"POMIAR"
autor: Kazimierz Ajdukiewicz
"Studia Logica" 1961, t. XI. str. 223-231.
1. MierzÄ…c jakiÅ› przedmiot, mo\
emy go mierzyć pod ró\
nymi względami. Mierząc dany pręt mo\
emy
go mierzyć pod względem jego długości lub pod względem jego objętości, pod względem jego cię\
aru
itd. Niezbędnym zało\
eniem ka\
dego pomiaru jest więc ustalenie tego, pod jakim względem pomiar ma
być przeprowadzony. Czym jest ów "wzgląd", pod którym pomiar przeprowadzamy, a więc np.
długość, objętość, cię\
ar? Jest to zawsze pewien rodzaj, a więc pewna klasa cech między sobą
rozłącznych, to znaczy takich, z których dwie ró\
ne nie przysługują nigdy temu samemu przedmiotowi.
Np. długość jest to rodzaj, czyli klasa cech, do której nale\
ą ró\
ne długości, np. długość 1 m, długość 2 m
itd., które są, oczywiście, między sobą rozłączne. Ka\
dy rodzaj, czyli klasa cech rozłącznych,
wyznacza pewien stosunek, którego polem jest zbiór wszystkich przedmiotów posiadających jakąś
spośród cech tego rodzaju. Jest to mianowicie stosunek, który zachodzi między dwoma takimi
przedmiotami zawsze i tylko wtedy, gdy mają tę samą cechę danego rodzaju. Np. długość wyznacza
stosunek zachodzący pomiędzy dwoma przedmiotami zawsze i tylko wtedy, gdy oba mają tę samą
długość. Stosunek polegający na posiadaniu tej samej cechy spośród rozłącznych cech rodzaju P jest
oczywiście stosunkiem zwrotnym i symetrycznym w zbiorze przedmiotów posiadających którąś z cech
rodzaju P. Ka\
dy bowiem przedmiot posiadajÄ…cy jakÄ…Å› z cech rodzaju P zgadza siÄ™ sam ze sobÄ… co do tej
cechy. Je\
eli przedmiot a zgadza siÄ™ z przedmiotem b co do posiadanej cechy rodzaju P, to przedmiot b
zgadza siÄ™ te\
z przedmiotem a co do tego. Jest on te\
stosunkiem przechodnim, bo gdyby przedmioty a i
b miały tę samą cechę rodzaju P, i przedmiot b oraz c miały tę samą cechę rodzaju P, zaś przedmioty a i c
nie miały tej samej cechy rodzaju P, to cecha rodzaju P wspólna przedmiotom a i b oraz cecha rodzaju P
wspólna przedmiotom b i c nie mogłaby być tą samą cechą, gdy\
wtedy przedmiot a i przedmiot c
miałyby jakąś wspólną cechę rodzaju P. Jeśli jednak inna cecha rodzaju P byłaby wspólna przedmiotom a
i b i inna cecha tego rodzaju była wspólna przedmiotom b i c, to wtedy przedmiot b posiadałby dwie
ró\
ne cechy rodzaju P. To jednak jest niemo\
liwe, je\
eli cechy rodzaju P są rozłączne. Stosunek
polegający na posiadaniu tej samej cechy spośród rozłącznych cech rodzaju P jest zatem stosunkiem
zwrotnym, symetrycznym i przechodnim, a więc pewnego rodzaju równością. Nazywamy go równością
pod względem P. Stwierdziliśmy na wstępie, \
e niezbędnym zało\
eniem ka\
dego pomiaru jest
ustalenie tego, pod jakim względem pomiar ów ma być przeprowadzony. Zobaczyliśmy jednak, \
e z
chwilą, gdy ów "wzgląd" jest ustalony, ustalone jest tak\
e, kiedy dwa przedmioty są pod tym względem
równe. Wynika z tego, \
e dopóki, nie jest ustalone, kiedy dwa przedmioty są pod danym względem
równe, dopóty te\
nie jest ustalone, pod jakim względem pomiar przeprowadzamy. Mo\
emy więc
powiedzieć, \
e niezbędnym zało\
eniem ka\
dego pomiaru jest ustalenie pewnej równości, mianowicie:
równości przedmiotów, pod tym względem, pod którym chcemy je mierzyć. Z drugiej strony
wiadomo z teorii stosunków, \
e ka\
dy stosunek równościowy wyznacza w sposób jednoznaczny pewien
podział logiczny swego pola, a więc wyznacza pewną rodzinę rozłącznych jego podklas, których suma z
polem tym się pokrywa. Jest to - jak wiadomo - rodzina klas abstrakcji ze względu na ten stosunek, tzn.
