Pomiary parametrów ruchu drgającego
Przez drgania mechaniczne rozumie się ruchy oscylacyjne cząsteczek lub ciał o określo-
nych masach, zachodzące w stosunku do wybranego układu odniesienia. Opisuje się je za
pomocą trzech głównych parametrów: przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia.
1. Typy drgań mechanicznych
Podstawowe typy drgań mechanicznych występujące w technice, podlegające pomiarowi i
analizie są następujące:
1. Drgania harmoniczne, np. występujące w rezonatorach i nieobcią\onych układach
sprę\ystych o małym tłumieniu.
2. Drgania okresowe o kształcie dowolnym (poliharmoniczne), np. wibracje silników, tzw.
bicia wirujących wałów, przebiegi ruchu obcią\onych wzbudników drgań o pionowo za-
chodzÄ…cych przemieszczeniach.
3. Drgania prawie okresowe, np. wibracje samolotu śmigłowego występującego przy
niezsynchronizowanych obrotach silników napędowych.
4. Drgania przejściowe (tzw. udary), np. uderzenie młota, zderzenie pojazdów, uderzenie
kół samolotu o płytę pasa startowego, upadek dowolnego ciała na ziemię.
5. Drgania przypadkowe, np. wibracje karoserii samochodu, przenoszące się za pośrednic-
twem układu kół jezdnych.
W odniesieniu do właściwości dynamicznych układu drgającego rozró\nia się drgania: swobod-
ne, wymuszone parametryczne i samowzbudne. Pod względem zmienności amplitud w czasie,
mogą występować drgania: ustalone, rosnące, malejące, pulsujące itp. Dla wytrzymałości
konstrukcji najbardziej niebezpieczne są drgania własne związane z rezonansem ruchomych
części lub zespołów.
Zasady pomiaru parametrów ruchu drgającego. Przemieszczenie x (m), prędkość v (m/s) i
przyspieszenie a (m/s2) są związane w ruchu harmonicznym następującymi zale\nościami:
x = X Å"sin(É Å"t)
dx
v = = É Å" X Å"cos(É Å"t)= V Å"sin(É Å"t)
dt
2
dv x
d
a = = = -É2 Å" X Å"sin(É Å"t) = - AÅ"sin(É Å"t)
dt
dt2
przy czym: X, V, A - amplitudy przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia.
Przebiegi te przedstawiono poglądowo na rys. 1. Ze względu na łatwość wzorcowania urządzeń
pomiarowych przyspieszenie jest mierzone często w jednostkach przyspieszenia ziemskiego.
1
v
X x
V
a
A
t
Rys.1. Przebiegi przemieszczenia x, prędkości v i przyspieszenia a w ruchu harmonicznym.
Przy większych częstotliwościach najłatwiejszy jest pomiar przyspieszenia, poniewa\ ma
ono najwiÄ™kszÄ… amplitudÄ… (É2·X) mierzalnÄ… jeszcze wtedy, kiedy amplitudy prÄ™dkoÅ›ci, a
zwłaszcza przemieszczenia, giną ju\ w szumach aparatury. Dla zało\onego płaskiego widma
przyspieszeń spadki charakterystyk widmowych prędkości i przemieszczeń wynoszą odpowied-
nio 6 i 12 dB/oktawÄ™.
Zgodnie z zale\noÅ›ciami (1), (2) i (3), majÄ…c np. przebieg przyspieszenia w postaci a=A·sin(É·t)
i stosując kolejne operacje całkowania, otrzymuje się:
A
v = +" a Å" dt = - Å"cos(É Å"t)
É
lub
A
x = +" +" AÅ" dt = +" v Å" dt = - Å"sin(É Å"t)
É2
Jak widać, w wyniku pomiaru jednego parametru drgań jest mo\liwe uzyskanie informacji o
wartościach dwóch pozostałych. Na przykład: piezoelektryczny czujnik przyspieszeń daje sygnał
proporcjonalny do A; mo\na obliczyć : V = A/É i X = A/É2. Elektrodynamiczny, indukcyjny
czujnik prÄ™dkoÅ›ci daje sygnaÅ‚ proporcjonalny do V; mo\na obliczyć: A = V·É i X=V/É. Zazwy-
czaj operacje ró\niczkowania i całkowania wykonuje się za pomocą układów elektronicznych.
W najczęstszych przypadkach pomiaru uśrednionych w czasie wartości parametrów
drgań zale\ności fazowe występujące między x, v, a nie mają znaczenia. Informacje o nich są
jednak istotne w przypadku badania skutków przenoszenia drgań przez układy mechaniczne
znajdujące się między zródłem drgań a obiektem pobudzanym.
