1. Pojęcie całki oznaczonej

Definicja:
Funkcje F(x) nazywa się funkcją pierwotna funkcji f(x) w danym przedziale jeżeli w całym tym przedziale pochodna funkcji F’(x)=f(x), znalezienie wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji nazywa się jej całkowanie.

Twierdzenie:
Jeżeli w pewnym przedziale x, F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) to funkcja F(x)+C (gdzie C dowolna stała ) jest również funkcją pierwotną. Na odwrót każda funkcja pierwotna funkcji f(x) w przedziale X może być przedstawiona w takiej postaci F’[(x)+C]=f(x)

F’(x)= φ’(x)
F(x)= φ (x)+C

$$\frac{f\left( b \right) - f(a)}{b - a} = f'(c)$$

Z twierdzenie wynika, że wystarczy znaleźć tylko jedną funkcje pierwotną F(x) aby znać wszystkie funkcje pierwotne różnią się one bowiem od siebie stałym składnikiem. Zbiór wszystkich pierwotnych F(x)+c nazywamy całką nieoznaczoną ∫f(x)dx

Tablica całek podstawowych:

I.∫0dx = C

II.$\int_{}^{}{x^{\alpha}dx = \frac{x^{\alpha}}{\alpha + 1} + C}$

III.$\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{x} = ln\left| x \right| + C$

IV.$\int_{}^{}a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\text{lna}} + C\backslash n$V.∫sinxdx = −cosx + C

VI.∫cosxdx = sinx + C

VII.$\int_{}^{}{\frac{\text{dx}}{\cos^{2}x} = \text{tg} + C}$

VIII.$\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{\sin^{2}x} = - \text{ctgx} + C$

IX.$\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = arcsin\frac{x}{a} + C$

X.$\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} = \frac{1}{a}\text{arctg}\frac{x}{a} + C$

XI.∫shxdx = chx + C

XII.∫chxdx = shxdx + C

XIII.$\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{\text{ch}^{2}x} = thx + C$

XIV.$\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{\text{sh}^{2}x} = - cthx + C$

XV.$\int_{}^{}{\frac{\text{dx}}{a^{2} - x^{2}} = \frac{1}{2a}}\ln\left| \frac{x + a}{x - a} \right| + C$

XVI.$\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{\sqrt{a^{2} \pm x^{2}}} = ln\left| x + \sqrt{a^{2} \pm x^{2}} \right| + C$

1. Całkowanie przez podstawianie, całkowanie przez części.

• CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTWWIANIE

U podstaw tej metody leży następujący prosty fakt, mianowicie jeśli wiadomo, że funkcja ∫g(t)dt = G(t) + C to ∫g(φ(x)φ^′(x)dx = G(φ(x)+C). Przypuśćmy, że trzeba obliczyć całkę ∫f(x)dx w wielu przypadkach udaje się wybrać jako nową zmienną taka funkcje t= φ(x), żeby wyrażenie podcałkowe mogło być zapisane w postaci f(x)dx = g(φ(x))φ(x)dx

• CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI

Niech będą dane dwie funkcje U=u(x), V=v(x), które mają odpowiednią pochodną wówczas na mocy reguł różniczkowania pochodna iloczynu (U*V)’=u’v+uv’

∫Udv = ∫d(U*V) − ∫Vdu

1. Całka oznaczona definicja, interpretacja geometryczna.

Pojęcie funkcji pierwotnej było historycznie blisko powiązane z zadaniem obliczenia pola. Niech w przedziale AB będzie dane funkcja ciągła y=f(x) przyjmują tylko dodatnie wartości.

Obliczyć pole P trapezy krzywoliniowego. Podzielimy podstawę w dowolny sposób na mniejsze odcinki pionowe. W ten sposób trapez ma pewną ilość pasków. Każdy taki pasek zastąpimy teraz prostokątem, o tej samej podstawie co dany pasek i o wysokości jednej z rzędnych wykresów pasków. Np. skrajnej z lewej strony. W ten sposób figurę krzywoliniową zastąpiliśmy figurą schodkowa.
Niech punkt x₀ pokrywa się z punktem „a”
x₀ = a<x₁<x₂<…<x_x<x_x+1<…<b=x, niech oznaczają odcięte punktu podziału . Podstawa „i” tego prostokąta (gdzie i=0,1…n-1) ,x_i = x_i + 1 − x_i. Z tego co powiedzieliśmy wynika, że wysokość tego prostokąta to wartość funkcji w y_i = f(x_i), a zatem pole „i” tego prostokąta będzie równe y_i * x_i = f(x_i) * x_i
$P = \sum_{i = 0}^{n - 1}{F(x_{i})}x_{i}$ . Przy nieograniczonym zmniejszaniu się wszystkich x_i błąd w tej równości zmniejsza się do zera. Dokładne pole P otrzymamy jako granica: $P = \operatorname{}{\sum_{i = 0}^{n - 1}{F(x_{i})}x_{i}}$ gdy wszystkie x_i dążą do zera.

$$\int_{a}^{b}{f\left( x \right)dx =}\text{\ P} = \operatorname{}{\sum_{i = 0}^{n - 1}{F(x_{i})}x_{i}}$$

1. Sumy Darboux (czyt. Darbu) i ich właściwości, kryterium istnienia całki oznaczonej.

$${s = \sum_{i = 0}^{n - 1}m_{i}x_{i}}{S = \sum_{i = 0}^{n - 1}M_{i}x_{i}}$$

Warunkiem istnienia całki oznaczonej jest:

(S−s) = 0

• $\int_{}^{}{\frac{dx}{a^{2} + bx + c} = \frac{\text{dx}}{\left( \sqrt{a}x + \frac{b}{2\sqrt{a}} \right) + \left( c - \frac{b^{2}}{4a} \right)} = \left| \begin{matrix} t = \left( \sqrt{a}x + \frac{b}{2\sqrt{a}} \right) \\ x = \frac{t - \frac{b}{2\sqrt{a}}}{\sqrt{a}} \\ x = \frac{1}{\sqrt{a}}t - \frac{b}{2a} \\ dx = \frac{1}{\sqrt{a}}\text{dt} \\ dx = \left( \frac{1}{a}t - \frac{b}{2a} \right)\text{dt} \\ \end{matrix} \right|}$=$\int_{}^{}\frac{\frac{1}{\sqrt{a}}\text{dx}}{t^{2} + \left( c - \frac{b^{2}}{4a} \right)}$

1. Klasy funkcji całkowalnych:

I. Każda funkcja ciągła w przedziale <a,b> jest w tym przedziale całkowalna

II. Każda funkcja f(x)ograniczona w przedziale <a,b> i mająca w nim skończona liczbę punktów w nieciągłości jest całkowalna.

III. Funkcja monotoniczna i ograniczona jest całkowalna.

1. Własności całek oznaczonych 1-10

I. Jeśli funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale <b,a> to jest ona również całkowalna w przedziale <a,b>i ponadto całki po przedziale <a,b>∫_a^bf(x)dx = −∫_b^af(x)dx

∫_a^bf(x)dx = 0

II.Zakładamy że f(x) jest całkowalna w największym przedziale <a,b>,<a,c>,<c,b>

W tedy jest ona całkowalna w dwóch pozostałych przedziałach i ponadto przy dowolnym położeniu a,b,c zachodzi równość:

∫_a^bf(x)dx=∫_a^cf(x)dx=∫_c^bf(x)dx

III.Jeśli funkcja f(x)jest całkowalna w przedziale <a,b> to za chodzi równość

∫_a^bk * f(x)dx=k∫_a^bf(x)dx

IV. Jeśli funkcje f(x) i g(x) są całkowalne w przedziale <a,b> to również funkcje f(x)±g(x) SA całkowalne i zachodzi równość:

∫_a^b[f f(x) ± g(x)]dx = ∫_a^bf f(x)dx ± ∫_a^bg(x)]dx

V.Jeśli funkcje f(x) w przedziale <a,b> i nie ujemne w tym przedziale f(x)>=0to całka tej figury też jest nieujemna ∫_a^bf(x)dx ≥ 0