rodzina klas zło\
onych ze wszystkich i tylko tych przedmiotów, które do jakiegoś przedmiotu w tym
stosunku pozostajÄ…. Ka\
dej z tych podklas odpowiada cecha dla niej charakterystyczna, a ich rodzinie
odpowiada rodzaj tych cech, czyli tzw. "wzgląd", pod którym cechy te przedmiotom przysługują. Jak
z tego widać, ustalenie "względu", pod którym przedmioty mają być mierzone, jest równowa\
ne z
ustaleniem odpowiedniego stosunku równościowego tzn. z ustaleniem, kiedy dwa przedmioty mierzone
będą uwa\
ane przy tym pomiarze za równe. Idzie tu oczywiście o równość pod pewnym względem, a nie
o identyczność. A więc np. ustalenie tego, co to jest długość, jest równowa\
ne z ustaleniem tego, kiedy
dwa przedmioty są równie długie; ustalenie tego, co to jest cię\
ar, jest równowa\
ne z ustaleniem tego,
kiedy dwa ciała są równie cię\
kie itd. Twierdzenie to jest oczywistÄ… konsekwencjÄ… znanej z teorii
stosunków zasady dzięki tej równowa\
ności tzw. "wzgląd", pod którym zamierzamy przedmioty
mierzyć, mo\
e zostać ustalony przez określenie, kiedy dwa przedmioty uwa\
ać będziemy za równe przy
pomiarach danego rodzaju. W praktyce mierzenia rozpoczynamy te\
zazwyczaj wykład definicji
stanowiących podstawowe zało\
enia danego pomiaru od odpowiedniej definicji równości. Jest rzeczą
jasnÄ…, \
e wraz ze zmianą definicji równości otrzymywać będziemy inne wyniki pomiaru. W
szczególności, przy pomiarach przestrzennych przy pewnej definicji stosunku równej długości mo\
emy
otrzymać wyniki pomiarów, które potwierdzą geometrię euklidesową, przy innej jednak definicji stosunku
równej długości mo\
emy otrzymać wyniki pomiarów, które nie będą się zgadzały z geometrią
euklidesową, ale potwierdzą jakąś inną geometrię. Ten stan rzeczy mógłby zostać wypowiedziany w tych
słowach, \
e to, za jaką geometrią opowie się pomiar, a więc doświadczenie, zale\
y od przyjętych definicji
pomiarowych. StÄ…d mo\
na by snuć wnioski, \
e wobec tego, i\
definicje pomiarowe sÄ… arbitralne, od
naszych arbitralnych konwencji definicyjnych zale\
y te\
to, czy przestrzeń rzeczywista jest, czy te\
nie
jest euklidesowa. Sformułowanie to brzmi bardzo sensacyjnie; nie jest te\
pozbawione pewnej
intelektualnej pikanterii i mogłoby być uwa\
ane za otwarcie drogi do idealizmu ontologicznego. Je\
eli
jednak będziemy sobie zdawali sprawę z tego, \
e zmieniając definicję równej długości, zmieniamy sens
słowa "długość", \
e pomiary oparte na jednej definicji równej długości są pomiarami tych\
e przedmiotów
pod innym względem ni\
pomiary oparte na innej definicji równej długości, to posmak sensacji
odpadnie. Nie ma przecie\
nic sensacyjnego w tym, \
e mierząc przedmioty pod jednym względem,