Jak wiadomo, wszystkie okresowe i nieharmoniczne przebiegi o zdeterminowanej postaci
analitycznej - odwzorowujące badane drgania - mo\na rozło\yć na sumę przebiegów harmonicz-
nych, posługując się przekształceniem Fouriera. Warunkiem poprawnego, nieska\onego błędem
pomiaru, jest przenoszenie przez czujnik oraz współpracującą z nim aparaturę bez zniekształceń
2
amplitudowych i fazowych - wszystkich składowych harmonicznych sygnału, zawartych w
widmie amplitudowym. Spełnienie tego wymagania jest praktycznie niemo\liwe. Dla drgań
okresowych nieharmonicznych, np. typu impulsowego, charakteryzujÄ…cych siÄ™ znacznÄ…
szerokością widma amplitudowego - podobnie jak w przypadku drgań udarowych - przyjmuje
się, \e czujnik powinien przenosić pasmo częstotliwości od zera, do co najmniej fg = 1/ti, przy
czym ti - czas trwania pojedynczego impulsu. Częstotliwość fg odpowiada pierwszej wartości
zerowej funkcji widmowej. Pierwsza zanikająca harmoniczna ma wtedy wartość n = T/ti, przy
czym T- okres powtarzania impulsów.
W przypadku drgań udarowych jak i przebiegów typu impulsowego, do prawidłowego
pomiaru konieczne są specjalne czujniki i aparatura. Ze względu na konieczność przeniesienia
zarówno składowych o wielkich częstotliwościach, jak i składowych o częstotliwościach
najmniejszych, do pomiaru tego typu drgań u\ywa się głównie przyspieszeniomierzy piezoelek-
trycznych, charakteryzujących się wielką częstotliwością drgań własnych (rzędu dziesiątków
kHz) oraz płaską charakterystyką w zakresie małych częstotliwości.
2. Piezoelektryczne czujniki do pomiaru drgań
Na rysunku 2 przedstawiono przy-
spieszeniomierz opracowany przez firmy
Brüel and Kjaer, oznaczony symbolem
DS (od ang. delta shear). W czujniku
tym płytki materiału piezoelektrycznego,
zamocowane na trzech ściankach
trójkątnego rdzenia, pracują na ścinanie.
W porównaniu z innymi konstrukcjami
tej firmy rozwiązanie to wyró\niają
szczególnie: du\a czułość w stosunku do
masy czujnika, mała nieliniowość
charakterystyki częstotliwościowej oraz
mały wpływ temperatury na powstawa-
nie błędu pozornych przyspieszeń (ok.
25-krotnie mniejszy ni\ w starych
Rys. 2 Piezoelektryczny przyspieszeniomierz typu
konstrukcjach).
DELTA SHEAR firmy Brüel and Kjaer: 1 -
podstawa, 2 - pierścień zaciskowy, 3 - masy
Parametry metrologiczne czujnika DS sejsmiczne, 4 - elementy piezoelektryczne, 5 - rdzeń
typu 4366: trójkątny, 6 - gniazdo złącza kablowego
" czułość napięciowa: 4,2 mV/ms-2 (~42 mV/g)
" czuÅ‚ość Å‚adunkowa: 4,2 pC/m·s-2 (~42 pC/g)
" częstotliwość układu czujnika zamocowanego
na bloku stalowym o masie 180 g 22 kHz
" zakres czÄ™stotliwoÅ›ci 0÷4800Hz (5%)
0÷7000 Hz (10%)
" maksymalna wartość czułości poprzecznej 4%
3
" temperaturowy bÅ‚Ä…d czuÅ‚oÅ›ci (3 Hz) 0,1 m·s-2/K (~0,01g/K)
" czuÅ‚ość na pole akustyczne (154 dB) 0.1 m·s-2 (~0,01g)
" najmniejsza wartość rezystancji upÅ‚ywnoÅ›ciowej (293 K) 2·104 M&!
" najwy\sza temperatura u\ytkowania 533 K
" największa wartość dodatniego lub ujemnego przyspieszenia udarowego
50 000 m·s-2 ( ~ 5000g)
" błąd liniowości amplitudowej w zakresie dopuszczalnych przyspieszeń udarowych
czułość wzrasta o 1% przy 400g
" maksymalna wartość przyspieszeÅ„ ustalonych 20 000 m·s-2 (~2000g)
" masa 28 g.
2.1. Wzorcowanie czujników do pomiaru drgań
Wzorcowanie czujników przyspieszeń realizuje się z reguły, w układach do wzorcowania
dynamicznego, które polega na określeniu ich amplitudowych i fazowych charakterystyk
częstotliwościowych. Mo\na to zrealizować w sposób bezpośredni, badając sygnał odpowiedzi
czujnika na pobudzenie go przebiegiem harmonicznym określonej wielkości fizycznej bądz te\
w sposób pośredni, badając sygnał odpowiedzi czujnika na pobudzenie go skokiem jednostko-
wym określonej wielkości fizycznej. Obydwie wymienione metody są równowa\ne w sensie
analitycznym. W ka\dym przypadku sygnał pobudzający czujnik jest znany i traktowany jako
wzorcowy. Odpowiednie miary sygnału odpowiedzi skokowej opisują odpowiednie Polskie
Normy.