VI. Jeśli funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale <a,b>i jest wszędzie dodatnia f(x)>0 to całka tez jest ∫_a^bf(x)dx > 0

VII. Jeśli w funkcje f(x) i g(x) są całkowalne w przedziale <a,b> zawsze f(x)<=g(x) to różnica

∫_a^bf(x)dx < ∫_a^bg(x)dx

VIII. Niech funkcja f(x) będzie całkowalna w przedziale <a,b> a<b w tedy zachodzi nie równość

|∫_a^bf(x)dx| ≤ ∫_a^b|f(x)|dx

IX. Jeśli funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale <a,b> gdzie a<Bi jeśli w tym całym przedziale zachodzi nierówność:

m(b-a)<= ∫_a^bf(x)dx ≤ M(b − a)

X. Twierdzenie o wartości średniej niech f(x) będzie całkowalne w przedziale<a,b> i niech w całym tym przedziale zachodzi nierówność m<=f(x)<=M w tedy

∫_a^bf(x)dx = μ(b-a)

1. Całka oznaczona jako funkcja górnej granicy.

Jeśli funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale <a,b> to na mocy trzeciej własności funkcji całkowalnych jest całkowalna w przedziale <a,x> gdzie x jest dowolna liczbą z przedziału <a,b>.

(fi) → Φ(x) = ∫_a^xf(t)dt - całka ze zmienna górną granicą całkową.

1. Wzór Newtona-Leibnitz’a

∫_a^bf (x)dx  =  F(b)  −  F(a)

Dowód: Niech g(x) = ∫_a^xf (t)dt. Wiemy, że g'(x) = f (x) - a zatem g jest całką nieoznaczoną z funkcji f. Jeżeli F jest inną całką nieoznaczoną tej samej funkcji to, jak wiemy, różni się od g co najwyżej o pewną stałą: F(x) = g(x) + c
dla a < x < b. Wszelako zarówno F jak i g są ciągłe na przedziale [a, b], a więc rozważając granice powyższych funkcji przy x  a⁺ oraz x  b^- widzimy, że powyższa równośc zachodzi też dla x = aoraz x = b.

Podstawiając x = a we wzorze na g(x) otrzymujemy
g(a) = ∫_a^af (t)dt  =  0,
co po połączeniu z wcześniejszymi rozważaniami daje :

F(b)−F(a)=(g(b)+C)−(g(a)+C)=g(b)−g(a)=g(b)=∫_a^bf (t)dt.

1. Całki niewłaściwe, przykłady.

Niech będzie dana funkcja f(x) określona na przedziale <a, ∞), x>=a i całkowalna w każdej skończonej części <a,A> tego przedziału. Granice tej całki (skończone lub nie skończone) gdy A → +∞ nazywamy całką funkcji f(x) w granicach od (a,  + ∞) i oznaczamy symbolem I = ∫_a^∞f(x)dx=∫_a^Af(x)dx w przypadku gdy ta granica jest skończona całka jest zbieżna.
Jeżeli górna Ijest nie skończona bądź nie istnieje to całka jest rozbieżna.

Przykłady:

I.$\int_{0}^{+ \infty}\frac{\text{dx}}{1 + x^{2}} = \operatorname{}{arctgA = \frac{\pi}{2}}$

II.$\int_{0}^{A}{\frac{\text{dx}}{1 + x^{2}} = arctgx}$|^A₀=arctgA-arctg0=arctgA

III.∫₀^+∞sinxdx = (1−cosA) = granica nie istenieje 

IV.∫₀^Asinxdx = −cosx|^A₀=-cosA+1

1. Pojęcie krzywej prostowalnej. Długość łuku krzywej.
   

1. Długość Krzywej :

Rozpatrzmy krzywą płaską AB przedstawioną równaniami parametrycznymi

                                                                                   x = φ(t) t∈<α, β>

y = φ(t)

Funkcje φ i ψ są ciogłe w przedziale .Załóżmy też, ze krzywa nie ma punktów wielokrotnych , tak ze każdy jej punkt może być otrzymany tylko dla jednej wartości parametru t z wyjątkiem pokrywających się końców krzywej jeżeli jest ona zamknięta .przy tych założeniach krzywa nazywa się krzywą zwykłą ciągłą .

Np. krzywa o równaniu :

$\left\{ \begin{matrix} x = \frac{t^{2} - 1}{t^{2} + 1} \\ y = at*\frac{t^{2} - 1}{t^{2} + 1} \\ \end{matrix} \right.\ $ tϵ(−∞,∞)

Krzywa strofoida

1. Długość odcinka $\overset{\overline{}}{M_{i},M_{i + 1}}$ z twierdzenia pitagorasa :

$$\overset{\overline{}}{M_{i},M_{i + 1}} = \sqrt{\lbrack\varphi\left( t_{i + 1} \right) - \varphi\left( t_{i} \right)\rbrack^{2} + \lbrack\varphi\left( t_{i + 1} \right) + \psi(t_{i})\rbrack^{2}}$$

$$\sum_{i = 0}^{n - 1}{\overset{\overline{}}{M_{i},M_{i + 1}}\ \ \ - \rightarrow dlugosc\ lamanej\ }$$

Definicja :

Długośc krzywej , AB nazwya się kres górny $\overset{\overline{}}{l}$, zbiorem długości $\overset{\overline{}}{l}$ wszystkich łamanych wpisanych w krzywą

$$l = sup(\overset{\overline{}}{l})$$

Krzywa posiadająca długość nazywa się prostowalną

Twierdzenie :

Jeżeli funkcje φ(t)ψ(t)maja ciagle pierwsze pochodne w przedziale < α, β > to krzywa jest prosta i jej dlugosc wynosi :

1. $l = \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\varphi^{'2}\left( t \right) + \psi^{'2}(t)}\text{dt}$

2. Y=f(x) xϵ < a, b>

X=t czyli y=f(t)

$$l = \int_{a}^{b}\sqrt{1 + f^{'}\left( x \right)}dx\ bo\ pochodna\ t = 1$$

R=r(φ)φϵ < α, β>

$$l = \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^{'2}\left( \varphi \right) + r^{2}\left( \varphi \right)}$$

x^′2 = [(r(φ) * cos)^′]² = [r^′(φ) * cosφ − r(φ) * sinφ]²

y^′2 = [(r(φ)) * sinφ)^′]² = [r^′(φ)sinφ + r(φ)cosφ]²

$$l = \sqrt{r^{'2} + r^{2}}$$

r = 1 + cosφ     φϵ < 0, 2π>

$$l = 2\int_{0}^{\pi}{\sqrt{\sin^{2}\varphi + (1 + cos\varphi)^{2}}d\varphi = 2\int_{0}^{\pi}\sqrt{\sin^{2}\varphi + 2cos\varphi + \cos^{2}\varphi}d\varphi = 2\int_{0}^{\pi}{\sqrt{2 + 2cos\varphi}d\varphi = 2\int_{0}^{\pi}{\sqrt{1 + cos\varphi}d\varphi = 2\sqrt{2}\int_{0}^{\pi}\sqrt{2\cos^{2}\frac{\varphi}{2}}}d\varphi = 4\int_{0}^{\pi}{\cos\frac{\varphi}{2}d\varphi = 8sin\frac{\varphi}{2}\left| \frac{\pi}{0} = 8sin\pi - 8sin0 = 8 \right.\ }}}$$

1. Pojęcia pola figury i jego obliczenie.
   

Obszarem wielokątnym lub wielokątem nazywamy dowolną skończoną figurę płaską ograniczona jedną lub kilkoma łamanymi zamkniętymi . Dla takiej figury pojęcie pola było omówione w szkolnym kursie gometrii .

Rozpatrzmy na płaszczyźnie dowolną figurę (P) który jest obszarem ograniczonym i domkniętym. weźmy pod uwagę wszystkie możliwe wielokąty (A) całkowicie zawarte w (P) oraz wielokąty zawierające obszar(P)

A≤B

{A} jest ograniczony z góry przez którąkolwiek z liczb B a więc posiada supremum [P_*]tak samo można twierdzić ze {B} posiada infimum np. P^* a więc posiada kres dolny .

