e grafika inżynierska FKK

Wydano za zgodą Rektora
Materiały pomocnicze do zajęć
z przedmiotu grafika in\ynierska
dla studentów kierunków: mechanika i budowa maszyn,
zarządzanie i in\ynieria produkcji, transport
nierecenzowane
W procesie wydawniczym pominięto
etap opracowania językowego.
Wersja elektroniczna materiałów
została przygotowana przez Autorów.
geometria wykreślna
rysunek techniczny
Wszelkie prawa zastrze\one.
śaden fragment publikacji nie mo\e być powielany
w jakiejkolwiek formie.
ISBN 978-83-7199-838-4
Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej
al. Powstańców Warszawy 12, 35-959 Rzeszów
e-mail: oficyna1@prz.rzeszow.pl
2
SPIS TREŚCI
1. OBRAZY ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH ..................................................... 5
1.1. Układ odniesienia ............................................................................................. 5
1.2. Obraz punktu .................................................................................................... 5
1.3. Obraz prostej..................................................................................................... 7
1.3.1. Prosta w poło\eniach szczególnych ....................................................... 8
1.4. Obraz płaszczyzny ............................................................................................ 11
1.4.1. Płaszczyzna w poło\eniach szczególnych .............................................. 12
2. ELEMENTY PRZYNALEśNE ................................................................................ 15
2.1 Przynale\ność punktu i prostej ......................................................................... 15
2.2 Przynale\ność prostej i płaszczyzny................................................................. 15
2.3 Przynale\ność punktu i płaszczyzny ................................................................ 17
3. ELEMENTY WSPÓLNE .......................................................................................... 19
3.1. Punkt wspólny dwóch prostych ........................................................................ 19
3.2. Krawędz dwóch płaszczyzn.............................................................................. 19
3.3. Punkt przebicia płaszczyzny prostą .................................................................. 22
4. KAADY .................................................................................................................... 25
4.1. Kład i podniesienie z kładu płaszczyzny rzutującej ........................................ 25
4.2. Kład i podniesienie z kładu płaszczyzny nierzutującej ................................... 26
4.2.1. Kład punktu ........................................................................................... 26
5. RZUTY PROSTOKTNE NA TRZY WZAJEMNIE PROSTOPADAE RZUTNIE 34
6 WIELOŚCIANY........................................................................................................ 37
6.1 Rzuty wielościanów .......................................................................................... 37
6.2 Przekroje wielościanów .................................................................................... 40
6.2.1. Przekrój wielościanu płaszczyzną rzutującą........................................... 40
6.2.2. Przekrój wielościanu płaszczyzną dowolną............................................ 41
6.3. Punkt przebicia wielościanu prostą .................................................................. 44
6.4. Przenikanie wielościanów ................................................................................ 46
7. PRZENIKANIE POWIERZCHNI ............................................................................ 48
7.1 Przenikanie dwóch powierzchni obrotowych ................................................... 48
7.2 Przenikanie powierzchni z wielościanami ....................................................... 51
8. RZUTY PROSTOKTNE NA SZEŚĆ RZUTNI .................................................... 54
9. AKSONOMETRIA .................................................................................................. 58
9.1. Aksonometria ukośna ...................................................................................... 58
9.2. Aksonometria izometryczna ............................................................................ 60
9.3. Aksonometria dimetryczna .............................................................................. 60
3
10. DOKUMENTACJA TECHNICZNA WYROBU .................................................... 61
10.1. Arkusze rysunkowe ......................................................................................... 61
10.2. Tabliczka rysunkowa ....................................................................................... 63
10.3. Linie rysunkowe .............................................................................................. 65
10.4. Podziałka rysunkowa ....................................................................................... 65
10.5. Pismo techniczne ............................................................................................. 66
11. PRZEKROJE ............................................................................................................ 67
12. WYMIAROWANIE ................................................................................................. 74
12.1. Sposób zapisu wymiarów ................................................................................. 74
12.2. Zasady wymiarowania ..................................................................................... 78
13. POACZENIA ROZACZNE ................................................................................ 81
13.1. Gwinty - połączenia gwintowe ......................................................................... 81
13.2. Wielowypusty - połączenia wielowypustowe .................................................. 84
Załączniki do rozdziałów 1-7 (geometria wykreślna) ...................................................... 86
Załączniki (krzywe płaskie) ............................................................................................. 114
Załączniki (przekroje proste) ........................................................................................... 128
Załączniki (przekroje stopniowe) ..................................................................................... 144
Załączniki (przekroje łamane) .......................................................................................... 160
4
1 OBRAZY ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH
1.1 UKAAD ODNIESIENIA
W celu odwzorowania elementów w geometrii wykreślnej stosuje się metodę rzutów
prostokątnych na płaszczyzny wzajemnie prostopadłe zwaną rzutami Monge a. Płaszczyznę
poziomą przyjęto oznaczać symbolem Ą1 i nazwano rzutnią poziomą, natomiast płaszczyznę
pionową symbol Ą2 nazwano rzutnią pionową. Płaszczyzny te przecinają się wzdłu\
prostej poziomej x=Ą1�Ą2 zwanej osią i tworzą układ odniesienia x(Ą1, Ą2). Oś rzutów x dzieli
ka\dą rzutnię na dwie części, zwane półrzutniami (rys.1.1). Układ odniesienia x(Ą1, Ą2) dzieli
przestrzeń na cztery ćwiartki oznaczane cyframi rzymskimi I, II, III i IV (rys.1.1).
Odwzorowanie elementów w takim układzie jest niewygodne, dlatego układ odniesienia
sprowadza się do płaszczyzny rysunku przez obrót rzutni poziomej względem osi rzutów x o
kąt 90� tak, \e półrzutnia pozioma dodatnia +Ą1, nakrywa się z półrzutnią pionową ujemną
-Ą2 (rys.1.1).
II
+Ą2
+Ą2 -Ą1
-Ą1
I
x x
III
+Ą1
-Ą2
+Ą1 -Ą2
IV
Rys. 1.1
1.2 OBRAZ PUNKTU
Niech będzie dany układ odniesienia x(Ą1, Ą2) oraz dowolny punkt A (rys.1.2a). Przez
punkt A poprowadzono dwie proste rzutujące k1Ą"Ą1 i k2Ą"Ą2. Prostą k1 rzutującą punkt A na
rzutnię Ą1 nazywa się prostą poziomo rzutującą, a prostą k2 rzutującą punkt A na rzutnię Ą2
prostą pionowo rzutującą. Punkt A', w którym prosta rzutująca k1 przebija rzutnię Ą1, nazywa
się rzutem poziomym punktu A, natomiast punkt A'', w którym prosta rzutująca k2 przebija
rzutnię Ą2 rzutem pionowym punktu A.
Dwa rzuty prostokątne A' i A'' określają w sposób jednoznaczny poło\enie jednego i tylko
jednego punktu A w przestrzeni. Po sprowadzeniu układu odniesienia x(Ą1, Ą2) do płaszczyzny
rysunku, rzuty A' i A'' punktu A le\ą na prostej A'A'' prostopadłej do osi rzutów x, czyli na tzw.
prostej odnoszącej punktu A (rys.1.2b).
Odległość punktu A od rzutni poziomej Ą1 nazywa się wysokością punktu A. Wysokość
jest dodatnia, jeśli punkt le\y powy\ej rzutni Ą1, w przeciwnym przypadku jest ujemna.
Odległość punktu A od rzutni pionowej Ą2 nazywa się głębokością punktu A. Głębokość
jest dodatnia, jeśli punkt le\y przed rzutnią Ą2, w przeciwnym przypadku jest ujemna.
5
a) b) c)
+Ą2
+Ą2 -Ą1
-Ą1
A" A"
A"
k2
+w
A
x
x
x
k1
+g
A'
A' A'
A'
+Ą1
+Ą1 -Ą2
-Ą2
Rys. 1.2
Po sprowadzeniu układu odniesienia x(Ą1, Ą2) do płaszczyzny rysunku: wysokość w
(rys.1.2c) punktu równa jest odległości jego rzutu pionowego od osi rzutów x.
Rzuty punktów B, C, D le\ących odpowiednio w ćwiartkach II, III
i IV przedstawiono na rysunkach 1.3�1.5.
B
+Ą
2
+Ą
2
-Ą B"
B"
1 -Ą
C' C'
1
B' B'
C'
B'
x x
x
x
C
+Ą +Ą
1 1
C" C"
-Ą -Ą
2 2
Rys. 1.3 Rys. 1.4
+Ą
2
-Ą
1
x x
D'
+Ą
1 D'
D'
D"
D"
-Ą
2
D
Rys. 1.5
Rzuty punktów le\ących na rzutniach Ą1 i Ą2 oraz na osi rzutów x przedstawia rys.1.6.
G
+Ą2 G
F
-Ą1
F
E'' H' K H'
E''
x
x
F'' G' K
F'' G'
E
+Ą1
E
-Ą2
H
H
Rys. 1.6
6
Je\eli punkty są równo oddalone od obydwu rzutni (Ą1 i Ą2) to le\ą na tzw. płaszczyznach
dwusiecznych �1 lub �2 (rys.1.7a). W przypadku płaszczyzny �1 (przechodzi przez ćwiartki I i
III) rzuty punktów mają symetrię prostokątną względem osi rzutów x, natomiast w przypadku
płaszczyzny �2 (ćwiartki II i IV) - rzuty punktów jednoczą się (rys.1.7).
a) b)
�2
+Ą2 (+Ą ) I II III IV
�1
1
I
P'
II
P'
N'=N"
N'=N'' N
M"
M M''
+Ą1 Q' -Ą1
P'
x
M' N'
M'
M'
IV
P"
P
P"
III
Q
Q'=Q"
Q'=Q"
+Ą1 2
(-Ą )
Rys. 1.7
Ka\da para rzutów A' i A'', przyporządkowanych sobie względem osi x na płaszczyznie
rysunku �=Ą1=Ą2 i le\ących na prostej odnoszącej A'A''Ą"x lub jednoczących się w jednym
punkcie A'=A'', stanowi obraz jednego i tylko jednego punktu A w przestrzeni.
1.3 OBRAZ PROSTEJ
Przez dowolnie poło\oną prostą m (rys.1.8a) prowadzi się dwie płaszczyzny: poziomo
rzutującą Ć1 i pionowo rzutującą Ć2 odpowiednio prostopadłe do rzutni Ą1 i Ą2. Krawędz
przecięcia m'=Ć1�Ą1 jest rzutem poziomym prostej m, a krawędz przecięcia m''=Ć2�Ą2 jest jej
rzutem pionowym. Po sprowadzeniu obu rzutni do płaszczyzny rysunku, rzuty prostokątne m'
i m" prostej m mają poło\enie przedstawione na rys.1.8b.
a) b)
Ą2
m"
m"
�2
m
�1
x
x
m'
m'
Ą1
Rys. 1.8
Jeśli prosta m le\y na płaszczyznie podwójnie rzutującej ĆĄ"x (rys.1.9a), to m'Ą"x i m"Ą"x.
Po sprowadzeniu obu rzutni do płaszczyzny rysunku obydwa rzuty prostej jednoczą się na
prostej prostopadłej do osi rzutów x (rys.1.9b) i nie mo\na jednoznacznie odtworzyć
poło\enia prostej m w przestrzeni. W przypadku tym konieczne jest podanie rzutów dwóch
ró\nych punktów le\ących na prostej m określających w przestrzeni dokładnie jedną prostą
m=AB. (rys.1.9d).
Punkt, w którym prosta m przebija rzutnię poziomą nosi nazwę śladu poziomego prostej
m i oznacza się go przez Hm. Punkt, w którym prosta przebija rzutnię pionową to tzw. ślad
pionowy prostej m, oznacza się go przez Vm (rys.1.10). Zatem ślady są miejscami
geometrycznymi, w których prosta zmienia ćwiartkę. Wyznaczone ślady Hm i Vm prostej
7
m(m',m") pozwalają określić przez jakie ćwiartki ta prosta przechodzi.
W tym celu na prostej m mo\na obrać trzy punkty: jeden pomiędzy śladami i dwa na zewnątrz
śladów. Określając poło\enie punktów mo\na wskazać przez jakie ćwiartki ta prosta
przechodzi.
a) b)
Ą2
m"
m"
m
x
x
= =
1 2
m'
Ą1
m'
c) d)
A"
Ą2
A"
A B"
B"
m m"
m"
x
x
B
m'
A'
A'
Ą1
m=AB
B' m'
B'
Rys. 1.9
Vm
Ą2
Vm
m"
m
m"
V'
V' m
m x x
H"
H" m
m
m'
m'
Ą1 Hm
Hm
Rys. 1.10
1.3.1 Prosta w poło\eniach szczególnych
1. Je\eli prosta a le\y na rzutni Ą1 (rys.1.11a), to jej rzut poziomy a' jednoczy się z prostą
a, a jej rzut pionowy a" jednoczy się z osią rzutów x. Taka prosta ma tylko ślad pionowy Va,
który le\y na osi rzutów x. Je\eli prosta b le\y na rzutni Ą2 (rys.1.11b), to otrzymuje się na
rysunku obraz odwrotny do poprzedniego, tzn. rzut pionowy b" jednoczy się
z prostą b, a jej rzut poziomy b' jednoczy się z osią rzutów x. Taka prosta ma tylko ślad
poziomy Hb, który le\y na osi rzutów x.
2. Jeśli prosta q przecina oś rzutów x, ale nie le\y na \adnej rzutni, to punkt R jej
przecięcia z osią rzutów x jest równocześnie jej śladem poziomym i pionowym (rys.1.11c). W
przypadku tym ślady nie wyznaczają dokładnie jednej prostej w przestrzeni, lecz wiązkę
prostych przechodzących przez jeden i ten sam punkt, le\ący na osi rzutów x.
8
a) b) c)
q"
b''=b
H =Vq
Va q
a" x b' x x
Hb
R
a'=a
q'
Rys. 1.11
3. Rys.1.12 przedstawia prostą poziomo rzutującą m nazywaną tak\e prostą pionową; jej
rzut pionowy m" jest prostopadły do x, a rzut poziomy m' jest punktem, w którym jednoczą
się rzuty poziome wszystkich punktów prostej m, a więc i jej punkt szczególny ślad
poziomy Hm.
Ą2
m"
�2 m"
m
H" H"
m m
x
x
Hm
m'
Ą1
Hm
m'
Rys. 1.12
4. Rys.1.13 przedstawia prostą pionowo rzutującą n nazywaną tak\e prostą celową; jej
rzut poziomy n' jest prostopadły do x, a rzut pionowy n" jest punktem, w którym jednoczą się
rzuty pionowe wszystkich punktów prostej n, a więc i jej punkt szczególny ślad pionowy Vn.
Ą2
V n"
n
V
n n"
n
�2 V'
V'
n
n x
x
n'
n'
Ą1
Rys. 1.13
5. Prostą p równoległą do rzutni Ą1 (rys.1.14) nazywa się prostą poziomą. Wszystkie
punkty tej prostej mają jednakową wysokość, stąd jej rzut pionowy p" jest równoległy do x, a
rzut poziomy p' jest nachylony do osi rzutów x pod kątem ą', równym kątowi nachylenia ą
prostej p do rzutni Ą2. Prosta pozioma p ma tylko ślad pionowy Vp.
9
Ą2
p" p"
V
p
V
p
ą
V'
V' p
p p x
x
�1 ą'
ą'
p'
p'
Ą1
Rys. 1.14
6. Prostą c równoległą do rzutni Ą2 (rys.1.15) nazywa się prostą czołową. Wszystkie
punkty prostej czołowej c mają jednakową głębokość, stąd jej rzut poziomy c' jest równoległy
do x, a rzut pionowy c" jest nachylony do x pod kątem �'' równym kątowi nachylenia � prostej
c do rzutni Ą1. Prosta czołowa c ma tylko ślad poziomy Hc.
Ą2
c"
c"
� "
H"
� " H" c x
c
�1
x
c
� '
c'
Hc Hc
Ą1 c'
Rys. 1.15
7. Prosta s równoległa do osi rzutów x (rys.1.16), której wszystkie punkty mają
jednakową wysokość i jednakową głębokość, ma obydwa rzuty s' i s" równoległe do osi
rzutów x. Prosta s nie ma śladów.
Ą2
s" s"
s
�1
x
x
s' s'
Ą1
Rys. 1.16
8. Prosta t le\ąca na płaszczyznie dwusiecznej �1, przechodząca przez ćwiartki I i III, ma
wszystkie punkty równoodległe od obu rzutni, wobec czego jej rzuty t' i t" mają symetrię
prostokątną względem osi rzutów x (rys.1.17a). Rzuty rozwa\anej prostej t przecinają się w
punkcie M le\ącym na osi rzutów x. Punkt M jest zatem punktem, w którym dana prosta t
przecina oś rzutów x. Punkt M jest równocześnie punktem, w którym prosta t przebija obie
rzutnie, a więc jest tak\e śladem poziomym Ht i śladem pionowym Vt prostej t. Punkt M dzieli
daną prostą t na dwie półproste, z których jedna le\y w I ćwiartce, a druga w III ćwiartce.
9. Prosta u le\ąca na płaszczyznie dwusiecznej �2, przechodząca przez ćwiartki II i IV,
ma wszystkie punkty równoodległe od obu rzutni, wobec czego jej rzuty u' i u" jednoczą się
w jednej prostej u'=u" (rys.1.17b). Punkt M, w którym rozwa\ana prosta u przecina oś rzutów
x, jest równocześnie śladem poziomym Hu i śladem pionowym Vu prostej u.
Punkt M dzieli prostą u na dwie półproste, z których jedna le\y w II ćwiartce, a druga w