Podstawowymi czujnikami słu\ącymi do pomiaru parametrów ruchu drgającego są czuj-
niki amplitudy przemieszczeń X oraz przyspieszeń A, rzadziej czujniki prędkości drgań V. Do
dynamicznego wzorcowania czujników parametrów ruchu drgającego są, więc niezbędne
urządzenia do zadawania znanej amplitudy drgań z określoną częstotliwością; z uwagi na dogod-
ność pomiaru niezale\nie od rodzaju wzorcowanego czujnika parametrami mierzonymi są na
ogół: amplituda przemieszczenia i częstotliwość.
W przypadku braku układów wibracyjnych czujniki przyspieszenia mo\na równie\ wzor-
cować metodą udarową. Badany czujnik jest mocowany w uchwycie elastycznie utwierdzonego
stołu. Elementem zadającym, w sposób udarowy, przyspieszenie jest opadający z określonej
wysokości młot. Znając energię kinetyczną opadającego młota oraz drogę jego hamowania
mo\na określić przyspieszenie, jakiemu jest poddany czujnik.
3. Parametry średnie ruchu drgającego
Zale\nie od celu pomiaru i charakteru mierzonych drgań przy ich ocenie u\ywa się ró\-
nych wartości średnich. Są to najczęściej: średnia arytmetyczna i średnia kwadratowa.
Wartością przeciętną qp drgania okresowego nazywa się średnią arytmetyczną bezwzględnych
wartości chwilowych parametru q, określających drganie w czasie jednego okresu T:
t+T
1
q = |q(t)|Å"dt
p
+"
T
t
4
Wartością skuteczną qs drgania okresowego nazywa się średnią kwadratową wartości chwilo-
wych parametru q, określających drganie w czasie jednego okresu T:
t+T
1
qs = [q(t) Å" dt
]2
+"
T
t
Dla drgaÅ„ harmonicznych opisanych zale\noÅ›ciÄ… q(t) = qa·sin(É·t+f) wartoÅ›ci Å›rednie sÄ…
określone wzorami:
2 2
qp = Å" qa qs = Å" qa
Ä„ 2
gdzie: qa - amplituda parametru określającego drganie harmoniczne.
Na rysunku 3 zaznaczono wartości qp, qs i qa.
q(t)
T
q
a
q
s
q
p
0
t
Rys. 3. Parametry średnie drgania harmonicznego
Wartości przeciętne i skuteczne mo\na wyznaczyć równie\ dla drgań nieokresowych za pomocą
zale\ności:
T T
1 1
2
q = q =
p limT q(t)|Å"dt s lim +"[q(t) ] Å" dt
+"|
T " T " T
0 0
Praktycznie wartości te wyznacza się dla skończonej wartości pseudookresu T, czyli za pomocą
wzorów:
T T
1 1
qp = | q(t)|Å"dt qs =
+" +"[q(t) ]2 Å" dt
T T
0 0
5
4. Drgania układu o jednym stopniu swobody
Liczbę współrzędnych koniecznych i wystarczających do wyznaczenia poło\enia punktu
materialnego, układu takich punktów lub ciał nazywamy liczbą stopni swobody.
Układ mechaniczny o jednym stopniu swobody
(rys.4a) jest najprostszym modelem fizycznym
reprezentującym całą klasę układów rzeczywistych
określonych czterema parametrami: masą - m, stałą
sprę\ystości - k, współczynnikiem tłumienia - c i
siłą wymuszającą - P(t). Na przykładzie takiego
modelu wprowadzono pojęcie częstotliwości
własnej, określono wpływ tłumienia na drgania
układu oraz przeanalizowano jego reakcję na
działanie siły wymuszającej.
W rozwa\anym układzie przyjęto, \e prze-
mieszczenie u(t) masy m odmierza się od poło\enia
równowagi. W czasie drgań na masę działają
następujące siły (rys.4b):
P = P (t) - siła wymuszająca drgania układu,
Rys.4. Model fizyczny układów o jednym
G = m·g - ciÄ™\ar drgajÄ…cej masy,
stopniu swobody
D = -m·ü (t) - siÅ‚a bezwÅ‚adnoÅ›ci drgajÄ…cej masy,
S = b·Å›(t) - siÅ‚a tÅ‚umienia,
R = c [u(t) + ls] - reakcja sprę\ystej więzi,
ls - statyczne ugiÄ™cie ukÅ‚adu wywoÅ‚ane ciÄ™\arem G = c·ls.
