1sze Kolokwium z RRC1 grupa A
Imie i nazwisko, numer albumu:
nr grupy:
1. Wykorzystujac definicje granicy wykaż, że
4 - 3n 3
lim = - .
n+"
2n + 1 2
2. Wyznacz z definicji kresy zbioru
"
n + 1
A = 2 + : n "
3
3. Narysuj podany zbi r i odczytaj jego kresy
{-4, 0, 1} *" [-3, -1] *" (-5, -4).
4. Niech f : bedzie dana wzorem:
Å„Å‚
òÅ‚ -4x2, dla x < 0
f(x) = 2, dla x = 0 .
ół
x + 4, dla x > 0
Sprawdz
, czy funkcja jest bijekcja i jeśli jest, to wyznacz f-1.
2x+1
5. Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji f(x) = 2x .
2x-1
2
6. Zbadaj czy funkcja f : (0, ") (0, ") dana wzorem f(x) = 2x + jest
x
monotoniczna.
1 - n4
7. Obliczyć lim " .
n-"
(n2 + 1) (n + 1) n - 4
"
n
8. Obliczyć lim 2 · 3n + 2n cos2 n .
n-"
9. Korzystajac z twierdzenia o dw ch ciagach obliczyć granice ciagu (an)n"
określonego wzorem
Å„Å‚
(-1)n
ôÅ‚
òÅ‚
, jeżeli n d" 10,
n
an =
ôÅ‚
ół
(2 arctg n - 5) n2, jeżeli n > 10.
4n+1
8n - 3
10. Obliczyć lim .
n-"
8n + 3
1
ZADANIA TEORETYCZNE
1. Podaj definicje (opisowa bez użycia symbolu µ) kresu g rnego niepustego
podzbioru zbioru liczb rzeczywistych.
2. Podać definicje podzbioru otwartego zbioru liczb rzeczywistych.
"
3. Wyjaśnić na przykladzie znaczenie zwrotu wyrażenie typu jest nieoz-
"
naczone
1
4. Ocenić prawdziwość zdania: Jeśli an 0 i an = 0 dla n " N to ".

an
5. Dane sa funkcje f, g : R R. Wiadomo, że funkcja f + g jest ciagla. Czy
funkcje f oraz g sa r wnież ciagle?
6. Podać definicje funkcji na . Podać przyklad funkcji, kt ra jest na i
takiej, kt ra nie jest na .
7. Dana jest funkcja ciagla f : R R o takiej wlasności, że f (1) < 0 oraz
f (2) > 0. Czy r wnanie f (x) = 0 posiada rozwiazanie dla x " (1, 2)?
8. Podać definicje jednostajnej ciaglości i jej zwiazku z ciaglościa dla funkcji
f : R R.
9. Podać definicje ciagu malejacego. Sformulować i udowodnić twierdzenie o
zbieżności ciagu malejacego i ograniczonego.
10. Sformulować lemat Bolzano - podac szkic dowodu.
2