IV ćwiartce.
10
�
2
�
2
�
2
a) b)
t"
t'
A"
B"=B'
B'
H =Vt u'=u"
t
x x
M
M
H =Vu
u
B"
A'
A'=A"
I ćw. III ćw.
IV ćw.
II ćw.
Rys. 1.17
PRZYKAAD 1.1. Dane są rzuty m' i m" dowolnej prostej m (rys.1.18). Wyznaczyć ślady prostej
m i określić, przez które ćwiartki ta prosta przechodzi.
Ą2
A"
m'
C' m"
m"
V'
H" H" V'
m m
m m
m
x
B'
Ą1
Vm
B"
m'
Vm
Hm Hm
A'
C"
I IV III
Rys. 1.18
Ślad pionowy Vm jest punktem o zerowej głębokości, dlatego rzut poziomy Vm' znajduje
się w punkcie przecięcia rzutu m' z osią x (Vm'=m'�x). Poszukiwany ślad pionowy Vm
znajduje się na przecięciu odpowiedniej odnoszącej i rzutu m'' prostej m. Ślad poziomy Hm
jest punktem o zerowej wysokości, dlatego rzut pionowy Hm'' znajduje się
w punkcie przecięcia rzutu m'' z osią x (Hm"=m"�x). Poszukiwany ślad poziomy Hm znajduje
się na przecięciu odpowiedniej odnoszącej i rzutu m'. Aby określić ćwiartki, przez które
przechodzi prosta m, mo\na na niej obrać punkty A, B, C (jak na rys.1.18). Poło\enie rzutów
obranych punktów wskazuje na to, \e punkt A znajduje się w ćwiartce I, punkt
B w ćwiartce IV, a punkt C w ćwiartce III. Zatem prosta m przechodzi przez ćwiartki I, IV
i III. Szczegółowe rozwiązanie zadania przedstawiono w załączniku 1.1.
1.4 OBRAZ PAASZCZYZNY
Odwzorowanie płaszczyzny polega na odwzorowaniu elementów, które tę płaszczyznę
określają, a zatem obraz płaszczyzny (rys.1.19) mo\na podać za pomocą obrazów:
a) trzech punktów (rys.1.19a),
b) prostej i punktu nie le\ącego na niej (rys.1.19b),
c) dwóch prostych przecinających się (rys.1.19c),
d) dwóch prostych równoległych (rys.1.19d).
11
a) b) c) d)
B"
m"
m"
A" m"
A" A"
n"
C"
n"
x x x x
n'
m' n'
B'
m'
m'
A'
A'
A'
C'
Rys. 1.19
Płaszczyzna ą dowolnie poło\ona w układzie odniesienia x(Ą1, Ą2) (rys.1.20a) przecina
rzutnię Ą1 wzdłu\ krawędzi hą, rzutnię Ą2 wzdłu\ krawędzi vą, a oś rzutów x w punkcie Xą,
który jest równocześnie punktem przecięcia obu krawędzi (Xą=hą�vą). Krawędz hą nazywa
się śladem poziomym płaszczyzny ą, krawędz vą to ślad pionowy płaszczyzny ą, a punkt Xą
węzeł płaszczyzny ą. Po sprowadzeniu obu rzutni do płaszczyzny rysunku otrzymuje się
obraz jak na rys.1.20b. Płaszczyznę ą, której poło\enie jest określone śladami hą i vą zapisuje
się symbolicznie jako ą(hą, vą) lub ą=hąvą.
a) b)
Ą2
vą
vą
Xą
Xą
x
x
hą
hą
Ą1
Rys. 1.20
1.4.1 Płaszczyzna w poło\eniach szczególnych
1. Płaszczyznę ą||Ą1 (rys.1.21) nazywa się płaszczyzną poziomą. Płaszczyzna ta przecina
rzutnię Ą2 wzdłu\ śladu pionowego vą||x. Rzut pionowy figury płaskiej le\ącej na
płaszczyznie ą znajdzie się na śladzie pionowym vą tej płaszczyzny (wyjaśnia to punkt A
obrany na płaszczyznie ą).
Ą2
A" v =ą"
ą
A" v =ą"
ą
A
ą
x
x
A'
A'
Ą1
Rys. 1.21
12
2. Płaszczyznę ą||Ą2 (rys.1.22) nazywa się płaszczyzną czołową. Płaszczyzna ta przecina
rzutnię Ą1 wzdłu\ śladu poziomego hą||x. Rzut poziomy figury płaskiej le\ącej na
płaszczyznie ą znajdzie się na śladzie poziomym hą tej płaszczyzny.
Ą2
A"
A"
ą
A
x x
h =ą' A' h =ą'
A' ą ą
Ą1
Rys. 1.22
3. Płaszczyznę ąĄ"Ą1 (rys.1.23a) nazywa się płaszczyzną poziomo rzutującą. Poniewa\
płaszczyzna ą jest prostopadła do rzutni Ą1, to krawędz vą jest tak\e prostopadła do rzutni Ą1;
zatem vąĄ"x. Po sprowadzeniu obu rzutni do płaszczyzny rysunku (rys.1.23b) ślad pionowy vą
jest prostopadły do osi rzutów x, a ślad poziomy hą tworzy z osią x kąt Ć równy kątowi
nachylenia płaszczyzny ą do rzutni Ą2. Płaszczyzna ąĄ"Ą1 rzutuje figury płaskie na niej le\ące
na swój ślad poziomy hą. Ślad poziomy hą płaszczyzny ąĄ"Ą1 jest zatem zbiorem rzutów
poziomych wszystkich punktów le\ących na tej płaszczyznie (wyjaśnia to punkt A obrany na
płaszczyznie ą).
a) b)
Ą2
A"
vą
A"
vą
A
Xą x
Xą x
�
hą A' Ą1
hą A'
Rys. 1.23
4. Płaszczyznę ąĄ"Ą2 (rys.1.24a) nazywa się płaszczyzną pionowo rzutującą. Po
sprowadzeniu obu rzutni do płaszczyzny rysunku (rys.1.24b) ślad poziomy hą jest prostopadły
do osi rzutów x, a ślad pionowy vą tworzy z tą osią kąt Ć równy kątowi nachylenia
płaszczyzny ą do rzutni Ą1. Ślad pionowy vą płaszczyzny ąĄ"Ą2 jest zatem zbiorem rzutów
pionowych wszystkich punktów le\ących na tej płaszczyznie.
a) b)
Ą2 vą A"
vą
A"
A
�
Xą x
Xą x
hą
A'
hą
Ą1
A'
Rys. 1.24
13
ą
ą
5. Płaszczyznę ą prostopadłą do obu rzutni (rys.1.25a) nazywa się płaszczyzną podwójnie
rzutującą. Po sprowadzeniu obu rzutni do płaszczyzny rysunku (rys.1.25b) obydwa jej ślady
jednoczą się na prostej prostopadłej do osi rzutów x. Ślady hą i vą są odpowiednio zbiorami
rzutów poziomych i pionowych wszystkich punktów płaszczyzny ą (wyjaśnia to punkt A
obrany na płaszczyznie ą).
a) b)
Ą2
vą
A"
A"
vą
A
ą
Xą x Xą x
hą A'
A'
Ą1
hą
Rys. 1.25
6. Płaszczyzna ą||x, ale nieprostopadła do \adnej rzutni (rys.1.26), przecina obie rzutnie
odpowiednio wzdłu\ śladów hą i vą równoległych do osi rzutów x.
Ą2
vą
vą
ą
x
x
hą
hą
Ą1
Rys. 1.26
7. Płaszczyzna ą przechodząca przez oś rzutów x (rys.1.27) ma obydwa ślady jednoczące
się z tą osią. Przez obydwa ślady przechodzi zatem nie jedna płaszczyzna, lecz pęk
płaszczyzn. Aby jednoznacznie określić jedną z nich, nale\y dodatkowo odwzorować na
rzutniach jeszcze jeden punkt płaszczyzny ą (np. punkt A). W ten sposób płaszczyznę ą,
przechodzącą przez oś rzutów x, określa się za pomocą osi rzutów x i punktu A le\ącego na ą.
A"
Ą2
A"
A
h =vą x h =vą
ą ą x
A'
A'
Ą1
Rys. 1.27
14
ą
2 ELEMENTY PRZYNALEśNE
2.1 PRZYNALEśNOŚĆ PUNKTU I PROSTEJ
Je\eli punkt i prosta przynale\ą do siebie w przestrzeni, to ich jednoimienne
(odpowiednie) rzuty tak\e przynale\ą do siebie.
PRZYKAAD 2.1. Dany jest odcinek AB rzutami A'B' i A''B'' (rys.2.1). Znalezć jego środek.
A''
M''
B''
x
B'
M'
A'
1
2
Rys. 2.1
Wykorzystując konstrukcję podziału odcinka w zadanych proporcjach, dokonuje się
podziału jednego z rzutów np. A'B' na dwie równe części. Otrzymuje się w ten sposób rzut
poziomy M' punktu M. Poniewa\ punkt M tworzy z odcinkiem AB parę elementów
przynale\nych, stąd pionowy rzut M'' punktu M znajduje się na rzucie pionowym odcinka
A''B''. Punkt M(M', M'') jest rozwiązaniem zadania.
2.2 PRZYNALEśNOŚĆ PROSTEJ I PAASZCZYZNY
W przypadku dowolnej płaszczyzny ą określonej śladami ą(hą, vą) prosta le\ąca na
płaszczyznie posiada ślady znajdujące się na odpowiednich (jednoimiennych) śladach tej
płaszczyzny.
PRZYKAAD 2.2. Wyznaczyć rzuty dowolnej prostej le\ącej na płaszczyznie ą określonej
śladami (rys.2.2).
Vr
vą
r
"
H" Vr' x
r
Xą
r
'
hą
H
r
Rys. 2.2
15
Płaszczyzna ą(hą, vą) jest w poło\eniu dowolnym, gdy\ \aden ze śladów nie jest
prostopadły do osi rzutów. Aby wyznaczyć prostą r przynale\ną do ą nale\y jeden rzut prostej
r przyjąć dowolnie, a drugi odpowiednio wyznaczyć. Zgodnie z tym, niech rzut poziomy r'
prostej r znajduje się w poło\eniu jak na rys.2.2. Punkt Hr=r'�hą jest śladem poziomym
prostej r. Po zrzutowaniu Hr na oś x otrzymuje się rzut pionowy śladu poziomego Hr''. Punkt
przecięcia rzutu r' z osią x wyznacza rzut poziomy śladu pionowego Vr', zaś jego prosta
odnosząca przecina się ze śladem vą płaszczyzny w punkcie Vr zwanym śladem pionowym
prostej r. Rzut pionowy prostej r określony jest przez punkty Vr oraz Hr''. Szczegółowe
rozwiązanie zadania przedstawiono w załączniku 2.1.
W przypadku dowolnej płaszczyzny ą określonej przy pomocy prostych lub punktów
dowolna prosta le\ąca na tej płaszczyznie posiada punkty przynale\ne (przecięcia) z tą
płaszczyzną.
PRZYKAAD 2.3. Dana jest płaszczyzna określona prostymi s(s', s'')
i r(r', r'') przecinającymi się w punkcie P(P', P'') oraz rzut poziomy prostej t nale\ącej do tej
płaszczyzny (rys.2.3). Wykreślić rzut pionowy prostej t.
1"
s
"
P"
2"
r"
"
t
x
r'
2'
s
'
P'
1'
t'
Rys. 2.3
Prosta le\y na płaszczyznie, jeśli jej dwa ró\ne punkty nale\ą do tej płaszczyzny lub jeśli
przechodzi przez punkt le\ący na płaszczyznie i jest równoległa do prostej przynale\nej do
płaszczyzny. Do konstrukcji brakującego rzutu prostej t mo\na wykorzystać pierwszy
warunek przynale\ności prostej i płaszczyzny.
Prosta t ma dwa punkty wspólne z prostymi tworzącymi płaszczyznę, z prostą r' punkt 1'
oraz z prostą s' punkt 2'. Poniewa\ prosta t nale\y do tej płaszczyzny, to rzuty pionowe 1'' i 2''
punktów 1 i 2 mo\na odnieść na rzutach pionowych odpowiednich prostych r'' i s''. Następnie
przez wykreślone rzuty mo\na poprowadzić szukany rzut t'' prostej t. Szczegółowe
rozwiązanie zadania przedstawiono w załączniku 2.2.
Ze względu na pewne własności mo\na wyró\nić charakterystyczne proste płaszczyzny:
proste poziome są to proste równoległe do rzutni poziomej; wynika
z tego, \e prosta p (rys.2.4) jest równoległa do śladu poziomego hą płaszczyzny, a więc jej
rzut poziomy p' jest równie\ równoległy do śladu poziomego tej płaszczyzny.
proste czołowe są to proste równoległe do rzutni pionowej; wynika
z tego, \e prosta c (rys.2.5) jest równoległa do śladu pionowego vą płaszczyzny, a więc jej rzut
pionowy c'' jest równie\ równoległy do śladu pionowego tej płaszczyzny.
16
Ą2
vą
vą
ą
V
Vp p
p' p"
p
V'
V' p
p
x
x
Xą
Xą
p'
hą p'
hą
Ą1
Rys. 2.4
Ą2
vą
ą vą c"
c"
c
H"
Hc c
x
x
Xą
Xą c' c'
Hc Hc
hą
hą
Ą1
Rys. 2.5
2.3 PRZYNALEśNOŚĆ PUNKTU I PAASZCZYZNY
Konstrukcja punktu A, który le\y na danej płaszczyznie ą wymaga wprowadzenia
pomocniczej prostej nale\ącej do płaszczyzny ą i zawierającej punkt A.
PRZYKAAD 2.4. Wyznaczyć punkt nale\ący do dowolnej płaszczyzny �(v� h�) (rys.2.6).
v�
c"
p"
A"
Vp
H" X� x
c
V'
p
h�
c' A'
Hc
p'
Rys. 2.6
Zgodnie z rys.2.6 płaszczyzna � jest wyznaczona przez swe ślady h�
i v� przecinające się na osi rzutów x. Nale\y przyjąć w sposób dowolny rzut pionowy A''
punktu A le\ącego w płaszczyznie �. Przez A'' prowadzi się równolegle do osi x rzut pionowy
p'' prostej poziomej płaszczyzny �. Ślad prostej poziomej Vp le\y na przecięciu śladu
pionowego v� płaszczyzny � z rzutem pionowym p''. Odnosząc punkt Vp na oś x otrzymuje się
rzut poziomy Vp', przez który prowadzi się równolegle do śladu poziomego h� płaszczyzny �
rzut poziomy p' prostej p. Odnosząc A'' na prostą p' uzyskuje się rzut poziomy A' punktu A.
Zadanie mo\na równie\ rozwiązać wprowadzając prostą czołową c (rys.2.6). Konstrukcja
w tym przypadku jest analogiczna jak dla prostej poziomej p. Ró\nica polega na tym, \e
17
najpierw obiera się rzut poziomy A' punktu A, przez który następnie prowadzi się równolegle
do osi x rzut poziomy c' prostej c. Na przecięciu c' i h� znajduje się ślad poziomy Hc prostej c.
Po zrzutowaniu punktu Hc na oś x otrzymuje się jego rzut pionowy Hc''. Prosta c''
poprowadzona z punktu Hc'' równolegle do v� jest rzutem pionowym prostej czołowej c. Rzut
pionowy A'' punktu A znajduje się na przecięciu proste c'' z odnoszącą poprowadzoną z
punktu A'. Szczegółowe rozwiązanie zadania przedstawiono w załączniku 2.3.
PRZYKAAD 2.5. Znalezć rzut poziomy trójkąta ABC le\ącego na płaszczyznie określonej
prostą k(k', k'') i punktem M(M', M'') (rys.2.7).
n"
k"
C"
4"
2"
A"
M"
1"
3"
B"
x
B'
3'
1'
M'
C'
A'
2'
4'
n'
k'
Rys. 2.7
Przez punkt M prowadzi się prostą n(n', n''), której odpowiednie rzuty są równoległe do
rzutów prostej k(k', k''). Rzuty k'' oraz n'' przecinają dany rzut pionowy trójkąta A''B''C'' w
punktach 1'', 2'', 3'' i 4''. Po zrzutowaniu tych punktów na rzuty poziome prostych k' i n'
otrzymuje się punkty 1', 2', 3', 4'. Następnie przez punkty 1' i 3' prowadzi się prostą
zawierającą krawędz A'B'. Przez rzuty poziome np. A' oraz 4' prowadzi się drugą prostą, która
zawiera krawędz A'C'. Następnie po zrzutowaniu punktów A'', B'' i C'' otrzymuje się na
odpowiednich prostych rzuty poziome A', B' oraz C' wierzchołków trójkąta, które po
połączeniu wyznaczają szukany rzut poziomy trójkąta ABC. Szczegółowe rozwiązanie
zadania przedstawiono w załączniku 2.4.
18
3 ELEMENTY WSPÓLNE
3.1 PUNKT WSPÓLNY DWÓCH PROSTYCH
Dwie proste a(a', a'') i b(b', b'') mają punkt wspólny P(P', P''), je\eli nale\y on
równocześnie do obydwu prostych. Sytuacja ta ma miejsce w przypadku prostych
przecinających się (rys.3.1a). Je\eli proste nie spełniają warunku prostych przecinających się
to wówczas są względem siebie równoległe (rys3.1b) lub skośne (rys.3.1c).
a) b) c)
b''
P''
b'' a''
b''
a''
a''
x x x
b'
a'
a'
P'
a
b'
Rys. 3.1
3.2 KRAWDy DWÓCH PAASZCZYZN
Dane są dwie płaszczyzny ą i �. Je\eli płaszczyzny te nie są względem siebie równoległe,
to przecinają się, tworząc prostą zwaną krawędzią wspólną. Do wyznaczenia krawędzi
przecięcia wystarczy znalezć:
a) dwa ró\ne punkty le\ące równocześnie na obydwu płaszczyznach,
lub
b) jeden punkt wspólny dla tych płaszczyzn i prostą do nich równoległą.
W przypadku dowolnych płaszczyzn ą i � określonych śladami przyjmuje się, \e ich
krawędz wspólna k jest prostą przynale\ną równocześnie do obydwu płaszczyzn a co za tym
idzie ślady krawędzi k (Vk Hk) le\ą na odpowiednich śladach płaszczyzn ą i � a dokładnie na
przecięciu się jednoimiennych śladów tych płaszczyzn.
19
PRZYKAAD 3.1. Za pomocą śladów hą i vą oraz h� i v� przedstawiono płaszczyzny ą i �
(rys.3.2). Znalezć krawędz wspólną tych płaszczyzn.
Vk
v�
vą
X� x
Xą
Vk'
"
k' Hk k"
hą
h�
Hk
Rys. 3.2
Krawędz wspólna k płaszczyzn ą i �, jako prosta le\ąca na ka\dej
z nich, ma ślad poziomy umiejscowiony na przecięciu śladów poziomych tych płaszczyzn
Hk=hą�h�, a ślad pionowy na przecięciu ich śladów pionowych Vk=vą�v�. Rzuty prostej k
prowadzi się w sposób następujący: rzut poziomy k' przez ślad poziomy Hk oraz przez rzut
poziomy śladu pionowego Vk', rzut pionowy k'' przez ślad pionowy Vk oraz przez rzut
pionowy śladu poziomego Hk''. Szczegółowe rozwiązanie zadania przedstawiono w
załączniku 3.1.
Podobnie wyznaczamy krawędz k dla płaszczyzn ą i � pokazanych na poni\szych
rysunkach (rys.3.3a, b, c, d, e).
b) c)
a)
Vk
vą v�
v�
k''
vą
k''
k''
v�
Xą V' H'' H''
V'
k x k k k
x x
H'' X� h = ' X
� Xą hą X�
k
ą
ą k'
k'
h�
h�
Hk
hą Hk
Vk
h�
k'
Hk
e)
d)
v�
vą
k'' v�
k'
k''
X H''
V' �
k k
H''
X�
Xą k x
x
h�
Vk k'
vą Hk
hą= h� Hk hą
Rys. 3.3
20
Je\eli płaszczyzny są określone w inny sposób ni\ przez ślady, albo ślady krawędzi są
punktami niedostępnymi (le\ą poza obszarem naszego rysunku), wówczas najczęściej
wprowadza się sieczne płaszczyzny pomocnicze (poziomą, czołową i inne rzutujące).
PRZYKAAD 3.2. Wyznaczyć część wspólną płaszczyzn ą i � określonych odpowiednio trzema
niewspółliniowymi punktami A, B, C (płaszczyzna ą) oraz prostymi równoległymi d i e
(płaszczyzna �) (rys.3.4).
k"
k" 4
2
e"
k" 4"
1 B"
1"
8"
k"
2"
d"
A"
R"
k"
3
6"
5"
3"
7"
x
C" S"
B'
= =
h k' k'
1'
1 2 3' 4'
2'
R'
A'
= =
h k' k'
3 4 6' S' 8'
7'
5'
C'
d'
e'
k'
Rys. 3.4
Obie płaszczyzny mo\na przeciąć pomocniczą płaszczyzną czołową ł. Następnie nale\y
wyznaczyć krawędz k1 wspólną dla płaszczyzny pomocniczej ł oraz płaszczyzny ą oraz
krawędz k2, wspólną dla płaszczyzn ł i �. Punkty 1 i 2 wyznaczają krawędz k1, której rzut
pionowy k1'' przechodzi przez rzuty 1'' i 2'', a rzut poziomy k1' pokrywa się ze śladem
płaszczyzny pomocniczej. Punkty 3 i 4 wyznaczają krawędz k2, której rzut pionowy k2''
przechodzi przez rzuty 3'' i 4'', a rzut poziomy k2', podobnie jak k1', pokrywa się ze śladem
płaszczyzny pomocniczej. Trzy płaszczyzny ą, � i ł mają jeden punkt wspólny R=k1�k2 na
przecięciu wykreślonych prostych. Tak więc punkt R(R', R'') stanowi pierwszy punkt wspólny
dla ą i �. Aby skonstruować drugi punkt nale\y wprowadzić kolejną płaszczyznę pomocniczą,
np. czołową �. Punkty 5 i 6 wyznaczają krawędz k3 wspólną dla ą i �, zaś 7 i 8 krawędz k4
wspólną dla � i �. Proste k3 i k4 przecinają się w punkcie S=k3�k4, stanowiącym element
wspólny dla � i danych dwóch płaszczyzn, a tym samym drugi szukany punkt. Punkty
S(S', S'') oraz R(R', R'') wyznaczają poszukiwaną krawędz k(k', k''), wspólną dla płaszczyzn ą
i �. Szczegółowe rozwiązanie zadania przedstawiono w załączniku 3.2.
21
3.3 PUNKT PRZEBICIA PAASZCZYZNY PROST