otrzymamy wyniki doprowadzające do jednej teorii, a mierząc je pod innym względem, otrzymamy
wyniki doprowadzające do innej teorii, całkowicie ró\
nej od pierwszej. Arbitralność definicji
pomiarowych, a w szczególności arbitralność definicji równości i wszystkie płynące z niej konsekwencje
sÄ… tylko prostÄ… konsekwencjÄ… tego, \
e od naszej swobodnej decyzji zale\
y to całkowicie, pod jakim
względem chcemy przedmioty poddawać pomiarowi. 2. Wszelki pomiar polega na
przyporzÄ…dkowaniu przedmiotom mierzonym czy te\
ich cechom przysługującym im pod tym względem,
pod którym je mierzymy, pewnych liczb jako ich miary. Cechom przedmiotów mierzonych (ich
długościom, cię\
arom lub tp.) przyporządkujemy ich liczbowe miary w sposób wzajemnie jednoznaczny,
przedmiotom zaś w sposób wielo-jednoznaczny: tę samą miarę liczbową przyporządkujemy wszystkim
przedmiotom, które są równe pod danym względem. Przyporządkowanie przez pomiar przedmiotom
mierzonym czy te\
ich cechom pewnych liczb jako ich miar dokonywane jest jednak w sposób osobliwy.
Nie jest to mianowicie przyporządkowanie zupełnie dowolne i nic nie mówiące, jak np. to, którego
dokonywamy przeprowadzając zwykłą numerację przedmiotów. Przyporządkowanie dokonywane przez
pomiar jest takie, \
e pozwala ze stosunków pomiędzy przyporządkowanymi przedmiotom liczbami
wnioskować o zachodzeniu odpowiednich stosunków pomiędzy tymi przedmiotami. Jeśli np. wa\
Ä…c trzy
przedmioty, znajdę jako ich miary liczbowe pod względem cię\
aru odpowiednio liczby 5, 3 i 2, to z tego,
\
e 5=3+2, będę mógł wnosić, \
e waga obciÄ…\
ona na jednej szalce ciałem o mierze 5, a na drugiej ciałami
o mierze 3 i 2 będzie się znajdowała w równowadze. Jeśli jakaś relacja R odwzorowuje pole stosunku
S na polu stosunku T w sposób wzajemnie jednoznaczny i tak, \
e ilekroć między przedmiotami x i y
zachodzi stosunek T, tylekroć między przyporządkowanymi tym przedmiotom przez relację R
przedmiotami x' i y' zachodzi stosunek S, i na odwrót, wówczas mówimy, \
e relacja R odwzorowuje
relację S na relacji T w sposób "izomorficzny". Jeśli zaś relacja R odwzorowuje pole relacji S na polu
relacji T w sposób wielo-jednoznaczny i to tak, \
e ilekroć między dwoma przedmiotami x i y zachodzi
relacja T, tylekroć między dowolnymi dwoma przedmiotami, którym relacja R przyporządkowuje
przedmioty x i y, zachodzi relacja S -wówczas mówimy, \
e relacja R odwzorowuje relacjÄ™ S na relacji T
w sposób "homomorficzny". Korzystając z tej terminologii, będziemy mogli ów osobliwy sposób, w
jaki przez pomiar zostajÄ… mierzonym przedmiotom czy te\
przysługującym im pod danym względem
cechom, przyporządkowane pewne liczby jako ich miary, scharakteryzować w następujących słowach.
