Wzór de Moivre'a z^k=r^k(coskα+isinkα)
Podprzestrzeń:podzbiór V₀⊂V przestrzeni liniowej nazywamy podprzestrzenią ⇔ gdy jest zamknięty względem działań tzn: 1.jeśli v,w∈V₀⇒v+w∈V₀ 2.jeśli v∈V₀, λ∈K⇒λ*v∈V₀

Liniowa niezależność zbiór wektorów v₁...v_nnazywamy liniowo niezależny⇔ dla dowolnych λ₁...λ_n∈K jeśli λ₁v₁+...λ_nv_n=0 to λ₁=...=λ_n=0

Tw. Wektory są liniowo niezależne⇔ jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych. Dowód: ⇒ z założenia istnieje kombinacja λ₁v₁+...λ_nv_n=0, gdzie λ≠0 wówczas λ₁v₁₌ - λ₂v₂ - ...- λ_nv_n/ * 1/λ₁

V₁= - λ₂/λ₁*v_n- ...-λ_n/λ₁*v_n⇐ niech v₁=λ₂*v₂+...+λ_nv_n wówczas v₁-λ₂*v₂-...-λ_nv_n=0 a to jest kombinacja nie trywialna.

Tw. Część wspólna podprzestrzeni jest podprzestrzenią. Dowód: oznaczmy {v_α} gdzie α∈A , V_α-podprzestrzeń niech V₀= dla każdego α∈A V_α - część wspólna. Jest to zbiór niepusty bo zawiera 0. Czy V₀ jest podprzestrzenią? . niech v,w ∈V₀ .czy λ₁v+λ₂w∈V_{0 ,} (λ₁,λ₂∈K)? Z założenia dla każdego α,v,w∈V₀⊂V_α , a więc λ₁v+λ₂w∈V_α. A zatem λ₁v+λ₂w∈ dla każdego α∈A V_α=V₀.

Tw. Wektory a₁....a_n tworzą bazę przestrzeni V ⇔ element przestrzeni w∈V daje się przedstawić jednoznacznie jako kombinacja liniowa tych wektorów. Dowód: ⇒niech w ∈V z definicji bazy wynika, że istnieje w= α₁a₁+...α_ka_k. jest to jedyny rozkład , bo gdyby istniał inny w=β₁a₁+..+.β_ka_k to odejmując stronami uzyskalibyśmy 0=(α₁-β₁)a₁+...+(α_k-β_k)a_k. A zatem wobec liniowej niezależności wektorów α₁-β₁=α₂-β₂=...=α_k-β_k a więc α₁=β₁, α₂=β₂,...,α_k=β_k. ⇐ wystarczy pokazać, że wektory a₁....a_n są liniowo niezależne. Niech α₁a₁+...α_ka_k=0 ponieważ także 0*a₁+...+0*a_k=0, więc z jednoznaczności rozkładu α₁=...=α_k=0.

Tw. Złożenie dwóch odwzorowań liniowych jest odwzorowaniem liniowym. Dowód: niech f:V→V^', g:V^'→V^'' będą liniowe. Wówczas gf(av+bw)=g(f(av+bw))=g(a(f(v)+bf(w))=a(gf(v)+b(gf(w)).

Tw. Odwzorowanie liniowe jest różnowartościowe⇔Ker(f)=0 Dowód:⇒ jeśli v∈ker(f) to f(v)=0, a więc z różnowartościowości v=0. a zatem tylko 0∈ker(f) ⇐ przypuśćmy, że f(v)=f(w). pokazujemy, że v=w. otóż f(v-w)=f(v)-f(w)=0. stąd v-w∈ker(f).a zatem v-w=0, daje v=w.

Tw. Dwie przestrzenie v,w są izomorficzne, gdy jest między nimi izomorfizm (tzn. Istnieje między nimi odwzorowanie liniowe , wzajemnie równoznaczne -różnowartościowe I „na”) dimv=dimw.

Tw. Przestrzeń liniowa V wymiaru n zbudowana nad ciałem K jest izomorficzna z przestrzenią liniową Kⁿ.

Def. Rzędem odwzorowania liniowego f:v→w nazywamy wymiar obrazu rz(f)=dimf(v)

Tw. DimKer(f)+dimf(V)=dimV

Wartość własna Dane jest odwz liniowe f:VV. Wektor V=/0 nazywamy wektorem własnym istnieje λ∈R takie że f(V)= λV. Wówczas liczbę λ nazywamy wartością własną.

Wektor własny macierzy A to taki wektor x, dla którego istnieje taka wartość λ, że zachodzi równość:A*(wektor)x= λ*(wektor)x

Wielomian charakterystyczny Niech A będzie macierzą kwadratową. Wielomian w_A(λ)=det(λI-A) nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy A.

