Oblicz objętość bryły ograniczonej płaszczyzną OXY i wykresem funkcji f(x,y)=1/pierwiastek z 4-x²-y² określonej na kole x²+y²=<4

x=cost; y=rsint; J=r || 0=<r=<2; 0=<y=<2Л || m(f,E)=ʃ_E|f(x,y)-g(x,y)|dxdy=²₀ʃ(^2Л₀ʃ (1/pierw z 4-r²)*rdtdr= ²₀ʃ(r/pierw z 4-r²)*2Лdr=2Л*²₀ʃ (r/pierw z 4-r²)dr=2Л*(-pierw z 4-r²)²₀|=2Л*(-(0-2))=4Л

Wyznacz całkowitą masę półkola x²+y²=<R², x>=0, które niesie masę o gęstości f(x,y)=x

Rysunek. || Ponieważ całkujemy po połowie koła zamieniamy zmienne na zmienne biegunowe || x=rcost; y=rsint; J=r || 0=<r=<R; -Л/2=<t=<Л/2 || M(f,E)=ʃʃ f(x,y)dxdy=^R₀ʃ(^Л/2_-Л/2ʃ rcost*r*dtdr= ^R₀ʃ (r²*sint|^-Л/2_Л/2= ^R₀ʃ r²(1-(-1))dr=2*^R₀ʃr²dr=2*1/3r³|^R₀=2(1/3R³-0)=2/3 R³

Oblicz objętość bryły ograniczonej wykresami funkcji f(x,y)=x² i g(x,y)=-y² określonych na ABC gdzie A=(0,0) B=(1,-3) C=(1,3)

Ponieważ trójkąt jest symetryczny względem osi OX I funkcja podcałkowa jest niezależna od y to możemy zamienić na dwie całki po trojkącie ACD || 0=<x=<1; 0=<y=<3x || m(D)=_Eʃ|f(x,y)-g(x,y)|dxdy=2*¹₀ʃ(^3x₀ʃ(x²+y²)dydx=2¹₀ʃ(x²y+1/3 x³ |^3x₀)dx= 2*¹₀ʃ(3x³+1/3(3x)³-0)dx=2¹₀ʃ(3x³+9x³)dx=2*¹₀ʃ12x³dx=24*1/4 x⁴ |¹₀=6

Oblicz objętość bryły ograniczonej płaszczyzną OXY i wykresem funkcji f(x,y)=1/pierwiastek z 4-x²-y² określonej na kole x²+y²=<4

x=cost; y=rsint; J=r || 0=<r=<2; 0=<y=<2Л || m(f,E)=ʃ_E|f(x,y)-g(x,y)|dxdy=²₀ʃ(^2Л₀ʃ (1/pierw z 4-r²)*rdtdr= ²₀ʃ(r/pierw z 4-r²)*2Лdr=2Л*²₀ʃ (r/pierw z 4-r²)dr=2Л*(-pierw z 4-r²)²₀|=2Л*(-(0-2))=4Л

Wyznacz całkowitą masę półkola x²+y²=<R², x>=0, które niesie masę o gęstości f(x,y)=x

Rysunek. || Ponieważ całkujemy po połowie koła zamieniamy zmienne na zmienne biegunowe || x=rcost; y=rsint; J=r || 0=<r=<R; -Л/2=<t=<Л/2 || M(f,E)=ʃʃ f(x,y)dxdy=^R₀ʃ(^Л/2_-Л/2ʃ rcost*r*dtdr= ^R₀ʃ (r²*sint|^-Л/2_Л/2= ^R₀ʃ r²(1-(-1))dr=2*^R₀ʃr²dr=2*1/3r³|^R₀=2(1/3R³-0)=2/3 R³

Oblicz objętość bryły ograniczonej wykresami funkcji f(x,y)=x² i g(x,y)=-y² określonych na ABC gdzie A=(0,0) B=(1,-3) C=(1,3)

