Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas



"
ć%
Na podstawie wartości kilku początkowych wyrazów podanych ciągów znalez
ć ich wzory
ogólne:
1 1 1
(xn) = (1, 2, 6, 24, 120, . . .); (yn) = 1, , 3, , 5, , . . . ;
2 4 6

(zn) = (1, 3, 7, 15, 31, 63, . . .); (tn) = (1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, . . .).
ć%
Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów:
1 1 1 1
xn = nn, x2n; yn = + + + . . . + , yn+1;
2n 2n + 1 2n + 2 3n
3

zn = (2n + 1)!, zn+3; tn = n2 + 1 , t2n-1.
ć%
Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, są ograniczone:
xn = n4 - n2; yn = (-1)nn!;
"
(-2)n
n
zn = 2n + 1; tn = .
1 + (-2)n
ć%
Zbadać, czy podane ciągi są monotoniczne od pewnego miejsca:
1 4n
xn = ; yn = ;
n2 - 6n + 10 2n + 3n
100Ä„ n!

zn = tg ; tn = .
2n + 1 10n
ć%
Korzystając z definicji granicy ciągu uzasadnić podane równości:
2n + 1
lim = 0; lim n4 - 1 = ";
n" n"
n2
"
2n - 3n

lim = -1; lim n - n = -".
n" n"
2n + 3n
ć%
Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć podane granice:
n2 + 1 n! + 1
4
lim n4 + 16 - n ; lim ;
n" n"
(2n + 1)(n + 1)!
"
3
3
n20 + 2
8n+1 + 3

lim ; lim .
n" n"
2n + 1
(n3 + 1)20
ć%
KorzystajÄ…c z twierdzenia o trzech ciÄ…gach znalez
ć podane granice:
"
E(nĄ)
n
lim n2n + 1; lim ;
n" n"
n
2n sin n 1 1 1

lim ; lim " + " + . . . + " .
4 4 4
n" n"
3n + 1
n4 + 1 n4 + 2 n4 + n
"
Numeracja zadań z książki  Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania .
1

ć%
Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym uzasadnić zbieżność
podanych ciągów:
1 · 3 · 5 · . . . · (2n - 1) n2
xn = ; yn = ;
2 · 4 · 6 · . . . · 2n 5n
"
1 1 1

zn = + + . . . + ; t1 = 2, tn+1 = 6 + tn.
1 · 21 2 · 22 n · 2n
ć%
Korzystając z definicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć podane
granice:
15n
5n + 2 n2 n2
lim ; lim ;
n" n"
5n + 1 n2 + 1
n n n
3n + 2 5n + 3 3n

lim · ; lim .
n" n"
5n + 2 3n + 1 3n + 1
ć%
Korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach znalez
ć granice:
"
n
lim nn + 5; lim (3n cos n - 4n);
n" n"
n n
1 1 1 1 1 1

lim " + " +. . .+ " ; lim + 5- .
n" n"
E ( n) 3 n n
E 1 E 2
ć%
Korzystając z tabelki działań z symbolem " obliczyć podane granice:
1 - (n + 1)!
lim n4 - 3n3 - 2n2 - 1 ; lim ;
n" n"
n! + 2
" n
Ä„ arctg n

lim 3 - cos ; lim .
n" n"
n arcctg n
ć%
Znalez
ć zbiory punktów skupienia (właściwych i niewłaściwych) podanych ciągów:
(-1)nn nĄ
an = ; bn = sin2 ;
n + 1 4
n
cos nĄ

cn = [1 + (-1)n] · 2n; dn = 1 + .
n
ć%
Znalez
ć granice dolne i górne podanych ciągów:
(2n + 1)Ä„
an = (-1)n n2 + 1 ; bn = tg ;
4
(-2)n+1

cn = ; dn = (1 + cos nĄ) n!.
2n + 1



ć%
Korzystając z definicji Heinego granicy funkcji uzasadnić podane równości:
2
1 - 2x3
lim(x - 2)5 = 1; lim = -2;
x3 x"
x3 + 1
1

lim 4 - x2 = 0; lim = ".
(x
x2- x1+ - 1)7
ć%
W ostrosłupie trójkątnym prawidłowym krawędz
podstawy ma długość b, a kąt nachy-
Ä„
lenia krawędzi bocznej do podstawy ma miarę x, gdzie 0 < x < . Niech r(x) oznacza
2
promień kuli wpisanej w ten ostrosłup. Obliczyć granice lim r(x), lim r(x). Czy
x0+ x Ä„ -
2
można podać te granice nie wyznaczając funkcji r?
Cząstka pewnego układu drgającego porusza się po osi Ox. Położenie tej cząstki w
chwili t > 0 jest opisane wzorem x(t) = 5 - 4-3t cos(2t + 1). Znalez
ć jej graniczne
położenie, gdy t - ". Co oznacza otrzymany wynik?