P^* ≥ P_*

P^*iP_* nazywamy odpowiednio zewnetrznym i wewnetrznym figur P

 W tym przypadku figura P nazwya sie  zmierzalna 

1. Funkcja wielu zmiennych.

W przypadku 3 zmiennych niezależnych n=3 może być jeszcze układ 3 liczb może być jeszcze interpretowany geometrycznie jako punkt przestrzeni a zbiór takich trójek x,y,z jako częśći przestrzeni . gdy n>3 to nie ma już możliwości bezpośredniej interpretacji geometrycznej tym nie mniej pragnąc rozszerzyć metody geometryczne również na teorię funkcji większej liczby zmiennych. pojęcie przestrzeni n-wymiarowej gdzie n może być większe niż 3.

Nazwijmy punktem n-wymiarowym układ n-liczb rzeczywistych M=(x₁, x₂, ..,x_n) gdzie x₁, x₂, …, x_n to sa współrzędne tego punktu. Zbiór wszelkich możliwych punktów N-wymiarowych tworzy przestrzeń n wymiarową

$$\overline{M_{1}M_{2}} = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$$

Dla 3 wymiarów :

$$\overline{M_{1}M_{2}} = \ \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}}$$

Dla n- wymiarów :

$$\overline{M_{1}M_{2}} = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + \ldots + (x_{n2} - x_{n1})^{2}}$$

Zbiór punktów M o współrzędnych (x₁, x₂, …, x_n) spełniających niezależnie od siebie nierówności .

a₁ < x₁ < b₁

a₂ < x₂ < b₂

a₃ < x₃ < b₃

a_n < x_n < b_n

nazywamy prostopadloscianem otwartym n − wymiarowym 

Otoczeniem punktu M₀ o współrzędnych x₁⁰, x₂⁰, …, x₃⁰ nazywamy dowolny prostopadloscian otwarty ktorego srodkiem jest punkt M₀

Zbiór punktów M_{1 x1¹, x2¹, …, xn¹}określamy nierówność (x₁⁰ − x₁⁰)² + (x₂⁰ − x₂⁰)²+…+

(x_n⁰ − x_n⁰)²<R² tworzy otwartą kulę n-wymiarową o promieniu R i o środku w punkcie n₀

(x-a)² + (y − b)² ≤ R²

Punkt wewnętrzny M₀o współrzędnych x₁⁰,x₂⁰, …,  x_n⁰ zbioru D (w przestrzeni n-
wymiarowej)jeśli należy on do zbioru D oraz z pewnym swoim dostatecznie małym otoczeniem. Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych D nazywamy (obszarem)zbiorem otwartym Punkt M₀ nazywa się punktem granicznym zbioru D jeśli w każdym jego otoczeniu zawarty jest

chociażby jeden punkt zbioru D różny od m₀.

Punkt skupienia obszaru otwartego nie należący do tego nazywa się punktem brzegowym

tego obszaru .Zbiór punktów brzegowych tworzy brzeg obszaru .obszar otwarty wraz ze

swym brzegiem nazywa się obszarem domkniętym .obszar nazywa się spojnym jeżeli dowolne 2

jego punkty można połączyć linią łamaną ,której wszystkie punkty należą do obszaru .

jeśli punkt M o współrzędnych x₁,x₂,…,x_n to funkcje U=f(x₁, x₂, …, x_n) to funkcje tych zmiennych n-wymiarowych D₁który ma punkt skupienia M₀(x₁⁰, x₂⁰, …, x_n⁰)

1. Granica funkcji wielu zmiennych.

Rozpatrzmy w przestrzeni N − wymiarowej ciag punktow {M_n}={(x₁ⁿ, x₂ⁿ, …, x_nⁿ)} gdzie n=1,2,… będziemy mówić ,ze ten ciąg jest zbierzny do punktu granicznego M₀ jeśli dla liczby k+∞ odległośc między punktami $\overline{M_{0}M_{k}} - \rightarrow 0$ tzn. ze dla dostatecznie dużego k spełniona jest nierówność $\overline{M_{0}M_{k}} < r$, która jest dowolną dodatnią zadaną z góry liczbą r.

Zamiast tego moznaby zarzadac aby wspolrzedna punktu M_k dążyły kazda 2 osobna  do odpowiedniej wspolrzednej punktu M_o

np:

x₁^k = x₁⁰

x₂^k = x₂⁰

…

x_n^k = x_n⁰

Definicja :

Mówimy ze funkcja u=f(M) ma wypukłości M₀ granicę równą liczbie A jeśli dolnemu ciągowi punkt M_k mającemu granicę M₀ odpowiada ciag wartosci funkcji f(M_k) dążący do liczby A

Przykład :

Rozpatrzmy funkcję f(x,y)=$\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$

Y=3x

Y=2x

$$\left\{ M_{k}\epsilon y = 2x \right\} = \left\{ \frac{1}{k},\frac{2}{k} \right\}$$

$$\left\{ M_{k}\epsilon y = 3x \right\} = \{\frac{1}{k},\frac{3}{k}\}$$

$f\left( M_{k} \right) = f\left( \frac{1}{k},\frac{2}{k} \right) = \frac{\frac{1}{k^{2}} - \frac{4}{k^{2}}}{\frac{1}{k^{2}} + \frac{4}{k^{2}}}$=$- \frac{3}{5}$

$$f\left( M_{k} \right) = f\left( \frac{1}{k},\frac{3}{k} \right) = \frac{\frac{1}{k^{3}} - \frac{9}{k^{3}}}{\frac{1}{k^{2}} + \frac{9}{k^{2}}} = - \frac{4}{5}$$

Funkcje ciągłe:

Niech funkcja f(x₁, x₂, …, x_n) będzie określona w pewnym zbiorze D punktów przestrzeni n-wymiarowej i niech punkt M₀(x₁⁰, x₂⁰, …, x_n⁰) będzie punktem granicznym tego zbioru należącym do samego zbioru .

Definicja :

Mówimy ze u=f(x₁, x₂, …, x_n) jest ciągła w punkcie M₀ w przeciwnym razie będziemy mówili ze funkcja ma w punkcie M₀ nieciągłość .

1. Pojęcie pochodnych cząstkowych funkcji wielu zmiennych.

Niech w pewnym obszarze D przestrzeni N-wymiarowa będzie dana funkcją u=f(x₁, x₂, …, x_n). Weźmy dowolny punkt M₀(x₁⁰, x₂⁰, …, x_n⁰)ϵD.

Jeśli ustalimy wartość :

x₂ = x₂⁰

x₃ = x₃⁰

….

x_n = x_n⁰

I będziemy zmieniali tylko x₁ to funkcja u będzie z otoczenia punktu x₁⁰ funkcją jednej zmiennej x₁⁰.Można zapytać o obliczenie pochodnej tej funkcji w punkcie x₁⁰

Y=f(x) x₀ + x

y = f(x₀+x) − f(x₀)

$$\operatorname{}{\frac{y}{x} = \ f^{'}\left( x_{0} \right)}$$

Nadajmy wartość x₁⁰ przyrost x₁ wowczas funkcja uzyska przyrostx₁u = f(x₁⁰, x₂⁰, …, x_n⁰)=f(x₁⁰, x₂⁰, …, x_n⁰)

$$\frac{x_{1}u}{x_{1}} = \operatorname{}\frac{f\left( x_{1}^{0} + x_{1},{\ldots,x}_{n}^{0} \right) - f(x_{1}^{0},x_{2}^{0},\ldots,x_{n}^{0})}{x_{1}}$$

Jeśli granica ta istnieje i jest skończona i niezalezy od sposobu to nazywa się dążenia x₁ do 0 to nazywa sie pochodna f(x)w punkcie x₁ wzgledem M₀.