Warunek równowagi sił mo\na przedstawić w postaci równania:
P +G + D - R - S = 0
Po wykorzystaniu poprzednich zale\ności otrzymano równanie ró\niczkowe ruchu drgającego
układu o jednym stopniu swobody:
&& &
m Å"u + b Å"u + c Å"u = P(t)
Dzieląc obie strony równania przez m i wprowadzając oznaczenia:
c
=
É
o
m
b
´ =
2 Å" m
otrzymano:
P(t)
2
&& &
u + 2 Å"´ Å"u +ÉoÅ"u =
m
4.1. Drgania własne
Je\eli siła wymuszająca P(t) = 0, to mamy do czynienia z drganiami własnymi - swobodnymi,
które są opisane szczególną postacią:
6
2
&& &
u + 2 Å"´ Å"u +Éo Å"u = 0
Jego równanie charakterystyczne:
2
s2+ 2 Å"´ Å" s +Éo = 0
ma zawsze dwa pierwiastki:
2 2
= -´ Ä… -Éo
s ´
1,2
Fizyczny charakter rozwiązań równania zale\y od znaku wyra\enia pod pierwiastkiem występu-
jącym we wzorze na pierwiastki jego równania charakterystycznego. Z tej przyczyny rozwa\ono
dalej trzy przypadki tłumienia.
4.1.1. TÅ‚umienie nadkrytyczne.
Je\eli ´ >Éo, mo\na napisać, \e ´>c/m. Oznacza to, \e w drgajÄ…cym ukÅ‚adzie siÅ‚a tÅ‚umienia jest
du\a w porównaniu z siłą sprę\ystości. W tym przypadku równanie charakterystyczne ma dwa
pierwiastki rzeczywiste i całka ogólna ma wówczas postać:
1 2
u = Å" + Å"
C es Å"t C es Å"t
1 2
Poniewa\ ´>0, wiÄ™c pierwiastki s1 i s2 sÄ… ujemne. Oznacza to, \e z upÅ‚ywem czasu t wychylenie
u maleje do zera, czyli układ dą\y asymptotycznie do poło\enia równowagi. Ruch ten nazwano
aperiodycznym, poniewa\ nie jest on ruchem drgającym. Na rysunku 5 pokazano przykłady
trzech mo\liwych rodzajów takiego ruchu.
u u
u
0 0
0
t t
t
Rys. 5. Wykresy przemieszczeń układów z tłumieniem nadkrytycznym i krytycznym
4.1.2 TÅ‚umienie krytyczne.
Je\eli ´ = Éo, to s1 = s2 = - ´. Równanie ró\niczkowe ma wówczas caÅ‚kÄ™ ogólnÄ…:
u = Å" ( + Å" t)
e-hÅ"t C C
1 2
Równie\ w tym przypadku mo\na udowodnić, \e je\eli t ", to u 0. Jest to, więc taki sam
ruch aperiodyczny, jaki opisany uprzednio i pokazano na rys. 5.
4.1.3 TÅ‚umienie podkrytyczne.
Przy sÅ‚abym tÅ‚umieniu ´ <Éo. Wyra\enie wystÄ™pujÄ…ce pod pierwiastkiem kwadratowym w
wyra\eniu określającym pierwiastki charakterystyczne ma wtedy wartość ujemną. Po wprowa-
dzeniu do tego wzoru oznaczenia:
7
Éh 2 = -´ 2
É2
o
otrzymano dwa pierwiastki zespolone:
= -´ Ä…Éh Å"i
s
1,2
gdzie: i oznacza jednostkÄ™ urojonÄ….
W tym przypadku całka ogólna równania ma postać:
u = Å"( Å"cos(Éh Å"t)+C2 Å"sin(Éh Å"t))
e-´ Å"t C
1
Przyjęto, \e stałe całkowania są wyra\a się zale\nościami:
= Å"sin Õ C2 = Å"cos Õ
C X X
1 o o
Stąd mo\na obliczyć, \e:
C
=
X C2+C2 tg Õ = 1
o 1 2
C
2
Po przekształceniach otrzymano:
u = Å"e-´ Å"t Å"sin(Éh Å"t +Õ )
X
o
Równanie to opisuje drgania wÅ‚asne tÅ‚umione ukÅ‚adu, przy czym wielkość Éh jest jego kÄ…towÄ…
czÄ™stotliwoÅ›ciÄ… drgaÅ„ harmonicznych, a Õ poczÄ…tkowym kÄ…tem fazowym. Funkcja Xo·e-´t okreÅ›la
obwiednię maksymalnych wychyleń układu. Oznacza to, \e drgania tłumione są drganiami
nieokresowymi o pseudookresie:
2 Å"Ä„ 2 Å"Ä„
= =
T
h
Éh É2 -´ 2
o
W ukÅ‚adzie o bardzo maÅ‚ym tÅ‚umieniu mo\na przyjąć, \e ´ = 0. Wtedy opis ruchu drgajÄ…cego
przyjmuje postać:
u = Å"sin(Éo Å"t +Õ )
X o
gdzie:Éo = c/m oznacza czÄ™stotliwość wÅ‚asnÄ… ukÅ‚adu nietÅ‚umionego.
