Przykład 10.5. Obliczenie wska´znika plastyczno´sci przy skr˛ecaniu

Obliczy´c wska´zniki plastyczno´sci przy skr˛ecaniu dla nast˛epuj ˛

acych przekrojów:

a) n-k ˛

ata foremnego

b) przekroju zło˙zonego

29a

17a

6a

16a

17a

c) przekroju cienko´sciennego

20a

a

10a

a

9.5a

a

10a

1

Rozwi ˛

azanie

a) n-k ˛

at foremny

Wska´znik plastyczno´sci przy skr˛ecaniu dla przekrojów jednospójnych mo˙zna łatwo policzy ´c
korzystaj ˛

ac z tzw. analogii Nadaia, zwanej równie˙z analogi ˛

a wzgórza piaskowego. Zgodnie

z ni ˛

a wska´znik plastyczno´sci przy skr˛ecaniu takiego przekroju równy jest podwojonej obj˛eto´sci

bryły powstałej poprzez nasypanie piasku na przekrój, je˙zeli k ˛

at u podstawy owej bryły wynosi

45

◦

.

a

r

h

Tak wi˛ec, w rozpatrywanym przypadku wska´znik plastyczno´sci przy skr˛ecaniu b˛edzie równy
podwojonej obj˛eto´sci ostrosłupa o podstawie n-k ˛

ata foremnego.

W

pl

= 2V = 2 ·

1
3

SH

gdzie

V

−

obj˛eto´s´c ostrosłupa

S

−

pole powierzchni podstawy

H

−

wysoko´s´c ostrosłupa

Rozpatrywany przekrój mo˙zna podzieli´c na n trójk ˛

atów, tak wi˛ec pole powierzchni n-k ˛

ata fo-

remnego jest równe:

S

= n ·

1
2

ah

Poniewa˙z boku ostrosłupa tworz ˛

a z podstaw ˛

a k ˛

at

45

◦

, wi˛ec zachodzi zale˙zno´s´c

H

= h

Je˙zeli zało˙zy´c, ˙ze rozpatrywany wielok ˛

at mo˙zna wpisa´c w okr ˛

ag o promieniu r, to prawd ˛

a jest,

˙ze

sin

360

◦

n

2

=

a
2

r

=⇒

a

= 2r sin

180

◦

n

cos

360

◦

n

2

=

h

r

=⇒

h

= r cos

180

◦

n

2

Tak wi˛ec

S

= n ·

1
2

ah

=

n

2

· 2r sin

180

◦

n

· r cos

180

◦

n

=

n

2

· r

2

· 2 sin

180

◦

n

cos

180

◦

n

=

=

n

2

r

2

sin

360

◦

n

Obj˛eto´s´c nasypanego ostrosłupa jest wi˛ec równa

V

=

1
3

Sh

=

1
3

·

n

2

r

2

sin

360

◦

n

· r cos

180

◦

n

=

n

6

r

3

sin

360

◦

n

cos

180

◦

n

Ostatecznie mo˙zna zapisa´c wzór na wska´znik plastyczno´sci przy skr˛ecaniu przekroju w kształ-
cie n-k ˛

ata foremnego:

W

pl

= 2V =

n

3

r

3

sin

360

◦

n

cos

180

◦

n

=

2
3

nr

3

sin

180

◦

n



1 − sin

2

180

◦

n



3

b) przekrój zło˙zony

29a

17a

6a

16a

17a

W celu obliczenia wska´znika plastyczno´sci przy skr˛ecaniu powy˙zszego przekroju ponownie
zastosujemy analogi˛e wzgórza piaskowego Nadaia.
Widok z góry usypanego wzgórza przedstawia poni˙zszy rysunek.

29a

17a

5a

6a

16a

12a

17a

Obliczenie obj˛eto´sci pokazanej bryły wymaga podzielenia jej na prostsze elementy.

4

6a

3a

3a

14a

3a

6a

b

5a

6a

16a

12a

17a

x

y

z = 13a

1.

2.

3.

4.

5.

6.

A

B

C

D

E

Zgodnie z analogi ˛

a Nadaia wska´znik plastyczno´sci przy skr˛ecaniu wynosi zatem

W

pl

= 2V = 2 (V

1

+ V

2

+ V

3

+ V

4

+ V

5

+ V

6

)

Figur ˛

a pierwsz ˛

a jest ostrosłup o podstawie trapezu. St ˛

ad

V

1

=

1
3

· S

1

· h

1

gdzie S

1

oznacza pole podstawy ostrosłupa, a h

1

jego wysoko´s´c.

Poniewa˙z k ˛

at nachylenia boków do podstawy ostrosłupa wynosi

45

◦

to

h

1

=

12a

2

= 6a

Je´sli oznaczymy wymiary ostrosłupa tak jak na rysunku poni˙zej, to mo˙zemy zapisa ´c

S

1

=

1
2

(b + b + 5a) · 12a = 6a (2b + 5a)

Nieznan ˛

a długo´s´c boków b i z mo˙zna łatwo policzy´c wykorzystuj ˛

ac twierdzenie Pitagorasa,

poniewa˙z trójk ˛

at ABD jest prostok ˛

atny, co wykazaqno poni˙zej.

z

2

= (5a)

2

+ (12a)