Równanie ax4 - 2x - 8 = 0 ma dla parametru a > 0 dwa pierwiastki rzeczywiste x1(a),
x2(a). Obliczyć granice lim x1(a), lim x2(a), lim x1(a), lim x2(a).
a0+ a0+ a" a"
Wskazówka. Narysować wykresy funkcji y = ax4 oraz y = 2x + 8. Następnie zbadać położenie punktów
wspólnych obu wykresów, gdy a 0+ oraz, gdy a ".
ć%
Uzasadnić, że podane granice funkcji nie istnieją:
x2
lim ; lim E x2 ;
x3 - 3
x2
x
1

lim ex cos x; lim 2sin x .
x" xĄ
ć%
Zbadać, obliczając granice jednostronne, czy istnieją podane granice:
1
3
lim [x sgn x]; lim 2x ;
x0 x0
x2 - 4

lim E (3 sin x); lim .
Ä„
x2 - 2|
x |x
2
ć%
Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć podane granice:
x3 - 1 2x + 1
lim ; lim ;
4
x"
x1 x"- 1 3x + 2
3
x - 4 tg2 x + 1

lim " ; lim .
Ä„ -
x64 - 8 tg2 x + 5
x
x
2
ć%
Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnić podane równości:
"
E x 8
1
lim x3 arctg = 0; lim " = 2;
x"
x0 x
E x 2
2-x + sin x

lim = 1; lim E(x) sin(xĄ) = 0.
x-" x2
2-x + cos x
ć%
Korzystając z twierdzenia o dwóch funkcjach uzasadnić podane równości:
1
2 + sin
E x2 + 1
1

x
lim = "; lim = "; lim 3 - cos ctg x = -".
x" x0 x2 x0- x
E(x)
3
ć%
Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć podane granice:
sin2 3x ln (1 + 2x)
lim ; lim ;
x0 x-"
x2 3x
2x - 1

lim " ; lim [1 + tg(2x)]ctg x .
x0
x0+ x - 1
4
ć%
Znalez
ć asymptoty pionowe i ukośne podanych funkcji:
x3 + x2 x - 3
u(x) = ; v(x) = " ;
x2 - 4
x2 - 9
sin x cos(Ä„x)

w(x) = ; z(x) = .
x - Ä„ 2x - 8
ć%
Narysować wykresy funkcji spełniających wszystkie podane warunki:
lim u(x) = ", lim u(x) = 1, u(2) = 0, lim u(x) = -1;
x-" x"
x0-
lim v(x) = e, lim v(x) = 0, funkcja v jest parzysta;
x" x2

prosta y = x + 1 jest asymptotą ukośną funkcji z w -", prosta y = x - 1 asymptotą
ukośną w ", a prosta x = 0 jest jej asymptotą pionową obustronną;
Na rysunkach wskazać fragmenty wykresów spełniające poszczególne warunki.




ć%
Korzystając z definicji Heinego uzasadnić ciągłość podanych funkcji na :
x3
u(x) = ; v(x) = sin2 x;
x2 + 2

w(x) = |x - 5|; z(x) = 2-x.
ć%
Określić zbiory punktów ciągłości podanych funkcji:
Å„Å‚
òÅ‚ 1 dla x = 0 lub Ä„,
Ä„ sin x
u(x) = x3 - x E(x); v(x) =

ół dla x = 0 i Ą;
x(x - Ä„)
Å„Å‚
1
ôÅ‚ Å„Å‚
"
ôÅ‚ x cos dla x < 0,
ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚ - cos 2x
1
x
dla x = 0,

0 dla x = 0,
w(x) = z(x) =
x
ôÅ‚ ół
"
ôÅ‚ 1
2 dla x = 0;
ôÅ‚
ół
x sin " dla x > 0;
x
ć%
Dobrać parametry a, b " tak, aby podane funkcje były ciągłe we wskazanych punktach:
4
Å„Å‚
Å„Å‚
Ä„
ôÅ‚
2 dla x 0,
òÅ‚ sin x dla |x| , òÅ‚
2
u(x) = v(x) = ax + b dla 0 < x < 1,
Ä„
ôÅ‚ ół
ół
ax + b dla |x| < ,
3 dla x 1,
2
Ä„ Ä„
x1 = - , x2 = ; x1 = -1, x2 = 1;
2 2
Å„Å‚
Ä„
ôÅ‚
òÅ‚ a sin x + b cos x dla |x| > ,
x2+ax+b dla |x| < 2,
4
"
w(x) = z(x) =
Ä„
x x2 - 4 dla |x| 2; ôÅ‚
ół
1 + tg x dla |x| ;
4
Ä„ Ä„
x1 = -2, x2 = 2; x1 = - , x2 = ;
4 4
ć%
Uzasadnić ciągłość podanych funkcji na wskazanych zbiorach:
1
u(x) = ex cos x, ; v(x) = " , (-2, 2);
16 - x4
"
"

w(x) = arctg x, [0, "); z(x) = sin x, [2kĄ, (2k + 1)Ą] .
k"
ć%
Określić rodzaje nieciągłości podanych funkcji we wskazanych punktach:
Å„Å‚
1
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x2-1
ex + 2
òÅ‚ òÅ‚
" dla x " (0, 1) *" (1, "),
dla x = 0,