Ponieważ trójkąt jest symetryczny względem osi OX I funkcja podcałkowa jest niezależna od y to możemy zamienić na dwie całki po trojkącie ACD || 0=<x=<1; 0=<y=<3x || m(D)=_Eʃ|f(x,y)-g(x,y)|dxdy=2*¹₀ʃ(^3x₀ʃ(x²+y²)dydx=2¹₀ʃ(x²y+1/3 x³ |^3x₀)dx= 2*¹₀ʃ(3x³+1/3(3x)³-0)dx=2¹₀ʃ(3x³+9x³)dx=2*¹₀ʃ12x³dx=24*1/4 x⁴ |¹₀=6

Oblicz objętość bryły ograniczonej płaszczyzną OXY i wykresem funkcji f(x,y)=1/pierwiastek z 4-x²-y² określonej na kole x²+y²=<4

x=cost; y=rsint; J=r || 0=<r=<2; 0=<y=<2Л || m(f,E)=ʃ_E|f(x,y)-g(x,y)|dxdy=²₀ʃ(^2Л₀ʃ (1/pierw z 4-r²)*rdtdr= ²₀ʃ(r/pierw z 4-r²)*2Лdr=2Л*²₀ʃ (r/pierw z 4-r²)dr=2Л*(-pierw z 4-r²)²₀|=2Л*(-(0-2))=4Л

Wyznacz całkowitą masę półkola x²+y²=<R², x>=0, które niesie masę o gęstości f(x,y)=x

Rysunek. || Ponieważ całkujemy po połowie koła zamieniamy zmienne na zmienne biegunowe || x=rcost; y=rsint; J=r || 0=<r=<R; -Л/2=<t=<Л/2 || M(f,E)=ʃʃ f(x,y)dxdy=^R₀ʃ(^Л/2_-Л/2ʃ rcost*r*dtdr= ^R₀ʃ (r²*sint|^-Л/2_Л/2= ^R₀ʃ r²(1-(-1))dr=2*^R₀ʃr²dr=2*1/3r³|^R₀=2(1/3R³-0)=2/3 R³

Oblicz objętość bryły ograniczonej wykresami funkcji f(x,y)=x² i g(x,y)=-y² określonych na ABC gdzie A=(0,0) B=(1,-3) C=(1,3)

Ponieważ trójkąt jest symetryczny względem osi OX I funkcja podcałkowa jest niezależna od y to możemy zamienić na dwie całki po trojkącie ACD || 0=<x=<1; 0=<y=<3x || m(D)=_Eʃ|f(x,y)-g(x,y)|dxdy=2*¹₀ʃ(^3x₀ʃ(x²+y²)dydx=2¹₀ʃ(x²y+1/3 x³ |^3x₀)dx= 2*¹₀ʃ(3x³+1/3(3x)³-0)dx=2¹₀ʃ(3x³+9x³)dx=2*¹₀ʃ12x³dx=24*1/4 x⁴ |¹₀=6

Oblicz objętość bryły ograniczonej płaszczyzną OXY i wykresem funkcji f(x,y)=1/pierwiastek z 4-x²-y² określonej na kole x²+y²=<4

x=cost; y=rsint; J=r || 0=<r=<2; 0=<y=<2Л || m(f,E)=ʃ_E|f(x,y)-g(x,y)|dxdy=²₀ʃ(^2Л₀ʃ (1/pierw z 4-r²)*rdtdr= ²₀ʃ(r/pierw z 4-r²)*2Лdr=2Л*²₀ʃ (r/pierw z 4-r²)dr=2Л*(-pierw z 4-r²)²₀|=2Л*(-(0-2))=4Л

Wyznacz całkowitą masę półkola x²+y²=<R², x>=0, które niesie masę o gęstości f(x,y)=x

Rysunek. || Ponieważ całkujemy po połowie koła zamieniamy zmienne na zmienne biegunowe || x=rcost; y=rsint; J=r || 0=<r=<R; -Л/2=<t=<Л/2 || M(f,E)=ʃʃ f(x,y)dxdy=^R₀ʃ(^Л/2_-Л/2ʃ rcost*r*dtdr= ^R₀ʃ (r²*sint|^-Л/2_Л/2= ^R₀ʃ r²(1-(-1))dr=2*^R₀ʃr²dr=2*1/3r³|^R₀=2(1/3R³-0)=2/3 R³