2

=⇒

z

=

√

25a

2

+ 144a

2

= 13a

Poniewa˙z k ˛

aty nachylenia wszystkich boków bryły do podstawy s ˛

a równe, wi˛ec odcinki AD

i BD musz ˛

a le˙ze´c na dwusiecznych odpowiednio

EAD i

ABC. Czyli

EAD

=

DAB

=

1
2

EAB

ABD

=

DBC

=

1
2

ABC

5

Poniewa˙z podstaw ˛

a bryły

1. jest czworok ˛

at, w którym

BCE

=

CEA

= 90

◦

, wi˛ec

EAB

+

ABC

+

BCE

+ CEA = 360

◦

=⇒

=⇒

EAB

+

ABC

= 180

◦

=⇒

=⇒

2 DAB + 2 ABD = 180

◦

=⇒

DAB

+ ABD = 90

◦

Suma k ˛

atów w trójk ˛

acie wynosi

180

◦

, wi˛ec

ADB

= 180

◦

− ( DAB +

ABD

) = 180

◦

− 90

◦

= 90

◦

co oznacza, ˙ze trójk ˛

at ABD jest trójk ˛

atem prostok ˛

atnym.

Tak wi˛ec mo˙zna zapisa´c:











x

2

= b

2

+ (6a)

2

y

2

= (b + 5a)

2

+ (6a)

2

x

2

+ y

2

= z

2

= (13a)

2

=⇒











x

2

= b

2

+ 36a

2

y

2

= b

2

+ 10ab + 61a

2

x

2

+ y

2

= 169a

2

St ˛

ad

b

2

+ 36a

2

+ b

2

+ 10ab + 61a

2

= 169a

2

=⇒

2b

2

+ 10ab − 72a

2

= 0

=⇒

=⇒

b

2

+ 5ab − 36a

2

= 0

Pierwiastek z delty jest równy

√

∆ =

√

25a

2

+ 4 · 36a

2

=

√

169a

2

= 13a

za´s warto´s´c a

b

=

−5a + 13a

2

= 4a

Tak wi˛ec

S

1

= 6a (2 · 4a + 5a) = 78a

2

V

1

=

1
3

· 78a

2

· 6a = 156a

3

Bryła druga to graniastosłup o podstawie trójk ˛

atnej, którego obj˛eto´s´c wynosi

V

2

=

1
2

· 12a · 6a · (17a − 4a − 6a) = 252a

3

Brył ˛

a trzeci ˛

a jest ostrosłup o podstawie prostok ˛

atnej.

V

3

=

1
3

· 6a · 12a · 6a = 144a

3

Bryła czwarta to ostrosłup o podstawie trójk ˛

atnej, tak wi˛ec

V

4

=

1
3

·

1
2

· 6a · 3a · 3a = 9a

3

6

Bryły pi ˛

ata i szósta to odpowiednio graniastosłup o podstawie trójk ˛

atnej i ostrosłup o podstawie

prostok ˛

atnej, st ˛

ad

V

5

=

1
2

· 6a · 3a · (17a − 3a) = 126a

3

V

6

=

1
3

· 6a · 3a · 3a = 18a

3

Ostatecznie wi˛ec obj˛eto´s´c bryły nasypanego piasku jest równa

V

=

6

X

i=1

V

i

= 156a

3

+ 252a

3

+ 144a

3

+ 9a

3

+ 126a

3

+ 18a

3

= 705a

3

St ˛

ad szukany wska´znik plastyczno´sci przy skr˛ecaniu wynosi

W

pl

= 2V = 2 · 705a

3

= 1410a

3

7

c) przekrój cienko´scienny

20a

a

10a

a

9.5a

a

10a

Podobnie jak w przypadku b

) aby obliczy´c warto´s´c wska´znika plastyczno´sci przy skr˛ecaniu

nale˙zy podwoi´c obj˛eto´s´c bryły, która powstałaby w wyniku nasypania piasku na rozpatrywany
przekrój, przy zało˙zeniu, ˙ze k ˛

at u podstawy tej bryły byłby równy

45

◦

.

0.5a

9a

a

9a

0.5a

a

10a

a

0.5a

4a

a

4a

0.5a

8

W

pl

= 2·

 1

2

·

a
2

· (9a + a + 9a + 10a + 4a + a + 4a) + 4 ·

1
3

·

a
2

· a ·

a
2

+

+ 2 ·

1
3

·

1
2

· a ·

a
2

·

a
2



= 2 ·

 38

4

+

1
3

+

1

12



a

3

= 19

5
6

a

3

≈ 19,83a

3

W wielu przypadkach obliczenie dokładnej warto´sci wska´znika plastyczno´sci przy skr˛ecaniu
mo˙ze by´c czasochłonne. Je´sli przekrój mo˙zna podzieli´c na n prostok ˛

atów o wymiarach a

i

× h

i

,

przy czym a

i

 h

i

sensowne jest u˙zycie wzoru uproszczonego, który ma nast˛epuj ˛

ac ˛

a posta ´c:

W

u

pl

=

1
2

n

X

i=1

a

i

h

2

i

W rozpatrywanym przypadku mo˙zna wyodr˛ebni´c trzy prostok ˛

aty.

rys.
Tak wi˛ec

W

u

pl

=

1
2

10a · a

2

+ 10a · a

2

+ 20a · a

2

= 20a

3

Ró˙znica pomi˛edzy rozwi ˛

azaniem dokładnym, a przybli˙zonym wynosi w tym przypadku

∆ =

W

u

pl

− W

pl

W

pl

· 100% =

20a

3

− 19

5

6

a

3

19

5

6

a

3

· 100% ≈ 0,84%

9