Oznaczmy ją :

$$\frac{\partial f}{\partial x_{1}}\left( x_{1}^{0},x_{2}^{0},\ldots,x_{n}^{0} \right)$$

(u^′x₁)

Przykład :

Oblicz pochodną cząstkową funkcji

$$u = x^{2} - \frac{\sin\left( x - y \right)}{\sqrt{2}} + e^{- x2^{2}}$$

$$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x + \frac{5}{\sqrt{2}}*\frac{1}{x - y} + e^{- x2^{2}}*\left( {- 2}^{2} \right)$$

$$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\left( - 1 \right)}{x - y}$$

$\frac{\partial u}{\partial z} = 5\ln{(x - y)( - \frac{1}{2}*}2^{- \frac{3}{2}}$)+e^−x22*(-x2²)

Przyrost zupełny + gdy wszystkie zmienne jednorodne otrzymują przyrost

u = f(x₁⁰+x₁,x₂⁰+x₂,…,x_n⁰+x_n)

Definicja 1.

Jeśli funkcja u=f(x_{1, x2, …, xn})nazywa się różniczką w pewnym punkcie M₀ jesli jej przyrost zupelny w tym punkcie moze byc przedstawiony w postaci u = (A₁*x₁+…+A_nx_n) + (α₁x₁ + … + α_nx_n)gdzie A₁A₂A_n sa stalymi niezaleznymi od x₁, x₂, …, x_n  natomiast wielkosc α₁, α₂, …, α_n

Są wierzchołkami zależnymi od x₁, x₂, …, x_n i dowiązanymi wraz z nimi do zera.

αi = 0

Definicja 2.

Funkcja u=f(x₁, x₂, …, x_n) nazywa się różniczkowalną w punkcie M₀ jeśli jej przyrosk zupełny w tym punkcie może być przedstawiony w postaci u = (A₁*x₁+…+A_nx_n)+$\varepsilon\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \ldots + x_{n}^{2}}$ gdzie ε = 0

Można wykazać ze te dwie definicje są równoważne .

Twierdzenie :

Jeśli u=f(A_1x1, A_2x2, …, A_nxn) jest różniczkowalną w punkcie M₀ to w tym punkcie istnieją pochodne cząstkowe względem wszystkich argumentów , przy czym $\frac{\partial u}{\partial x_{1}} = A_{1,\frac{\partial u}{\partial x_{2}} = A_{2}},\frac{\partial u}{\partial x_{n}} = A_{n}$

A więc $u = \frac{\partial u}{\partial x_{1}}*x_{1} + \frac{\partial u}{\partial x_{2}}*x_{2} + \ldots + \frac{\partial u}{\partial x_{n}}*x_{n}*\alpha_{1}x_{1} + \alpha_{2}x_{2} + \ldots + \alpha_{n}x_{n}$

1. Różniczka zupełna funkcji wielu zmiennych. Różniczkowalność funkcji.

Istnienie pochodnych czastkowych jeszcze nie pociąga za sobą różniczkowalności funkcji . trzeba mieć dodatkowe warunki np.

Twierdzenie :

Jeśli pochodne czastkowe fx^′(x,y,z),  f^′y(x,y,z)fz^′(x,y,z)istnieja nie tylko w punkcie M₀ (x⁰, y⁰, z⁰)lecz także w pewnym otoczeniu i oprócz tego są w tym punkcie ciągłe to funkcja u=(x,y,z) jest rózniczkowalna w tym punkcie .

Różniczką funkcji nazywamy wyrażenia

Du=$\frac{\partial u}{\partial x_{1}}x_{1} + \frac{\partial u}{\partial x_{2}}x_{2} + \ldots + \frac{\partial u}{\partial x_{n}}x_{n}$

|du=$\frac{\partial u}{\partial x_{1}}dx_{1 +}\frac{\partial u}{\partial x_{2}}dx_{2 + \ldots +}\frac{\partial u}{\partial x_{n}}dx_{n}$|

U=$x^{2}2 - e^{yx^{3}} + arctg\frac{x}{2}$

$\frac{\partial u}{\partial x}$=2$x_{2} - 3x^{2}y*e^{yx^{2}} + \frac{1}{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}}*\frac{1}{z}$

$$\frac{\partial u}{\partial y} = - e^{yx^{3}}*x^{3}$$

$\frac{\partial u}{\partial y}$=$x^{2} + \frac{1}{1 + \frac{x^{2}}{z^{2}}}*( - \frac{x}{z^{2}})$

1. Pochodna kierunkowa funkcji wielu zmiennych.

U=f(x,y,z)

Pochodne cząstkowe względem zmiennych x, y, z wyrażają prędkość zmiany funkcji w kierunku osi współrzędnych. $\frac{\partial u}{\partial x}$ jest predkością zmiany funkcji po „x”. Czyli zakłada się, że punkt przesuwa się tylko po prostej równoległej do osi OX. Tymczasem w wielu zagadnieniach może nas interesować prędkośc zmiany funkcji w innym kierunku, a więc określimy dokładnie prędkość zmiany pochodnej funkcji w dowolnym kierunku.

A więc niech funkcja f(M) będzie określona w pewnym obszarze otwartym. Rozpatrzmy dowolny punkt M₀(x₀,y₀,z₀) tego obszaru i dowolną linię prostą „l” skierowaną i przechodzącą przez ten punkt.

Niech M(x, y, z) oznacza dowolny inny punkt tej prostej.

$\overset{\overline{}}{M_{0}M}$ - odległość między punktami wzięta z odpowiednim znakiem jeśli zwrot $\overset{\overline{}}{M_{0}M}$ pokrywa się ze zwrotem osi „l” i ze znakiem minus w przeciwnym wypadku.

Niech punkt M zbliża się nieograniczenie do M₀ wzdłuż osi „l”. Jeśli granica istnieje to jest to pochodna kierunkowa y=f(M) w kierunku „l” i nazywa się symbolicznie $\frac{\partial f}{\partial l}$(M₀)

$$\frac{f\left( M \right) - \ f(M_{0})}{\overset{\overline{}}{M_{0}M}}$$

Załóżmy, że f(M) ma w rozpatrywanym obszarze ciągłe pochodne cząstkowe. Niech oś „l” tworzy z osiami współrzędnych Katy α,  β,  γ. Przy tych założeniach pochodna kierunkowa równa się

$$\frac{\partial f}{\partial x}cos\alpha*\ \frac{\partial f}{\partial y}*cos\beta*\frac{\partial f}{\partial z}*cos\gamma$$

W jakim kierunku w dowolnym punkcie będzie funkcja rosła najszybciej? Pytanie ma sens gdy wszystkie pochodne cząstkowe w tym punkcie nie równają się jednocześnie „0” bo pochodna w dowolnym kierunku równa się „0”. Można udowodnić, że przy tych założeniach wektor „G” mający rzuty na osiach współrzędnych

$$\overset{\rightarrow}{q} = (\frac{\partial f\left( x,\ y,\ z \right)}{\partial x},\ \ \frac{\partial f\left( x,\ y,\ z \right)}{\partial y},\ \ \frac{\partial f(x,\ y,\ z)}{\partial z}\ )$$

Wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji a jego długość ($\overset{\rightarrow}{q}$) równa się pierwiastkowi sumy kwadratów pochodnych cząstkowych , daje wielkość odpowiedniej pochodnej. Wektor ten nazywa się gradientem tej funkcji w punkcie M₀.

1. Pojęcie pochodnej cząstkowych wyższych rzędów. Ekstrema funkcji wielu zmiennych.

Ograniczymy się dla uproszczenia do funkcji trzech zmiennych/

U=f(x, y, z)
Niech ta funkcja ma w pewnym obszarze D pochodną cząstkową względem jednej ze zmiennych to pochodna ta będąc samą funkcją zmiennych x,y,z może mieć pochodne cząstkowe względem tej samej lub dowolnej innej zmiennej. Dla funkcji wyjściowej u= f(x,y,z) te ostatnie pochodne będą pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu.
Jeśli pierwsza pochodna była obliczona względem x to jej pochodne (x,y,z) będziemy oznaczali w sposób następujący:

$${\frac{\partial\left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)}{\partial x} = \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\backslash n}{\frac{\partial\left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)}{\partial y} = \frac{\partial^{2}u}{\partial y\partial x}\backslash n}{\frac{\partial(\frac{\partial u}{\partial x})}{\partial z} = \frac{\partial^{2}u}{\partial z\partial x}}$$

Twierdzenie

$$\frac{\partial^{2}f(x_{0},y_{o})}{\partial y\partial x} = \ \frac{\partial^{2}f(x_{0},y_{o})}{\partial x\partial y}$$

f″_xy = f″_yx

Twierdzenie

Niech funkcja n-zmiennych f(x₁,  x₂,  …x_n) będzie określona w n-wymiarowym obszarze i niech ma w tym obszarze wszelkie możliwe pochodne cząstkowe n(k-1) włącznie oraz pochodne mieszane względem k przy czym wszystkie pochodne będą ciągłe.