Pomiar przyporządkowuje mierzonym przedmiotom w sposób wielo-
jednoznaczny pewne liczby jako ich miary, wedle takiej zasady (relacji), która pewne stosunki pomiędzy
liczbami odwzorowuje w sposób homomorficzny na pewnych stosunkach pomiędzy odpowiednimi
przedmiotami. Równocześnie pomiar przyporządkowuje cechom, przysługującym mierzonym
przedmiotom pod pewnym względem, w sposób wzajemnie jednoznaczny pewne liczby jako ich miary,
wedle takiej zasady (relacji), która pewne stosunki między liczbami odwzorowuje na pewnych
stosunkach pomiędzy odpowiednimi cechami w sposób izomorficzny. 3. Zobaczymy teraz, jak
wyglÄ…da owa zasada czy te\
relacja, wedle której mierząc przedmioty, przyporządkowujemy im w sposób
wielo-jednoznaczny pewne liczby jako ich miary i która odwzorowuje pewne stosunki pomiędzy liczbami
w sposób homomorficzny na pewnych stosunkach pomiędzy odpowiednimi przedmiotami. Najpierw
jednak zobaczymy, jak wygląda owa zasada, wedle której mierząc przedmioty pod danym względem,
przyporządkowujemy ich cechom w sposób wzajemnie jednoznaczny pewne liczby i która odwzorowuje
pewne stosunki pomiędzy liczbami w sposób izomorficzny na pewnych stosunkach pomiędzy
odpowiednimi cechami. Zasada tego przyporządkowania jest następująca. Po pierwsze, obieramy
sobie dowolny przedmiot, który w pewnych określonych warunkach pod danym względem się nie
zmienia, i przedmiotowi temu, pozostającemu w tych warunkach (ściślej - fazom czasowym tego
przedmiotu, w których znajduje się on w tych warunkach) przyporządkowujemy miarę 1. Przedmiot ten
(ściślej - odpowiednie fazy czasowe tego przedmiotu) nazywamy "wzorcem jednostki mierniczej". Miarę
1 przyporządkowujemy równocześnie wszystkim przedmiotom, które są obranemu wzorcowi pod danym
względem równe. Jak z tego widać, to pierwsze przyporządkowanie przedmiotom mierzonym ich
liczbowych miar jest wielo-
jednoznaczne.
Klasę przedmiotów równych pod danym względem wzorcowi jednostki mierniczej czy te\
cechÄ™
charakterystyczną tej klasy nazywamy "jednostką mierniczą" danego rodzaju cech i jej równie\

przyporządkowujemy liczbę 1 jako miarę tej cechy. Jednostkę mierniczą oznaczać będziemy symbolem J.
To przyporzÄ…dkowanie jednostce mierniczej liczby 1 jest wzajemnie jednoznaczne. W praktyce nie
zawsze wskazany jest pewien określony przedmiot jako wzorzec jednostki mierniczej, ale niekiedy
zostaje wskazana pewna klasa przedmiotów między sobą pod danym względem równych i dowolny z
elementów tej klasy mo\
e słu\
yć jako wzorzec jednostki mierniczej. Tak było np. przy pierwotnym
ustalaniu wzorca jednostki masy, kiedy za ten wzorzec przyjęto dowolną porcję wody w temperaturze
4°C o objÄ™toÅ›ci 1 cm3. Tak te\
jest przy astronomicznej definicji wzorca jednostki czasu, wedle której
wzorcem tym jest dowolny obrót Ziemi o pewien określony kąt. Czy obranie wzorca jednostki
mierniczej jest sprawą zupełnie dowolną? Abstrahujemy tu od względów praktycznej stosowalności
wzorca, które nakładają na niego pewne warunki. Idzie o to, czy wybór ten jest ze względów czysto
logicznych dowolny. Otó\
w wypadku, gdy jako wzorzec obiera się którykolwiek z przedmiotów w
pewien sposób scharakteryzowanych (np. 1 cm3 wody w temperaturze 4°C), wybór ten nie jest dowolny,
lecz podlega temu warunkowi, \
e wszystkie owe przedmioty, którym przyporządkowujemy miarę 1,
muszą być między sobą równe. Analogiczny warunek odnosi się do wypadku, gdy jako wzorzec obiera
siÄ™ pewien okreÅ›lony przedmiot w okreÅ›lonych warunkach (np. metr paryski w temperaturze 15°C).