Drgania nietłumione są ściśle, a drgania o bardzo małym tłumieniu - w przybli\eniu, drganiami
harmonicznymi o amplitudzie Xo i okresie T = 2Ä„/Éo.
4.2. Drgania wymuszone
Dla praktycznych zastosowań szczególnie wa\ny jest przypadek, gdy drgania układu są
wymuszone siłą zmieniającą się harmonicznie:
P(t) = Å" sin (É Å" t)
P
o
gdzie: Po - amplituda siÅ‚y wymuszajÄ…cej, É - czÄ™stotliwość kÄ…towa.
Równanie ró\niczkowe ma wówczas postać:
8
P
o
2
&& &
u + 2 Å"´ Å"u +Éo Å"u = Å"sin (É Å"t)
m
Jest to niejednorodne równanie ró\niczkowe, opisujące drgania wymuszone układu o jednym
stopniu swobody. Całka ogólna tego równania jest sumą jego całki szczególnej i całki ogólnej
równania jednorodnego. Oznacza to, \e dowolne drganie wymuszone jest drganiem składającym
się z ustalonego drgania wymuszonego, i z nieustalonych drgań własnych układu, które zanikają
po bardzo krótkim czasie liczonym od chwili zadziałania siły wzbudzającej. Po tym czasie
drgania wymuszone układu są ju\ drganiami ustalonymi, które są opisane rozwiązaniem
szczególnym:
u = a Å"cos (É Å"t) + b Å"sin( É Å"t)
Podstawiając tę funkcję do równania ró\niczkowego otrzymano to\samość, która jest spełniona
tylko wtedy, gdy:
2 Å"´ Å"É
a = - Po Å"
2
m -É2 +4 Å"´ 2 Å"É2
(Éo )2
P É2 -É2
o o
b = Å"
2
m -É2 )2+4 Å"´ 2 Å"É2
(Éo
Rozwiązanie równania ró\niczkowego mo\na zapisać równie\ w postaci:
u = X Å"sin(É Å"t -Õ )
gdzie:
1
P
X =
a2+b2 = o Å" 2
2 2
m
(Éo -É2 )2+4 Å"´ Å"É
a 2 Å"´ Å"É
tg Õ = =
b -É2
É2
o
Wynika stąd, \e drgania wymuszone są drganiami harmonicznymi o częstotliwości równej
czÄ™stotliwoÅ›ci siÅ‚y wymuszajÄ…cej É, amplitudzie X oraz kÄ…cie fazowym Ć.
Poniewa\ c= m·Éo2, a stÄ…d:
P P
o o
= =
u
s
2
m Å"Éo c
przy czym us oznacza przemieszczenie masy m pod wpływem statycznej siły Po.
Po wykorzystaniu ostatniej zale\ności i po wprowadzeniu oznaczeń:
X É ´
= ; µ = ; º = 2 Å"
u É É
s o o
otrzymano:
1
=
(1- µ2 )2+ Å"º 2
µ2
Wielkość bezwymiarową nazwano współczynnikiem uwielokrotnienia.
9
Na rysunku 6 pokazano wykresy funkcji = f(µ) wykonane dla kilku wartoÅ›ci º. Na rysunku tym
widać, \e dla du\ych wartoÅ›ci µ współczynnik
uwielokrotnienia jest mały. Oznacza to, \e
3
przy częstotliwościach siły wymuszającej
k = 0,2
l
parokrotnie większej od częstotliwości drgań
2.5
własnych układu amplitudy drgań wymuszo-
nych sÄ… parokrotnie mniejsze od przemiesz-
czenia statycznego us. Współczynnik osiąga
2
wartość maksymalną, je\eli wyra\enie
0,6
znajdujÄ…ce siÄ™ pod pierwiastkiem jego
równania przyjmuje wartość minimalną, tzn.
1.5
je\eli:
1
d
1 [(1- µ2 )2 µ2 2
+ Å"º ]= 0
1,4
dµ
2
3
0.5
Po wykonaniu ró\niczkowania otrzymano :
4
2
0
= 1- < 1
µkr º
2
0 0.5 1 1.5 2
m
gdzie:µkr=Ékr/Éo.
Dla µ =µkr funkcja =f(µ) osiÄ…ga maksimum:
Rys. 6. Charakterystyka amplitudowo-
częstotliwościowa układu o jednym stopniu
1
=
swobody
max
º2
º Å" 1-
4
Oznacza to, \e maksymalne amplitudy drgań wymuszonych występują przy częstotliwości
krytycznej Ékr.
Zjawisko rezonansu powstaje wtedy, gdy É = Éo, czyli gdy µ= 1, wtedy Ékr < Éo. Na rysunku 6
widać, \e amplituda drgań rezonansowych jest zawsze mniejsza od amplitudy drgań krytycz-
nych. Jednak przy słabym tłumieniu rezonans występuje praktycznie przy częstotliwości własnej
ukÅ‚adu, czyli wtedy Ékr=Éo.