Przy tym założeniu wartość określona dowolnej pochodnej mieszanej nie zależy od pochodnej, w której wykorzystujemy kolejne różniczkowania.

Niech w obszarze D będzie określona pewna funkcja. Ciągłe pochodne pierwszego rzędu jak wiemy z poprzedniego wykładu są przyrostami zmiennych niezależnych $\text{du}\frac{\partial u}{\partial x_{1}}dx + \frac{\partial u}{\partial x_{2}}dx_{2} + \ldots + \frac{\partial u}{\partial x_{n}}dx_{n}$ Wiemy stąd, że wyrażenie du jest również pewną funkcją f(x1, x2, … xn). Jeśli założyć istnienie ciągłych pochodnych cząstkowych rzędu drugiego to du będzie miało ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego i możemy mówić o różniczce d(du), którą nazywamy różniczką drugiego rzędu (lub drugą różniczką funkcji u ). d(du) =d²u. Analogicznie różniczkujemy trzecią czwarta itd.

Ekstrema funkcji wielu zmiennych.

Twierdzenie

U=f(x₁,  x₂…x_n)

Niech punkt M₀(x₁⁰,  x₂⁰,  …x_n⁰) będzie punktem wewnętrznym tego obszaru funkcji u i ma w punkcie M(max/min). Jeśli można wyznaczyć takie otoczenie, że dla wszystkich punktów tego otoczenia spełniona jest nierówność

$$f\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots x_{n} \right)\frac{\leq}{\geq}f(x_{1},\ x_{2},\ \ldots x_{n})$$

Jeśli jest spełniona nierówność ostra to mówimy, że istnieje max/min.

Warunki dostateczne ekstremów.

Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej w punkcie stacjonarnym nie musimy być ekstremum. Jakie są warunki dostateczne w punkcie stacjonarnym? Wprowadźmy do rachunku wartość drugich pochodnych.

Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej w punkcie stacjonarnym wcale nie musi być ekstrema. Powstaje tym samym zagadnienie jakie są warunki dostateczne dla istnienia ekstremów w punkcie stacjonarnym. A wiec jakim dodatkowym badaniom należy poddać te punkty.

$$\left\{ \begin{matrix} f^{'} + \left( x^{0},y^{0} \right) = 0 \\ f^{'}y(x^{0},y^{0}) = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

f″x²(x⁰,y⁰) = a₁₁f″xy(x⁰,y⁰) = a₁₂f″y(x⁰,y⁰) = a₂₂

a₁₁ > 0 mina₁₁ < 0 max

1.   < 0
   Funkcja nie posiada ekstrema !

2.   = 0
   Dla rozstrzygnięcia zagadnienia trzeba użyć pochodnych jeszcze wyższych rzędów lub skorzystać z innych metod np: numerycznych! Tym się nie będziemy zajmować

1. Liczy zespolone: definicja postać algebraiczna, moduł, interpretacja geometryczna liczb zespolonych wraz z ich dodawaniem i odejmowaniem. Przykłady.

Definicja: Liczbami zespolonymi nazywamy uporządkowane pary liczb rzeczywistych dla których określony równość dodawania i mnożenia w sposób następujący :

$\left. \ \begin{matrix} 1.\ \ \left( a,b \right) = \left( c,d \right)a = c\ ,\ b = d \\ 2.\ \ \left( a,b \right) + \left( d,c \right)\left( a + c,b + d \right) \\ \text{\ \ \ \ \ }3.\ \ \left( a,b \right)\left( c,d \right) = (ac - bd,ad + bc) \\ \end{matrix}\text{\ \ \ } \right\}$ axiomaty

4. (a,b)-(c,d)=(a-c, b-d)

5. $\frac{\left( a,b \right)}{\left( c,d \right)} = \left( x,y \right) = \left( \frac{ac + bd}{c^{2} + d^{2}},\frac{ad - bc}{c^{2} + d^{2}} \right)$

(a,b)=(x,y)(c,d)=(xc-yd, xd+yc) $\left\{ \begin{matrix} xc - yd = a \\ xd + yc = b \\ \end{matrix} \right.\ $

$\frac{\left( 2, - 1 \right)}{\left( 3,7 \right)}$=$\left( \frac{6 - 7}{9 + 49},\frac{- 14 + 3}{9 + 49} \right) = \left( \frac{- 1}{58}, - \frac{17}{58} \right)$

(0,1)=i – jedynka urojona.

(a,b) = (a,0) + (0,1)(b,0) = a + ib − postac algebraiczna

z₁ = (x₁,y₁) = x₁ + iy₁

z₂ = (x₂,y₂) = x₂ + iy₂

z₁₊z₂ = x₁+x₂ + i(y₁+y₂)

Definicja:

Moduł liczby zespolonej z₁ = x₁ + iy₁ oznaczonej |z| nazywamy rzeczywistą liczbę nieujemną z postaci pierwiastek sumy kwadratów wpisanych czyli części rzeczywistej i urojonej

$\left| z \right| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Np. z=3+i4

r= |z|=$\sqrt{9 + 16} = 5$

r- wektor wodzący

1. Liczy zespolone: definicja, postać trygonometryczna, argument główny, mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej, przykłady.

Argumentem liczby zespolonej „z” która nie równa się zero, oznaczamy przez Arg z każda liczbę rzeczywistą φ spełniającą warunki:

$$\left\{ \begin{matrix} \cos\varphi = \frac{x}{r} \\ \sin\varphi = \frac{y}{r} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\varphi - kat\ miedzy\ kektorem\ wodzacym\ a\ osia\ x$$

Z własności funkcji trygonometrycznych sin i cos wynika, że każda liczba zespolona Z ma przeliczalnie wiele argumentów. Przy czym każde dwa z pośród nich różnią sie o całkowitą wielkość liczby 2π. Z pośród argumentów liczby zespolonej „z” wyróżniamy ten, który należy do przedziału < −  π, π> nazywamy go argumentem głównym i oznaczamy Arg z= φ

• Mnożenie

z₁ = r₁(cosφ₁+i sinφ₁)

z₂ = r₂(cosφ₂+i sinφ₂)

z₁z₂ = r₁r₂(cosφ₁+isinφ₁)(cosφ₂+isinφ₂) = r₁r₂[cos(φ₁+φ₂)+isin(φ₁+φ₂)]

• Dzielenie

$$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}}\left\lbrack \cos\left( \varphi_{1} - \varphi_{2} \right) + isin\left( \varphi_{1} - \varphi_{2} \right) \right\rbrack$$

1. Wzór Movr’a potęgowanie oraz pierwiastkowanie liczb zespolonych, przykłady.

• Pierwiastkowane

Liczbę Z nazywamy pierwiastkiem naturalnego stopnia n liczby z₀ jeżeli zⁿ = z₀ , $z = \sqrt[n]{z_{0}}$ jeżeli z₀ zapiszemy w postaci trygonometrycznej z₀ =r₀(cosφ₀+isinφ₀) ,  φ₀ = Arg z to pierwiastek czyli Z zapiszmy jako z = R(cosψ + isinψ)
zⁿ =  Rⁿ(cosψ + isinψ)ⁿ= r₀(cosφ₀+isinC)

• Wzór Moivr’a (czyt mławra) – R^′(cosψ+isinψ)=> $R = \sqrt[n]{r_{0}}$=>n ψ + 2πk,  k = 0, ±1, ±2, …

$$\Psi = \frac{\varphi_{0}}{n} + \frac{2\pi k}{n}$$

• Wzór na pierwiastki:

$Z_{k} = \sqrt[n]{r_{0}}\left( \cos\frac{\varphi_{0} + 2\pi k}{n} + \ i\sin\frac{\varphi_{0} + 2\pi k}{n} \right)$, k= 0, 1, 2, 3, …, n-1

Z₀ = 9 = 9(cos0⁰ + i sin0⁰)

$$Z = \sqrt{9} = 3\left( cosk\pi + i\sin\text{kπ} \right),\ k = 0,\ 1$$

z₀ = 3

z₁ = −3

Przykład:

Oblicz i narysuj na płaszczyźnie $\sqrt{- 2i}$

n = 2 r₀=2

$\varphi_{0} = - \frac{\pi}{2}$

$$- 2i = (2cos( - \frac{\pi}{2}) + isin( - \frac{\pi}{2}))$$

$$z_{k} = \sqrt{2}\left( \cos\frac{- \frac{\pi}{2} + 2k\pi}{2} + i\sin\frac{- \frac{\pi}{2} + 2k\pi}{2} \right),\ k = 0,1$$

$$Z_{0} = \sqrt{2}\left( \cos\left( - \frac{\pi}{4} \right) + i\ sin\left( - \frac{\pi}{4} \right) \right) = \sqrt{2}\left( \cos\frac{\pi}{4} - i\ sin\frac{\pi}{4} \right) = 1 - i$$

$Z_{1} = \sqrt{2}\left( \cos\frac{3}{4}\pi + i\ sin\frac{3}{4}\pi \right)$=$\sqrt{2}\left( - \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = - 1 + i$

21, 22, 23, 24 Macierze.

• Dodawanie

Niech A=[a_ij]_mxn, B=[b_ij]_mxn

A+B=[c_ij]_mxn gdzie c_ij=a_ij+b_ij

$\begin{bmatrix} 2\ \ \ 3\ \ \ \ \ 4 \\ 1\ \ \ 3 - 2 \\ \end{bmatrix}$+$\begin{bmatrix} \ \ \ 1\ \ \ 0\ \ \ 2 \\ - 2\ \ \ 3\ \ \ 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \ \ \ \ 3\ \ \ 3\ \ \ \ \ 6 \\ - 1\ \ \ 6 - 1 \\ \end{bmatrix}$

• Odejmowanie

Niech A = [a_ij]_mxn , B = [b_ij]_mxn

A − B[c_ij]_mxn gdzie c_ij = a_ij − b_ij

• Mnożenie przez skalar

• Mnożenie przez macierz

• Transponowanie macierzy

• Macierz odwrotna ,

• Własności :

A+B=B+A

(A+B)+C=A+(B+C)

(A(B+C))=AB+AC

(A+B)C=AC=BC

A_mxn*In=I_mA_mxn=A

25. Pojęcie minora bazowego i rzędu macierzy z przykładami

Każdy minor macierzy A, który po posiada najwyższy stopień i jest różny od 0 nazywa się minorem bazowym tej macierzy. Stopień minora bazowego nazywa się rzędem macierzy A i jest nazywany R(A). Wiersze i kolumny macierzy, które wyznaczają minor bazowy nazywamy wierszami bazowymi i kolumnami bazowymi.

Pod macierzą kwadratową stopnia „L” macierzy prostokątnej A nazywamy macierz kwadratową stopnia „L”, która powstaje z danej macierzy przez skreślenie w niej odpowiedniej liczby kolumn i wierszy. Wyznacznik takiej podmacierzy nazywa się minorem stopnia „L”.

A = $\begin{bmatrix} 2\ \ \ 1\ \ 3 - 1 \\ 0\ \ \ \ 1\ \ 2\ \ \ \ 0 \\ 2\ \ \ 0\ \ \ 1 - 1 \\ \end{bmatrix}$ R(A)=2 gdzie R(A)≤min(m,n)≥0

26. Układy równań liniowych: układy Cramera oraz twierdzenie Cramera. Układy jednorodne. Metoda macierzowa rozwiązywania układów Cramera.

(1)

______________________________

$$\begin{matrix} a_{11}x_{1} + & a_{12}x_{2} + \ldots + \\ \end{matrix}a_{1n}x_{n} = b_{1}$$

….

$$\begin{matrix} a_{m1}x_{1} + & a_{m2}x_{2} + \ldots + a_{\text{mn}}x_{n} = b_{n} \\ \end{matrix}$$

______________________________

Układ (1) nazywamy układem Cramera gdy m=n, a detA≠0

Twierdzenie.

Jeśli układ(1) jest układem to taki układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie postaci

x₁= $\frac{D_{1}}{\text{detA}}$ x₂= $\frac{D_{2}}{\text{detA}}$…. x_n= $\frac{D_{n}}{\text{detA}}$

Gdzie D_i i=1,2,….n jest wyznacznikiem macierzy A przez zastąpienie i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.
Wzory te nazywamy wzorami Cramera.
W szczególnym przypadku gdy wszystkie wyrazy wolne b₁, b₂…b_n są rowne 0 układ (1) nazywamy jednorodnym.

Dla układu jednorodnego Cramera wszystkie D₁ są równe 0 a więc mamy twierdzenie
Układ Cramera jednorodny ma tylko jedno rozwiązanie 0.

Układ jednorodny (1) nazywamy sprzecznym gdy nie posiada żadnego rozwiązania.

Układ (1) nazywamy oznaczonym gdy posiada dokładnie jedno rozwiązanie albo nieoznaczonym gdy posiada nieskończenie wiele rozwiązań.

27. Układ równań liniowych. Twierdzenie Kroneckera-Capppeliego, układy równoważne oraz ogólna metoda rozwiązywania układów równań liniowych.

1. Układ (1) [z zadania 26] jest sprzeczny gdy R(A)≠R(C)

2. Układ (1) jest oznaczony gdy R(A)=R(C)=n <- liczba rozwiązań

3. Układ (1) jest nieoznaczony gdy R(A)=R(C)<n

Dwa układy równań nazywamy równoważnymi gdy każde rozwiązanie jednego z nich jest także rozwiązaniem drugiego i na odwrót.

Twierdzenie.

Niech układ (1) ma rozwiązanie i niech rząd R(A)= r₀. Niech M≠0 będzie, którymś minorem bazowym stopnia r macierzy A. Usuńmy z układu (1) te równania, dla których współczynniki przy niewiadomych nie są wierszami bazowymi. Wówczas otrzymamy układ równoważny układowi (1) zawierający tylko „r” rozwiązań.

Niech macierz „A” układu równań ma rząd „r” wówczas wszystkie rozwiązania układu (1) otrzymujemy przyjmując dla (n-r) niewiadomych dowolne wartości pozostałych zas niewiadome obliczając wzorami Cramera.

Przykład

$$\left\{ \begin{matrix} x_{1} - x_{2} + {2x}_{3}{- x}_{4} = 1 \\ {2x}_{1} - {3x}_{2} - x_{3} + x_{4} = - 1 \\ x_{1} + {7x}_{3} - {4x}_{4} = 4 \\ \end{matrix} \right.\ $$

A=$\begin{bmatrix} 1 - 1\ \ \ 2 - 1 \\ 2 - 3 - 1\ \ 1 \\ 1\ \ \ 0\ \ \ 7 - 4 \\ \end{bmatrix}$ R(A)=2=r

1)$\left\{ \begin{matrix} x_{1} - x_{2} = 1 - {2x}_{3} + x_{4} = C_{1} \\ {2x}_{1} - {3x}_{2} = - 1 + x_{3} - x_{4} \\ \end{matrix} \right.\ $

$\left\{ \begin{matrix} x_{1} - x_{2} = C_{1} \\ {2x}_{1} - {3x}_{2} = C_{2} \\ \end{matrix} \right.\ $ x₁ = C₁ + x₂ ∖ n 2(C₁+x₂) = −3x₂ = C₂

$$x_{2} = \frac{C_{2} - 2C_{1}}{- 1} = 1 - x_{3 +}x_{4} + 2 - 4x_{3} + \ 2x_{4}$$

x₂ = 3 − 3x₃ + 3x₄

x₁ = 1 − 2x₃ + x₄ + 3 − 3x₃ + 3x₄

A*x=B

X=$\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \ldots \\ x_{n} \\ \end{pmatrix}$ B=$\begin{pmatrix} B_{1} \\ B_{2} \\ \ldots \\ B_{n} \\ \end{pmatrix}$

A⁻¹ * Ax = A⁻¹B

Ex=A⁻¹B

28. Pojęcie szeregu nieskończonego liczbowego i jego sumy. Ogólne własności szeregów liczbowych, warunek konieczny zbieżności szeregów. Szereg harmoniczny i jego uogólnienie.