Obranie takiego przedmiotu jako wzorca jednostki jest dopuszczalne tylko wtedy, gdy wiadomo z góry,
\
e przedmiot ten w owych warunkach nie zmienia się pod danym względem. Postulat ten jest dyktowany
przez to, \
e gdybyśmy jako wzorzec obrali którykolwiek z przedmiotów lub faz tego samego przedmiotu
między sobą ró\
nych, to definicja jednostki mierniczej jako klasy abstrakcji od któregokolwiek ze
wzorców nie spełniłaby obowiązującego ka\
dÄ… definicjÄ™ warunku istnienia, taka klasa abstrakcji bowiem
nie istnieje. Jak z powy\
szego widać, wybór wzorca jednostki mierniczej nie jest sprawą całkowicie
dowolny, lecz musi być poprzedzony przez zbadanie empiryczne, czy przedmioty, czy te\
czasowe fazy
przedmiotu, które jako wzorzec obieramy, są między sobą równe. Zbadanie tego nie wymaga jeszcze
pomiaru ani wszystkich le\
Ä…cych u jego podstaw definicji pomiarowych, lecz wystarcza tu ju\
sama
definicja równości, która - jak widzieliśmy - wszelki pomiar poprzedza. 4. Następny krok
przedsiębrany dla uzyskania przyporządkowania pomiędzy mierzonymi przedmiotami czy te\
ich
cechami a liczbami jest następujący: obieramy pewną trójczłonową operację na cechach mierzonych
przedmiotów (np. na ich cię\
arach), tzn. pewną funkcję o dwu argumentach, która dowolnym dwom
cechom danego rodzaju (np. dwom ciÄ™\
arom) w sposób jednoznaczny przyporządkowuje jakąś cechę
(np. jakiÅ› ciÄ™\
ar) jako swą wartość. Operację tę nazywać będziemy dodawaniem fizycznym, a
odpowiadajÄ…cÄ… jej funkcjÄ™ - sumÄ… fizycznÄ…. Jako sumÄ™ fizycznÄ… ciÄ™\
aru b i ciÄ™\
aru c obieramy ciÄ™\
ar a
dowolnego ciała, które się zrównowa\
y na wadze, gdy na przeciwnej szalce poło\
ymy dowolne dwa ciała
o ciÄ™\
arach b oraz c. Jako sumę dwóch długości b i c obieramy długość a dowolnego odcinka, który daje
się bez reszty pokryć przez dowolne dwa nie zachodzące na siebie odcinki, z których jeden ma długość b,
a drugi c. Jak z przykładów tych widać, przy cechach przedmiotów mierzonych pod ró\
nymi
względami w ró\
ny sposób obieramy operację ich fizycznego dodawania. Fizyczna operacja dodawania
ciÄ™\
arów, to inna operacja ni\
operacja dodawania odcinków, a suma fizyczna cię\
arów, to inna funkcja
ni\
suma fizyczna dwóch odcinków. Operacje te obierane są jednak nie w sposób dowolny, ale tak,
aby były izomorficzne z operacją dodawania liczb rzeczywistych. Tylko takie operacje na cechach mo\
na
nazwać dodawaniem fizycznym. Ka\
dy zbiór cech zamknięty dla jakiejś operacji izomorficznej z
operacją dodawania arytmetycznego liczb rzeczywistych nazywa się zbiorem wielkości addytywnych, a
elementy tego zbioru - wielkościami addytywnymi. Mówiąc prościej, zbiór wielkości addytywnych jest to
zbiór, w którym jest wykonalna pewna operacja posiadająca formalne własności dodawania liczb
rzeczywistych. Zbiór liczb rzeczywistych jest oczywiście zbiorem wielkości addytywnych. Zbiorem
wielkości addytywnych jest te\
zbiór cię\
arów, zbiór długości itd., gdy\
są to zbiory, w których
wykonalna jest pewna operacja izomorficzna z dodawaniem arytmetycznym.