1
u(x) = v(x) =
x-1
ół ôÅ‚
ôÅ‚ ex + 1
3 dla x = 1, ół
e dla x = 0,
x0 = 1; x0 = 0;
Å„Å‚
1
Å„Å‚ ôÅ‚
x
ôÅ‚
ôÅ‚
(1 - x) dla x < 0,
|x| + x
òÅ‚ òÅ‚
dla x = 0,


w(x) = z(x) = e dla x = 0,
x2
ół ôÅ‚
1
ôÅ‚
0 dla x = 0,
ôÅ‚
ół
x
(1 + x) dla x > 0,
x0 = 1; x0 = 0;
ć%
Korzystając z twierdzenia Weierstrassa o przyjmowaniu kresów przez funkcję ciągłą na
przedziale domkniętym uzasadnić, że podane zagadnienia ekstremalne mają rozwiązania:
wśród stożków wpisanych w kulę o promieniu r istnieje ten, który ma największą ob-
jętość;
wśród trójkątów prostokątnych wpisanych w koło o promieniu r istnieje ten, który ma
najwiekszy obwód;

wśród prostokątów opisanych na danej elipsie istnieje ten, który ma najmniejsze i naj-
większe pole;
ć%
Uzasadnić, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych przedzia-
Å‚ach:
5Ä„
x3 + 6x - 2 = 0, (0, 1); x sin x = 7, 2Ä„, ;
2
1

3x + 5x = 9, (1, 2); x2 + ln x = 0, , 1 .
e
5
ć%
Korzystając z twierdzenia Darboux o przyjmowaniu wartości pośrednich przez funkcję cią-
głą uzasadnić następujące stwierdzenia:
na każdym szlaku turystycznym wiodącym z Karpacza (800 m nad poziomej morza)
na Śnieżkę (1602 m nad poziomem morza) jest miejsce, które wznosi się 1000 m nad
poziomem morza;
w każdym wielokącie wypukłym istnieje sieczna, która jednocześnie połowi obwód i pole
tego wielokÄ…ta;

na dowolnej figurze wypukłej na płaszczyz
nie można opisać kwadrat;



ć%
Korzystając z definicji zbadać, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych
punktach:
u(x) = 2x - |x|, x0 = 0; v(x) = |x| sin x, x0 = 0;
Å„Å‚
Ä„
ôÅ‚
òÅ‚ sin x dla x ,
x2 dla x 2,
2

w(x) = z(x) =
Ä„
ôÅ‚
2x dla x > 2,
ół
1 dla x > ,
2
Ä„
x0 = 2; x0 = .
2
ć%
Korzystając z definicji obliczyć pochodne podanych funkcji:
"
1
u(x) = , gdzie x = -1; v(x) = x, gdzie x > 0;

x + 1
Ä„

w(x) = tg x, gdzie x = + kĄ dla k " ; z(x) = sh x, gdzie x " .

2
ć%
Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach:
x
f(x) = arcsin , (1, f(1)); f(x) = ln x2 + e , (0, f(0));
2
"
Ä„ Ä„

f(x) = etg x, , f ; f(x) = 2x + 1, (3, f(3)) .
4 4
ć%
Obliczyć kąty, pod jakimi przecinają się wykresy podanych funkcji:
"
x2
3
i) f(x) = x2, g(x) = x, x > 0; ii) f(x) = 4 - x, g(x) = 4 - , x > 0;
2
"
1 Ä„
iii) f(x) = , g(x) = x, x > 0; iv) f(x) = tg x, g(x) = ctg x, 0 < x < .
x 2
ć%
Na wykresie funkcji y = ex znalez
ć punkt, który jest położony najbliżej prostej y = ex -4;
ć%
Wskazówka minutowa zegara na ratuszu ma długość 3 m, a godzinowa 2 m. Obliczyć
prędkość, z jaką oddalają się od siebie końce wskazówek zegara o godzinie 6:00;
6
 Basen ma kształt odwróconego ostrosłupa ściętego prawidłowego. Dno basenu jest kwa-
dratem o boku 4 m, a jego górna powierzchnia kwadratem o boku 16 m. Głębokość
basenu wynosi 2 m. Do basenu wlewa się woda z prędkością 1 m3/min. Z jaką prędko-
ścią będzie się podnosił poziom wody w basenie w chwili, gdy będzie on napełniony do
połowy głębokości?
ć%
Badając pochodne jednostronne rozstrzygnąć, czy istnieją pochodne podanych funkcji we
wskazanych punktach:
u(x) = x2 - x , x0 = 1; v(x) = sgn (x) · sin x, x0 = 0;
Å„Å‚
Ä„
òÅ‚
tg x dla - < x 0,
Ä„