Dana jest dowolna płaszczyzna ą oraz dowolna prosta b. Je\eli prosta b nie jest
równoległa do płaszczyzny ą to posiada punkt wspólny R z tą płaszczyzną, zwany inaczej
punktem przebicia płaszczyzny ą prostą b. W przypadku gdy prosta b le\y na płaszczyznie ą
to \aden punkt wspólny prostej i płaszczyzny nie jest punktem przebicia.
PRZYKAAD 3.3. Dany jest ślad płaszczyzny poziomo rzutującej ł oraz rzuty dowolnej prostej l
(rys.3.5a). Wyznaczyć punkt przebicia danej płaszczyzny prostą l.
a) b) c)
P"
vł
vł
l"
vł ł''
=
P"
l"
P"
l"
Xł X
x ł
x x
l'
l'
P'
hł
P'
l'
P'
h
ł
Rys. 3.5
Rzut poziomy l' prostej l przecina się w punkcie P' ze śladem poziomym płaszczyzny
rzutującej ł. Jest to rzut punktu, w którym prosta l przebija płaszczyznę ł. Nale\y on
jednocześnie do danej prostej płaszczyzny. Odnosząc punkt P'', na rzucie pionowym l'' prostej
l, otrzymuje się rzut pionowy punktu przebicia P.
Wyznaczenie punktu przebicia dla wszystkich charakterystycznych płaszczyzn przez
dowolną prostą następuje w podobny sposób. Na rysunkach 3.5b i 3.5c wykreślono punkty
przebicia na płaszczyznie podwójnie rzutującej oraz płaszczyznie poziomej.
Konstrukcja wyznaczenia punktu przebicia dowolnej prostej b z dowolną płaszczyzną ą
składa się z następujących etapów (rys.3.6):
1. Poprowadzenie przez prostą b płaszczyzny pomocniczej ł, najlepiej rzutującej;
2. Wyznaczenie krawędzi k wspólnej dla płaszczyzny danej i pomocniczej, k= ąxł;
3. Znalezienie punktu P przecięcia prostej b z krawędzią wspólną k, który jest szukanym
punktem przebicia płaszczyzny ą prostą b.
22
Rys. 3.6
PRZYKAAD 3.4. Dane są ślady dowolnej płaszczyzny ą oraz rzuty dowolnej prostej b (rys.3.7).
Nale\y wyznaczyć punkt przebicia tej płaszczyzny prostą b.
Vk
vą
b"
vł
P"
k"
Xą
x
"
Hk
=Vk'
X
ł
hą
P'
Hk
Rys. 3.7
Zgodnie z powy\szym, przez odpowiedni rzut prostej b prowadzi się płaszczyznę
poziomo rzutującą ł i wyznacza krawędz k wspólną dla ą i ł. Rzut pionowy k'' wyznaczony
jest przez rzut Hk'' i ślad Vk, natomiast rzut poziomy k' przez rzut Vk' i ślad Hk. Szukany
punkt P, punkt przecięcia krawędzi k z prostą b, jest rozwiązaniem zadania. Szczegółowe
rozwiązanie zadania przedstawiono w załączniku 3.3.
23
'
k
=
ł
h
'
=
b
PRZYKAAD 3.6. Wyznaczyć punkt przebicia nieprzezroczystego trójkąta ABC przez dowolną
prostą m oraz określić widoczność tej prostej (rys.3.8).
Rys. 3.8
W celu rozwiązania zadania wprowadza się płaszczyznę pionowo rzutującą ł tak aby
zawierała prostą m (ślad vł pokrywa się z rzutem m''). Następnym krokiem jest wyznaczenie
krawędzi k wspólnej dla płaszczyzny ł i płaszczyzny trójkąta ABC. Rzut pionowy k''
krawędzi k pokrywa się zarówno ze śladem pionowym płaszczyzny jak i rzutem pionowym
prostej m (k''= vł = m''). Rzut pionowy k'' krawędzi przynale\nej do trójkąta ABC przecina
jego boki w punktach 1'' i 2''. Po wyznaczeniu rzutów poziomych punktów 1' i 2' mo\na
wyznaczyć rzut poziomy k' krawędzi przecięcia. Rzut poziomy k' przecina się z rzutem m' w
punkcie P', który jest rzutem poziomym szukanego punktu przebicia. Rzut pionowy P''
znajduje się na przecięciu odnoszącej poprowadzonej z punktu P z rzutem k'' prostej k.
Widoczność prostej m wyznacza się poprzez określenie widoczności rzutu pionowego i
poziomego tej prostej. Wyznaczając widoczność prostej m w rzucie pionowym nale\y
wyznaczyć dwa punkty 1'' i 3'' jednoczące się w rzucie pionowym przy czym niech punkt 1
le\y na boku trójkąta AB a punkt 3 na prostej m. W kolejnym kroku nale\y wyznaczyć rzuty
poziome tych punktów 1' i 3' i sprawdzić, który z tych punktów ma większą głębokość.
Patrząc wzdłu\ wskazanego kierunku mo\na stwierdzić, \e punkt 1 ma większą głębokość i w
pierwszej kolejności jest widoczny zasłaniając punkt 3 a co za tym idzie bok trójkąta AB
zasłania w rzycie pionowym prostą m co skutkuje brakiem widoczności tej prostej na
odcinku P''1''.
Podobnie wyznaczamy widoczność w rzucie poziomym wybierając pokrywające się
punkty 4' i 5' przy czym punkt 4 le\y na prostej m a punkt 5 na boku AC. Po wyznaczeniu
rzutów pionowych 4'' i 5'' sprawdzamy który z tych punktów ma większą wysokość. Patrząc
wzdłu\ wskazanego kierunku mo\na stwierdzić, \e punkt 4 ma większą wysokość i w
pierwszej kolejności jest widoczny zasłaniając punkt 5 a co za tym idzie prosta m w rzucie
poziomym zasłania bok trójkąta AC co skutkuje widocznością prostej m na odcinku 4 P
i brakiem widoczności prostej m na odcinku P' 2'. Szczegółowe rozwiązanie zadania
przedstawiono w załączniku 3.4.
24
4 KAADY
Kładem płaszczyzny ą na płaszczyznę � nazywa się jej obrót dookoła prostej wspólnej
obydwu płaszczyzn l=ąײ o kąt dwuścienny zawarty między tymi płaszczyznami (rys.4.1).
Praktyczne znaczenie ma kład wykonywany na jedną z rzutni (Ą1, Ą2) lub na płaszczyznę
równoległą do rzutni. Konstrukcja kładu umo\liwia m.in. określenie wielkości kładzionych
figur.
Podniesienie z kładu płaszczyzny ą jest konstrukcją odwrotną do kładu i ma na celu
określenie rzutów danej figury na płaszczyznie ą .
ą
B
p
m
A
�
n
C
Co mo Bo
l
no po ąo �
Ao
Rys. 4.1
Oznaczenia: Je\eli płaszczyzna ą jest prostopadła do rzutni (rzutująca) to jej kład, jak równie\
kłady wszystkich elementów le\ących na ą, oznacza się indeksem x w przeciwnym
przypadku indeksem o .
4.1 KAAD I PODNIESIENIE Z KAADU PAASZCZYZNY RZUTUJCEJ
Kład płaszczyzny poziomo-rzutującej na rzutnię Ą1 przedstawiony został na rys.4.2. Osią
obrotu w tym przypadku jest ślad poziomy hą płaszczyzny ą. Rzut poziomy A' nie zmienia
swego poło\enia natomiast kład punktu Ax znajduje się na kładzie prostej rzutującej czyli na
prostej prostopadłej do śladu poziomego hą w odległości równej wysokości punktu A.
Je\eli kład wykonywany jest na rzutnię pionową, to osią obrotu jest ślad pionowy vą tej
płaszczyzny.
Rys. 4.2
25
PRZYKAAD 4.1. Dane są rzuty trójkąta ABC le\ącego na płaszczyznie poziomo rzutującej ą
(rys.4.3). Wyznaczyć wielkość trójkąta ABC.
Rys. 4.3
Osią obrotu jest ślad hą. Przez punkty A', B', C' nale\y wykreślić proste prostopadłe do
śladu hą i odmierzyć na nich odpowiednie wysokości punktów A, B i C. Wyznaczony kład
AxBxCx trójkąta ABC na rzutnię Ą1 przedstawia wielkość tego trójkąta.
4.2 KAAD I PODNIESIENIE Z KAADU PAASZCZYZNY NIERZUTUJCEJ
4.2.1 KAAD PUNKTU
Kładem punktu A na rzutnię Ą nazywamy obrót punktu A dookoła osi obrotu l le\ącej na
rzutni Ą o taki skierowany kąt obrotu � aby po obrocie punkt A w nowym poło\eniu Ao znalazł
się na rzutni Ą.
W celu dokonania kładu punktu A na rzutnię Ą nale\y obrócić ten punkt dookoła zadanej
osi obrotu l le\ącej na rzutni (rys.4.4). Osią obrotu jest najczęściej ślad płaszczyzny ą (vą lub
hą) przechodzącej prze ten punkt A. Obrót punktu A wykonuje się w przestrzeni na
płaszczyznie � (�Ą"l, �Ą"Ą) obracając go dookoła osi l (np śladu płaszczyzny) tak aby znalazł
się na rzutni Ą (punkt Ao). W praktyce konstrukcję kładu nale\y przeprowadzić w
płaszczyznie rysunku. W związku z tym kładziemy punkt A na rzutnię wykorzystując
konstrukcję kładu punktu w płaszczyznie rzutującej. Kład punktu Ax obracamy następnie
dookoła środka obrotu S a\ zajmie nowe poło\enie Ao na śladzie płaszczyzny �.
ą
Ą2
A"
v�
A
�
r
Ax �
X
l=hą
v�x
A'
h
� x
�x
S
A
x
Ao
r
Ą1
Rys. 4.4
26
Konstrukcja przestrzenna sprowadzona do płaszczyzny rysunku przedstawiona została na
rys.4.5 (rys.4.5a kład punktu A na rzutnię Ą1, rys.4.5b kład punktu A na rzutnię Ą2).
a)
b)
Rys. 4.5
Aby wykonać kład na rzutnię Ą danej figury le\ącej w płaszczyznie nierzutującej ą
wystarczy wyznaczyć kład Ao tylko jednego dowolnego punktu A tej figury na rzutnię Ą
wykorzystując powy\szą konstrukcję. Kłady pozostałych punktów mo\na wyznaczyć w inny
sposób stosując zasadę powinowactwa osiowego czyli podobieństwa konstrukcji miedzy
kładami elementów a jego rzutami umieszczonymi po przeciwległej stronie osi obrotu (śladu
płaszczyzny). Podobne podobieństwo występuje pomiędzy rzutami pionowymi a poziomymi
elementów gdzie osia obrotu jest oś rzutów x.
PRZYKAAD 4.2. Dane są rzuty trójkąta ABC le\ącego w płaszczyznie nierzutującej ą (rys.4.6).
Wykorzystując konstrukcję kładu wyznaczyć jego rzeczywista wielkość.
Rys. 4.6
27
W pierwszej kolejności nale\y wyznaczyć oś l względem której będziemy kłaść trójkąt
ABC. Jeśli będziemy wykonywać kład na rzutnie Ą1 wówczas osią obrotu będzie ślad poziomy
hą płaszczyzny ą. Ślad ten znajdujemy wprowadzając proste a i b przynale\ne do trójkąta
ABC a następnie wyznaczamy ślady poziome tych prostych Ha i Hb przez które prowadzimy
ślad hą. Dokonujemy następnie kładu (obrotu dookoła śladu hą) punktu A na rzutnię Ą
stosując konstrukcję kładu punkty (rys 4.4 i 4.5).
Pozostałe punkty B i C mo\na wyznaczyć podobnie jednak bardziej czytelne będzie
wykorzystanie zasady powinowactwa osiowego:
-skoro punkt B le\y na prostej b to kład punktu Bo będzie znajdował się na kładzie prostej bo
- ślad Hb prostej b le\y na śladzie poziomym hą płaszczyzny ą będącym osią powinowactwa a
punkty le\ące na osi powinowactwa nie zmieniają swego poło\enia.
- kład punktu Bo le\y dodatkowo na prostej prostopadłej do osi powinowactwa (śladu hą)
odchodzącej od rzutu poziomego B'. Prosta ta to nic innego jak ślad poziomy płaszczyzny �
po której obracamy dany punkt. Prosta B'Bo nazywamy promieniem powinowactwa.
Szczegółowe rozwiązanie zadania przedstawiono w załączniku 4.1.
W przypadku kładu płaszczyzny rzutującej kąt pomiędzy kładzionym śladem (vąx lub hąx)
a osią obrotu (hą lub vą) jest równy 90o i wyznaczyć go mo\na bezpośrednio prowadząc z
węzła płaszczyzny Xą .
W przypadku kładu dowolnej płaszczyzny ą kąt pomiędzy kładem śladu (vąo lub hąo) a
osią obrotu (hą lub vą) jest ró\ny od 90o i wyznaczyć go mo\na przy pomocy specjalnej
konstrukcji. Konstrukcję dokładną kładu dowolnej płaszczyzny ą na rzutnię Ą1 przedstawia
rys. 4.7a oraz uproszczoną rys. 4.7b.
a) b)
V
V
vą vą
Xą x
x V' V' Xą
x S
V
h� h�
hą hą
o
V
o
V
o o
vą vą
Rys. 4.7
Osią obrotu jest ślad hą. Po wykonaniu kładu poło\enie zmieni ślad vą. Wprowadza się
najpierw punkt V (V', V"=V) le\ący na vą. Przez punkt V' prowadzi się następnie prostą
prostopadłą do hą i przecinającą ją w punkcie S. Prosta ta jest śladem poziomym h�
płaszczyzny poziomo rzutującej � będącej płaszczyzna obrotu. Następnie nale\y wykonać
kład płaszczyzny �, tj. prowadzi się przez punkt V' prostą prostopadłą do h� i odmierza na niej
wysokość punktu V. W rezultacie otrzymuje się kład Vx punktu V. Teraz zataczając łuk o
środku w punkcie S i promieniu SVx wyznacza się punkt przecięcia z prostą h�. Jest to kład Vo
punktu V. Węzeł Xą nie zmieni poło\enia poniewa\ le\y na osi obrotu, więc punkty Xą i Vo
wyznaczają kład vąo śladu vą na rzutnię Ą1.
W konstrukcji uproszczonej przez punkt V' prowadzi się prostą prostopadłą do hą.
Następnie zatacza się łuk o środku w punkcie Xą i promieniu XąV, który przecina się z prostą
w szukanym punkcie Vo. Punkty Xą i Vo wyznaczają kład vąo.
28
Podobnie wyznaczamy kłady płaszczyzny ą na rzutnię Ą2 przy czym osią obrotu jest ślad
vą (rys. 4.8)
a) b)
Ho
o
H
o
v� hą v� ho
ą
vą vą
x S
H
Xą x
x H" H" Xą
hą hą
H
H
Rys. 4.8
PRZYKAAD 4.2. Dane są ślady dowolnej płaszczyzny ą (rys.4.9, 4.10). Wykreślić rzuty prostej
poziomej, czołowej i dowolnej nale\ących do płaszczyzny ą a następnie wykonać kłady
płaszczyzny wraz z prostymi na rzutnie Ą1 i Ą2.
a) b) c)
Va
vą vą
c"
V
p
V
p" vą
A" A" A"
a"
V'p Xą
Xą V'
x x V' a
x
H" H" Xą
c
a
a'
c' A'
A' A'
hą
p'
Hc o
hą Vpo
V
Ha
o
hą co
vą
o o
po Ao vą
Ao vą
Ao ao Vao
Rys. 4.9
a) b) c)
po
co
o o Hao
Ao hą Ao hą ao Ao
vą vą o
V
a hą
vą
o
Hco
c"
H
p"
A" Vp
A" A"
a"
V'
p Xą x a
V' Xą
x H" Xą x
H" H"
c a
c'
a'
A' A' A'
p'
H
Hc
Ha
hą hą hą
Rys. 4.10
29
Na rys.4.9a i 4.10a wprowadzona została prosta pozioma p, na rys.4.9b i 4.10b prosta
czołowa c, natomiast na pozostałych prosta dowolna a. Kład płaszczyzny ą wraz z
wprowadzonymi prostymi na rzutnię Ą1 przedstawiono na rys.4.9, natomiast na rzutnię Ą2 na
rys.4.10. Konstrukcja kładu płaszczyzny ą na rzutnię Ą1 i Ą2 wyjaśniona została na rysunku
4.7 i 4.8.
Potrafiąc przeprowadzić konstrukcję kładu ka\dej prostej mo\na wykonać kład
dowolnego punktu A przynale\nego do prostych a tym samym do płaszczyzny ą.
Dokonanie kładu dowolnej figury przynale\nej do płaszczyzny ą sprowadza się do
przeprowadzeniu kładu jej poszczególnych punktów wykorzystując konstrukcje
przedstawione na rys. 4.9 lub 4.10.
PRZYKAAD 4.3. Dana jest płaszczyzna ą(hą, vą) (rys.4.11). Wykreślić na płaszczyznie ą trójkąt
równoramienny prostokątny.
Rys. 4.11
Na początku nale\y wykonać kład płaszczyzny ą na jedną z rzutni, np. na rzutnię
poziomą (konstrukcja jak na rys.4.7) na którym wyznaczyć nale\y kład trójkąta AoBoCo i
dokonać jego podniesienia uzyskując jego rzuty poziome i pionowe. Mo\na zało\yć, \e punkt
A le\y na śladzie pionowym vą przez co dokonując kładu śladu płaszczyzny uzyskujemy kład
punktu Ao oraz jego rzut poziomy A'. Dobieramy następnie przykładowo kład punkt Bo na osi
obrotu. Zgodnie z zasada powinowactwa osiowego kład punktu Bo będzie jednocześnie
punktem B (B=B'). W rezultacie rzuty punktów A i B otrzymuje się bez dodatkowych
konstrukcji. Z punktu Ao rysujemy kład prostej poziomej ao, na której zaznaczamy kład
trzeciego punktu Co. Podniesienie z kładu prostej ao pozwala wyznaczyć rzuty punktu C. Po
połączeniu odpowiednich rzutów punktów A, B i C otrzymuje się rzuty szukanego trójkąta.
Szczegółowe rozwiązanie zadania przedstawiono w załączniku 4.2.
30
PRZYKAAD 4.4. Dany jest rzut pionowy trójkąta ABC le\ącego w płaszczyznie ą(hą, vą).
Dokonać kładu trójkąta na rzutnię Ą1 (rys. 4.12).
Rys. 4.12
Do wykonania zadania konieczne jest przeprowadzenie dla ka\dego punktu trójkąta
konstrukcji kładu punktu przedstawionej na rysunku 4.9a. Szczegółowe rozwiązanie zadania
przedstawiono w załączniku 4.3.
Bardzo często stosowane są kłady nie na rzutnię Ą1 i Ą2 lecz na płaszczyznę równoległą
do tych rzutni. Mamy wówczas do czynienie z kładem ró\nicowym.
Kładem ró\nicowym punku A na płaszczyznę ł równoległą do rzutni Ą nazywamy obrót
punktu A dookoła osi obrotu l le\ącej na płaszczyznie ł o taki skierowany kąt obrotu � aby po
obrocie punkt A znalazł się w nowym poło\eniu Ao na płaszczyznie ł
31
PRZYKAAD 4.5. Dane są rzuty trójkąta ABC (rys. 4.13). Wyznaczyć wielkość trójkąta ABC
wykorzystując kład ró\nicowy.
A"
v
ł
ł= "
B"
=k"
1"
C"
x
Ao
C'
Cx
k'
B'=Bo
S
1'=1o
Co
A'
Rys. 4.13
W pierwszej kolejności nale\y wprowadzić płaszczyznę kładu, np. jako płaszczyznę
poziomą ł oraz wyznaczyć krawędz k płaszczyzny ł i trójkąta ABC. Krawędz k jest osią
obrotu. Stosując zasady powinowactwa osiowego mo\na wyznaczyć kłady wszystkich
punktów ABC. Kład punktu B pokrywa się z jego rzutem poziomym B' le\ącym na osi obrotu.
Kład Co punktu C wyznacza się stosując konstrukcje kładu zgodnie z rys. 4.4, 4.5. Kład Ao
wyznacza się wykorzystując punkt 1'=1o. Punkt A jest współliniowy z punktami C i 1 przez
co jego kład Ao równie\ musi być współliniowy z Co i 1o. Prowadząc dodatkowo z punktu A'
prostą prostopadłą do osi obrotu k wyznaczamy punkt przecięcia z prostą poprowadzoną
przez Co i 1o uzyskując szukany kład Ao. Trójkąt utworzony po połączeniu punktów Ao, Bo i
Co reprezentuje rzeczywistą wielkość trójkąta ABC. Szczegółowe rozwiązanie zadania
przedstawiono w załączniku 4.4.
32
PRZYKAAD 4.6. Wyznaczyć odległość punktu A od prostej m (rys.4.14).
m"
1" vą=ą"=k" A"
B"
x
e
k'
B'
A'=Ao
Bx
1'=1o
m'
mo
Bo
Rys. 4.14
Aby wyznaczyć odległość punktu A od prostej m nale\y płaszczyznę, którą A i m
wyznaczają, poło\yć na rzutnię lub na płaszczyznę równoległą do rzutni. Płaszczyznę kładu
mo\na obrać jako płaszczyznę poziomą ą prowadząc vą=ą'' przez punkt A''. Następnie nale\y
wyznaczyć krawędz k. Kłady punktów A i 1 pokrywają się z ich rzutami poziomymi. Aby
