Klas´

owka poprawkowa, matematyka A, 8 grudnia 2006

Na rozwia,zanie wszystkich zada´n jest 90 minut

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza

,

cego, jego

nr. indeksu oraz nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia i nr. grupy ´cwiczeniowej.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n elektro-

nicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone!

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore zo-

sta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

Wynik np. w postaci

√

88510464+194

2

jest r´

ownie dobry, jak w postaci

9410

1. (1.1) Zdefiniowa´c log

d

c pamie

,

taja

,

c o za lo˙zeniach o c i d .

(1.2) Rozwia

,

za´c r´ownanie: log

10

x+5

3

+ log

10

x−2

3

+ log

10

x−3

2

= log

10

(log

2

3 · log

3

2) .

(1.3) Wykaza´c, ˙ze 3 log

10

7 < 1 + 2 log

10

6 < 2 log

10

19 .

2. Rozwia

,

za´c r´ownanie:

log

2

sin(ϕ +

π

4

)

= −

1
2

.

Zilustrowa´c rozwia

,

zanie tego r´ownania na okre

,

gu x

2

+ y

2

= 1 .

3. Poda´c definicje

,

kosinusa dowolnego ka

,

ta dodatniego. Rozwia

,

za´c nier´owno´s´c: | cos t| <

1
2

.

Zilustrowa´c rozwia

,

zanie tej nier´owno´sci na okre

,

gu x

2

+ y

2

= 1 .

4. Niech A = (1, 2) , B = (5, 4) , C = (3, 8) . Znale´z´c ´srodek okre

,

gu opisanego na tr´ojka

,

cie ABC i

pole tego tr´ojka

,

ta. Wyja´sni´c, czy tr´ojka

,

t jest ostroka

,

tny, prostoka

,

tny czy rozwartoka

,

tny.

5. Obliczy´c







1 0 0 0
2 1 0 0
1 0 1 0
0 1 0 0





·







3 −1

2 −3

2

2 −1 −1

−1

0 −3

1

1

1

1 −1





 i







3 −1

2 −3

2

2 −1 −1

−1

0 −3

1

1

1

1 −1





·







1 0 0 0
2 1 0 0
1 0 1 0
0 1 0 0





.

Obliczy´c wyznaczniki

1 −2

4

2

4

8

−1

3

9

i

1 2

3

4

0 1 −1 2
0 0

1

0

0 1

0

0

.

6. (6.1) Niech ~u =

1

2
3

i ~v =

3

2
1

. Znale´z´c wsp´o lrze

,

dne wektora ~

w := −

1
4

~u × ~v .

Znale´z´c d lugo´sci k~uk i k~vk wektor´ow ~u i ~v .

(6.2) Znale´z´c kosinusy obu ka

,

t´ow, kt´ore tworza

,

p laszczyzny o r´ownaniach:

x + 2y + 3z = 0

i

3x + 2y + z = 0 .

(6.3) Niech A = (1, −2, 1) , B = A + ~u × ~

w , C = A + ~u × ~

w + ~v × ~

w , D = A + ~v × ~

w .

Znale´z´c pole czworoka

,

ta ABCD i jego ´srodek symetrii, je´sli ten czworoka

,

t jest

´srodkowosymetryczny.

(6.4) Znale´z´c punkt symetryczny do punktu E = (3, 0, 4) wzgle

,

dem p laszczyzny

x + 2y + 3z = 0 .

inf. Informacje przer´o˙zne (przydatne albo i nie):

sin

5π

6

=

1
2

; sin

5π

4

= −

√

2

2

; cos

5π

6

= −

√

3

2

, 14

2

= 196 , 15

2

= 225 , 16

2

= 256 , 17

2

= 289 ,

2

7

= 128 , 2

10

= 1024 , 2

12

= 4096 , 2

20

= 1048576 , 3

4

= 81 , 3

8

= 6561 , 3

13

= 1594323 .