2
w(x) = ctg3 x , x0 = ; z(x) = x0 = 1.
Ä„
2 ół
sin x dla 0 < x < ,
2
ć%
Znalez
ć parametry a, b, c, dla których podane funkcje mają pochodne na :
aex+be-x dla x < 0, x+1 dla x 0,
v(x) = u(x) =
ch 2x dla 0 0; a sin x+b cos x dla x > 0.
ć%
Zbadać, czy podane funkcje mają pochodne niewłaściwe w punkcie x0 = 0:
" "
5 3
u(x) = 3 - x; v(x) = tg x; w(x) = | sin x|.
ć%
Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne podanych funkcji:
1 sin x
y = x3 + ex; y = ;
x2 x4 + 4
tg x
3
y = arcsin (x2); y = x .
ć%
Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć:
f-1 (y) dla:
i) f(x) = 3-x, gdzie x " ; ii) f(x) = cos x, gdzie 0 < x < Ä„;
iii) f(x) = th x, gdzie x " ; iv) f(x) = ln x, gdzie x > 0;
i) f-1 (e + 1), gdzie f(x) = x + ln x;
ii) g-1 (1), gdzie g(x) = cos x - 3x;
" " "
3 5 7
iii) h-1 (3), gdzie h(x) = x + x + x;
iv) k-1 (4), gdzie k(x) = x3 + 3x.
ć%
Zakładając, że funkcje f i g mają pochodne właściwe, obliczyć pochodne funkcji:
f(x)
g(x)
y = f(x) cos g(x); y = e ;

y = arctg [f(x)g(x)]; y = ln f(x)g(x) + 1 .
7


ć%
Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości podanych wyrażeń:
"
3
7.999; e0.04;
2001

ln ; arccos 0.499.
2000
ć%
Fragment terenu ma kształt trójkąta równoramiennego o boku b = 200 m. Kąt przy
Ä„
wierzchołku tego trójkata, zmierzony z dokładnością 0.01 rad wynosi . Z jaką w przy-
3
bliżeniu dokładnością można obliczyć pole tego terenu?
Objętość kulki metalowej, wyznaczona z dokładnością 1 cm3, wynosi 36Ą cm3. Z jaką w
przybliżeniu dokładnością można obliczyć średnicę tej kuli?

Do sztolni puszczono swobodnie kamień i zmierzono czas jego spadania z dokładnością
0.1 s. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można wyznaczyć głębokość sztolni, jeżeli
czas spadania kamienia wyniósł 4.1 s? Przyjąć g = 9.8 m/s2.
ć%
Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej oraz z różniczki funkcji znalez
ć
przybliżone rozwiązania podanych równań:
1
x2003 + 2003x = 2005; 3x - = 8.70;
2x

sin x + arctg x = 0.008; x + ln x = 3.71.
ć%
Obliczyć f , f , f podanych funkcji:
2
f(x) = x3 - ; f(x) = x sin x;
x
ex

f(x) = ; f(x) = arctg x.
x
ć%
(n)
Zbadać, czy istnieje f (x0) dla podanych funkcji i punktów:
(ex - 1)2 dla x 0,
f(x) = x3|x|, x0 = 0, n = 3; f(x) =
x2 dla x 0,
x0 = 0, n = 2;
ć%
Funkcja f ma pochodne do drugiego rzędu włącznie. Obliczyć y , y dla podanych funkcji:

y = ef(x); y = f (tg x); y = xf (3x); y = f f x2 .
ć%
Znalez
ć wzory ogólne na pochodną n-tego rzędu podanych funkcji:
1

"
u(x) = ; v(x) = sin2 x; w(x) = xex; z(x) = ln(1 + 2x).
x
ć%
Punkt materialny porusza się po krzywej y = 2x w ten sposób, że jego rzut na oś Ox ma
stałą prędkość vx = 3. Z jaką prędkością (w kierunku osi Oy) porusza sie ten punkt w
chwili, gdy jest na wysokości 4?
8
ć%
Złożona drabina strażacka ma długość 10 m i jest pozioma. Przy rozkładaniu drabiny
Ä„
podnosi siÄ™ ona z prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ… É = rad/min i jednoczeÅ›nie wysuwa z prÄ™dkoÅ›ciÄ…
12
w = 5 m/min. Z jaką prędkością będzie się poruszał strażak w koszu na końcu drabiny
po 3 minutach wznoszenia?
Położenie cząstki w chwili t opisuje wektor wodzący r = et cos t, et t, et . Znalez
ć
"sin
przyspieszenie cząstki w chwili, gdy wektor prędkości miał długość 3.