otrzymać kład prostej m nale\y przyjąć na niej dowolny punkt B
i wykonać jego kład. Punkty Bo i 1o wyznaczają prostą mo. Odległość punktu A od prostej m to
odcinek prostopadły e wytyczony pomiędzy Ao i mo. Szczegółowe rozwiązanie zadania
przedstawiono w załączniku 4.5.
33
5 RZUTY PROSTOKTNE NA TRZY WZAJEMNIE
PROSTOPADAE RZUTNIE
Je\eli do układu zawierającego rzutnię poziomą Ą1 i pionową Ą2 wprowadzi się trzecią
rzutnię Ą3 prostopadłą do Ą1 i Ą2 to otrzymuje się układ trzech wzajemnie prostopadłych rzutni
(rys.5.1). Rzutnia Ą3 nosi nazwę rzutni bocznej.
Dla opisu poło\enia punktu w przestrzeni otrzymuje się dodatkową współrzędną
szerokość s. W tej sytuacji dany punkt A(Ax, Ay, Az) mo\na zapisać jako A(s, g, w), gdzie s
szerokość, g głębokość, w wysokość.
a) b)
z
z
Ą
Ą Ą Ą
2 3 2 3
Az g
Az A''' A" A'''
A" s
3
A w
g
s A'''
w y(Ą )
y Ą 3
( ) A A
x A 3 x O y
x O x
A' g
Ay
1
y A'
A
y
A'
Ą Ą
1 1
y(Ą )
1
y(Ą )
1
Rys. 5.1
Uwaga: Przy tworzeniu trzeciego rzutu łuk (na rys.5.1 łuk Ay-Ay) zatacza się zawsze w
kierunku przeciwnym do wskazówek zegara.
W tak zdefiniowanym układzie rzutni prosta dowolna m (rys.5.2) ma trzy ślady: poziomy
Hm=m�Ą1, pionowy Vm=m�Ą2 i boczny Km=m�Ą3. Ślad boczny Km prostej m jest takim jej
punktem, którego szerokość s równa się zero, zatem jego rzut poziomy Km' jest punktem
przecięcia prostej m' i osi y(Ą1), natomiast rzut pionowy Km'' jest punktem przecięcia prostej
m'' i osi z.
Ślad boczny Km wyznacza się bezpośrednio z rzutów Km' i Km'' (rys.5.2) natomiast rzut
boczny m''' mo\na skonstruować określając rzuty boczne co najmniej dwóch punktów
nale\ących do prostej. Mo\na do tego celu wykorzystać np. punkty Hm i Vm. Nale\y zwrócić
uwagę na fakt, \e Km=Km''' musi le\eć na prostej m''' wyznaczonej punktami Hm''' i Vm'''.
34
a) b)
z
z
Ą
2
V''' V
V''' m m
m
V
m
m'''
m'''
K" K"
m m Km
Ą
m"
3
m"
Km
H"
y(Ą ) H" y(Ą )
m V'
x O m 3 x m O 3
V'
m m
m'
K'
m
K'
m
m'
Hm Ą m
H'''
1
H'''
Hm
m
y
y(Ą )
1
Rys. 5.2
W układzie rzutni Ą1, Ą2, Ą3 płaszczyzna dowolna ą (rys.5.3) przecina rzutnię poziomą w
śladzie poziomym hą, rzutnię pionową w śladzie pionowym vą i rzutnię boczną w śladzie
bocznym ką; osie rzutów zaś odpowiednio w węzłach Xą, Yą, Zą.
a) b)
z
Ą2
z
Zą
Zą
vą
vą
ką
Ą3
ką
Xą
y(Ą3 )
x O x O
Xą
Yą
hą
hą
Yą
Ą1
Yą y(Ą1 )
y
Rys. 5.3
PRZYKAAD 5.1. Wykreślić rzuty punktu A(s, g, w) gdzie s=j (j jednostka długości), g=2s,
w=-s oraz jego symetrycznego odbicia (punkt B) względem rzutni Ą1 (rys.5.4).
z
B" B'''
y(Ą3)
x
A"
A'''
s
B'=A'
y(Ą1 )
Rys. 5.4
Na początku, zgodnie z danymi, konstruuje się rzuty punktu A. Je\eli punkt B ma być
symetryczny do A względem Ą1, to musi mieć tą samą głębokość i szerokość, natomiast
wysokość o przeciwnym znaku (rys.5.4).
35
w=-s
g=2s
ą
PRZYKAAD 5.2. Prosta nĄ"x (rys.5.5) określona jest punktami A(A', A'') i B(B', B''). Wyznaczyć
ślady prostej n.
z
V'''
Vn n
A'''
A"
n'''
n"
B'''
B"
y(Ą3)
x
H'''
n
A'
n'
B'
Hn
y(Ą1)
Rys. 5.5
W pierwszej kolejności nale\y skonstruować rzut boczny odcinka. Na rzucie tym
wyznacza się następnie rzuty boczne śladów: poziomego Hn''' i pionowego Vn''', które
następnie przenosi się na rzuty: poziomy i pionowy prostej n.
PRZYKAAD 5.3. Wyznaczyć odległości punktów A i B od prostej m (rys.5.6).
z
A" A'''
m" m'''
e1
B'
e2
y( )
Ą3
x
B'''
B"
m'
A'
y(Ą1)
Rys. 5.6
Prosta m jest bocznie rzutująca (rzut boczny m''' jest punktem) więc aby rozwiązać zadanie
wystarczy wyznaczyć rzuty boczne prostej oraz punktów A i B. Odcinki e1 i e2 są szukanymi
odległościami punktów A i B od prostej m. Szczegółowe rozwiązanie zadania przedstawiono
w załączniku 5.1.
36
6 WIELOŚCIANY
6.1 RZUTY WIELOŚCIANÓW
W celu wykreślenia rzutu prostokątnego wielościanu na odpowiednią rzutnię Ą, nale\y
wykonać rzuty prostokątne wszystkich jego wierzchołków, wyznaczając tym samym rzuty
wszystkich jego krawędzi. Krawędzie wielościanu tworzą jego ściany, które nale\y traktować
jako powierzchnie nieprzezroczyste. Po zrzutowaniu pewne ściany mogą zasłaniać niektóre
krawędzie, dlatego wa\ną rzeczą jest określenie widoczności wszystkich krawędzi
wielościanu.
PRZYKAAD 6.1. Wykreślić rzuty ostrosłupa czterościennego, którego podstawa le\y na rzutni
Ą1 (rys.6.1). Określić widoczność jego krawędzi.
z
W'' W'''
k1
y(Ą3)
x
B'' D'' B''' A'''
A'' C'' C''' D'''
B
A
k2
C
W'
D
y
(Ą1
)
k3
Rys. 6.1
Na rzutni Ą1 jako podstawę ostrosłupa konstruuje się czworokąt płaski ABCD (A'=A,
B'=B, C'=C, D =D) oraz przyjmuje się dowolny punkt W' będący rzutem poziomym
wierzchołka ostrosłupa. Następnie wyznacza się rzut pionowy podstawy A''B''C''D'' oraz
wierzchołka W''. Poniewa\ podstawa ostrosłupa le\y na rzutni Ą1 to rzuty pionowe punktów
podstawy znajdują się na osi rzutów x. Mając dane rzuty pionowe i poziome wszystkich
punktów ostrosłupa wyznacza się rzuty boczne tych punktów A''', B''', D''', C''', W'''. Aby
określić widoczność krawędzi w rzucie poziomym, nale\y patrzeć na rzut pionowy w
kierunku k1. Jedyną niewidoczną krawędzią jest krawędz podstawy AD, dlatego jej rzut
poziomy rysuje się linią przerywaną. Aby określić widoczność w rzucie pionowym, nale\y
patrzeć na rzut poziomy ostrosłupa w kierunku k3. Widać, \e krawędz BW jest zasłonięta
przez ścianę ADW, dlatego rzut pionowy B''W'' rysuje się linią przerywaną. W przypadku
rzutu bocznego nale\y patrzeć w kierunku k2. Widać, \e krawędz CW jest zasłonięta ścianą
ADW, w wyniku czego rzut boczny C'''W''' jest niewidoczny.
37
PRZYKAAD 6.2. Dany jest kład podstawy prostopadłościanu le\ącej na płaszczyznie pionowo
rzutującej ą (rys.6.2). Wykreślić rzuty prostopadłościanu, przy czym jego wysokość wynosi
30mm.
k2 Ax
x
B
vą
A''
B''
x
hą
D''
x
1''
C
Dx
C''
2''
3''
4''
x
Xą
3'
D'
1'
A'
4'
C'
hą
B'
2'
k1
Rys. 6.2
Na początku nale\y podnieść z kładu płaszczyznę ą, a tym samym prostokąt AxBxCxDx
będący podstawą prostopadłościanu. W wyniku tego otrzymuje się rzut pionowy A''B''C''D''
oraz poziomy A'B'C'D'. Następnie przez rzuty punktów A'', B'', C'', D'' prowadzi się proste
prostopadłe do płaszczyzny ą. Na tych prostych, w odległości 30mm od rzutu pionowego
podstawy, wyznacza się rzut pionowy 1''2''3''4'', tworząc tym samym drugą podstawę
prostopadłościanu. Prowadząc proste odnoszące prostopadłe do osi rzutów x znajdujemy rzut
poziomy 1'2'3'4'. Patrząc z przodu (w kierunku k1) widać, \e ściany 12BA oraz 24CB w rzucie
pionowym zasłaniają krawędz 3D. Patrząc z góry (w kierunku k2) widać, \e ostatnią
krawędzią jest 4C, dlatego w rzucie poziomym jest ona niewidoczna, podobnie jak
odchodzące z punktu 4 krawędzie 34 i 24.
38
m
m
0
3
PRZYKAAD 6.3. Wykreślić rzuty ostrosłupa trójściennego prawidłowego, którego jeden bok
le\y na rzutni Ą2 a podstawa na płaszczyznie dowolnej ą=hąvą (rys.8.4).
vą
co
c''
C
Ao
W
So S''
k''
A''
B
o
hą H
o
k'
B'
C'
x
Xą
W'
S'
c'
A'
H
hą
Rys. 6.3
Poniewa\ podstawa ostrosłupa le\y na płaszczyznie ą, więc najpierw nale\y wyznaczyć kład
ąo tej płaszczyzny na rzutnię Ą2. Następnie mo\na skonstruować kład podstawy ostrosłupa
trójściennego tzn. trójkąta równobocznego BCAo, tak aby jeden bok le\ał na śladzie
pionowym vą. Po podniesieniu z kładu podstawy (przy pomocy prostych czołowych),
otrzymuje się rzut pionowy BCA'' (B'=B, C'=C), poziomy B'C'A' oraz rzuty środka podstawy
S. Przez środek S prowadzi się następnie prostą k prostopadłą do podstawy, a tym samym do
płaszczyzny ą: k'Ą"hą i k''Ą"vą. Poniewa\ jest to ostrosłup prawidłowy wierzchołek W le\y na
prostej k. Ponadto z uwagi na to, \e jedna ze ścian bocznych le\y na rzutni Ą2 rzut poziomy W'
wierzchołka W znajduje się na przecięciu rzutu k' prostej k z osią rzutów x. Wierzchołek W
jest jednocześnie śladem pionowym prostej k. Odcinek WS jest wysokością szukanego
ostrosłupa. Podstawa ABC i wszystkie krawędzie ścian bocznych są widoczne w obydwóch
rzutach. Szczegółowe rozwiązanie zadania przedstawiono w załączniku 6.1.
39
6.2 PRZEKROJE WIELOŚCIANÓW
Przekrój wielościanu płaszczyzną jest zbiorem wszystkich punktów wspólnych
powierzchni wielościanu i płaszczyzny. Jest to więc wielokąt, którego boki są krawędziami
przecięcia ścian wielościanu (i ewentualnie podstaw) z płaszczyzną przekroju, a wierzchołki
punktami przecięcia krawędzi wielościanu tą płaszczyzną.
6.2.1 Przekrój wielościanu płaszczyzną rzutującą
PRZYKAAD 6.4. Dany jest graniastosłup czworokątny pochyły, którego podstawa le\y na
rzutni poziomej Ą1 (rys.6.4). Wykreślić rzuty przekroju tego graniastosłupa płaszczyzną
pionowo rzutującą �(hą, vą).
1 1 1 1
v� A'' B'' D'' C''
1''
2''
3''
4''
A''
B'' D'' C'' X
�
x
B'
1
C'
1
2'
4'
B
C
1'
A'
1
h
�
A
D'
1
3'
D
Rys. 6.4
Płaszczyzna pionowo rzutująca � przecina krawędzie boczne graniastosłupa w punktach
1, 2, 3, 4. Punkty te tworzą wielobok (przekrój) graniastosłupa i nazywa się je wierzchołkami
przekroju. Rzut pionowy przekroju le\y na śladzie pionowym v� płaszczyzny � i opisany jest
punktami 1'', 2'', 3'', 4''. Rzuty poziome 1', 2', 3', 4' wierzchołków przekroju znajdują się
bezpośrednio na rzutach poziomych odpowiednich krawędzi bocznych graniastosłupa.
40
6.2.2 Przekrój wielościanu płaszczyzną dowolną
PRZYKAAD 6.5. Dany jest rzut pionowy i poziomy graniastosłupa trójściennego prostego,
którego podstawa le\y na rzutni poziomej Ą1 (rys.6.5). Wykreślić rzuty przekroju tego
graniastosłupa płaszczyzną dowolną �(h�, v�).
2''
v
1'' �
c''
3''
X
�
x
A'' B'' C''
c'
2'
B=
h�
C 3'
=
A=
1'
Rys. 6.5
Punkty 1, 2, 3 są wierzchołkami przekroju graniastosłupa trójściennego płaszczyzną �.
Poniewa\ jest to graniastosłup prosty rzuty poziome wierzchołków 1', 2', 3' jednoczą się z
rzutami poziomymi wierzchołków obydwu podstaw. Rzuty pionowe 1'', 2'', 3'' wierzchołków
przekroju mo\na wyznaczyć wprowadzając proste czołowe przynale\ne do płaszczyzny �.
41
PRZYKAAD 6.6. Dany jest rzut poziomy i pionowy ostrosłupa trójściennego, którego podstawa
le\y na rzutni Ą1 (rys.6.6). Wykreślić rzuty przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną �(h�, v�)
równoległą do osi rzutów x.
z
�
v
Z
�
W'' W'''
k
�
1'''
1''
2''
2'''
3'''
3''
y
(Ą3
x )
B'' C''' A''' B'''
A'' C''
C
1'
A
2'
W'
3'
B
h
�
y(Ą
1
)
Rys. 6.6
Zadanie to mo\na rozwiązać wykorzystując trzecią rzutnię Ą3, poniewa\ płaszczyzna �
jest do tej rzutni prostopadła. Przekrój ostrosłupa w trzecim rzucie jednoczy się ze śladem
bocznym k� płaszczyzny �. Rzuty pionowe 1'', 2'', 3'' i poziome 1', 2', 3' wierzchołków
przekroju mo\na wyznaczyć prowadząc proste odnoszące od rzutów bocznych 1''', 2''', 3'''.
Szczegółowe rozwiązanie zadania przedstawiono w załączniku 6.2.
42
PRZYKAAD 6.7. Dany jest graniastosłup trójścienny pochyły oraz dowolna płaszczyzna �
(rys.6.7). Wykreślić rzuty przekroju graniastosłupa płaszczyzną �.
v�
C'' B''1 A''
1 1
v�
k''
2''
Vk
1''
3''
X�
x X �
C'' B'' A''
k'
I
A
C
1'
2'
A'1
Hk
C'1
B
3'
II
h
�
h�
B'1
III
Rys. 6.7
Przekrój wielościanu dowolną płaszczyzną � mo\na wykreślić traktując wierzchołki
przekroju jako punkty przebicia płaszczyzny � krawędziami wielościanu. W przykładzie tym
pierwszy wierzchołek przekroju 1 mo\na potraktować jako punkt przebicia płaszczyzny �
krawędzią AA1. Punkt ten mo\na znalezć stosując znaną metodę, wykorzystywaną przy
szukaniu punktu przebicia płaszczyzny dowolną prostą. Prowadzi się więc przez krawędz AA1
płaszczyznę pionowo rzutującą �, a następnie wyznacza krawędz k przecięcia się płaszczyzn
� i �. Punkt 1 przecięcia się krawędzi k z krawędzią AA1 jest punktem przebicia płaszczyzny
� krawędzią AA1, a tym samym pierwszym wierzchołkiem szukanego przekroju. Pozostałe
punkty 2 i 3 mo\na wyznaczyć podobnie, prowadząc przez odpowiednie krawędzie
płaszczyzny rzutujące. Szybszym sposobem jest jednak wykorzystanie powinowactwa
osiowego wierzchołków przekroju z odpowiadającymi im wierzchołkami podstawy
graniastosłupa. Mo\na zauwa\yć, \e rzutnia pozioma Ą1, płaszczyzna tnąca � i płaszczyzna
ściany bocznej ą=CC1'A1'A przecinają się w trzech krawędziach przechodzących przez
wspólny punkt I. Punkt ten wyznaczają krawędzie płaszczyzny Ą1��=h� i Ą1�ą=AC. Trzecia
krawędz ��ą=12 przejdzie więc przez punkt 1 i I. Prosta 1I le\y na płaszczyznie ściany
ą=CC1'A1'A i przecina krawędz CC1 graniastosłupa w wierzchołku 2 trójkąta przekroju.
Podobnie wyznaczany jest punkt II, w którym prosta przechodząca przez krawędz BC
przecina ślad h�. Następnie wykreśla się prostą II2', która przecina rzut poziomy BB1'
krawędzi BB1 w punkcie 3'. Otrzymane punkty 1', 2', 3' są rzutami poziomymi wierzchołków
przekroju 123. Rzuty pionowe znajdują się na odpowiednich odnoszących. Proste
przechodzące przez boki AB i 1'3' powinny przecinać się w jednym punkcie III na śladzie
poziomym h� płaszczyzny �. Szczegółowe rozwiązanie zadania przedstawiono w
załączniku 6.3.
43
6.3 PUNKT PRZEBICIA WIELOŚCIANU PROST
Punkt przebicia wielościanu prostą jest to punkt wspólny tej prostej
i ściany wielościanu (prosta nie mo\e le\eć na tej ścianie). Aby wyznaczyć punkt przebicia
wielościanu prostą m (rys.6.8) nale\y przez prostą m poprowadzić pomocniczą płaszczyznę �,
która przetnie wielościan w wielokącie 123. Następnie wyznacza się punkty przebicia J, K
będące punktami przecięcia się prostej m z bokami przekroju 123.
�
1 3
m
J K
2
Rys. 6.8
Bezpośrednie wyznaczenie punktu przebicia mo\liwe jest, gdy przebijająca prosta jest
prostą rzutującą (rys.6.9a), lub gdy przebite ściany wielościanu są rzutujące (rys.8.9b).
W pierwszym przypadku nale\y wprowadzić pomocniczą prostą k (k' przechodzi przez rzut
poziomy W' wierzchołka W oraz przez rzuty punktów przebicia J', K', które jednoczą się z
rzutem poziomym m' prostej m).
a) b)
m''
k''
W''
m''
J''
K''
J''
x
1'' K''
x
m'
1'
k'
J'=
K'
W'
m'
J'
K'
Rys. 6.9
44
PRZYKAAD 6.8. Dane są rzuty ostrosłupa trójściennego oraz rzuty prostej m (rys.6.10).
Wyznaczyć punkty przebicia ostrosłupa prostą m.
v
�
A'' B'' C''
m''
3''
K''
2''
J''
1''
X�
x
W''
A'
C'
W 3'
1' m'
K'
J'
2'
h�
B'
Rys. 6.10
Punkty przebicia J, K wielościanu prostą m mo\na wykreślić prowadząc przez prostą
płaszczyznę rzutującą �. Dzięki temu mo\na bezpośrednio znalezć wierzchołki 1, 2, 3
przekroju ostrosłupa płaszczyzną �, a następnie punkty przebicia J i K, które są punktami
przecięcia prostej m z bokami przekroju.
PRZYKAAD 6.9. Dany jest ostrosłup trójścienny, którego podstawa le\y na rzutni Ą1 oraz prosta
m (rys.6.11). Wyznaczyć punkty przebicia ostrosłupa prostą m.
Rys. 6.11
45
Ostrosłup ten ma szczególne poło\enie poniewa\ rzuty krawędzi WB są prostopadłe do x
(W''B''Ą"x i W'BĄ"x). Znalezienie wierzchołka przekroju na tej krawędzi jest niemo\liwe przy
wykorzystaniu konstrukcji z płaszczyzną rzutującą. W tym przypadku nale\y wprowadzić
pomocniczą płaszczyznę � przez prostą m i wierzchołek W ostrosłupa. Nale\y więc przez
wierzchołek W poprowadzić drugą prostą n przecinającą prostą m w punkcie R (lub
równoległą do prostej m). Proste n i m tworzą płaszczyznę �, która przecina rzutnię poziomą
Ą1 wzdłu\ śladu h�. Ślad h� przecina podstawę ostrosłupa w punktach 1 i 2, które są dwoma
wierzchołkami przekroju. Poniewa\ płaszczyzna � przechodzi równie\ przez wierzchołek W
tak więc jest on trzecim wierzchołkiem przekroju. Aącząc punkty 1, 2 i W' otrzymuje się rzut
poziomy przekroju ostrosłupa płaszczyzną �. Punkty przecięcia w rzucie poziomym prostej m
z bokami przekroju są punktami przebicia J i K ostrosłupa prostą m. Rzuty pionowe tych
punktów znajdują się na przecięciu prostych odnoszących z rzutem pionowym m'' prostej m.
Szczegółowe rozwiązanie zadania przedstawiono w załączniku 6.4.
6.4 PRZENIKANIE WIELOŚCIANÓW
Część wspólną dwu powierzchni (zbiór wszystkich punktów wspólnych obu
powierzchni) nazywa się linią przenikania powierzchni. Gdy wezmie się pod uwagę
wielościany, to do linii przenikania nale\ą punkty przebicia krawędzi jednego wielościanu ze