Maksymalna wartość współczynnika uwielokrotnienia max, zale\y tylko od tłumienia. Przy
mniejszych wartoÅ›ciach º otrzymuje siÄ™ wiÄ™ksze max, przy czym gdy º0, to max 0. Oznacza
to, \e amplitudę drgań wymuszonych w pobli\u rezonansu mo\na znacznie ograniczyć przez
zwiększenie tłumienia układu.
Zale\ność określającą kąt przesunięcia fazowego mo\na przedstawić w postaci:
º Å" µ
tg Õ =
1- µ2
10
Na rysunku 7 przedstawiono wykresy funkcji Õ
180
= arctg º·µ/( 1- µ2) dla kilku wartoÅ›ci º. KÄ…t
k = 0,2
0,6 fazowy Õ okreÅ›la przesuniÄ™cie fazowe miÄ™dzy
150
harmoniczną siłą wymuszającą P(t) a prze-
1
f
1,4
mieszczeniem układu u(t). Na rysunku tym
2
120
3
widać, \e dla µ<1 drgania wymuszone sÄ…
4 opóznione względem siły o kąt fazowy mniejszy
90
od 90o. Je\eli É<Éo i jednoczeÅ›nie tÅ‚umienie
jest małe, to drgania układu znajdują się prawie
60
w fazie z siÅ‚Ä… wymuszajÄ…cÄ… (Õ=0).
30
Przy drganiach rezonansowych zawsze Õ = 90o,
niezale\nie od wielkości tłumienia. Ta
0
właściwość rezonansu pozwala dokładnie
0 0.5 1 1.5 2
wyznaczyć częstotliwości drgań własnych
m
układu za pomocą drgań wymuszonych. W tym
celu zmienia się częstotliwość siły wymuszają-
Rys.7. Charakterystyka fazowo-
cej a\ do chwili, gdy przesunięcie fazowe
częstotliwościowa układu o jednym stopniu
między siłą a wychyleniem stanie się równe 90o.
swobody
Jest to oznaka, \e układ znajduje się dokładnie
w rezonansie, tzn. É = Éo. MierzÄ…c czÄ™stotliwość siÅ‚y wzbudzajÄ…cej w okreÅ›la siÄ™ tym samym
czÄ™stotliwość drgaÅ„ wÅ‚asnych ukÅ‚adu Éo. KÄ…t fazowy mo\na wyznaczyć za pomocÄ… oscyloskopu
katodowego obserwując na jego ekranie kształt elipsy Lissajous.
Gdyµ > 1, to przemieszczenie drgajÄ…cego ukÅ‚adu jest opóznione wzglÄ™dem siÅ‚y wymuszajÄ…cej o
kÄ…t fazowy wiÄ™kszy od 90o, przy czym dla É>>Éo oraz przy, maÅ‚ym tÅ‚umieniu przemieszczenie
to i siÅ‚a znajdujÄ… siÄ™ w przybli\eniu w przeciwfazie (Õ=180o).
KorzystajÄ…c z zale\noÅ›ci l = X/us i Po = c·us otrzymano:
P
o
= = c Å" (1- µ2 )2+ Å"º 2
µ2
k
d
X
Wielkość kd nazwano stałą sprę\ystości dynamicznej. Jest ona równa stosunkowi amplitudy siły
wymuszającej Po i wywołanej przez nią amplitudy przemieszczenia X. Wartość stałej sprę\ysto-
Å›ci dynamicznej zale\y przede wszystkim od stosunku µ= É/Éo oraz w mniejszym stopniu od
tÅ‚umienia. Je\eli É<<Éo, to wartość staÅ‚ej sprÄ™\ystoÅ›ci dynamicznej kd jest w przybli\eniu równa
wartoÅ›ci staÅ‚ej sprÄ™\ystoÅ›ci statycznej k. W rezonansie (µ = 1) staÅ‚a sprÄ™\ystoÅ›ci dynamicznej
przyjmuje wartość minimalną:
( )min = c Å"º
k
d
Gdy É >> Éo, to µ ma du\e wartoÅ›ci i wtedy pod pierwiastkiem wzoru okreÅ›lajÄ…cym staÅ‚Ä…
sprÄ™\ystoÅ›ci dynamicznej mo\na pominąć 1. Przy maÅ‚ym tÅ‚umieniu ukÅ‚adu (º = 0) mo\na
wówczas napisać zale\ność kd = c·µ2. Oznacza to, \e w rozwa\anym przypadku staÅ‚a sprÄ™\ysto-
ści dynamicznej układu jest proporcjonalna do kwadratu częstotliwości siły wymuszającej.