ć%
Sprawdzić, czy podane funkcje spełniają założenia twierdzenia Rolle a na przedziale [-1, 1].
Narysować wykresy tych funkcji.
Ä„x
u(x) = cos ; v(x) = 1 - |x|;
2
Ä„
x3 sin dla x = 0,


w(x) = arcsin |x|; z(x) = x
0 dla x = 0;
ć%
Zastosować twierdzenie Lagrange a do podanych funkcji na wskazanych przedziałach. Wy-
znaczyć odpowiednie punkty:
u(x) = ex, [0, 2]; v(x) = x3 + x, [-1, 1] .
ć%
Korzystając z twierdzenia Lagrange a uzasadnić podane nierówności:
a
| arctg a - arctg b| |a - b| dla a, b " ; ln b - a dla 1 a b.
b
ć%
Znalez
ć przedziały monotoniczności podanych funkcji:
x4 x3
u(x) = - - x2; v(x) = ex(x + 1);
4 3
"
3
w(x) = x - 3 x; z(x) = x ln2 x.
ć%
Narysować wykresy funkcji f : - , które spełniają wszystkie podane warunki:
f (x) > 0 dla x " (-", 1) *" (4, "), f (x) < 0 dla x " (1, 4) ale f (1), f (4) nie istniejÄ…;
1
f (x) > 0 dla każdego x < 1, f (x) < 0 dla każdego x > 1, f-(1) = 1, f+(1) = - ,
2
f(1) = 2;
Na rysunkach zaznaczyć fragmenty wykresów, które spełniają poszczególne warunki.
ć%
Uzasadnić podane tożsamości:
Ä„
arctg x + arcctg x = dla x " ;
2
2x
arcsin = 2 arctg x dla x " (-1, 1).
1 + x2
9
ć%
Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć podane granice:
Ä„
ln sin x
ln (2x + 1)
2
lim ; lim ;
x" x1
x ln x
1

lim(cos x)x ; lim x arcctg x.
x0 x"
ć%
Obliczyć podane granice. Czy można tu zastosować regułę de L Hospitala?
1
x3 sin
x + cos 3x
x
lim ; lim .
x0 x-" - cos 2x
x
sin2 x
ć%
Napisać wzory Taylora z resztą Lagrange a dla podanych funkcji f, punktów x0 oraz n :
1
f(x) = x3, x0 = -1, n = 4; f(x) = , x0 = 1, n = 2;
x2

f(x) = sin 2x, x0 = Ä„, n = 3; f(x) = e-x, x0 = 0, n = 5.
ć%
Napisać wzór Maclaurina dla podanych funkcji ze wskazaną resztą:
x
f(x) = sin , Rn; f(x) = ch x, Rn.
3


ć%
Oszacować dokładności podanych wzorów przybliżonych na wskazanych przedziałach:
x2 Ä„
ch x H" 1 + , |x| 0.1; tg x H" x, |x| ;
2 12
x2 x3 1 1 x

ln(1 - x) H" -x - - , |x| < 0.1; " H" - , 0 < x < 0.1.
2 3 2 16
4 + x
ć%
Stosując wzór Maclaurina obliczyć:
1
sin 0.1 z dokładnością 10-5; z dokładnością 10-3.
e


ć%
Korzystając z definicji uzasadnić, że podane funkcje mają ekstrema lokalne we wskazanych
punktach:
|x| dla x = 0,

u(x) = x0 = 0; v(x) = ch x, x0 = 0;
1 dla x = 0,

w(x) = |x - 1| + |x + 1|, x0 = 1; z(x) = |sin x|, x0 = Ä„.
ć%
Znalez
ć wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji:
2x2 - 1
u(x) = ; v(x) = x ln x;
x4"

w(x) = x - x; z(x) = x2 - 5x - 6 .
10
ć%
Znalez
ć wartości najmniejsze i największe podanych funkcji na wskazanych przedziałach:
1 - x
u(x) = 2x3 - 15x2 + 36x, [1, 5]; v(x) = arctg , [0, 1];
1 + x
2
2x2 + dla x = 0,


w(x) = , [-2, 2]; z(x) = 1 - 9 - x2 , [-5, 1] .
x2
1 dla x = 0,
ć%
Określić przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia podanych funkcji:
u(x) = xe-x; v(x) = ln 1 + x2 ;
2 1