Niech będzie dany pewien nieskończony ciąg liczb a₁,  a₂…a_n(1)

Utwórzmy z nich szereg

$a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n} + \ldots = \sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ (2), który nazwiemy szeregiem nieskończonym a liczby a_1,a₂, …. elementami (wyrazami) tego szeregu.

Dodając kolejno wyrazy tego szeregu utworzymy nieskończenie wiele sum postaci

S₁₌a₁

S₂ = a₁ + a₂

…

S_n = a₁ + a₂ + … + a_n

Definicja

Skończoną lub nieskończoną granicę S sum częściowych (S=S_n) nazywamy sumą szeregu.

S=$a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n} + \ldots = \sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ gdzie a_n nazywamy wyrazem ogólnym szeregu.

Jeżeli szereg ma sumę S skończoną to nazywa się szeregiem zbieżnym. W przeciwnym razie gdy suma jest nieskończona lub nie istnieje nazywa się rozbieżny.

S=1+q+q²+q³+q⁴+…+qⁿ+…=$\frac{1}{1 - q}$ dla |q|<1

Własności szeregów

1. Jeśli w szeregu (2) odrzucimy pierwsze n wyrazów to otrzymamy szereg r_n= a_n + 1 +  a_n + 2+ + …, który nazywamy resztą szeregu (2) po odrzuceniu n wyrazów.

Jeśli szereg(2) jest zbieżny to reszta tego szeregu dąży do zera  r_n = 0

1. Odrzucenie skończonej liczby początkowych wyrazów szeregu lub dołączenie na początku skończonej liczby nowych wyrazów nie odbije się to na zbieżności szeregu.

2. Jeśli wszystkie wyrazy szeregu zbieżnego (2) pomnożymy przez stały czynnik „c” to zbieżność tego szeregu zostanie zachowana a suma zostanie zwiększona o „c” razy.

3. Dwa szeregi zbieżne A i B można dodawać (odejmować) wyraz za wyrazem tak że nowy szereg (a±b)+( a₂±b)+..+( a_n ± b)+… jest także zbieżny. A jego suma rowna jest sumie (różnicy) sum szeregów A i B.

4. Wyraz ogólny a_n szeregu zbieżnego dąży do zera  a_n = 0, która nazywa się warunkiem konicznym zbieżności szeregów.

$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$=1+$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + .. + \frac{1}{n}$ - szereg rozbieżny

$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \ldots + \frac{1}{n^{2}}$-szereg zbieżny do $\frac{\pi^{2}}{6}$

Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich.

Szeregami dodatnimi nazywamy szeregi, których wyrazy są nieujemne $a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n + \ldots} = \sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ gdzie a_n ≥ 0(*)

Sumy częściowe tworzą ciąg monotoniczny rosnący (każdy ciąg monotoniczny posiada granicę).

Szereg dodatni (*) ma zawsze sumę skończoną a zatem szereg jest zbieżny. Jeśli sumy częściowe szeregu są ograniczone i nieskończone w przeciwnym wypadku.

$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$ - można udowodnić, że sumy częściowe tego szeregu SA nieograniczone a więc szereg jest rozbieżny . Ten szereg nazywa się harmoniczny.

Szereg uogólniony harmoniczny.

$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{\lambda}}$ tak że λ ϵR zbieżny dla λ > 1 i rozbieżny dla λ ≤ 1

Twierdzenie

Niech będą dane dwa dodatnie szeregi A i B. Jeśli poczynając od pewnego miejsca zachodzi nierówność a_n ≤ b_n to ze zbieżności szeregu „B” wynika zbieżność szeregu „A” lub z rozbieżności szeregu „A” wynika rozbieżność szeregu „B”.

Przykład.

$$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{\ln(n)}}$$

Szereg ten jest rozbieżny ponieważ drogą dedukcji

ln(n) < n

$$\frac{1}{\ln\left( n \right)} > \frac{1}{n}$$

$$\frac{1}{\sqrt[n]{\ln(n)}} > \frac{1}{\sqrt[n]{n}}$$

29. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich: kryterium porównawcze, D’Alamberta, Cauchy’ego, kryterium całkowe.

• Twierdzenie

Niech Bed dane dwa szeregi dodatnie A i B, Jeśli poczynając od pewnego miejsca zachodzi nierówność, że każdy wyraz tego ciągu to ze zbieżności szeregu B wyniku zbieżności szeregu B wyniku zbieżności szeregu A lub z zbieżności szeregu A wynika rozbieżność B

• Kryterium porównawcze

• Kryterium Couchego

Utworzony dla szeregu a₁+a₂+…+a_n+…=$\sum_{n = 1}^{\alpha}\text{an}$ ciągu o wyrazach:

$Cn = \sqrt[n]{\text{an}}$ i zauważmy, że ciąg

29. Pojęcie zbieżności absolutnej i warunkowej szeregów.

Niech będzie dany szereg A o wyrazach dowolnych znaków

$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n} = a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n} + \ldots$(A)

Utwórzmy szereg z wartości bezwzględnej jego wyrazów (A*)

$\sum_{n = 1}^{\infty}{|a_{n}}| = \left| a_{1} \right| + \left| a_{2} \right| + \ldots + \left| a_{n} \right| + \ldots$(A*)

Jeśli szereg A* jest zbieżny to szereg A jest także zbieżny.

$\sum_{n = 1}^{}\frac{{( - 1)}^{n}}{n}$ ~ $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$
Szereg A, dla którego szereg A* jest zbieżny nazywa się szeregiem zbieżnym absolutnie lub bezwzględnie.

Jeżeli szereg A jest zbieżny a A* rozbieżny to szereg A jest zbieżny warunkowo.

31. Kryterium Leibniza, Abela, Dirichleta.

Kryterium Leibniza

Jeśli w szeregu naprzemiennym C_n = 0 to taki szereg jest zawsze zbieżny.

$$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{{( - 1)}^{n}}{n} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\ldots$$

$$\operatorname{}{\frac{1}{n} = 0}$$

Rozpatrzmy szereg, którego wyraz ogólny zapiszemy w postaci iloczynowej.

$\sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n}b_{n} = a_{1}}b_{1} + a_{2}b_{2} + \ldots + a_{n}b_{n} + \ldots$(*)

Gdzie {a_n} oraz {b_n} są dwoma ciągami liczb rzeczywistych. Następujące założenia o każdym z tych ciągów z osobna gwarantują zbieżność tego szeregu.

Kryterium Abela

$$\sum_{n = 1}^{\infty}{b_{n} = b_{1} + b_{2} + \ldots}$$

Jeśli powyższy szereg jest zbieżny a liczby b_n tworzą ciąg monotoniczny i ograniczony przez liczbę K to szereg wyjściowy (*) jest zbieżny.

Kryterium Dirichleta

Jeśli sumy częściowe szeregu b_n, które oznaczamy jako B_n są wspólnie ograniczone przez liczbę M a liczby a_n tworzą ciąg monotoniczny dążący do zera to szereg (*) jest zbieżny.

32. Własności szeregów zbieżnych, twierdzenie Riemmana.

Pojęcie sumy szeregu nieskończonego tym różni się istotnie od pojęcia sumy skończonej, ze zawiera w sobie przejście do granicy. Chociaż, niektóre własności sum zwykłych przenoszą się także na sumy nieskończone.

Będziemy łączyli wyrazy szeregu podstawowego A w dowolny sposób nie zmieniając przy tym ich kolejności.