Oblicz objętość bryły ograniczonej wykresami funkcji f(x,y)=x² i g(x,y)=-y² określonych na ABC gdzie A=(0,0) B=(1,-3) C=(1,3)

Ponieważ trójkąt jest symetryczny względem osi OX I funkcja podcałkowa jest niezależna od y to możemy zamienić na dwie całki po trojkącie ACD || 0=<x=<1; 0=<y=<3x || m(D)=_Eʃ|f(x,y)-g(x,y)|dxdy=2*¹₀ʃ(^3x₀ʃ(x²+y²)dydx=2¹₀ʃ(x²y+1/3 x³ |^3x₀)dx= 2*¹₀ʃ(3x³+1/3(3x)³-0)dx=2¹₀ʃ(3x³+9x³)dx=2*¹₀ʃ12x³dx=24*1/4 x⁴ |¹₀=6

Oblicz objętość bryły ograniczonej płaszczyzną OXY i wykresem funkcji f(x,y)=1/pierwiastek z 4-x²-y² określonej na kole x²+y²=<4

x=cost; y=rsint; J=r || 0=<r=<2; 0=<y=<2Л || m(f,E)=ʃ_E|f(x,y)-g(x,y)|dxdy=²₀ʃ(^2Л₀ʃ (1/pierw z 4-r²)*rdtdr= ²₀ʃ(r/pierw z 4-r²)*2Лdr=2Л*²₀ʃ (r/pierw z 4-r²)dr=2Л*(-pierw z 4-r²)²₀|=2Л*(-(0-2))=4Л

Wyznacz całkowitą masę półkola x²+y²=<R², x>=0, które niesie masę o gęstości f(x,y)=x

Rysunek. || Ponieważ całkujemy po połowie koła zamieniamy zmienne na zmienne biegunowe || x=rcost; y=rsint; J=r || 0=<r=<R; -Л/2=<t=<Л/2 || M(f,E)=ʃʃ f(x,y)dxdy=^R₀ʃ(^Л/2_-Л/2ʃ rcost*r*dtdr= ^R₀ʃ (r²*sint|^-Л/2_Л/2= ^R₀ʃ r²(1-(-1))dr=2*^R₀ʃr²dr=2*1/3r³|^R₀=2(1/3R³-0)=2/3 R³

Oblicz objętość bryły ograniczonej wykresami funkcji f(x,y)=x² i g(x,y)=-y² określonych na ABC gdzie A=(0,0) B=(1,-3) C=(1,3)

Ponieważ trójkąt jest symetryczny względem osi OX I funkcja podcałkowa jest niezależna od y to możemy zamienić na dwie całki po trojkącie ACD || 0=<x=<1; 0=<y=<3x || m(D)=_Eʃ|f(x,y)-g(x,y)|dxdy=2*¹₀ʃ(^3x₀ʃ(x²+y²)dydx=2¹₀ʃ(x²y+1/3 x³ |^3x₀)dx= 2*¹₀ʃ(3x³+1/3(3x)³-0)dx=2¹₀ʃ(3x³+9x³)dx=2*¹₀ʃ12x³dx=24*1/4 x⁴ |¹₀=6

Oblicz objętość bryły ograniczonej płaszczyzną OXY i wykresem funkcji f(x,y)=1/pierwiastek z 4-x²-y² określonej na kole x²+y²=<4

x=cost; y=rsint; J=r || 0=<r=<2; 0=<y=<2Л || m(f,E)=ʃ_E|f(x,y)-g(x,y)|dxdy=²₀ʃ(^2Л₀ʃ (1/pierw z 4-r²)*rdtdr= ²₀ʃ(r/pierw z 4-r²)*2Лdr=2Л*²₀ʃ (r/pierw z 4-r²)dr=2Л*(-pierw z 4-r²)²₀|=2Л*(-(0-2))=4Л

Wyznacz całkowitą masę półkola x²+y²=<R², x>=0, które niesie masę o gęstości f(x,y)=x