w(x) = x - x3 - 4 ln |x|; z(x) = sin x + sin 2x.
3 8

ć%
Zbadać przebieg zmienności podanych funkcji i następnie sporządzić ich wykresy:
"
x
u(x) = x ln x; v(x) = ;
x - 1
2-x2
1 - x2
x2-1

w(x) = arcsin ; z(x) = e ;
1 + x2
1
4 4
r(x) = 3 - - ; s(x) = x2x .
x x2
ć%
Platforma wiertnicza jest zakotwiczona na morzu 10 km od brzegu. Ropa z tej platformy
będzie dostarczana rurociągiem do rafinerii położonej nad brzegiem morza, 16 km od
punktu najbliższego platformie. Koszt ułożenia 1 km rurociągu na dnie morza wynosi 200
000 euro, a na lądzie  100 000 euro. Do którego miejsca na brzegu należy doprowadzić
rurociąg, aby koszt jego budowy był najmniejszy?
Platforma


wiertnicza


10 km







x Rafineria
16 km

ć%
Kropla deszczu spada pod wpływem siły ciężkości (pomijamy opór powietrza). W czasie
spadku kropla paruje w ten sposób, że jej masa zmniejsza się proporcjonalnie do upływu
czasu. Wiadomo, że po 5 sekundach wyparowała połowa jej masy. Po ilu sekundach energia
kinetyczna kropli będzie największa?
ć%
Jaka powinna być miara kąta ą przy wierzchołku trójkata równoramiennego o danym polu,
aby promień koła r wpisanego w ten trójkąt był największy?
11




Ä…













r



ć%
Prostopadłościenny kontener ma mieć pojemność 22.50 m3 i kwadratową podstawę. Koszt
1 m2 blachy potrzebnej do wykonania jego dna i pokrywy wynosi 20 zł, a ścian bocznych
 30 zł. Jakie powinny być wymiary kontenera, aby koszt jego budowy był najmniejszy?
ć%
Jakie powinny być wymiary prostokątnego pola o powierzchni S, którego jednym natural-
nym bokiem jest brzeg rzeki, aby na jego ogrodzenie zużyć jak najmniej siatki?
rzeka
a
S
b
ć%
Odcinek o długości l podzielić na dwie części tak, aby suma pól kwadratów zbudowanych
na tych częściach była najmniejsza.
ć%
W parabolę o równaniu y = 16 - x2 wpisano prostokąt, w sposób przedstawiony na
rysunku. Znalez
ć wymiary prostokąta, który ma największe pole.


y y




y=x2 B


y=16-x2



y







A



x C x


x
O O
y=x+2
Na paraboli y = x2 wyznaczyć punkt A tak, aby pole trójkata, którego wierzchołkami
są punkt A oraz punkty B, C przecięcia paraboli z prostą y = x + 2, było największe.
ć%
Wytrzymałość deski o ustalonej długości jest wprost proporcjonalna do jej szerokości oraz
kwadratu grubości. Jakie wymiary powinna mieć deska wycięta z okrągłego pniaka o pro-
mieniu r = 9 cm, aby jej wytrzymałość była największa?


h




r

s

12
ć%
Ä„
Drogi łączące miasta A i B oraz B i C torzą kąt (zobacz rysunek). Samochód osobowy
3
wyruszył z miasta A do B i poruszał się prędkością v1 = 80 km/h. Jednocześnie z miasta
B do C wyruszył samochóch ciężarowy i jechał z prędkością v2 = 50 km/h. Po jakim czasie
samochody te będą najbliżej siebie, jeżeli odległość między miastami A i B wynosi 200

km?
A









v
1


d





Ä„


3
B C
v2





ć%
Obliczyć podane całki nieoznaczone:
"
"
1 1 - x
3
3 x2 + - 2x x dx; " dx;
3
x3 1 - x
x4 cos 2x

dx; dx.
x2 + 1 cos x - sin x
ć%
Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki nieoznaczone:

ln(x + 1) dx; cos ln x dx; x22x dx;
" "
(x - 1)ex
x arctg x dx; x ch x dx; dx.
x2
ć%
Stosując odpowiednie podstawienia obliczyć podane całki nieoznaczone:
"
"
cos x 1 + 4x

" dx; (x+1) sin x2+2x+2 dx; dx;
x x
cos x dx 3x + 2
" dx; dx; dx.
ch x 3x2 + 4x + 7
1 + sin x
ć%
Obliczyć podane całki nieoznaczone:
x dla x < 0,
(|x| + 1) dx; f(x) dx, gdzie f(x) =
sin x dla x 0;

min x, x2 dx; arctg |x| dx.
13

ć%
Obliczyć podane całki z funkcji wymiernych:
(x + 2) dx x2 dx dx

; ; ;
x(x - 2) x + 1 (x - 1)x2
dx (4x + 1) dx (3x - 1) dx
; ; .
(x2 + 1) (x2 + 4) 2x2 + x + 1 x2 - x + 1
ć%
Obliczyć podane całki z funkcji trygonometrycznych:
dx 1 + tg x dx