5. Pomiary drgań maszyn i urządzeń
11
Stan wibracyjny całej maszyny zale\y przede wszystkim od charakteru ruchu wirujących
elementów. Najsłuszniej byłoby bezpośrednio mierzyć zmienne w czasie parametry tego ruchu.
Niestety, pomiary drgań elementów wirujących są dość trudne do zrealizowania, zwłaszcza przy
ciągłej kontroli pracy maszyny. Dlatego najczęściej wykonuje się prostsze pomiary drgań ło\ysk
i kadłubów maszyny. Takie pomiary w sposób pośredni, lecz jednocześnie i przybli\ony
odzwierciedlają właściwości dynamiczne elementów wirujących. Większość aparatury u\ywanej
do pomiarów wibracyjnych maszyn jest przystosowana do pomiaru drgań nie wirujących
elementów. Jednak ostatnio, obok takich pomiarów, coraz częściej wprowadza się równie\
pomiar drgań wirujących wałów.
5.1 Wielkości określające stan wibracyjny obiektu
Do pomiaru drgań stosuje się przewa\nie przyrządy elektroniczne za pomocą, których mierzy się
podstawowe parametry badanego przebiegu. Są one określane jako wartości szczytowe lub
skuteczne.
Wartości szczytowe
Wartościami szczytowymi nazwano wartości maksymalne mierzonych parametrów drgań. Dla
drgań harmonicznych są to amplitudy: wychylenia X, prędkości V i przyspieszenia A. Wielkości
te sÄ… zwiÄ…zane zale\noÅ›ciami: V = É·X i A = É2·X, gdzie w oznacza czÄ™stotliwość kÄ…towÄ…
mierzonych drgań.
Drgania harmoniczne o małych częstotliwościach mają przewa\nie du\e wychylenia i dlatego
pomiar ich amplitudy nie stwarza większych trudności. Natomiast drgania o du\ych częstotliwo-
ściach mają małe amplitudy wychyleń i dla nich dokładniejszy jest pomiar przyspieszeń,
poniewa\ ich amplituda jest proporcjonalna do É2.
Drgania maszyn i urządzeń są przewa\nie zło\one z kilku drgań harmonicznych o ró\nych
częstotliwościach. Gdy w takim przypadku mierzy się wychylenia to wpływ składowych o
du\ych częstotliwościach i małych amplitudach wychylenia jest niedostatecznie uwzględniony w
zmierzonej wartości. Natomiast, je\eli mierzy się przyspieszenia, to składowe o du\ych
amplitudach wychylenia, lecz o małych częstotliwościach nie wpływają na zmierzoną wartość w
stopniu odpowiadającym szkodliwemu działaniu tych składowych. Z przytoczonych wywodów
wynika, \e dla oceny drgań zło\onych najlepiej nadaje się pomiar prędkości, poniewa\ jest ona
jednakowo proporcjonalna do amplitudy wychylenia X i do czÄ™stotliwoÅ›ci kÄ…towej É. Z tego
wynika, \e prędkość V w optymalnym stopniu uwzględnia wpływ wszystkich składowych
mierzonego przebiegu.
5.2. Pomiar drgań ło\ysk i kadłubów
Stan wibracyjny obiektu wyznacza się przewa\nie za pomocą pomiaru drgań ło\ysk. W
tym celu na pokrywie ka\dego Å‚o\yska mocuje siÄ™ czujniki mierzÄ…ce drgania w trzech wzajemnie
12
prostopadłych kierunkach: pionowym, poziomym (prostopadłym do osi wału) i osiowym. Ocenie
podlegają zawsze największe zmierzone wartość i one określają stan wibracyjny całej maszyny.
Najczęściej mierzy się wartości skuteczne prędkości Vs i amplitudy równowa\ne wychy-
lenia Xr. Poza tym dość często wykonuje się analizę harmoniczną mierzonego przebiegu,
wyznaczając częstotliwości i amplitudy składowych drgań harmonicznych. W nielicznych
przypadkach wyznacza się równie\ kąty fazowe mierzonych drgań względem wirującego wału.
Wymienione pomiary wykonuje się przewa\nie na wszystkich ło\yskach maszyny i w ró\nych
warunkach jej pracy.
Aparatury u\ywane do pomiaru drgań ło\ysk ró\nią się między sobą przede wszystkim
rodzajem czujników elektromechanicznych. Są to najczęściej czujniki elektrodynamiczne i
piezoelektryczne. Przykładem aparatury wyposa\onej w czujniki elektrodynamiczne jest
aparatura produkowana przez firmÄ™ Reutlinger, a w czujniki piezoelektryczne - przez firmÄ™ Brüel
i Kjaer.