Nie dla ka\
dego rodzaju cech jest to jednak mo\
liwe, tzn. nie w ka\
dym rodzaju cech jest wykonalna
pewna operacja izomorficzna z dodawaniem liczb. Operacja taka jest wykonalna w zbiorze długości,
ciÄ™\
arów itd., ale nie ma operacji spełniającej ten warunek, która by była wykonalna w zbiorze barw,
kształtów, temperatur itd. Innymi słowy, nie ka\
dego rodzaju cechy są wielkościami addytywnymi.
Dlatego nie wszystkie rodzaje cech są dostępne pomiarowi. Je\
eli dany rodzaj cech jest zbiorem
wielkości addytywnych, a więc je\
eli daje się dla niego zdefiniować jakaś operacja dodawania fizycznego,
która w nim jest wykonalna, wówczas posługujemy się tą operacją dla dalszego przyporządkowania
wielkościom tego rodzaju ich miar liczbowych. Przyporządkowujemy mianowicie stale sumie fizycznej
dwóch wielkości jako jej liczbową miarę arytmetyczną sumę ich miar Przyjmijmy następujące
oznaczenia: je\
eli a jest pewną wielkością, to symbolem M(a) będziemy oznaczali jej miarę. Sumę
fizyczną dwóch wielkości a, b oznaczać będziemy jako S(a,b). Sumę arytmetyczną dwóch liczb A, B
oznaczać będziemy przez E(A,B). Przy tych oznaczeniach mo\
emy sformułowaną przed chwilą
zasadę przyporządkowania wielkościom ich miar liczbowych zapisać w postaci wzoru:
M[S(a,b)] = E[M(a),M(b)].
StosujÄ…c tÄ™ zasadÄ™ otrzymamy.
M[S(J,J)] = E[M(J),M(J)] = E(1,1) = 2 .
(przypominamy, \
e symbolem J oznaczamy wielkość będącą jednostką mierniczą, której
przyporządkowana została ju\
miara 1). Ogólnie, je\
eli M(a) = A, to
M[S(a,J)] = E[M(a),M(J)] = A+1 .
W ten sposób przyporządkowana zostanie ka\
dej wielkości, która jest fizyczną wielokrotnością
jednostki mierniczej, pewna liczba całkowita jako jej miara. Wielkościom a, które niekoniecznie są
wielokrotnością jednostki, ale które są z jednostką współmierne, tzn. dla których mo\
na wskazać taką
wielkość b, \
e:
a = Axb,
J = Bxb
(A i B są to liczby całkowite, [zaś symbolem x posługujemy się celem oznaczenia iloczynu ])
przyporządkowujemy jako ich miarę ułamek A/B .
Wielkości te wraz z poprzednimi nazywamy wymiernymi. Na koniec wielkościom a, które nie są
współmierne z jednostką, przyporządkowujemy jako ich miarę liczbę rzeczywistą, która jest większa od
wszystkich ułamków będących miarami wielkości wymiernych mniejszych od a i jest mniejsza od
wszystkich ułamków będących miarami wielkości wymiernych większych od a. Mo\
na wykazać, \
e
naszkicowana zasada przyporządkowania wielkościom ich liczbowych miar dokonuje tego
przyporządkowania w sposób wzajemnie jednoznaczny. Dowód tego twierdzenia daje się jednak
przeprowadzić tylko dla wielkości, tzn. na podstawie zało\
enia, \
e operacja dodawania fizycznego
interweniująca przy tym przyporządkowaniu posiada formalne własności dodawania arytmetycznego.