; dx; ;
sin x + tg x cos x 1 + 2 cos2 x
sin2 x dx sin5 x
dx; ; dx.
1 + cos x 1 - tg x cos3 x
ć%
Obliczyć podane całki z funkcji niewymiernych:
dx
" ; x3 1 + x2 dx;
(1 + x2) 1 + x2
"
x2 dx 9 - x2

" ; .
x
x2 - 1



ć%
Korzystając z definicji oraz z faktu, że funkcje ciągłe są całkowalne obliczyć podane całki
oznaczone:
1 2
(2x - 1) dx; |x - 1| dx.
-2 0
Wskazówka. Ad. przedział całkowania podzielić równomiernie parzystą liczbą punktów.
ć%
Korzystając z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczyć podane całki:
2 1 9
"
1 x - 1 dx

x + " dx; dx; dx;
x x + 1 x2 + 9
1 0 0
1
e Ä„
2
dx
dx; ln x dx; sin2 x cos x dx.
x2 - 1
1 1
0
-
2 e
ć%
Korzystając z definicji całki oznaczonej uzasadnić podane równości:
"
" " "
1 2
lim " 1 + n + 2 + n + . . . + n + n = 2 2 - 1 ;
n"
n n 3
1 1 1 Ä„
"
lim n + + . . . + = ;
n"
n2 + n + 12 n2 + 2n + 22 n2 + n2 + n2 3 3
14
"
Ą Ą 2Ą nĄ

lim tg + tg + . . . + tg = ln 2;
n"
4n 4n 4n 4n
1 (1 + n)(2 + n) · . . . · (n + n)
lim ln = ln 4 - 1.
n"
n nn
ć%
Obliczyć podane całki oznaczone dokonując wskazanych podstawień:
6 3
dx x dx
" , 3x - 2 = t2; " , 1 + x = t;
1 + 3x - 2 x + 1
1 1
1
e
4
dx

ln x, ln x = t; " , x = t2;
x(1 - x)
1 0
1
1 " 2
3
x - x3 1 1 + x
, x = ; , dx, x = cos t.
x4 t 1 - x
1
0
3
ć%
Metodą całkowania przez części obliczyć podane całki oznaczone:
1 e
ln x
arcsin x dx; dx;
x2
"
0
e
Ä„ 1

x(1 + cos x) dx; x2e2x dx.
0 0
ć%
Obliczyć podane całki oznaczone:
Å„Å‚
2 3
1-x dla 0 x 1,
òÅ‚
(x - 1)sgn (ln x) dx; f(x) dx, gdzie f(x) = 1 dla 1 < x 2,
ół
(2-x)2 dla 2 < x 3;
1
0
e
2 4
|x - 1| dx

||x| - 1| dx; .
|x - 2| + |x - 3|
-2 0
ć%
Oszacować podane całki:
2 1
x6 + 5 dx
dx; " dx;
x6 + 2
2 + x + x2
0 0
Ä„
1
2
"

sin x dx; ln 1 + x9 dx.
0 0

ć%
Obliczyć wartości średnie podanych funkcji na wskazanych przedziałach:
15
1 Ä„
u(x) = , 0, ; v(x) = sin3 x, [0, Ä„];
x2 + 4 2
"
1

w(x) = |ln x| , , e ; z(x) = arctg x, 0, 3 .
e
ć%
Kamień rzucono z wysokości h = 2 m pionowo do góry z szybkością początkową v0 =
5 m/s. Obliczyć średnią szybkość kamienia w czasie ruchu (od momentu wyrzucenia do
momentu upadku na ziemię). Nie uwzględniać oporu powietrza, przyjąć g = 10 m/ s2;
Zapotrzebowanie na energiÄ™ elektrycznÄ… w Polsce 13 kwietnia 2003 r. przedstawiono na
wykresie. Obliczyć średnie zapotrzebowanie na energię w tym dniu.