Rysunek. || Ponieważ całkujemy po połowie koła zamieniamy zmienne na zmienne biegunowe || x=rcost; y=rsint; J=r || 0=<r=<R; -Л/2=<t=<Л/2 || M(f,E)=ʃʃ f(x,y)dxdy=^R₀ʃ(^Л/2_-Л/2ʃ rcost*r*dtdr= ^R₀ʃ (r²*sint|^-Л/2_Л/2= ^R₀ʃ r²(1-(-1))dr=2*^R₀ʃr²dr=2*1/3r³|^R₀=2(1/3R³-0)=2/3 R³

Oblicz objętość bryły ograniczonej wykresami funkcji f(x,y)=x² i g(x,y)=-y² określonych na ABC gdzie A=(0,0) B=(1,-3) C=(1,3)

Ponieważ trójkąt jest symetryczny względem osi OX I funkcja podcałkowa jest niezależna od y to możemy zamienić na dwie całki po trojkącie ACD || 0=<x=<1; 0=<y=<3x || m(D)=_Eʃ|f(x,y)-g(x,y)|dxdy=2*¹₀ʃ(^3x₀ʃ(x²+y²)dydx=2¹₀ʃ(x²y+1/3 x³ |^3x₀)dx= 2*¹₀ʃ(3x³+1/3(3x)³-0)dx=2¹₀ʃ(3x³+9x³)dx=2*¹₀ʃ12x³dx=24*1/4 x⁴ |¹₀=6

Oblicz objętość bryły ograniczonej płaszczyzną OXY i wykresem funkcji f(x,y)=1/pierwiastek z 4-x²-y² określonej na kole x²+y²=<4

x=cost; y=rsint; J=r || 0=<r=<2; 0=<y=<2Л || m(f,E)=ʃ_E|f(x,y)-g(x,y)|dxdy=²₀ʃ(^2Л₀ʃ (1/pierw z 4-r²)*rdtdr= ²₀ʃ(r/pierw z 4-r²)*2Лdr=2Л*²₀ʃ (r/pierw z 4-r²)dr=2Л*(-pierw z 4-r²)²₀|=2Л*(-(0-2))=4Л

Wyznacz całkowitą masę półkola x²+y²=<R², x>=0, które niesie masę o gęstości f(x,y)=x

Rysunek. || Ponieważ całkujemy po połowie koła zamieniamy zmienne na zmienne biegunowe || x=rcost; y=rsint; J=r || 0=<r=<R; -Л/2=<t=<Л/2 || M(f,E)=ʃʃ f(x,y)dxdy=^R₀ʃ(^Л/2_-Л/2ʃ rcost*r*dtdr= ^R₀ʃ (r²*sint|^-Л/2_Л/2= ^R₀ʃ r²(1-(-1))dr=2*^R₀ʃr²dr=2*1/3r³|^R₀=2(1/3R³-0)=2/3 R³

Oblicz objętość bryły ograniczonej wykresami funkcji f(x,y)=x² i g(x,y)=-y² określonych na ABC gdzie A=(0,0) B=(1,-3) C=(1,3)

Ponieważ trójkąt jest symetryczny względem osi OX I funkcja podcałkowa jest niezależna od y to możemy zamienić na dwie całki po trojkącie ACD || 0=<x=<1; 0=<y=<3x || m(D)=_Eʃ|f(x,y)-g(x,y)|dxdy=2*¹₀ʃ(^3x₀ʃ(x²+y²)dydx=2¹₀ʃ(x²y+1/3 x³ |^3x₀)dx= 2*¹₀ʃ(3x³+1/3(3x)³-0)dx=2¹₀ʃ(3x³+9x³)dx=2*¹₀ʃ12x³dx=24*1/4 x⁴ |¹₀=6

Oblicz objętość bryły ograniczonej płaszczyzną OXY i wykresem funkcji f(x,y)=1/pierwiastek z 4-x²-y² określonej na kole x²+y²=<4

x=cost; y=rsint; J=r || 0=<r=<2; 0=<y=<2Л || m(f,E)=ʃ_E|f(x,y)-g(x,y)|dxdy=²₀ʃ(^2Л₀ʃ (1/pierw z 4-r²)*rdtdr= ²₀ʃ(r/pierw z 4-r²)*2Лdr=2Л*²₀ʃ (r/pierw z 4-r²)dr=2Л*(-pierw z 4-r²)²₀|=2Л*(-(0-2))=4Л