5.2.1. Aparatura firmy Brüel i Kjaer
Na rysunku 8 przedstawiono schemat blokowy typowych układów wibrometrycznych produko-
wanych przez firmÄ™ Brüel i Kjaer (Dania). Czujnik piezoelektryczny 1 jest przymocowany do
Rys. 8. Schemat blokowy układów wibrometrycznych firmy Bruel i Kjaer: 1-czujnik piezoelek-
tryczny, 2-przedwzmacniacz, 3-zespół całkujący, 4-filtr górnoprzepustowy, 5-filtr dolnoprzepu-
stowy, 6-wzmacniacz, 7-protownik, 8-przetwornik, 9-miernik, 10-filtr, 11-wyjście do rejestracji,
12-wskaznik przeciÄ…\enia.
badanego obiektu i generuje napięcie proporcjonalne do przyspieszenia mierzonych drgań.
Otrzymany w ten sposób sygnał napięciowy jest przesyłany do przedwzmacniacza 2 (napięcia
lub ładunku), który redukuje du\ą impedancję elektryczną czujnika do poziomu umo\liwiającego
podłączenie pozostałych członów pomiarowych. Dzięki zespołowi całkującemu 3 mo\na
mierzyć prędkości i wychylenia drgań badanego obiektu. Filtry górnoprzepustowy 4 i dolnoprze-
pustowy 5 zmniejszają wpływ zakłóceń o du\ych i małych częstotliwościach na wynik pomiaru.
Po przejściu przez wzmacniacz 6 sygnał pomiarowy jest przesyłany do prostownika 7 i
przetwornika 8, a stąd jest podawany na miernik 9, na którym odczytuje się wynik pomiaru.
Wbudowane w aparaturę lub zewnętrzne filtry 10 umo\liwiają wykonanie analizy harmonicznej
badanego przebiegu. Gniazda wyjściowe 11 pozwalają zarejestrować przebieg zmienny lub
wyprostowany. Wskaznik przeciÄ…\enia 12 sygnalizuje przekroczenie zakresu, pomiarowego, co
jest szczególnie istotne przy współpracy z filtrami oraz przy pomiarach drgań udarowych.
13
5.3. Pomiar drgań wirników
Drgania maszyny są najczęściej wywołane precesją wirnika. Względem nieruchomego
czujnika elektromechanicznego ruch precesyjny wału ma charakter ruchu drgającego i dlatego
często mówi się o drganiach wirników. Dla odró\nienia ich od drgań giętych belek u\ywa się
niekiedy terminu drgania obrotowe. Drgania te mo\na mierzyć dwiema metodami. Jedną z nich
określa się drgania względne wirnika, a drugą - drgania bezwzględne.
Drgania wirnika nazywa się bezwzględnymi, je\eli określa się je w nieruchomym ukła-
dzie odniesienia. W technice pomiarów drgań jako nieruchomy układ odniesienia przyjmuje się
najczęściej odpowiednio du\ą masę zawieszoną na podatnej sprę\ynie. Przy szybkich drganiach
punktu zamocowania sprę\yny bezwładna masa praktycznie nie zmienia swojego poło\enia w
przestrzeni. Na tej zasadzie są zbudowane wszystkie elektrodynamiczne czujniki bezwładno-
ściowe. Drgania wału nazywa się względnymi, je\eli wyznacza się je w ruchomym układzie
odniesienia. W rozwa\anym przypadku ruchomym układem odniesienia jest sam czujnik drgań
przymocowany sztywno do drgającej obudowy ło\yska lub do kadłuba maszyny.
Tor precesji środka wału ma kształt zbli\ony do elipsy. Kierunek du\ej osi mo\na wy-
znaczyć za pomocą dwóch czujników indukcyjnych przymocowanych do obudowy ło\yska i
przesuniętych wzajemnie o 90o (rys.30a). Napięcie z jednego czujnika podaje się na poziome
płytki oscyloskopu katodowego, a z drugiego - na pionowe. Dzięki temu na ekranie oscyloskopu
powstaje obraz toru środka wału (rys.30b), z którego mo\na odczytać kąt ą, pod jakim nale\y
ustawić oś czujników mierzących drgania względne wału (rys. 9).
Rys. 9. Wyznaczanie kierunku największego promieniowego wychylenia wału:
a) poło\enie czujników, b) oscyloskopowy obraz toru precesji środka wału
Bardzo często nie jest znany kierunek du\ej osi elipsy, a poza tym zmienia się on ze zmianą
prędkości obrotowej wirnika, a niekiedy i z warunkami pracy maszyny. W takich przypadkach
stosuje się aparaturę, która wektorowo składa przesunięcia zmierzone dwoma wzajemnie
prostopadłymi czujnikami. Dla ka\dej chwili t promień wodzący toru precesji r jest wtedy
wyznaczany wg zale\ności: r = y2
x2(t)+ (t) . Przy takim sposobie pomiaru drgań wirnika jego
stan dynamiczny określa się największą wartością promienia wodzącego rmax.
14
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
SP?061v 02 061F F 061The Modern Dispatch 061 Revenant061 PREDICTIONSF G 061061 070 (2)060 061061 ochrona przed skazeniami temat 1więcej podobnych podstron