energia [MW ]
20
10
5

czas [godz.]
67 13151719 2224
ć%
W Nowy Rok średnia temperatura we Wrocławiu była równa 4ć% C. Przy czym od północy
do godziny 6 rano temperatura była ujemna, a w godz. od 18 do 24 nie przekraczała 2ć% C.
Uzasadnić, że w pewnej chwili temperatura była równa 7ć% C.
ć%
Wykorzystując własności całek z funkcji parzystych, nieparzystych lub okresowych uza-
sadnić podane równości:
1 Ä„ Ä„
x5 - 3x3 + x x sin x x sin x
dx = 0; dx = 2 dx;
x4 + 2x2 + 1 1 + cos x2 1 + cos x2
-1 -Ä„ 0
1
n 1
e
1 + sin x

ln dx = 0; (x - E(x)) dx = n (x - E(x)) dx, gdzie n " .
1 - sin x
1
0 0
-
e
ć%
Dla podanych funkcji f całkowalnych na przedziale [a, b], znalez
ć funkcje górnej granicy
całkowania
x
F (x) = f(t) dt, gdzie c " [a, b].
c
Naszkicować wykresy funkcji f i F.
f(x) = sgn x - x2 , [a, b] = [-1, 2], c = 0;
f(x) = min 1, x2 [a, b] = [-2, 3], c = -2.




ć%
Obliczyć pola obszarów ograniczonych podanymi krzywymi:
16
"
" 8
x + y = 1, x = 0, y = 0; 4y = x2, y = ;
x2 + 4
1

y = x3, y = 2x; y = x2, y = x2, y = 3x;
2
y = Ä„x2, x = Ä„y2; y = x + sin x, y = x, (0 x 2Ä„).
ć%
Obliczyć długości podanych krzywych:
ex + 1
y = ln , gdzie 2 x 3; y = x2, gdzie 0 x 1.
ex - 1
ć%
Wyprowadzić wzór na objętość ostrosłupa prawidłowego o wysokości H i podstawie
kwadratowej o boku a.
Walec o promieniu podstawy R ścięto ukośnie płaszczyzną (rysunek). Mniejsza wyso-
kość walca wynosi h, a większa H. Obliczyć objętość tego walca.







H
h



R

Obliczyć objętość stożka ściętego o wysokości H i promieniach podstaw r, R, gdzie
r < R.
ć%
Obliczyć objętości brył powstałych z obrotu podanych figur T wokół wskazanych osi:
"
2
T : 0 x 2, 0 y 2x - x2, Ox; T : 0 x 5, 0 y " , Oy;
x2 + 4
"
Ä„

T : 0 x , 0 y tg x, Ox; T : 0 x 1, x2 y x, Oy.
4
ć%
Obliczyć objętości brył powstałych z obrotu wokół osi Ox figur T przedstawionych na
rysunkach poniżej:

y
y

parabola

T


T

r
b










a
h
h










O
x x
O
z
ć%
Obliczyć pola powierzchni powstałych z obrotu wykresów podanych funkcji wokół wska-
zanych osi:
17
"
Ä„
f(x) = cos x, 0 x , Ox; f(x) = 4 + x, -4 x 2, Ox;
"2

f(x) = ln x, 1 x 3, Oy; f(x) = |x - 1| + 1, 0 x 2, Oy.
ć%
Obliczyć pola powierzchni powstaÅ‚ych z obrotu wokół osi Ox krzywych “ przedstawionych
na rysunkach poniżej:

y


y



“


r



r




“ h



h









O
x x
O
z
ć%
Przy rozciąganiu sprężyny siła rozciągania jest proporcjonalna do wydłużenia sprężyny
(współczynnik proporcjonalności wynosi k). Obliczyć pracę jaką należy wykonać, aby
sprężynę o długości l rozciągnąć do długości L;
Zbiornik ma kształt walca o osi poziomej. Średnica walca D = 2 m, a długość L = 6 m.
Obliczyć pracę, jaką potrzeba wykonać, aby opróżnić zapełniony całkowicie wodą zbior-
nik. Otwór do opróżnienia zbiornika znajduje się w jego górnej części. Masa właściwa
wody Å‚ = 1000 kg/m3.
ć%
Punkt materialny zaczął poruszać się prostoliniowo z szybkością początkową v0 =
10 m/s i przyspieszeniem a0 = 2 m/s2. Po czasie t1 = 10 s punkt ten zaczÄ…Å‚ poru-
szać się z opóz
nieniem a1 = -1 m/s2. Znalez
ć położenie punktu po czasie t2 = 20 s od
chwili rozpoczęcia ruchu;
Dwie cząstki elementarne A i B położone w odległości d = 36 zaczynają zbliżać się do
siebie z szybkościami odpowiednio vA(t) = 10t + t3, vB(t) = 6t, gdzie t 0. Po jakim
czasie nastÄ…pi zderzenie tych czÄ…stek?
ć%
Do dwóch jednakowych naczyń w kształcie walca włożono dwie bryły. Do naczyń wlewa
się woda z tą samą intensywnością. Pokazać, że jeżeli w każdej chwili poziom wody w
obu naczyniach był jednakowy, to pola przekrojów poziomych obu brył na tych samych
wysokościach są równe.
18