ścianami drugiego (i odwrotnie), zwane wierzchołkami linii przenikania oraz krawędzie,
w których przecinają się ściany wielościanów tzw. boki linii przenikania. Wierzchołki i boki
linii przenikania tworzą wielokąt przenikania.
W rozdziale tym opisane zostały elementarne przykłady przenikania wielościanów. Nie
wymagają one wprowadzania pomocniczej siatki ułatwiającej wyznaczenie wielokąta
przenikania.
PRZYKAAD 6.10. Dane są rzuty poziome oraz pionowe graniastosłupa sześciościennego
prawidłowego o podstawie le\ącej na rzutni Ą1 i graniastosłupa trójściennego prawidłowego o
krawędziach bocznych równoległych do osi rzutów x (rys.6.12). Wyznaczyć rzuty linii
przenikania tych graniastosłupów.
z
3''
4''
3'''
4'''
11'''
9''
11'' 9'''
5'''
5'' 7''
7'''
1''' 10'''
6'''
10'' 1'' 6'' 8'' 2'' 12'' 2''' 12''' 8'''
y(Ą3
)
x
1'
2'
10' 9' 12'
11'
3' 4'
5' 7'
8'
6'
(
y Ą1 )
Rys. 6.12
46
Wierzchołkami linii przenikania są punkty przebicia ścian bocznych graniastosłupa
sześciościennego krawędziami drugiego graniastosłupa (punkty 1, 2, 3, 4) i odwrotnie
(pozostałe punkty). Poniewa\ krawędzie graniastosłupa sześciościennego są prostopadłe do
rzutni Ą1 wyznaczenie rzutu poziomego linii przenikania nie stwarza problemu, gdy\
jednoczy się on z rzutem poziomym podstawy tego graniastosłupa.
Aby wykreślić rzut pionowy linii przenikania nale\y wykorzystać rzut boczny obydwóch
graniastosłupów. W rzucie tym krawędzie graniastosłupa trójściennego są rzutujące, dzięki
czemu rzuty boczne: linii przenikania i podstawy graniastosłupa trójściennego jednoczą się.
Wyznaczenie rzutów pionowych wierzchołków linii przenikania polega na poprowadzeniu
odpowiednio prostych odnoszących od rzutów poziomych i bocznych tych punktów. Na
koniec nale\y jeszcze określić widoczność odpowiednich boków linii przenikania.
Szczegółowe rozwiązanie zadania przedstawiono w załączniku 6.5.
PRZYKAAD 6.10. Dane są rzuty graniastosłupa ośmiościennego prawidłowego oraz ostrosłupa
czterościennego prawidłowego o podstawie le\ącej na rzutni Ą1 (rys.6.13). Wyznaczyć rzuty
linii przenikania tych graniastosłupów.
Rys. 6.13
Krawędzie ostrosłupa przebijają odpowiednie ściany boczne graniastosłupa w punktach
1, 2, 3, 4. Poniewa\ ściany te są poziomo rzutujące, punkty te są miejscami przecięcia (w
rzucie poziomym) krawędzi ostrosłupa ze ścianami bocznymi graniastosłupa. Rzuty pionowe
1'', 2'', 3'', 4'' punktów przebicia (wierzchołków linii przenikania) znajdują się odpowiednio
na rzutach pionowych krawędzi ostrosłupa. Pozostałe wierzchołki 5�12 są punktami przebicia
ścian ostrosłupa krawędziami graniastosłupa. Rzuty poziome tych punktów jednoczą się z
wierzchołkami podstawy graniastosłupa. Poniewa\ ściany boczne ostrosłupa WAB i WDC są
płaszczyznami pionowo rzutującymi, rzuty pionowe punktów przebicia 5'', 6'' i 9'', 10'' są
punktami przecięcia rzutów pionowych krawędzi graniastosłupa z rzutami pionowymi ścian
ostrosłupa. Poniewa\ są to wielościany prawidłowe wysokości punktów 7, 12 oraz 8, 11 są
takie ja wysokości punktów 5, 6, 9, 10.
47
7 PRZENIKANIE POWIERZCHNI
7.1 PRZENIKANIE DWÓCH POWIERZCHNI OBROTOWYCH
Zbiór punktów wspólnych dwóch powierzchni nosi nazwę linii przenikania tych
powierzchni. Linia przenikania jest krzywą przestrzenną.
Punkty linii przenikania mo\na wyznaczyć za pośrednictwem:
- pomocniczych płaszczyzn siecznych,
- pomocniczych kul.
W obydwu przypadkach konstrukcja składa się z kilku etapów:
a) wprowadzenie płaszczyzny (bądz kuli),
b) wyznaczenie przekrojów powierzchni wprowadzoną płaszczyzną (dla kuli nale\y
wyznaczyć linie przenikania kuli z ka\dą z powierzchni),
c) punkty wspólne wyznaczonych przekrojów (lub linii przenikania) wyznaczają szukaną
linię przenikania powierzchni.
Przy dobieraniu płaszczyzn siecznych nale\y pamiętać o tym, aby przekrój płaszczyzny z
ka\dą z powierzchni był łatwy do wyznaczenia w rzutach (np. okrąg, linie proste). Z kolei w
przypadku kul linia przenikania kuli z ka\dą z płaszczyzn powinna być okręgiem.
Przykłady przedstawione w dalszej części podrozdziału zostały tak dobrane, aby
wyznaczenie punktów linii przenikania mogło być zrealizowane za pomocą płaszczyzn
siecznych.
Na rys.9.1a przedstawiono poglądowo konstrukcję punktów 1 i 2 linii przenikania dwóch
powierzchni sto\kowych �1 i �2. Płaszczyzna sieczna ł, równoległa do rzutni Ą1, przecina
powierzchnie �1 i �2 odpowiednio w okręgach k1 i k2, których rzuty poziome k1' i k2' są
równie\ okręgami. Punkty przecięcia 1' i 2' okręgów k1' i k2' pozwalają wyznaczyć punkty 1
i 2 szukanej linii przenikania. Rys.7.1b przedstawia to samo w rzutach w układzie x(Ą1, Ą2).
W''
b) 2
a)
W''
1
�2
�1
v =ł''
ł k'' k''
2 1
1'' 2''
2 ł
k1 k2 x
1
k'
2
2'
2'
Ą1
k' W'
2 2 k'
k'
1 1
W'
1
1'
1'
Rys. 7.1
48
PRZYKAAD 7.1. Wykreślić rzuty linii przenikania dwóch powierzchni walcowych obrotowych
�1 i �2, których osie l i m przecinają się w punkcie R (rys.7.2).
Punkty linii przenikania mo\na wyznaczyć za pośrednictwem płaszczyzn siecznych
poziomo rzutujących (punkty 1�4 za pomocą płaszczyzny ł1). Płaszczyzna ł1 przecina
powierzchnię �1 w prostych p i q, natomiast powierzchnię �2 w prostych r i s. Proste p i q
oraz r i s obrazują przekroje analizowanych powierzchni płaszczyzną ł1. Rzuty prostych p i q
otrzymuje się bezpośrednio. Rzuty poziome s' i r' prostych s i r pokrywają się z hł1, natomiast
rzuty pionowe s'' i r'' mo\na wyznaczyć przy pomocy kładu k1x kierownicy k1 powierzchni �1
na pomocniczą płaszczyznę poziomą Ć.
Punkty 1�4 znajdują się na przecięciu odpowiednich prostych: punkt 1 proste p i r,
punkt 2 proste p i s, punkt 3 proste q i r, punkt 4 proste q i s. Punkty graniczne 5�8
konstruuje się za pośrednictwem płaszczyzn poziomo rzutujących stycznych do �2 (np.
płaszczyzna ł2), natomiast punkty 9�12 za pomocą płaszczyzny zawierającej oś m
powierzchni �2.
Pozostałe punkty linii przenikania konstruuje się analogicznie. Im więcej wprowadzonych
płaszczyzn siecznych tym linia przenikania jest wyznaczona dokładniej. Szczegółowe
rozwiązanie zadania przedstawiono w załączniku 7.1.
''
�1
l''
p'' q''
11''
9''
r''
''
�2
1'' 3''
a2
a1
v = ''
�
�
5'' 8''
m'' 7'' 6''
R''
a1 a2
k''
1
2'' s'' 4''
10'' 12''
x
hł2
s'=r'=h 1
ł
m'
5'
'
�1
1'=2'=p'
9'=10'
'
�2
7'
6'
l'=R'
a2
3'=4'=q' a1
11'=12'
8'
k'
1
x
k1
Rys. 7.2
49
PRZYKAAD 7.2. Wykreślić rzuty linii przenikania dwóch powierzchni walcowych obrotowych
�1 i �2 stycznych w punkcie 1 (rys.7.3).
z
''
�1
'''
�1
2'''
''
�2
2'' 4'' 4'''
1''
1'''
6'''
7''
6''
'''
�2
7'''
5''
3'''
3''
5'''
y
x
'
�1 7'
6'
'
h =ł3
ł3
ł2 2'=3'
h = '
ł2
4'=5'
ł1
h = '
ł1
1'
' y
�2
Rys. 7.3
Punkty linii przenikania mo\na wyznaczyć za pośrednictwem płaszczyzn czołowych, np.
punkty 2�5 płaszczyzna ł2. Punkty graniczne 1, 6 i 7 wyznacza się za pomocą płaszczyzn
czołowych ł1 i ł3 stycznych do powierzchni �2. Rzuty poziome tych punktów le\ą na śladach
poziomych odpowiednich płaszczyzn siecznych. Aby wyznaczyć rzuty pionowe mo\na
skorzystać z faktu, \e powierzchnia �2 jest bocznie rzutująca. Po wyznaczeniu rzutów
bocznych obydwu powierzchni, punktów oraz śladów bocznych płaszczyzn siecznych,
szukane rzuty pionowe punktów mo\na wykreślić za pomocą odpowiednich prostych
odnoszących.
50
'''
1
2
ł
ł
ł
'''
2
1
3
3
ł
ł
ł
k =
k = '''
k =
PRZYKAAD 7.3. Wykreślić rzuty linii przenikania powierzchni sto\kowej obrotowej �1 z
powierzchnią kuli �2 (rys.7.4).
W''
1''
v =ą''
k'' k''
ą 1 2
3''=4''
�2''
O''
2''
''
�1
x
�2'
�1'
4'
h �=
�'
1' 2'
W' O'
k'
1
3'
k'
2
Rys. 7.4
Punkty linii przenikania mo\na skonstruować za pośrednictwem płaszczyzn poziomych.
Przekrój powierzchni kuli płaszczyzną poziomą ą jest okręgiem k1, natomiast przekrój
powierzchni sto\kowej jest okręgiem k2. Punkty 3 i 4 wspólne okręgów k1 i k2 są szukanymi
punktami linii przenikania. Kolejne punkty wyznacza się w analogiczny sposób. Punkty
szczególne: najwy\szy 1 i najni\szy 2 wyznacza się za pośrednictwem płaszczyzny czołowej
�.
7.2 PRZENIKANIE POWIERZCHNI Z WIELOŚCIANAMI
Zbiór punktów wspólnych powierzchni i ścian wielościanu nosi nazwę linii przenikania
tej powierzchni i tego wielościanu.
Krawędzie wielościanu przebijają powierzchnię w punktach, a ściany wielościanu w
krzywych. Konstrukcja punktów linii przenikania, w przypadku ogólnym, polega więc na
wyznaczeniu:
a) punktów przebicia powierzchni krawędziami wielościanu,
b) punktów przebicia ścian wielościanu liniami zarysu powierzchni,
c) punktów przebicia powierzchni kilkoma prostymi obranymi na odpowiednich
ścianach wielościanu albo punktów przebicia odpowiednich ścian wielościanu
kilkoma liniami przyjętymi na powierzchni.
51
Linię przenikania mo\na tak\e skonstruować posługując się pomocniczymi
płaszczyznami siecznymi. Punkty wspólne odpowiednich par przekrojów są punktami linii
przenikania. Ten sposób wykorzystany został w przykładach zamieszczonych w dalszej części
tego podrozdziału.
PRZYKAAD 7.4. Wykreślić rzuty linii przenikania powierzchni sto\kowej obrotowej z
pobocznicą graniastosłupa czterościennego prawidłowego (rys.7.5).
W''
ł1 1'' 2''=4'' 3''
vł1= ''
''
vł2= ł2 11'' 5''
6''
7''
ł3 12'' 10''
vł3= '' 9'' 8''
A''=B''
C''=D''
x
5' 6'
B' C'
2'
7'
12'
1' 3'
W'
11'
8'
4'
D'
9'
A' 10'
Rys. 7.5
Punkty linii przenikania mo\na skonstruować za pośrednictwem płaszczyzn poziomych.
Przecinają one powierzchnię sto\kową w okręgach, natomiast graniastosłup w kwadratach
pokrywających się w rzucie poziomym z kwadratem A'B'C'D'. Punkty 1�4 otrzymuje się
dzięki płaszczyznie ł1, punkty 5�12 dzięki płaszczyznie ł2, punkty A�D dzięki
płaszczyznie ł3. Nale\y zwrócić uwagę, \e linia przenikania składa się w tym przypadku z
odcinków łukowych czterech hiperbol.
52
PRZYKAAD 7.5. Wykreślić rzuty linii przenikania powierzchni sto\kowej obrotowej z
pobocznicą graniastosłupa czterościennego prostego (rys.7.6).
W''
vł
vą=ą'' k''
3''=4''
1
v�
=�'' k''
1''=2''
2
k''
3
x
2'
k'
4'
1
W'
k'
k' 3
2
3'
1'
Rys. 7.6
Linię przenikania mo\na wyznaczyć przy pomocy płaszczyzn czołowych (ą, �) oraz
płaszczyzny pionowo rzutującej ł poprowadzonych przez odpowiednie ściany wielościanu.
Płaszczyzny ą i � przecinają powierzchnię sto\kową w okręgach k1 i k2, których łuki 12 i 34
nale\ą do linii przenikania. Płaszczyzna ł przecina powierzchnię sto\kową w hiperboli k3,
której odcinki łukowe 13 i 24 nale\ą do linii przenikania.
Przykład ten pokazuje, \e linię przenikania mo\na wyznaczyć bardzo szybko, jeśli zna się
typ krzywej (np. elipsa, hiperbola, parabola, okrąg) powstającej po przecięciu danej
powierzchni płaszczyzną poprowadzoną przez określoną ścianę wielościanu.
Oczywiście to samo rozwiązanie mo\na uzyskać stosując odpowiednio du\ą liczbę
poziomych płaszczyzn siecznych (pomiędzy ą i �).
53
8 RZUTY PROSTOKTNE NA SZEŚĆ RZUTNI
Rzuty prostokątne na sześć rzutni polegają na wyznaczeniu wzajemnie prostopadłych
rzutów, zakładając, \e przedmiot ustawiony jest między obserwatorem i rzutnią, czyli wg tzw.
metody europejskiej (rys.8.1a). Rzutnie te tworzą prostopadłościan (lub sześcian), po
rozwinięciu którego otrzymuje się układ rzutów jak na rys.8.1b. Na rysunkach technicznych
pomija się kreślenie zarysów rzutni oraz zaznaczanie osi rzutów między poszczególnymi
rzutami.
a)
rzutnia dla
kierunku A
F
B
D
C
A
b)
E
E
F D A C F
B
Rys. 8.1
Istnieje równie\ metoda amerykańska rzutowania na ściany sześcianów. W metodzie tej
rzutnia znajduje się pomiędzy przedmiotem a obserwatorem. Metoda ta stosowana jest w
rysunku technicznym maszynowym np. do rysowania widoków cząstkowych
PRZYKAADY. Wykreślić rzuty prostokątne na sześć rzutni przedmiotów przedstawionych na
rysunkach 8.2 � 8.8 stosując metodę europejską. Dokładny kształty przedmiotów
przedstawione są w rzutach aksonometrycznych (rys. b)
W pierwszych dwóch przykładach (rys.8.2, 8.3) zostały narysowane zarysy rzutni oraz
najistotniejsze linie pomocnicze, "wią\ące" poszczególne rzuty, w celu lepszego zrozumienia
zagadnienia. W trzecim przykładzie (rys.8.4) zaznaczono natomiast tylko istotne linie
pomocnicze.
54
b)
a)
Rys. 8.2
b)
a)
Rys. 8.3
55
b)
a)
Rys. 8.4
b)
a)
Rys. 8.5
56
b)
a)
Rys. 8.6
b)
a)
Rys. 8.7
57
9 AKSONOMETRIA
Poni\sze zagadnienia dotyczące rzutów aksonometrycznych zostały opracowane na podstawie
aktualnej normy PN-EN ISO 5456-3:2002.
W rysunku technicznym zalecane jest stosowanie następujących rodzajów aksonometrii:
1. Aksonometria ukośna
2. Aksonometria izometryczna
3. Aksonometria dimetryczna
W aksonometrii modele w układzie przestrzennym XYZ przedstawiane są w płaszczyznie
rysunku w zrzutowanym układzie X Y Z . Długości jednostkowe uX, uY, uZ na trzech osiach
współrzędnych X, Y, Z są odpowiednio rzutowane na płaszczyznę rysunku jako trzy odcinki
uX , uY , uZ o jednakowej długości lub odpowiednio skrócone.
9.1 AKSONOMETRIA UKOŚNA
Mo\na wyró\nić dwa rodzaje aksonometrii ukośnej:
a) aksonometria kawalerska,
b) aksonometria wojskowa (planometryczna).
Aksonometria kawalerska
Umo\liwia przedstawienie bryły (elementu maszynowego) w aksonometrycznym
układzie współrzędnym, w którym osie aksonometryczne pozioma X i pionowa Z tworzą
kat prosty a oś Y mo\e mieć kierunek dowolny. Oś Y najczęściej nachylona jest pod kątem
� = 45o (rys. 9.1).
Rys. 9.1
Figury płaskie le\ące na płaszczyznie ZX oraz na płaszczyznach do nich równoległych
rysuje się bez zniekształceń, bez skróceń aksonometrycznych. Szczególnie jest to korzystne w
przypadku rysowania elementów, w których występuje du\o okręgów.
Mo\na rozró\nić dwa przypadki aksonometrii kawalerskiej:
a) bez skróceń aksonometrycznych wówczas stosunek trzech podziałek wynosi
uX : uY : uZ = 1:1:1
b) ze skróceniem aksonometrycznym 0.5 wzdłu\ osi Y wówczas stosunek trzech podziałek
wynosi uX : uY : uZ = 1:0.5:1
58
Przykład modelu przedstawionego z wykorzystaniem aksonometrii kawalerskiej ze skrótem
aksonometrycznym 0.5 wzdłu\ osi Y przedstawia rysunek 9.2.
Rys. 9.2
Aksonometria wojskowa (planometryczna)
Stosowana jest najczęściej do poglądowego przedstawienia obiektów budowlanych.
W aksonometrii tej płaszczyzna rzutu jest równoległa do poziomej płaszczyzny
współrzędnych X Y . Osie te tworzą kąt prosty. Oś Z rysuje się pionowo, oś X nachylona
do poziomu pod katem ą=0o�180o a oś Y pod kątem �=90o-ą. Rzuty wykonuje się bez
skróceń aksonometrycznych tak więc uX : uY : uZ = 1:1:1 (rys. 9.3).
Rys. 9.3
Istnieje mo\liwość zastosowania skrótu aksonometrycznego jedynie wzdłu\ osi Z wówczas
uX : uY : uZ = 1:1:2/3
59
9.2 AKSONOMETRIA IZOMETRYCZNA
Aksonometria izometryczna jest aksonometrią prostokątną, w której płaszczyzna rzutu
tworzy trzy równe kąty z trzema osiami współrzędnych X, Y i Z.
Trzy odcinki o długościach jednostkowych uX, uY, uZ są odpowiednio rzutowane prostopadle
na płaszczyznę rzutu na rzutach osi X , Y i Z jako trzy równe odcinki uX , uY , uZ o
długościach uX = uY = uZ = (2/3)1/2 = 0.816 (rys. 9.4).
Rys. 9.4
W praktyce na rysunku odcinki o długościach jednostkowych na osiach X , Y i Z są
przyjmowane jako uX = uY = uZ = 1. Wymiary przedmiotu zwiększone są wówczas
współczynnikiem (3/2)1/2=1,225
9.3 AKSONOMETRIA DIMETRYCZNA
W aksonometrii di metrycznej stosunek trzech podziałek wynosi uX : uY : uZ = 1/2:1:1.
Os Y nachylona jest do poziomu pod kątem ą=7o,a os Y pod kątem �=42o (rys. 9.5).
Rys. 9.5
60
10 DOKUMENTACJA TECHNICZNA WYROBU
10.1 ARKUSZE RYSUNKOWE
Wymiary i układ arkuszy rysunkowych opisano na podstawie obowiązujących norm:
PN-EN ISO 5457:2002,(EN ISO 5457:1999).
Rozmiar arkusza rysunkowego powinien być jak najmniejszy z mo\liwych, ale tak
dobrany aby zapewnił uzyskanie niezbędnej czytelności rysunku. Ka\dy arkusz rysunkowy
powinien posiadać ramkę pola rysunkowego oddzielającą pole rysunkowe od obramowania.
Rodzaje formatów rysunkowych typu A oraz wymiary pola rysunkowego przedstawia