(a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n)+(a_n + 1+a_n + 2) + (a_n + 3 + a_n + 4 + …) (A)

Niech powyższy szereg będzie szeregiem zbieżnym. Szereg $\tilde{A}$ jest zawsze zbieżny i ma tę samą sumę co szereg wyjściowy A. Innymi słowy szereg zbieżny ma własność łączności.

Ta analogia sumami zwykłymi zostanie zakłócona jeżeli spróbujemy zastosować własność łączności w przeciwną stronę np.

(1−1) + (1−1) + (1−1) + … = 0

Natomiast granica szeregu

lim_{n → ∞}1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 nie istnieje ponieważ

S₁ = 1 ∖ nS₂ = 0

S₃ = 1

S₄ = 0

Niech teraz będzie dany szereg zbieżny „A” o sumie A=$\sum_{}^{}{a_{n} = a_{1} + a_{2} + \ldots}$ . Przestawiając w nim wyrazy w dowolny sposób $\sum_{n = 1}^{\infty}{{a'}_{n} = a_{1} + a_{2} + \ldots(A')}$

Twierdzenie.

Jeżeli szereg A wyjściowy jest zbieżny bezwzględnie to szereg A’ tez jest zbieżny i ma tę samą sumę co szereg wyjściowy. Innymi słowy szereg zbieżny bezwzględny ma własność przemienności.

Jeśli chodzi o szeregi zbieżne warunkowo to można wykazać, że nie są one przemienne. W każdym takim szeregu odpowiednia permutacja wyrazów zmienia sumę szeregów a nawet może zepsuć zbieżność.

Twierdzenie Riemmana.

Jeżeli szereg A jest zbieżny warunkowo to dla każdej z góry zadanej liczby B (skończonej lub nieskończonej) można wyrazy tego szeregu tak poprzestawiać by przekształcony szereg miał sumę równą B.

33. Mnożenie szeregów.

Niech będą dane dwa szeregi A i B.

A=$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$

B=$\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$

Naśladując reguły mnożenia sum skończonych rozpatrzmy także i tutaj iloczyn a_ib_k wyrazów tych szeregów. Otworzą one nieskończoną macierz prostokątną.

$$\begin{pmatrix} a_{1}b_{1}\text{\ \ }a_{2}b_{1}\text{\ \ }a_{3}b_{1}\ldots \\ a_{1}b_{2}\text{\ \ }a_{2}b_{2\ \ }a_{3}b_{2}\ldots \\ a_{1}b_{3}\text{\ \ }a_{2}b_{3}\text{\ \ }a_{3}b_{3}\ldots \\ \ldots\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\ldots\text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\ldots \\ \end{pmatrix}$$

Iloczyny te można na różne sposoby ustawić w zwykły ciąg np. można je porządkować po przekątnych lub po bokach kwadratów. Np.

a₁b₁,  a₂b₁,   a₁b₂,  a₃b₁, …

Utworzony z takich iloczynów szereg nazywa się iloczynem szeregów A i B.

Twierdzenie Couche’go

Jeżeli obydwa szeregi a i B SA zbieżne bezwzględnie to ich iloczyn utworzony z iloczynów powyższych macierzy wziętych w dowolnym porządku jest także zbieżny i ma sumę równą iloczynowi sum szeregów A i B.

34. Podstawowe typy równań różniczkowych oraz metody ich całkowania i przykłady.

Rozwiązywanie równań różniczkowych (ich całkowanie) jest w pewnym przypadku zagadnieniem odwrotnym do różniczkowania. Najprostsze zagadnienia odwrotne, które polegają na tym, żeby dla danej funkcji f(x) znaleźć jej funkcję pierwotną

y = ∫f(x)dx + c

Najprostsze rozwiązanie równania różniczkowego, które zawiera dowolna stałą C.

$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = f\left( x \right)\left( 1 \right)\ $$

Okazuje się więc, że ze względu na stałą „C” nasza funkcja pierwotna nie jest wyznaczona jednoznacznie.

Definicja

Przez równanie różniczkowe rzędu pierwszego rozumiemy

- zależność między funkcją niewiadomą y

- zmienną niezależną x

- pierwszą pochodną $\frac{\text{dy}}{\text{dx}}$ funkcji niewiadomej

Równaniem liniowym rzędu pierwszego nazywamy równanie liniowe względem funkcji niewiadomej i jej pochodnej . Ma ono postać

$${A\left( x \right)\frac{\text{dy}}{\text{dx}} + B\left( x \right)*y + C\left( x \right) = 0\backslash n}{\frac{\text{dy}}{\text{dx}} + \frac{B(x)}{A(X)}*y = ( - \frac{C(x)}{A(x)})}$$

Gdzie A(x) ≠0 xϵ<a,b>

Zakładamy

$${P\left( x \right) = \frac{B\left( x \right)}{A\left( x \right)}\backslash n}{Q\left( x \right) = ( - \frac{C\left( x \right)}{A\left( x \right)})}$$

$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}} + P\left( x \right)*y = Q\left( x \right)\ \ (1)$$

Jeśli Q(x)=0 to równanie to nazywamy równaniem liniowym jednokrotnym, w przeciwnym wypadku jest to równanie liniowe niejednokrotne.

$${\frac{\text{dy}}{\text{dx}} + P\left( x \right)*y = 0\ \ \left( 2 \right)\backslash n}{\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = \left( - P\left( x \right)*y \right)\backslash n}{\frac{\text{dy}}{y} = \left( - P\left( x \right)\text{dx} \right)\backslash n}{\int_{}^{}{\frac{\text{dy}}{y} = ( - \int_{}^{}{P\left( x \right)\text{dx} + \text{lnc})\ \ \text{gdzie}\ c > 0}}\backslash n}{\ln\left| y \right| = \left( - \int_{}^{}{P\left( x \right)\text{dx} + \text{lnc}} \right)\text{gdzie}\ c > 0\backslash n}{y = e^{- \int_{}^{}{P\left( x \right)\text{dx} + \text{lnc}}} = c*e^{- \int_{}^{}{P\left( x \right)\text{dx}}}\ \ \ (3)}$$

y = c * e^−∫P(x)dx   (3)

Metoda uzmienniania stałej.

Aby znaleźć rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego (1) zastosujemy metodę uzmienniania stałej.

Postarajmy się spełnić równanie (1) wstawiając do niego funkcję postaci (3) z tym jednak, że będziemy traktować stałą C jako funkcję zmiennej „x”.

Rozwiązanie równania (1) szukamy w y = c(x)*e^−∫P(x)dx   (4)

$\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = c^{'}\left( x \right)*e^{- \int_{}^{}{P(x)}\text{dx}} - c\left( x \right)*e^{- \int_{}^{}{P(x)}\text{dx}}*P(x)$

$${c^{'}\left( x \right)*e^{- \int_{}^{}{P\left( x \right)}\text{dx}} - c\left( x \right)*e^{- \int_{}^{}{P\left( x \right)}\text{dx}}*P\left( x \right) + c\left( x \right)*e^{- \int_{}^{}{P\left( x \right)}\text{dx}}*P\left( x \right) = Q\left( x \right)\backslash n}{c^{'}\left( x \right)*e^{- \int_{}^{}{P\left( x \right)}\text{dx}} = \frac{Q\left( x \right)}{*e^{- \int_{}^{}{P\left( x \right)}\text{dx}}}\backslash n}{c^{'}\left( x \right) = Q\left( x \right)*e^{\int_{}^{}{P\left( x \right)}\text{dx}}\backslash n}{c\left( x \right) = \int_{}^{}{\left( Q\left( x \right)*e^{\int_{}^{}{P\left( x \right)\text{dx}}} \right)\text{dx} + c_{1}}\backslash n}{y = \int_{}^{}{\left( Q\left( x \right)*e^{\int_{}^{}{P\left( x \right)\text{dx}}} \right)\text{dx} + c_{1}}}$$

PS. Powodzenia !!!

Copyright ®

By

Szymon „Cymek” Czaja
Damian Giebas
Rafał Żychliński
Mateusz „Lipa” Lipski