Ker(f)=0 Dowód:⇒ jeśli v∈ker(f) to f(v)=0, a więc z różnowartościowości v=0. a zatem tylko 0∈ker(f) ⇐ przypuśćmy, że f(v)=f(w). pokazujemy, że v=w. otóż f(v-w)=f(v)-f(w)=0. stąd v-w∈ker(f).a zatem v-w=0, daje v=w.
Tw. Dwie przestrzenie v,w są izomorficzne, gdy jest między nimi izomorfizm (tzn. Istnieje między nimi odwzorowanie liniowe , wzajemnie równoznaczne -różnowartościowe I „na”) dimv=dimw.
Tw. Przestrzeń liniowa V wymiaru n zbudowana nad ciałem K jest izomorficzna z przestrzenią liniową Kn.
Def. Rzędem odwzorowania liniowego f:v→w nazywamy wymiar obrazu rz(f)=dimf(v)
Tw. DimKer(f)+dimf(V)=dimV
Podprzestrzeń:podzbiór V0⊂V przestrzeni liniowej nazywamy podprzestrzenią ⇔ gdy jest zamknięty względem działań tzn: 1.jeśli v,w∈V0⇒v+w∈V0 2.jeśli v∈V0, λ∈K⇒λ*v∈V0
Liniowa niezależność zbiór wektorów v1...vnnazywamy liniowo niezależny⇔ dla dowolnych λ1...λn∈K jeśli λ1v1+...λnvn=0 to λ1=...=λn=0
Wartość własna Dane jest odwz liniowe f:VV. Wektor V=/0 nazywamy wektorem własnym istnieje λ∈R takie że f(V)= λV. Wówczas liczbę λ nazywamy wartością własną.
Wektor własny macierzy A to taki wektor x, dla którego istnieje taka wartość λ, że zachodzi równość:A*(wektor)x= λ*(wektor)x
Wielomian charakterystyczny Niech A będzie macierzą kwadratową. Wielomian wA(λ)=det(λI-A) nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy A.
Tw. Wielomian charakterystyczny przekształcenia nie zależy od bazy. Dowód: niech będzie dany w(λ)=det(A-λI), oraz nowa baza i macierz P od jednej bazy do drugiej, to w nowej bazie przekształcenie ma macierz P-1AP. Z równości det(P-1AP-λI)=det(P-1AP-P-1λP)=det(P-1(A-λI)A)=detP-1det(A-λI)detP=(detP)1det(A-λI)detP=det(A-λI) wynika niezależność od bazy.
Tw. Każda macierz rzeczywista posiada wartość własną zespoloną. Wynika to z zasadniczego twierdzenia algebry. Dowód: Zasadnicze twierdzenie algebry każdy wielomian o współczynnikach zespolonych
W(z)=a0zn+a1zn-1+...+an (a0,a1∈C, an≠0) posiada pierwiastki zespolone.
Wniosek: wielomian zespolony stopnia n posiada n pierwiastków, a zatem daje się rozłożyć W(z)=a0(z-z1)(z-z2)...(z-zn)
Tw. Niech f:V→V będzie odwzorowaniem liniowym. jeśli v1...vn są wektorami własnymi odpowiadającymi różnym wartościom własnym to są one liniowo niezależne. Dowód: ( dla n=2) przypuśćmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla n=2, niech odwzorowanie liniowe posiada wartości własne λ1, λ2 i wektory im odpowiadające v1,v2. pokażemy, że te wektory sa liniowo niezależne. Niech a1v1+a2v2=0, wówczas 0=f(a1v1+a2v2)=a1λ1v1+a2λ2v2 (*) z drugiej strony 0= λ2(a1v1+a2v2)=λ2a1v1+λ2a2v2 (**)
Odejmując stronami uzyskujemy (*)-(**)= a1v1(λ1-λ2)=0, z założenia v1,v2 sa liniowo niezależne, a więc a1(λ1-λ2)=0 ponieważ wobec założenia wartości własne sa różne więc (λ1-λ2)≠0 daje to a1=0 , a także a2=0.
Def:Sygnaturę formy kwadratowej nazywamy parą liczb (p,g) gdzie p=ilość di>0 q=ilość di<0.
Def:Formę kwadratową nazywamy dodatnio określoną f(x)>0 dla każdego x=/0 || ujemnie określoną f(x)<0 dla x=/0 || nieokreśloną f(x)>0 f(y)<0 dla pewnych x,y.
Tw. Kryterium Sylwestera Macierz symetryczna A stopnia n jest dodatnio określona⇔wszystkie minory główne są dodatnie, nieujemnie określona⇔wszystkie minory główne są nieujemne, ujemnie określona⇔(-1)kdk>0 dla każdego k=1,..,n, niedodatnio określona⇔(-1)kdk≥0 dla każdego k=1,..,n, nieokreślona⇔(-1)idi>0,(-1)jdj<0 dla pewnych i,j=1..k.
Iloczynem skalarnym nazywamy funkcję: < , >:VxVR t,że: 1.<x,y+z>=<x,y>+<x,z> 2.< λx,y>=λ<x,y> 3.<x,y>=<y,x> 4.<x,x>>=0 oraz <x,x>=0x=0
Normą wektora v∈V nazywamy liczbę ||v||=det pierwiastek z<v,v>. Definicja poprawna bo <v,v>>=0
Nierównosc Schwarza. Dla dowolnych wektorów w przestrzeni unormowanej zachodzi
nierównosc | < x, y > | ≤ ||x|| ·|| y||. Ponadto równosc ma miejsce <=> wektory x, y sa
współliniowe
Kat między dwoma niezerowymi wektorami v i w określamy poprzez: cosfi=<x,y>/||x||*||y|| fi=arccos(<x,y>/||x||*||y||)
Tw Pitagorasa. Jesli v⊥w to ||v||2+||w||2=||v+w||2.
Dowód.||v+w||2=<v+w,v+w>=<v,v>+<v,w>+<w,v>+<w,w>=<v,v>+<w,w>=||v||2+||w||2
Tw. Wektory parami prostopadłe są liniowo niezależne.
Tw. Każda przestrzeń posiada bazę
Tw.Każde dwie bazy są równoliczne
Tw. Baza=minimalny układ generatorów=maksymalny podzbiór liniowo niezależny
Wzór de Moivre'a zk=rk(coskα+isinkα)