tabela 10.1.
Obramowanie od lewego brzegu, łącznie z ramką, powinno mieć szerokość 20 mm
(mo\e słu\yć jako margines do wpinania arkuszy). Wszystkie inne obramowania mają
szerokość 10 mm (rys. 10.1). Ramka ograniczająca pole rysunkowe powinna być wykonana
linią ciągłą o grubości 0,7 mm.
Tab. 10.1.Wymiary formatów i pól rysunkowych
Arkusz obcięty Pole rysunkowe Arkusz nieobcięty
Oznaczenie Rysunek
a1 a2 ą0,5 a3 ą2
b1 b2 ą0,5 b3 ą2
A0 1 841 1 189 821 1 159 880 1 230
A1 1 594 841 574 811 625 880
A2 1 420 594 400 564 450 625
A3 1 297 420 277 390 330 450
A4 2 210 297 180 277 240 330
a) b)
Rys. 10.1. Wymiary pola rysunkowego: a) od A3 do A0, b) dla formatu A4
Niekiedy zachodzi konieczność zastosowania formatów wydłu\onych jednak zaleca
się unikania takiego rozwiązania. W razie potrzeby są one tworzone m.in. z kombinacji
wymiarów krótszego boku formatu serii A (np. A2) z wymiarami dłu\szego boku innego,
większego formatu serii A (np. A1). W wyniku powstaje nowy format, o oznaczeniu A2.1.
Budowę systemów formatów przedstawiono na rysunku 10.2.
61
Rys. 10.2. System wydłu\onych formatów rysunkowych
W celu łatwiejszej lokalizacji szczegółów obramowanie arkusza powinno być
podzielone na pola tworzące system siatki odniesienia (rys. 10.3). Zaleca się oznaczanie pól
na wszystkich bokach arkusza w obramowaniu: pola pionowe - wielkie litery (bez I i O), pola
poziome cyfry (na A4 opis tylko na górnym i prawym boku obramowania). Wielkość liter i
znaków 3,5 mm; długość pola 50 mm. Linie systemu odniesienia, to linie ciągłe o grubości
0,35 mm.
Rys. 10.3. System siatki odniesienia: 1 granica formatu arkusza rysunkowego, 2 obramowanie , 3 system
siatki odniesienia, 4 ramka pola rysunkowego, 5 pole rysunkowe, 6 obramowanie arkusza przed obcięciem
do właściwego formatu
Początek podziału pól od znaków centrujących oraz liczba pól zale\y od przyjętego
formatu (tab. 10.2).
Tab. 10.2. Liczba pól siatki odniesienia
Oznaczenie A0 A1 A2 A3 A4
bok długi 24 16 12 8 6
bok krótki 16 12 8 6 4
62
Format arkuszy rysunkowych wkładanych do kopert lub teczek składa się na format
zasadniczy A4. W pierwszej kolejności nale\y przeprowadzać składanie w harmonijkę
wzdłu\ wyobra\alnych linii prostopadłych do podstawy arkusza określonej poło\eniem
tabliczki rysunkowej (odległość 210mm), a następnie wzdłu\ wyobra\alnych linii poziomych
(odległość 297mm). Arkusze po zło\eniu powinny mieć tabliczkę rysunkową na stronie
wierzchniej. Kolejność składania linii (od 1 do 7) dla formatu A0 przedstawia rysunek 10.4
Rys. 10.4. Składanie formatów arkuszy rysunkowych na przykładzie A0
10.2 TABLICZKA RYSUNKOWA
Tabliczkę rysunkową na formatach od A0 do A3 umieszcza się w prawym dolnym
rogu pola rysunkowego. Dla tych formatów są zalecane tylko arkusze usytuowane poziomo.
Dla formatu A4 tabliczka rysunkowa jest umieszczona na krótszej (dolnej) części pola
rysunkowego. Arkusze tego formatu są usytuowane tylko pionowo (rys. 10.1).
Wymiary i układ tabliczek rysunkowych
Mo\na wyró\nić następujące rodzaje tabliczek rysunkowych:
1) Tabliczka podstawowa zawiera najwięcej informacji. Stosowana w rysunkach
wykonawczych, zło\eniowych, monta\owych. Wysokość większa od 55mm
2) Tabliczka zmniejszona stosowana na rysunkach schematycznych lub dokumentach
tekstowych. Wysokość większa od 40mm.
3) Tabliczka uproszczona stosowana na drugich i kolejnych arkuszach rysunków i
schematów oraz dokumentach tekstowych. Wysokość większa od 15mm
63
W celu ujednolicenia, informacje umieszczane na tabliczce tytułowej powinny być
pogrupowane w prostokątnych strefach:
1) strefa identyfikacyjna;
2) jedna lub więcej stref dla dodatkowych informacji; strefy te powinny być umiejscowione
nad i/lub po lewej stronie strefy identyfikacyjnej.
Strefa identyfikacyjna powinna podawać następujące informacje podstawowe (rys. 10.5):
a) numer rejestracyjny lub identyfikacyjny - powinien być umieszczony w prawym dolnym
rogu strefy identyfikacyjnej,
b) tytuł rysunku - powinien funkcjonalnie oddawać jego zawartość (opis elementu lub podze-
społu),
c) nazwę prawnego właściciela rysunku (firmy, spółki, przedsiębiorstwa itp.) - mo\e być
nazwą oficjalną, skróconą nazwą handlową lub znakiem firmowym.
a) b) c)
Rys. 10.5.Przykłądy rozmieszczenia informacji w strefie identyfikacyjnej
Strefa identyfikacyjna powinna być umiejscowiona w prawym dolnym rogu tabliczki
tytułowej i wykonana w sposób przyciągający uwagę przez obramowanie linią ciągłą o
grubości takiej samej jak obramowanie arkusza (patrz ISO 5457). Strefa identyfikacyjna
powinna być widoczna na pierwszej stronie zło\onego arkusza.
Strefy informacji dodatkowych. Informacje, które mają być umieszczone w tych strefach,
dzieli się na:
1) wskazówki - symbol oznaczający metodę rzutowania, podstawową podziałkę, format
arkusza, jednostkę długości (jeśli jest inna ni\ mm),
2) dane techniczne - sposób określania wykończenia powierzchni, sposób określania
tolerancji geometrycznej, przyjęte wartości tolerancji podstawowych,
3) dane porządkowe - daty, symbole, opis weryfikacji, inne, np. podpisy osób
odpowiedzialnych za kontrolę i wykonanie.
Rysunki wieloarkuszowe
Ka\dy kolejny z arkuszy rysunku powinien być oznaczony tym samym numerem
rejestracyjnym lub identyfikacyjnym oraz wyró\niony przez podanie kolejnego numeru
arkusza łamanego przez całkowitą liczbę arkuszy: Arkusz nr n/p", gdzie: n - numer arkusza,
p - całkowita liczba arkuszy. Przykład tabliczki uproszczonej stosowanej w rysunkach
wieloarkuszowych przedstawia rysunek 10.6.
12.57456
Arkusz 3/5
Rys. 10.6.Przykład tabliczki uproszczonej stosowanej w rysunkach wieloarkuszowych
64
Skrócone tabliczki tytułowe, zawierające tylko strefę identyfikacyjną, mogą być
stosowane na wszystkich arkuszach, z wyjątkiem pierwszego.
10.3 LINIE RYSUNKOWE
W rysunku technicznym maszynowym stosowane są grubości linii: 0,13; 0,18; 0,25;
0,35; 0,5; 0,7; 1; 1,4; 2 mm. Ró\nica grubości pomiędzy linią grubą a cienką jest dwukrotna.
Zalecane pary grubości linii to: 0,5 i 0,25 oraz 0,7 i 0,35.
Rodzaje linii i ich zastosowanie (rys. 10.7):
1 - linia ciągła gruba: widoczne krawędzie i zarysy, wierzchołki gwintu i granica długości
gwintu pełnego,
2 - linia ciągła cienka: linie wymiarowe, kreskowanie, dno bruzdy gwintu, obramowanie
szczegółów,
3 - linia ciągła cienka odręczna: zakończenie cząstkowych widoków, przekrojów,
4 - linia cienka z długą kreską i kropką: linie środkowe, symetrii, okręgi podziałowe otworów
i kół,
5 - linia kreskowa cienka: niewidoczne krawędzie i zarysy.
Rys. 10.7.Rodzaje linii rysunkowych: 1 - linia ciągła gruba, 2 - linia ciągła cienka, 3 - linia ciągła cienka
odręczna, 4 - linia cienka z długą kreską i kropką, 5 - linia kreskowa cienka
10.4 PODZIAAKA RYSUNKOWA
Podziałka rysunkowa określa stosunek wymiaru liniowego elementu przedmiotu
przedstawionego na oryginale rysunku do wymiaru tego samego elementu na rzeczywistym
przedmiocie. Mo\na wyró\nić dwa rodzaje podziałki:
- podziałka główna dotycząca całego przedmiotu, której wartość podaje się w tabliczce
rysunkowej,
- podziałka szczegółu dotycząca zaznaczonego fragmentu (szczegółu) rzutu słu\ąca do
powiększenia nieczytelnych elementów rysunku, której wartość podaje się nad
powiększonym fragmentem (rys.10.8).
65
Rys. 10.8.Wykorzystanie podziałki szczegółu
Podziałki zalecane do stosowania na rysunkach technicznych:
- zwiększające: 50:1, 20:1, 10:1, 5:1, 2:1,
- naturalna: 1:1,
- zmniejszające: 1:2, 1:5, 1:10, 1:20, 1:50, 1:100, 1:200, 1:500, 1:1000, 1:2000, 1:5000,
1:10000.
Podany szereg podziałek mo\na poszerzyć o całkowite wielokrotności 10.
W wyjątkowych przypadkach, je\eli z przyczyn praktycznych nie mo\na u\yć zalecanych
podziałek, mo\na zastosować wartości pośrednie.
10.5 PISMO TECHNICZNE
Pismo techniczne określają następujące normy:
PN-EN ISO 3098-0:2002 - zasady ogólne, PN-EN ISO 3098-2:2002 - alfabet łaciński, cyfry i
znaki.
Szereg wysokości pisma stosowanego w rysunku technicznym maszynowym:
1,8; 2,5; 3,5; 5; 7; 10; 14; 20 mm.
Mo\na wyró\nić następujące rodzaje pisma:
- rodzaj A (wysokość = 14 x grubość linii) proste (V) i pochyłe (S),
- rodzaj B (wysokość = 10 x grubość linii) proste (V) i pochyłe (S).
Wysokość pisma powinna być dobrana od wielkości formatu rysunku.
W rysunku technicznym maszynowym uprzywilejowane jest pismo proste rodzaju B
(rys.10.9)
Rys. 10.9.Przykład pisma technicznego prostego rodzaju B
66
11 PRZEKROJE
Rzutami przedmiotu mogą być zarówno widoki przedstawiające ich zewnętrzne
kształty jak i przekroje, które pokazują budowę wewnętrzną przedmiotu.
Liczba rzutów powinna być ograniczona do minimum niezbędnego do jednoznacznego
przedstawienia kształtu przedmiotu. Najczęściej wykorzystuje się trzy rzuty główne.
Rzuty główne powinny jeśli jest to mo\liwe przedstawiać przedmiot w poło\eniu jakie on ma
zajmować w rzeczywistości - poło\enie u\ytkowe, widziany od strony uwidaczniającej
najwięcej jego cech charakterystycznych.
Przekrój powstaje przez przecięcie przedmiotu wyobra\alną płaszczyzną przekroju.
Jedną część (od strony strzałek) odrzucamy, a pozostałą część obracamy zgodnie z zasadami
rzutowania europejskiego (rys.11.1). Informacje o zarysie zewnętrznym zawarte w
przekrojach na ogół wystarczają do odczytania kształtu zewnętrznego przedmiotu.
Rys. 11.1
Ślady początku i końca płaszczyzny przekroju, która jest prostopadła do rzutni
oznacza się krótkimi odcinkami linii punktowej grubej. Linie te nie mogą przecinać zarysu
przedmiotu. Kierunek rzutowania przekroju zaznacza się dwoma strzałkami rysowanymi linią
grubą. W przypadku przedstawienia kilku przekrojów na jednym rysunku płaszczyznę nale\y
opisać dwoma jednakowymi du\ymi literami alfabetu łacińskiego (z wyjątkiem I,O,R,Q,X) a
po wyczerpaniu takiej mo\liwości kombinacją liter i cyfr (rys.11.3).
Pola przekroju, które powstały w wyniku przecięcia materiału przedmiotu kreskuje się
linią ciągłą cienką przewa\nie pod kątem 45O do podstawy rysunku określonej poło\eniem
tabliczki rysunkowej, do zarysu przedmiotu (rys.11.2a) lub do osi przedmiotu (rys. 11.2b).
Zagięte przedmioty mo\na kreskować pod katem 30O (rys. 11.2c). Elementy le\ące za
płaszczyzna przekroju nale\y narysować w widoku.
a)
b) c)
Rys. 11.2
67
W przekrojach ró\nych elementów np. na rysunku zło\eniowym kreskowanie
powinno ró\nić się kątem nachylenia lub podziałką. Kilka przekrojów tego samego
przedmiotu powinny być jednakowo kreskowane tzn. z zachowaniem tej samej podziałki i
tego samego kąta nachylenia.
Przekroje wę\sze ni\ 2 mm dowolnej części mo\na zaczernić. Między dwoma elementami
zaciemnionymi musi być wykonany prześwit.
Przekroje mo\na podzielić w zale\ności od:
I Poło\enia płaszczyzny przekroju względem rzutni:
1. Przekrój pionowy płaszczyzna przekroju jest prostopadła do płaszczyzny rzutu z
góry (rys.11.3a przekrój A-A)
2. Przekrój poziomy płaszczyzna przekroju jest równoległa do płaszczyzny rzutu z
góry (rys.11.3a przekrój B-B)
3. Przekrój ukośny (rys.11.4)
Rys. 11.3
Rys. 11.4
68
II Poło\enia płaszczyzny przekroju względem przedmiotu:
1. Przekrój podłu\ny (rys.11.5) płaszczyzna przekroju prowadzona jest wzdłu\ lub
równolegle do osi geometrycznej przedmiotu.
2. Przekrój poprzeczny (rys.11.6) płaszczyzna przekroju prowadzona jest prostopadle
do osi geometrycznej przedmiotu.
Rys. 11.5
Rys. 11.6
III Liczby płaszczyzn przekroju:
1. Przekrój prosty przedmiot przekrojony jest jedną płaszczyzną przekroju.
2. Przekrój zło\ony powstaje przez połączenie kilku przekrojów prostych
prostopadłych do tej samej rzutni.
Płaszczyzny w przekroju zło\onym nale\y tak poprowadzić, aby objęły one po
jednym elemencie z grupy elementów o tych samych cechach konstrukcyjnych.
Wystarczy więc przekroić m.in. jeden otwór z grupy tych samych otworów.
Ślady załamania płaszczyzny w przekroju zło\onym prowadzi się pod kątem
prostym lub rozwartym. Ślady te przedstawia się w postaci odcinków o długości 5mm
rysowanych linią ciągłą grubą. Mogą one wewnątrz rzutu przecinać się z krawędziami
lecz nie mogą z nimi się pokrywać.
69
Mo\na rozró\nić następujące przekroje zło\one:
a) przekrój stopniowy (rys.11.7) polega na przecięciu przedmiotu płaszczyznami
poziomymi lub pionowymi równoległymi do siebie połączonymi ze sobą
płaszczyznami do nich prostopadłymi.
b) przekrój łamany (rys.11.8) polega na przecięciu przedmiotu płaszczyznami
poziomymi lub pionowymi oraz ukośnymi przecinającymi się pod katem rozwartym.
Rys. 11.7
Rys. 11.8
W przypadku przekrojów zło\onych po przekrojeniu przedmiotu nale\y wszystkie
płaszczyzny sprowadzić do jednej wspólnej. W przypadku przekroju stopniowego dokonuje
się to poprzez przesuniecie płaszczyzn przekroju a w przypadku przekroju łamanego poprzez
przesunięcie i obrót (rys.11.9).
70
Rys. 11.9
Przekrój łamany mo\e być:
- rozwinięty gdy w ukośnej płaszczyznie występują elementy wewnętrzne i konieczne
jest przedstawienie ich w rzeczywistych wymiarach bez skrótów (rys.11.10)
- skrócony gdy w płaszczyznie ukośnej nie występują wa\ne elementy i ich kształt
mo\na przedstawić w postaci skrótu (rys.11.11)
Rys. 11.10 Rys. 11.11
IV Obszaru przedmiotu przedstawionego na przekroju:
1. Przekrój całkowity ukazujący całkowity zarys przedmiotu
2. Przekrój częściowy ukazujący pewną część zarysu przedmiotu:
a) Półprzekrój lub ćwierćprzekrój (rys.11.12) pozwala na przedstawienie połowy
przekroju po jednej stronie osi symetrii (w przypadku półprzekroju) lub ćwiartki po
stronie dwóch osi symetrii (w przypadku ćwierćprzekroju). Oś symetrii nale\y
zaznaczyć na jej końcach parą równoległych krótkich odcinków rysowanych linia
cienką ciągłą.
71
Rys. 11.12
b) półwidok półprzekroj (rys.11.13) pozwala na połączenie połowy widoku i
przekroju na jednym rzucie. Śladem przekroju jest oś symetrii przedmiotu. Przedmiot
nale\y tak ustawić aby \adna krawędz nie pokrywała się z osią. Ten rodzaj przekroju
stosowany jest dla przedmiotów posiadających symetrie zarówno zarysu zewnętrznego
jak i wewnętrznego. Nale\y starać się, aby półprzekrój był po prawej stronie
półwidoku lub poni\ej niego.
Rys. 11.13
c) przekrój cząstkowy (wyrwanie) pozwala na odsłonięcie interesującego fragmentu
poprzez wyrwanie materiału (rys.11.14). Wykonuje się go bezpośrednio na widoku
rysując granicę urwania linią odręczną (falistą lub zygzakową). Jeśli granica wyrwania
przebiega blisko krawędzi konturowej nale\y wówczas doprowadzić wyrwanie do tej
krawędzi (rys.11.15). Kilka przekrojów cząstkowych le\ących blisko siebie
najkorzystniej jest połączyć w jeden przekrój.
Rys. 11.14 Rys. 11.15
d) kład ukazuje zarys przedmiotu wyłącznie w płaszczyznie przekroju dzięki czemu nie
ma konieczności rysowania elementów le\ących za płaszczyzną przekroju jeśli nie
wnoszą \adnych dodatkowych informacji o konstrukcji. Mo\na wyró\nić następujące
rodzaje kładów:
72
- kład miejscowy (rys.11.16) rysuje się bezpośrednio na widoku linią cienką ,
- kład przesunięty (rys.11.17) rysuje się poza widokiem linia grubą. Płaszczyznę
przekroju zaznacza się linią cienka punktową na przedłu\eniu której rysuje się kład.
Rys. 11.16 Rys. 11.17
Płaszczyznę przekroju wraz z kładem obraca się zgodnie z kierunkiem patrzenia od
strony prawej lub od dołu. Kład przesunięty mo\na oznaczyć podobnie jak w przypadku
zwykłych przekrojów.
Przerywanie i urywanie przedmiotu na rysunku
Przedmioty długie mo\na na rysunku skracać usuwając ich część środkową jeśli nie
wywoła to wątpliwości co do kształtu. Obie części ogranicza się linia falistą bądz zygzakową.
Po dokonaniu skrótu nale\y zawsze podać niezmienioną wartość liczbową wymiaru
(rys.11.18).
Rys. 11.18
73
12 WYMIAROWANIE
12.1 SPOSÓB ZAPISU WYMIARÓW
Wymiar rysunkowy przedstawia się za pomocą linii wymiarowej zakończonej znakiem