Gdyby bowiem np. operacja dodawania fizycznego tych własności nie miała, np. gdyby nie była
przemienna, tak \
e mogłoby się zdarzyć, \
e
S(a, b) =/ S(b, a), [symbol "=/" został wprowadzony na oznaczenie stosunku nierówności ]
to nasze przyporządkowanie nie byłoby wzajemnie jednoznaczne. Mielibyśmy bowiem :
M[S(a, b)] = E[M(a), M(b)],
M[S(b, a)] = E[M(b), M(a)].
Poniewa\
zaÅ› dodawanie arytmetyczne jest przemienne, czyli
E[M(a), M(b)] = E[M(b), M(a)],
Zatem
M[S(a, b)] = M[S(b, a)],
mimo \
e
S(a, b) =/ S(b, a).
Ró\
nym wielkościom byłaby więc przyporządkowana, wedle naszej zasady, ta sama miara, a więc
przyporządkowanie nie byłoby wzajemnie jednoznaczne. Mo\
na te\
wykazać, \
e ilekroć między miarami
pewnych wielkości, a więc między liczbami rzeczywistymi, zachodzi pewien stosunek dający się
wywieść z aksjomatów arytmetyki liczb rzeczywistych, tylekroć między odpowiadającymi tym liczbom
wielkościami zachodzi stosunek analogiczny, tj. stosunek zdefiniowany tak samo, z tą tylko ró\
nicÄ…, \
e w
definicji tej znak dodawania arytmetycznego zastÄ…piony jest przez znak dodawania fizycznego. 5.
Wyło\
ony wy\
ej sposób przyporządkowania wielkościom ich miar liczbowych jest więc, po pierwsze,
przyporzÄ…dkowaniem wzajemnie jednoznacznym, a po drugie, takim, \
e ilekroć między liczbami
rzeczywistymi zachodzi pewien stosunek arytmetyczny, tylekroć między przyporządkowanymi tym
liczbom wielkościami zachodzi analogiczny stosunek fizyczny. Mo\
emy więc powiedzieć, \
e wyło\
ony
wy\
ej sposób przyporządkowania ,wielkościom fizycznym ich miar liczbowych odwzorowuje w sposób
izomorficzny stosunki arytmetyczne między liczbami rzeczywistymi na odpowiednich stosunkach
fizycznych między wielkościami, których te liczby są miarami. Przeprowadzona wy\
ej analiza
pozwoli nam podać definicję pomiaru. Brzmi ona w sposób następujący : zmierzyć jakąś wielkość rodzaju
P, to znaczy przyporządkować jej jako jej miarę pewną liczbę rzeczywistą, wedle takiej zasady, która
stosunki arytmetyczne między liczbami rzeczywistymi odwzorowuje w sposób izomorficzny na
odpowiednich stosunkach fizycznych między wielkościami rodzaju P. Pewien stosunek fizyczny
nazywamy zaÅ› stosunkiem odpowiadajÄ…cym pewnemu stosunkowi arytmetycznemu, gdy definicja owego
stosunku fizycznego powstaje z definicji stosunku arytmetycznego przez zastąpienie występującego w niej
znaku dodawania arytmetycznego przez właściwy dla danego rodzaju wielkości znak dodawania
fizycznego. A
atwo te\
teraz powiedzieć, co to znaczy zmierzyć pewien przedmiot pod pewnym
względem. Znaczy to mianowicie : zmierzyć przysługującą temu przedmiotowi pod tym względem cechę.