Tw. Wielomian charakterystyczny przekształcenia nie zależy od bazy. Dowód: niech będzie dany w(λ)=det(A-λI), oraz nowa baza i macierz P od jednej bazy do drugiej, to w nowej bazie przekształcenie ma macierz P^-1AP. Z równości det(P^-1AP-λI)=det(P^-1AP-P^-1λP)=det(P^-1(A-λI)A)=detP^-1det(A-λI)detP=(detP)¹det(A-λI)detP=det(A-λI) wynika niezależność od bazy.

Tw. Każda macierz rzeczywista posiada wartość własną zespoloną. Wynika to z zasadniczego twierdzenia algebry. Dowód: Zasadnicze twierdzenie algebry każdy wielomian o współczynnikach zespolonych

W(z)=a₀zⁿ+a₁z^n-1+...+a_n (a₀,a_1∈C, a_n≠0) posiada pierwiastki zespolone.

Wniosek: wielomian zespolony stopnia n posiada n pierwiastków, a zatem daje się rozłożyć W(z)=a₀(z-z₁)(z-z₂)...(z-z_n)

Tw. Niech f:V→V będzie odwzorowaniem liniowym. jeśli v₁...v_n są wektorami własnymi odpowiadającymi różnym wartościom własnym to są one liniowo niezależne. Dowód: ( dla n=2) przypuśćmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla n=2, niech odwzorowanie liniowe posiada wartości własne λ₁, λ₂ i wektory im odpowiadające v₁,v₂. pokażemy, że te wektory sa liniowo niezależne. Niech a₁v₁+a₂v₂=0, wówczas 0=f(a₁v₁+a₂v₂)=a₁λ₁v₁+a₂λ₂v₂ (*) z drugiej strony 0= λ₂(a₁v₁+a₂v₂)=λ₂a₁v₁+λ₂a₂v₂ (**)

Odejmując stronami uzyskujemy (*)-(**)= a₁v₁(λ₁-λ₂)=0, z założenia v₁,v₂ sa liniowo niezależne, a więc a₁(λ₁-λ₂)=0 ponieważ wobec założenia wartości własne sa różne więc (λ₁-λ₂)≠0 daje to a₁=0 , a także a₂=0.

Def:Sygnaturę formy kwadratowej nazywamy parą liczb (p,g) gdzie p=ilość di>0 q=ilość di<0.

Def:Formę kwadratową nazywamy dodatnio określoną f(x)>0 dla każdego x=/0 || ujemnie określoną f(x)<0 dla x=/0 || nieokreśloną f(x)>0 f(y)<0 dla pewnych x,y.

Tw. Kryterium Sylwestera Macierz symetryczna A stopnia n jest dodatnio określona⇔wszystkie minory główne są dodatnie, nieujemnie określona⇔wszystkie minory główne są nieujemne, ujemnie określona⇔(-1)^kd_k>0 dla każdego k=1,..,n, niedodatnio określona⇔(-1)^kd_k≥0 dla każdego k=1,..,n, nieokreślona⇔(-1)ⁱd_i>0,(-1)^jd_j<0 dla pewnych i,j=1..k.

Iloczynem skalarnym nazywamy funkcję: < , >:VxVR t,że: 1.<x,y+z>=<x,y>+<x,z> 2.< λx,y>=λ<x,y> 3.<x,y>=<y,x> 4.<x,x>>=0 oraz <x,x>=0x=0

Normą wektora v∈V nazywamy liczbę ||v||=det pierwiastek z<v,v>. Definicja poprawna bo <v,v>>=0

Nierównosc Schwarza. Dla dowolnych wektorów w przestrzeni unormowanej zachodzi

nierównosc | < x, y > | ≤ ||x|| ·|| y||. Ponadto równosc ma miejsce <=> wektory x, y sa

współliniowe

Kat między dwoma niezerowymi wektorami v i w określamy poprzez: cosfi=<x,y>/||x||*||y|| fi=arccos(<x,y>/||x||*||y||)

Tw Pitagorasa. Jesli v⊥w to ||v||²+||w||²=||v+w||².

Dowód.||v+w||²=<v+w,v+w>=<v,v>+<v,w>+<w,v>+<w,w>=<v,v>+<w,w>=||v||²+||w||²

Tw. Wektory parami prostopadłe są liniowo niezależne.

Tw. Każda przestrzeń posiada bazę
Tw.Każde dwie bazy są równoliczne
Tw. Baza=minimalny układ generatorów=maksymalny podzbiór liniowo niezależny

---