(najczęściej grotem), liczby wymiarowej oraz pomocniczych linii wymiarowych (rys. 12.1).
Rys. 12.1
Linia wymiarowa słu\y do połączenia elementów rzutu przedmiotu (krawędzie, osie itp.) w
celu określenia wzajemnej miedzy nimi odległości. Rysowana jest cienką linią ciągłą i
najczęściej obustronnie zakończona jest zaczernionymi grotami o długości równej w
przybli\eniu wysokości pisma ale nie mniejszej ni\ 2,5 mm i o kącie rozwarcia 15o do 20o
(rys. 12.2a). Na szkicach rysunkowych mo\na stosować groty uproszczone nie zaczernione
(rys.12.2b).
a)
b)
Rys. 12.2
Linia wymiarowa powinna być zakończona dwoma grotami z wyjątkiem m.in. linii
wymiarowych promieni (rys. 12.3), wymiarowania średnic wewnętrznych w półwidoku-
półprzekroju (rys. 12.4) lub wymiarowania gęsto zestopniowanych średnic (rys 12.5).
74
Rys. 12.3 Rys. 12.4 Rys. 12.5
Groty powinny być umieszczone wewnątrz wymiaru pomiędzy pomocniczymi liniami
wymiarowymi. W przypadku gdy rzeczywista odległość na rysunku miedzy pomocniczymi
liniami wymiarowymi jest mniejsza od 12mm wówczas groty umieszcza się na zewnątrz
wymiaru na przedłu\eniu linii wymiarowej. Liczba wymiarowa mo\e być równie\
postawiona na zewnątrz wymiaru (rys. 12.6).
Niekiedy przy wymiarowaniu np. w łańcuchu szeregowym gdy na jednej linii
wymiarowej umieszcza się kilka wymiarów i odległość miedzy pomocniczymi liniami jest
zbyt mała wówczas mo\na zastąpić groty cienkimi krótkimi kreskami nachylonymi pod
katem 45o. W przypadku bardzo małych wymiarów zamiast kresek mo\na u\yć zaczernionej
kropki o średnicy około 1mm. Istnieje jednak warunek, \e znaki te mo\na stosować wyłącznie
wewnątrz łańcucha wymiarowego a groty muszą być znakami rozpoczynającymi i
kończącymi wymiar (rys. 12.7). Wyjątek stanowią wszelkie uproszczone zapisy wymiarów.
Rys. 12.6 Rys. 12.7
Pomocnicze linie wymiarowe słu\ą do połączenia linii wymiarowej z elementami
wymiarowanymi. Umo\liwiają wyprowadzenie linii wymiarowej poza rzut dzięki czemu
zwiększa się czytelność rysunku i niekiedy unika się przecięcia linii wymiarowych z
elementami rysunku. Rysuje się je cienka linia ciągłą i są zazwyczaj ustawione prostopadle do
kierunku pomiaru (rys.12.1). Dopuszczalne jest ukośne poprowadzenie gdy zyskuje na tym
przejrzystość zapisu. Pomocnicza linia wymiarowa nie kończy nie na ostrzu grota lecz jest
wydłu\ona o 1-2mm ponad grot.
W przypadku gdy nie pogarsza to czytelności rysunku linia wymiarowa mo\e
bezpośrednio stykać się z krawędzią rzutu (rys. 12.8). Z pominięciem pomocniczych linii
wymiarowych wymiaruje się zarówno promienie krzywizny jak i średnice w płaszczyznie
poprzecznej przedmiotu (rys. 12.9).
75
Rys. 12.8 Rys. 12.9
Liczba wymiarowa przedstawia rzeczywistą wielkość przedmiotu niezale\nie od
zastosowanej podziałki rysunkowej (rys. 12.9).
Rys. 12.10
Liczba wymiarowa nie mo\e stykać się z linia wymiarową lecz powinna być
umieszczona nad linią w pobli\u jej środka. Jej poło\enie względem arkusza rysunkowego nie
mo\e być dowolne. Liczba wymiarowa powinna być tak ustawiona aby mo\na było ją
odczytać od prawej strony jak i od podstawy arkusza określonej poło\eniem tabliczki
rysunkowej. Występują jednak obszary, w których nie da się zastosować wy\ej opisanej
reguły. W przypadku wymiarów liniowych ma to miejsce w obszarze 30o od osi pionowej
układu (rys. 12.11).
Rys. 12.11
76
Wysokość liczb wymiarowych jest uzale\niona od zastosowanego formatu rysunkowego.
Powinna być jednakowa dla wszystkich liczb występujących na jednym arkuszu niezale\nie
od zastosowanej podziałki. Cyfry wymiaru nominalnego nie powinny być mniejsze ni\
3.5mm a odchyłek granicznych nie mniejsze ni\ 2.5mm.
W rysunku technicznym maszynowym wymiary liniowe podaje się przewa\nie w
milimetrach bez podawania za liczbą wymiarowa jednostek. Wymiary liniowe mogą być
przedstawione w innych jednostkach (np. w calach) ale wówczas konieczne jest podanie
jednostek lub informacja ta musi być podana w uwagach rysunkowych. W przypadku
wymiarów kątowych podaje się jednostki w stopniach, minutach i sekundach odpowiednio po
ka\dej liczbie wymiarowej.
Znaki wymiarowe
Pozwalają na uproszczenie zapisu postaci konstrukcyjnej przez pominięcie tych rzutów, które
przedstawiają kształt przedmiotu. Stosowanie znaków wymiarowych jest obowiązkowe. Znak
wymiarowy jest ściśle związany z liczba wymiarową i nie mo\na ich rozdzielić \adnym
elementem rysunkowym. Najczęściej wykorzystywane znaki wymiarowe:
� znak średnicy niekiedy umo\liwia pominięcie rzutu w płaszczyznie poprzecznej w celu
pokazania kształtu przedmiotu (okręgu) (rys. 12.12)
R znak promienia krzywizny dla bardzo małych wartości promieni mo\na pominąć
rysowanie krzywizny promienia (rys. 12.13)
S znak sfery (rys. 12.14)
x znak grubości przedmiotu (rys. 12.15)
znak kwadratu w przypadku elementu w kształcie kwadratu umo\liwia podanie
wymiaru tylko jednego boku (rys. 12.15).
Rys. 12.12 Rys. 12.13
Rys. 12.14 Rys. 12.15
77
12.2 ZASADY WYMIAROWANIA
Wymiary związane
W rysunku technicznym maszynowym często mamy do czynienia z tzw. wymiarami
związanymi. Do jednej grupy związanych wymiarów nale\ą te, które opisują wielkość figur
wyodrębnionych z postaci konstrukcyjnej a do drugiej nale\ą te które opisują wzajemne
rozmieszczenie tych figur na rysunku. Wymiary związane musza być przedstawione na
jednym rzucie i nie mo\na ich rozdzielić.
Wymiary związane mogą być rozpatrywane z punktu widzenia procesu wytwórczego.
1) wymiary, które odnoszą się do tej samej czynności obróbkowej (obróbka wykonana
tym samym narzędziem) np. wymiary średnicy i głębokości otworu (rys. 12.16) lub
szerokość i głębokość rowka wpustowego (rys. 12.17).
2) wymiary, które odnoszą się do tego samego zabiegu obróbkowego (tj. do obróbki
wykonanej w jednym zamocowaniu przedmiotu) np. wymiary rozmieszczenia
otworów (rys. 12.18), poło\enia rowka wpustowego (rys. 12.19).
Rys. 12.16 Rys. 12.17
Rys. 12.18 Rys. 12.19
78
Zasady zwiększające czytelność zapisu konstrukcji:
Linie wymiarowe nie mogą przecinać się z \adnymi elementami rysunku. Linie
wymiarowe mogą się przecinać tylko w przypadku wymiarowania średnic w płaszczyznie
poprzecznej (rys. 12.9).W celu uniknięcia przecięcia się z pomocniczą linią wymiarową
wymiar krótszy powinien być podany bli\ej rzutu ni\ wymiar dłu\szy (rys. 12.20).
W wyjątkowych przypadkach pomocnicza linia wymiarowa musi być przerwana w miejscu
przecięcia się z linią wymiarową podobnie jak w przypadku linii konturowej przedmiotu
(rys. 12.21).
Rys. 12.20 Rys. 12.21
Pomocnicze linie wymiarowe mogą się przecinać z sobą jednak nale\y starać się aby było
jak najmniej takich punktów przecięcia. Pomocnicze linie wymiarowe mogą przecinać linie
kreskowe przekroju jednak nie powinny być prowadzone równolegle do nich.
Dla zwiększenia przejrzystości rysunku wa\nym zagadnieniem jest zachowanie
właściwych odstępów miedzy kolejnymi wymiarami aby było mo\liwe czytelne wpisanie
liczb wymiarowych wraz z tolerancją. Odległość między pierwszym elementem wymiaru
(linią lub liczbą wymiarową) od zarysu przedmiotu powinna być równa trzykrotnej wysokości
liczb wymiarowych ale nie mniejszą ni\ 10 mm. Odstęp między elementami kolejnych
wymiarów przyjmuje się równy dwuipółkrotnej wysokości pisma liczb wymiarowych ale nie
mniejsza od 7 mm (rys. 12.22).
W przypadku gdy linie wymiarowe ustawione są równolegle jedna nad drugą kolejne
liczby wymiarowe nie mogą tworzyć kolumny i powinny być przemiennie przesunięte
względem wspólnego środka linii wymiarowych (rys. 12.23).
Rys. 12.22 Rys. 12.23
79
Zasady ogólne wymiarowania
1. Zasada wymiarów koniecznych powinny być podawane tylko te wymiary, które są
niezbędne do wykonania elementu w danym etapie procesu wytwórczego. Zupełnie inne
wymiary są potrzebne w rysunku monta\owym całego zespołu czy te\ wykonawczym
gotowego elementu a inne surowego odlewu bądz odkuwki. Sposób wymiarowania musi
być zatem dostosowany do rodzaju rysunku i jego przeznaczenia.
2. Zasada pomijania wymiarów oczywistych pomija się wymiary między prostymi
równoległymi (0o lub 180o) i prostymi prostopadłymi (90o) w przypadku wymiarów
swobodnych. Jeśli wymiary oczywiste są tolerowane wówczas konieczne jest ich podanie
wraz z wymaganą tolerancją. W przypadku wystąpienie grupy kilku elementów o tych
samych cechach konstrukcyjnych wystarczy podać wymiar tylko jednego z nich.
Wymiary pozostałych elementów traktuje się jako oczywiste (przykład grupy
jednakowych otworów rys. 12.18). Jeśli podaje się szerokość rowka wpustowego nie
wymiaruje się promienia rowka w płaszczyznie wzdłu\nej (rys. 12.24).
Rys. 12.24
3. Zasada niezamykania łańcucha wymiarowego wymiarowanie powinno być tak
przeprowadzone aby wymiar mniej wa\ny mo\na było policzyć na podstawie innych
(rys. 12.25). Zamkniecie łańcucha wymiarowego nastąpi nawet wtedy gdy wymiar będzie
podany na innym rzucie i na innym arkuszu rysunkowym.
Rys. 12.25
4. Zasada niepowtarzania wymiarów wymiar raz postawiony nie mo\e zostać powtórzony
na innym rzucie a nawet na innym arkuszu rysunkowym.
80
13 POACZENIA ROZACZNE
13.1 GWINTY - POACZENIA GWINTOWE
Śruba jest to element maszynowy z gwintem słu\ący do realizacji połączenia innych
części maszynowych. Połączenie gwintowe uzyskuje się poprzez bezpośrednie wkręcenie
śruby w otwór nagwintowany (przelotowy bądz nieprzelotowy) lub przez skojarzenie śruby z
nakrętką łącząc elementy, w których wykonane są otwory przelotowe.
Ze względu na fakt, \e gwint jest zbiorem równomiernie rozło\onych występów na
powierzchni walcowej lub sto\kowej istnieje mo\liwość zastosowania uproszczonego zapisu
postaci konstrukcyjnej gwintu. Zapis uproszczony polega na wykreśleniu wierzchołków
zarysu gwintu linia grubą ciągła a den zarysu linią cienką ciągłą. Odległość miedzy tymi
liniami powinna być równa w przybli\eniu wysokości gwintu. Koniec gwintu na przejściu w
powierzchnię nienagwintowaną rysuje się linią grubą ciągłą zarówno w gwincie zewnętrznym
jak i wewnętrznym. W płaszczyznie poprzecznej do osi gwintu uproszczony zapis polega na
przedstawieniu den gwintu niepełnym okręgiem (3/4 obwodu) przy czym początek i koniec
nie mo\e pokrywać się z osiami symetrii elementu (rys.13.1).
Rys. 13.1
W przypadku gdy względy technologiczne wymagają zaznaczenia całej powierzchni
gwintowej mo\na narysować linią cienką wyjście gwintu tu\ za linią grubą zakończenia
gwintu.
W otworze nieprzelotowym nie powinno się rysować gwintu na całej długości otworu.
Otwór powinien być dłu\szy od głębokości gwintu (rys. 13.2).
Rys. 13.2
81
Wymiarowanie gwintu polega na zastąpieniu znaku wymiarowego � symbolem
gwintu. Symbole najczęściej stosowanych gwintów objętych Polskimi Normami:
M gwint trójkątny (metryczny)
R gwint sto\kowy zewnętrzny
Rc gwint sto\kowy wewnętrzny
Tr gwint trapezowy symetryczny
S gwint trapezowy niesymetryczny
G gwint walcowy
Rd gwint okrągły
Za symbolem gwintu umieszcza się wartość liczbową średnicy znamionowej gwintu
oraz dodatkowo jeśli jest taka konieczność m.in.:
- wartość podziałki oddzielona znakiem x ,
- wartość skoku (oddzielona znakiem x ) po której podaje się nawiasie symbol podziałki P
wraz z jej wartością (w przypadku gwintów wielokrotnych),
- symbol LH oznaczający gwint lewozwojny,
- symbol literowy bądz literowo cyfrowy oddzielony pozioma kreską określający dokładność
gwintu.
Przykład wymiarowania gwintu zewnętrznego i wewnętrznego przedstawia rysunek
13.3. W gwincie wewnętrznym pomocnicze linie wymiarowe wychodzą od linii grubych
wierzchołków zarysu gwintu, a w gwincie wewnętrznym od linii cienkich den zarysu.
Rys. 13.3
Najczęściej elementy połączenia gwintowego przedstawia się w sposób dokładny
upraszczając jedynie zapis gwintu oraz linie przenikania powstałe w wyniku ścięć łbów śrub i
nakrętek jako graniastosłupów prawidłowych z powierzchnią sto\ka (rys.13.4).
Rys. 13.4
82
W połączeniu śrubowym śruba jest uprzywilejowana. Śruba przedstawiona jest w
widoku i przykrywa otwór, w który jest wkręcona (rys. 13.5).
Rys. 13.5
Połączenie gwintowe na rysunku technicznym maszynowym mo\na przedstawić w
ró\nym stopniu uproszczenia w zale\ności od przeznaczenia rysunku.
Uproszczony zapis połączenia gwintowego przedstawia tylko ogólny kształt śruby lub
nakrętki i sposób połączenia śruby z innymi elementami maszyn. (rys.13.6)
zapis dokładny zapis uproszczony zapis umowny
Rys. 13.6
83
13.2 WIELOWYPUSTY - POACZENIA WIELOWYPUSTOWE
Wielowypust zarówno na wałku jak i w otworze jest zbiorem wzdłu\nych
równoległych do siebie wypustów rozmieszczonych równomiernie na całej powierzchni
walcowej elementu. Takie rozmieszczenie umo\liwia przedstawienie zapisu konstrukcji
wielowypustu w sposób uproszczony.
Wielowypusty mo\na podzielić w zale\ności od zarysu wypustów na:
- równoległe,
- ewolwentowe,
- o specjalnym zarysie.
Jedynie w przypadku wielowypustu o specjalnym zarysie konieczne jest
przedstawienie w sposób dokładny zarysu wypustu w przekroju poprzecznym.
W płaszczyznie wzdłu\nej powierzchnie wierzchołków wielowypustów przedstawia
się linią grubą ciągłą a powierzchnię den wypustów linią cienką ciągłą. Odległość między
liniami powinna być równa wysokości wypustu. Zakończenie wielowypustu rysuje się linią
ciągłą grubą. Dodatkowo nale\y linią cienką ciągła zaznaczyć wyjście wielowypustu tu\ za
jego zakończeniem (rys. 13.7b). W przekroju wzdłu\nym powierzchnie den rysuje się linią
grubą a ścianki boczne wypustów rysuje się w widoku (rys. 13.7c). W płaszczyznie
poprzecznej w rzucie będącym widokiem dna wielowypustu rysuje się linią cienką ciągłą jako
pełny okrąg a powierzchnie wierzchołków linią grubą ciągłą (rys. 13.7a).
a) b)
c)
Rys. 13.7
W przypadku wielowypustów ewolwentowych nale\y dodatkowo zaznaczyć cienką
linią punktową powierzchnię podziałową zarówno na rzucie w płaszczyznie wzdłu\nej jak i
poprzecznej (rys.13.9).
Rys. 13.8
84
Oznaczenie wielowypustów polega na podaniu nad linią odnoszącą w pierwszej
kolejności symbolu graficznego wielowypustu równoległego (rys. 13.9a) lub ewolwentowego
(rys. 13.9b), po którym wpisuje się numer normy (ISO14 dla wielowypustu równoległego lub
ISO4156 dla wielowypustu ewolwentowego).
a)
b)
Rys. 13.9
W oznaczeniu wielowypustu równoległego po symbolu i numerze normy podaje się w
pierwszej kolejności liczbę wypustów a następnie wartości liczbowe średnicy wewnętrznej i
średnicy zewnętrznej rozdzielone znakiem x.
W oznaczeniu wielowypustu ewolwentowego podaje się liczbę zębów (z), moduł (m) i
kąt przyporu (R) rozdzielone równie\ znakiem x.
W zapisie postaci konstrukcyjnej połączenia wielowypustowego zarys wałka jest
uprzywilejowany i przysłania otwór (rys.13.10).
Rys. 13.10
85
ZA CZNIKI
DO ROZDZIA ÓW 1�7
Zakres:
geometria wykre lna
Załącznik 1.1
1) 2)
m" m"
V'
H"
m m
x x
m' m'
Vm
Hm
4)
3)
A" A"
C' C'
m" m"
V' V'
H" H"
m m m m
x x
B' B'
B" B"
m' m'
Vm Vm
Hm Hm
A' A'
C" C"
I IV III
Załącznik 2.1
1)
2)
v v
x Vr' x
X X
r r
' '
h h
H
r
4)
3)
Vr Vr
v v
r r
" "
" "
Hr Vr' x Hr Vr' x
X X
r r
' '
h h
H H
r r
Załącznik 2.2
1)
2)
s s
" "
P" P"
2"
r" r"
"
t
x x
r' r'
2'
s s
' '
P' P'
1'
' '
t t
4)
3)
1" 1"
s s
" "
P" P"
2" 2"
r" r"
" "
t t
x x
r' r'
2' 2'
s s
' '
P' P'
1' 1'
t' t'
Załącznik 2.3
1)
2)
v v
p"
A" A"
Vp
X x X x
V'
p
h h
p'
3) 4)
v v
lub
c"
p"
A" A"
Vp
X x H" X x
c
V'
p
h h
A' c' A'
Hc Hc
p'
Załącznik 2.4
1)
2)
n"
k"
k"
C"
C"
4"
2"
2"
A"
A"
M"
M"
1"
1"
3"
B"
B"
x
x
M'
M'
n'
k'
k'
3) 4)
n"
n"
k"
k"
C"
C"
4"
4"
2"
2"
A"
A"
M"
M"
1"
1"
3"
3"
B"
B"
x
x
3'
3'
1'
1'
M'
M'
2'
2'
4'
4'
n'
n'
k'
k'
5)
n"
k"
C"
4"
2"
A"
M"
1"
3"
B"
x
B'
3'
1'
M'
C'
A'
2'
4'
n'
k'
Załącznik 3.1
1)
2)
Vk
v v
v v
X x X X x
X
Vk'
"
Hk
h h
h h
Hk
3)
Vk
v
v
X x
X
Vk'
"
k' Hk k"
h
h
Hk
Załącznik 3.2
1) e"
B"
d"
A"
x
C"
B'
A'
C'
d'
e'
2)
e"
4"
B"
1"
2"
d"
A"
3"
x
C"
B'
=
h k' = k'

