1. Znaleźć postać trygonometryczną liczby z
4
2
, gdzie z jest liczbą zespoloną taką, że |z| =1 i arg z = (0, /3).
2. Znaleźć wektory u,v
3
wiedząc, że ciąg (2,0,1), u, v jest bazą przestrzeni
3
, w której wektor (0,1,0) ma współrzędne 1,1, 2, zaś wektor (0,1,5) ma
współrzędne 2,1, 2.
3. Niech X będzie przestrzenią wektorową z bazą e
1
, e
2
, e
3
, zaś T: X X będzie przekształceniem liniowym, które w tej bazie ma macierz
Wyznaczyć T
1
(3e
1
+ 5e
2
).
4. Dla jakich wartości parametru p układ równań
ma dokładnie jedno rozwiązanie? Znaleźć to rozwiązanie.
5. Niech A M
7
( ), zaś B powstaje przez obrót macierzy A względem jej środka o kąt 90 przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Znaleźć zależność między det B i
det A.
1. Niech X będzie przestrzenią wektorową z bazą e
1
, e
2
, e
3
, zaś T: X X będzie przekształceniem liniowym, które w tej bazie ma macierz
Wyznaczyć T
1
(e
2
2e
3
).
2. Dla jakich wartości parametru p układ równań
ma dokładnie jedno rozwiązanie? Znaleźć to rozwiązanie.
3. Niech A M
8
( ), zaś B powstaje przez obrót macierzy A względem jej środka o kąt 90 zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Znaleźć zależność między det B i
det A.
4. Znaleźć postać trygonometryczną liczby z
3
iz, gdzie z jest liczbą zespoloną taką, że |z| =1 i arg z = (0, /4).
5. Niech Y będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni
4
zawierającą wektory u = (1,0,1,0) i v = (3,4,1,8). Znaleźć bazę przestrzeni Y wiedząc, że współrzędne
wektora u w tej bazie wynoszą 1,2, zaś współrzędne wektora v wynoszą 3, 2.
Egzamin z algebry liniowej I 2002
Zestaw I
px
1
+ 2x
2
+ 2x
3
= 8
x
1
+ px
2
+x
3
= 4
x
1
+ x
2
+ x
3
= 6
Zestaw II
x
1
+ 2x
2
+ px
3
= 1
x
1
px
2
+ x
3
= 1
x
1
x
2
+ x
3
= p