Przeprowadzona wy\
ej analiza i wyprowadzona z niej definicja pomiaru pozwala zrozumieć, na czym
polega wartość pomiaru. Przez ustalenie zasad pomiaru dla cech pewnego rodzaju zdobywamy,
przede wszystkim, dla tych cech systematycznÄ…
nomenklaturę. Zamiast mówić, "tak długi, jak stopa naszego króla", "tak długi, jak jego przedramię", "tak
długi, jak bok piramidy Cheopsa" itp., jedną tylko długość określamy w podobny sposób, mianowicie
długość obranego wzorca, a wszystkie inne długości otrzymują swe nazwy w postaci tzw. liczb
mianowanych, zło\
onych z pewnej liczby będącej ich miarą i z nazwy wzorca długości (np. 5 metrów,
0,4 metra itp.). Dzięki takiej nomenklaturze związki, czyli stosunki pomiędzy cechami pewnego
rodzaju (lub ró\
nych rodzajów) dają się często wyrazić w postaci pewnej zale\
ności arytmetycznej
pomiędzy ich miarami liczbowymi, co z kolei umo\
liwia w wielu wypadkach sformułowanie zale\
ności
pomiędzy pewnymi rodzajami cech w postaci związku funkcjonalnego (np. ciśnienie x objętość = 12). Te
dwa efekty moglibyśmy jednak otrzymać przez jakiekolwiek przyporządkowanie liczb cechom
przedmiotów, a nie tylko przez takie, które jest pomiarem. Pomiar bowiem tym się odznacza, \
e
przyporządkowuje cechom przedmiotów pewne liczby jako ich miary w sposób izomorficzny.
Izomorfizm ten pozwala nam z tego, \
e między liczbami przyporządkowanymi danym cechom jako ich
miary zachodzi stosunek arytmetyczny Ra, wnosić, \
e pomiędzy tymi cechami zachodzi odpowiedni
stosunek Rf, i na odwrót. Jaka z tego korzyść? Przypuśćmy, \
e na drodze obserwacji stwierdziliśmy, \
e
między fizycznymi cechami przedmiotów zachodzą związki fizyczne S'f S''f...S(n)f. Na mocy
izomorfizmu wynika z tego, \
e między miarami tych cech zachodzą odpowiednie związki arytmetyczne
S'a S''a...S(n)a. Otó\
potÄ™\
ne narzędzie matematyki pozwala nam często ze stosunków arytmetycznych
S'a S''a...S(n)a, wyprowadzić w drodze dedukcji matematycznej nowe związki arytmetyczne R'a
R''a...R(k)a. Dzięki izomorfizmowi między stosunkami fizycznymi zachodzącymi między cechami
przedmiotów a stosunkami arytmetycznymi, które zachodzą między liczbami stanowiącymi ich miary, z
zachodzenia związków arytmetycznych R'a R''a...R(k)a, mo\
emy wnosić 0 zachodzeniu odpowiednich
stosunków fizycznych R'f R''f...R(k)f. Stosunki fizyczne S'f S''f...S(n)f stwierdzone na wstępie na
podstawie obserwacji sÄ… zazwyczaj proste, tymczasem zwiÄ…zki R'f R''f...R(k)f, wydedukowane za pomocÄ…
matematyki i izomorfizmu zagwarantowanego przez pomiar mogą być bardzo skomplikowane i nawet
niedostępne bezpośredniej obserwacji. Widzimy z tych ogólnych rozwa\
ań, \
e dzięki takiemu
przyporządkowaniu liczb cechom fizycznym przedmiotów, którego dokonujemy przez pomiar, mo\
emy
korzystać z aparatu matematyki dla wyprowadzania z twierdzeń zdobytych na drodze obserwacji
odległych ich konsekwencji, które mogą nawet wykraczać poza granicę mo\
liwego doświadczenia. Jeśli
poza te granice nie wychodzą, mogą one słu\
yć do przewidywania przyszłych obserwacji, a tym samym,
słu\
yć do sprawdzania prawidłowości i hipotez, z których je wyprowadziliśmy. Jak z tego widać, mogą
nauki stosujące pomiar więcej przewidywać i lepiej sprawdzać swoje hipotezy, a nawet wykraczać poza
granice doświadczenia. Wszystko to podnosi ich wartość poznawczą i praktyczną.
<*> Tekst referatu wygłoszonego w roku 1957 na konferencji wykładowców logiki w Osiecznej,
zorganizowanej przez MSW w związku z nowym programem logiki dla przyrodników.