1' 2'
1 2 3' 4'
A'
C'
d'
e'
k"
4
3) e"
4"
k"
B"
1
1"
8"
k"
2"
d"
A"
R"
3"
7"
x
C"
B'
=
h k' = k'

1'
1 2 3' 4'
2'
R'
A'
C'
d'
e'
k"
k" 4
2
4)
e"
k"
B" 4"
1
1"
8"
k"
2"
d"
A"
R"
k"
3
6"
5"
7" 3"
x
C"
S"
B'
=
h k' = k'

1'
1 2
2'
3'
4'
R'
A'
=
h k' = k'
S'
3 4 6' 8'
7'
5'
C'
d'
e'
k'
Załącznik 3.3
1)
2)
Vk
Vk
v v
v v
b" b"
b" b"
v
v
X X
X X
x x
x x
=
=
X Vk'
X Vk'

h h
h h
Hk
Hk
3)
4)
Vk Vk
Vk Vk
v v
v v
b" b"
b" b"
v v
v v
P"
P"
k" k"
k" k"
X X
X X
x x
x x
" "
" "
Hk Hk
Hk Hk
= =
= =
X Vk' X Vk'
X Vk' X Vk'

h h
h h
P'
P'
Hk Hk
Hk Hk
'
'
'
'
k
k
k
k
=
=
=
=

h
h
h
h
'
'
'
'
=
=
=
=
b
b
b
b
'
'
'
'
k
k
k
k
=
=
=
=

h
h
h
h
'
'
'
'
=
=
=
=
b
b
b
b
Załącznik 3.4
1)
2)
B" B"
m''
C" C"
A" A"
X

x x
C' C'
A' A'
h

B' m' B' m'
B" B"
3) 4)
"
" 2
2
1" 1" P"
C" C"
A" A"
X
X

x x
C' C'
A' A'
k' k'
h h

2'
1' 1' P' 2'
B' m' B' m'
k"
=
m"
v

v =
k"
k"
=
=
m"
m"
v

v

v =
v =
B" B"
5) 6)
" "
2 2
P"
1" P" 1"
4"
3" C" C"
3"
5"
A" A"
X X

x x
C' C'
3'
3' 4'
5'
A' A'
k' k'
1'
h
P' 2' P' 2'
1'
h

B' m' B' m'
k"
=
k"
=
m"
m"
v

v =
v

v =
Załącznik 4.3
A'' A''
1)
2)
a''
B'' B''
b''
C'' C''
x x
A' A'
B' B'
b'
h
Hb
a'
C' C'
Ha
A'' A''
3)
4)
a'' a''
B'' B''
b'' b''
C'' C''
c''
x x
A' A'
B' B'
b' b'
h
h
Hb Hb
x x
A a' A a'
x x
r r
S S
A A
bo
C' C'
Ha Ha
ao
Ao Ao
Załącznik 4.2
1)
2)
A A
v v
A' X X
x x A' B"
B B
C=Co
o o
v v
h h
Ao Ao
3)
4)
A
A
C" a" C" a"
v v
X X
B" B"
x A' x A'
B B
a' C=Co a' B B
C=Co
o o
v v
C' C'
h h
Ao
Ao
ao ao
C=Co
C=Co
Załącznik 4.3
1)
2)
v v
A" A"
C" C"
B" B"
X X
x x
A'
B'
C'
h h
3)
4)
v v
A" A"
C" C"
B" B"
X X
x x
A' A'
B' B'
O
B
C' C'
h h
O
o o C
v v
O
A
Załącznik 4.4
1)
2)
A" A"
v v

= " = "
B" B"
=k" =k"
1" 1"
C" C"
x x
C' C'
Cx
k' k'
B'=Bo B'=Bo
S
1'=1o
1'=1o
Co
A' A'
3)
4)
A" A"
v v

= " = "
B" B"
=k" =k"
1" 1"
C" C"
x x
Ao Ao
C' C'
Cx Cx
k' k'
B'=Bo B'=Bo
S S
1'=1o 1'=1o
Co Co
A' A'
Załącznik 4.5
1)
2)
m"
m"
A" 1" v = "=k"
A"
x x
k'
A'
A'=Ao
1'=1o
m' m'
m" m"
3)
4)
1" v = "=k" 1" v = "=k"
A" A"
B" B"
x x
e
k' k'
B' B'
A'=Ao A'=Ao
Bx Bx
1'=1o 1'=1o
m' m'
mo mo
Bo Bo
Załącznik 5.1
1)
2)
z
A" A" A'''
m'''
m" m"
B' B'
y( )
3
x x
B'''
B" B"
m' m'
A' A'
y( 1)
3)
z
A" A'''
m'''
m"
e1
B'
e2
y( )
3
x
B'''
B"
m'
A'
y( 1)
Załącznik 6.1
v v
1)
co
2)
c''
C C
Ao Ao
So
S''
k''
A''
B B
o o
h H h H
o o
k'
B'
C'
x x
X X S'
c'
A'
H H
h h
3)
v 4) v
co co
c'' c''
C C
Ao Ao
W W
So So
S'' S''
k'' k''
A'' A''
B B
o o
h H h H
o o
k' k'
B' B'
C' C'
x x
X S' W' X S' W'
c' c'
A' A'
H H
h h
Załącznik 6.2

v
1)
W''
x
B''
A'' C''
C
A
W'
B
h

z
2)

v
Z

W'' W'''
k

y
( 3
x )
B'' C''' A'''
B'''
A'' C''
C
A
W'
B
h

y(
1
)
3)
z

v
Z

W'' W'''
k

1'''
1''
2''
2'''
3'''
3''
y
( 3
x )
B'' C''' A'''
B'''
A'' C''
C
A
W'
B
h

y(
1
)
4)
z

v
Z

W'' W'''
k

1'''
1''
2''
2'''
3'''
3''
y
( 3
x )
B'' C''' A'''
B'''
A'' C''
C
1'
A
2'
W'
3'
B
h

y(
1
)
Załącznik 6.3
v
1)
2)
C'' B'' A'' C'' B'' A''
1 1 1 1 1 1
v v

k''
Vk Vk
1''
X X
x X x X
C'' B'' A'' C'' B'' A''
A A
k'
C C
1'
2'
A' A'
Hk
1 1
C' C'
1 1
B B
h h

h
B' B'
1 1
III
3)
4)
v v
C'' B'' A'' C'' B'' A''
1 1 1 1 1 1
v v

k'' k''
2'' 2''
Vk Vk
1'' 1''
3''
X X
x X x X
C'' B'' A'' C'' B'' A''
k' k'
I I
A A
C C
1' 1'
2' 2'
A' A'
Hk Hk
1 1
C' C'
1 1
B B
3' 3'
II
h h

h h
B' B'
1 1
III
v
5)
C'' B'' A''
1 1 1
v

k''
2''
Vk
1''
3''
X
x X
C'' B'' A''
k'
I
A
C
1'
2'
A'
Hk
1 1
C'
1
B
3'
II
h

h
B'
1
III
Załącznik 6.4
W''
1)
m''
x
A'' B''
C''
C
A
W'
m'
B
W''
2)
m''
R''
n''
x
A'' B''
C''
C
A
W'
m'
R'
n'
B
W''
3)
m''
R''
n''
H'' H''
m
n
x
A'' B''
C''
C
A
W'
m'
R'
H
m
H
n
1
2 h

n'
B
W''
4)
m''
R''
K''
n''
J''
H'' H''
m
n
x
A'' B''
C''
C
A
W'
m'
R'
K'
J'
H
m
H
n
1
2 h

n'
B
Załącznik 6.5
1)
2)
z
3'''
4'''
11'''
9'''
5'''
7'''
1''' 10'''
6'''
2''' 12''' 8'''
y( 3
)
x
1'
2'
10' 9' 12'
11'
4'
3'
5'
7'
8'
6'
(
y 1 )
3)
z
3''
4''
3'''
4'''
11'''
9''
9'''
11''
5'''
5'' 7''
7'''
1''' 10'''
6'''
10'' 1'' 6'' 8'' 2'' 12'' 2''' 12''' 8'''
y( 3
)
x
1'
2'
10' 9' 12'
11'
4'
3'
5'
7'
8'
6'
(
y 1 )
Załącznik 7.1
'' ''
1 1
1) l'' l''
2)
p''
q''
r''
'' ''
2 2
1'' 3''
a1
m''
R'' R''
a1
k''
1
2'' s'' 4''
x x
s'=r'=h 1
m'
' '
1 1
1'=2'=p'
' '
2 2
l'=R' l'=R'
3'=4'=q' a1
k'
1
k1x
3)
''
1
l''
p'' q''
11''
9''
r''
''
2
1'' 3''
a2
a1
v = ''

m'' 5'' 8'' 6''
7''
R''
a1 a2
k''
1
2'' s'' 4''
10'' 12''
x
h 2
s'=r'=h 1
h 3 m'
5'
'
1
1'=2'=p'
9'=10'
'
2
7'
6'
l'=R'
a2
3'=4'=q' a1
11'=12'
8'
k'
1
k1x
ZA CZNIKI
Temat:
krzywe p askie
ZA CZNIKI
Temat:
przekroje proste
ZA CZNIKI
Temat:
przekroje stopniowe
ZA CZNIKI
Temat:
przekroje amane

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
grafika inzynierska wyklad 3 color
Elementy grafiki inzynierskiej?1
Geometria i grafika inżynierska 5
Geometria i grafika inżynierska 3
Geometria i grafika inżynierska 1
OGÓLNOTECHNICZNE PODSTAWY BIOTECHNOLOGII Z GRAFIKĄ INŻYNIERSKĄ
Tematy projektów z Grafiki Inżynierskiej Inventor 2010
wyklad grafiki inzynierskiej
Elementy grafiki inzynierskiej?
Geometria i grafika inżynierska 4
Elementy grafiki inzynierskiej?0
Elementy grafiki inzynierskiej?

więcej podobnych podstron