Wyznacz całkowitą masę półkola x²+y²=<R², x>=0, które niesie masę o gęstości f(x,y)=x

Rysunek. || Ponieważ całkujemy po połowie koła zamieniamy zmienne na zmienne biegunowe || x=rcost; y=rsint; J=r || 0=<r=<R; -Л/2=<t=<Л/2 || M(f,E)=ʃʃ f(x,y)dxdy=^R₀ʃ(^Л/2_-Л/2ʃ rcost*r*dtdr= ^R₀ʃ (r²*sint|^-Л/2_Л/2= ^R₀ʃ r²(1-(-1))dr=2*^R₀ʃr²dr=2*1/3r³|^R₀=2(1/3R³-0)=2/3 R³

Oblicz objętość bryły ograniczonej wykresami funkcji f(x,y)=x² i g(x,y)=-y² określonych na ABC gdzie A=(0,0) B=(1,-3) C=(1,3)

Ponieważ trójkąt jest symetryczny względem osi OX I funkcja podcałkowa jest niezależna od y to możemy zamienić na dwie całki po trojkącie ACD || 0=<x=<1; 0=<y=<3x || m(D)=_Eʃ|f(x,y)-g(x,y)|dxdy=2*¹₀ʃ(^3x₀ʃ(x²+y²)dydx=2¹₀ʃ(x²y+1/3 x³ |^3x₀)dx= 2*¹₀ʃ(3x³+1/3(3x)³-0)dx=2¹₀ʃ(3x³+9x³)dx=2*¹₀ʃ12x³dx=24*1/4 x⁴ |¹₀=6

Oblicz objętość bryły ograniczonej płaszczyzną OXY i wykresem funkcji f(x,y)=1/pierwiastek z 4-x²-y² określonej na kole x²+y²=<4

x=cost; y=rsint; J=r || 0=<r=<2; 0=<y=<2Л || m(f,E)=ʃ_E|f(x,y)-g(x,y)|dxdy=²₀ʃ(^2Л₀ʃ (1/pierw z 4-r²)*rdtdr= ²₀ʃ(r/pierw z 4-r²)*2Лdr=2Л*²₀ʃ (r/pierw z 4-r²)dr=2Л*(-pierw z 4-r²)²₀|=2Л*(-(0-2))=4Л

Wyznacz całkowitą masę półkola x²+y²=<R², x>=0, które niesie masę o gęstości f(x,y)=x

Rysunek. || Ponieważ całkujemy po połowie koła zamieniamy zmienne na zmienne biegunowe || x=rcost; y=rsint; J=r || 0=<r=<R; -Л/2=<t=<Л/2 || M(f,E)=ʃʃ f(x,y)dxdy=^R₀ʃ(^Л/2_-Л/2ʃ rcost*r*dtdr= ^R₀ʃ (r²*sint|^-Л/2_Л/2= ^R₀ʃ r²(1-(-1))dr=2*^R₀ʃr²dr=2*1/3r³|^R₀=2(1/3R³-0)=2/3 R³

Oblicz objętość bryły ograniczonej wykresami funkcji f(x,y)=x² i g(x,y)=-y² określonych na ABC gdzie A=(0,0) B=(1,-3) C=(1,3)

Ponieważ trójkąt jest symetryczny względem osi OX I funkcja podcałkowa jest niezależna od y to możemy zamienić na dwie całki po trojkącie ACD || 0=<x=<1; 0=<y=<3x || m(D)=_Eʃ|f(x,y)-g(x,y)|dxdy=2*¹₀ʃ(^3x₀ʃ(x²+y²)dydx=2¹₀ʃ(x²y+1/3 x³ |^3x₀)dx= 2*¹₀ʃ(3x³+1/3(3x)³-0)dx=2¹₀ʃ(3x³+9x³)dx=2*¹₀ʃ12x³dx=24*1/4 x⁴ |¹₀=6

---