Macierze teoria przyklady zadania

background image

Adam Bednarz
Instytut Matematyki PK

1 MACIERZE, UKŠADY RÓWNA‹ LINIOWYCH

1.1 Macierze i wyznaczniki

Denicja 1.1.1. Macierz¡ prostok¡tn¡ A o wymiarze m × n (m, n ∈ Z

+

) nazywamy upo-

rz¡dkowany ukªad m · n liczb, zapisany w tablicy

A =




a

11

a

12

. . .

a

1n

a

21

a

22

. . .

a

2n

...

... ... ...

a

m1

a

m2

. . . a

mn




i zapisujemy krótko

A = [a

ij

]

m×n

Ukªad liczb a

i1

, . . . a

in

nazywamy i-tym wierszem macierzy, za± ukªad a

1j

, . . . a

mj

nazywamy

j

-t¡ kolumn¡ macierzy.

Liczba a

ij

jest elementem macierzy, który znajduje si¦ na przeci¦ciu i-tego wiersza i j -tej

kolumny macierzy.

Denicja 1.1.2. Niech A = [a

ij

]

m×n

, B = [b

ij

]

m×n

oraz α ∈ R. Wtedy

A + B = C = [c

ij

]

m×n

,

gdzie c

ij

= a

ij

+ b

ij

, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n,

(1.1)

oraz

α · A = [d

ij

]

m×n

,

gdzie d

ij

= α · d

ij

, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.

(1.2)

Macierz [0]

m×n

nazywamy macierz¡ zerow¡, za± [−a

ij

]

m×n

macierz¡ przeciwn¡ do macierzy

[a

ij

]

m×n

.

Uwaga 1.1.3. Zauwa»my, »e macierze mo»emy dodawa¢ do siebie, gdy s¡ o tym samym

wymiarze.

Denicja 1.1.4. Niech A = [a

ij

]

m×p

, B = [b

ij

]

p×n

. Wtedy iloczyn macierzy A i B deniu-

jemy nast¦puj¡co

A · B = [c

ij

]

m×n

,

gdzie c

ij

=

p

X

k=1

a

ik

· b

kj

, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.

(1.3)

Iloczyn macierzy A i B b¦dziemy zapisywa¢ AB .

Uwaga 1.1.5. Zauwa»my, »e dwie macierze mo»emy przez siebie wymno»y¢, je±li liczba

kolumn w macierzy pierwszej jest równa ilo±ci wierszy w macierzy drugiej.

Macierz o wymiarze n×n nazywamy macierz¡ kwadratow¡ stopnia n. Ci¡g (a

11

, . . . , a

nn

)

nazywamy przek¡tn¡ gªówn¡ macierzy kwadratowej.

Macierz diagonalna to macierz, w której wszystkie elementy poza przek¡tn¡ gªówn¡ s¡

równe zeru. Je±li w macierzy diagonalnej wszystkie elementy na przek¡tnej gªównej s¡ rów-

ne 1, to tak¡ macierz nazywamy macierz¡ jednostkow¡ i oznaczamy symbolem I .

Je±li A jest macierz¡ o wymiarze m × n, B jest macierz¡ o wymiarze n × k, a I jest

macierz¡ jednostkow¡ stopnia n, to

AI = A

oraz IB = B

1

background image

Uwaga 1.1.6. Mno»enie macierzy nie jest przemienne. Je±li istnieje iloczyn AB , to iloczyn
BA

mo»e mie¢ inny wymiar albo mo»e wogóle nie istnie¢.

Uwaga 1.1.7. Pot¦gowanie macierzy jest mo»liwe tylko wtedy, gdy macierz jest kwadratowa

i tak A

n

= A · . . . · A

|

{z

}

n

razy

Denicja 1.1.8. Macierz transponowan¡ macierzy A = [a

ij

]

m×n

nazywamy macierz, która

powstaje z macierzy A przez zamian¦ kolumn na wiersze bez zmiany kolejno±ci wyrazów i

oznaczamy j¡ sybolem A

T

. Czyli

A

T

= [a

ji

]

n×m

.

(1.4)

Przykªad 1.1.9. Dane s¡ macierze

A =

0 1

3

−1 2

1

1 0 −1

, B =

−2

1 −5

0 −3 −3

−2

1

1

, C =

1 1

−2 0

1 1

, D =

1 −1 0

−1

0 2

.

Wtedy

C + 2 · D

T

=

1 1

−2 0

1 1

+ 2 ·

1 −1

−1

0

0

2

=

1 1

−2 0

1 1

+

2 −2

−2

0

0

4

=

=

1 + 2 1 + (−2)

−2 + (−2)

0 + 0

1 + 0

1 + 4

=

3 −1

−4

0

1

5

,

A − B

=

−2

1 −5

0 −3 −3

−2

1

1

0 1

3

−1 2

1

1 0 −1

=

−2 − 0

1 − 1

−5 − 3

0 − (−1) −3 − 2

−3 − 1

−2 − 1

1 − 0 1 − (−1)

=

=

−2

0 −8

1 −5 −4

−3

1

0

,

B · A

=

−2

1 −5

0 −3 −3

−2

1

1

·

0 1

3

−1 2

1

1 0 −1

=

=

−2·0+1 ·(−1)+(−5)·1

−2·1+1·2+(−5)·0 −2·3+1·1+(−5) · (−1)

0·0+(−3) ·(−1)+(−3)·1 0·1+(−3) ·2+(−3)·0 0·3+(−3) ·1+(−3)·(−1)

(−2)·0+1 ·(−1)+1·1

(−2)·1+1 ·2+1·0

(−2)·3+1 ·1+1·(−1)

=

=

−6

0

0

0 −6

0

0

0 −6

= −6 ·

1 0 0
0 1 0
0 0 1

= −6 · I.

Denicja 1.1.10. Odwzorowanie f : X −→ X nazywamy odwzorowaniem ró»nowarto-

±ciowym zbioru X na siebie, je±li ró»nym argumentom przyporz¡dkowuje ró»ne warto±ci

tzn.

∀x

1

, x

2

∈ X : x

1

6= x

2

=⇒ f (x

1

) 6= f (x

2

),

lub równowa»nie (prawo kontrapozycji)

∀x

1

, x

2

∈ X : f (x

1

) = f (x

2

) =⇒ x

1

= x

2

.

Denicja 1.1.11. Permutacj¡ σ zbioru {1, 2, . . . , n} nazywamy ró»nowarto±ciowe odwzo-

rowanie tego zbioru na siebie tzn.

σ : {1, 2, . . . , n} −→ {1, 2, . . . , n} : i 6= j =⇒ σ(i) 6= σ(j).

2

background image

Mo»emy powiedzie¢, »e permutacja to n-elementowy ci¡g (σ

1

, σ

2

, . . . , σ

n

)

o wyrazach nale»¡-

cych do zbioru {1, 2, . . . , n}. Zbiór wszystkich permutacji zbioru {1, 2, . . . , n} oznaczamy

symbolem S

n

. Moc, ilo±¢ wszystkich elementów zbioru (ilo±¢ wszystkich permutacji) zbioru

{1, . . . , n}

wynosi n!, co zapisujemy S

n

= n!

.

Denicja 1.1.12. Transpozycj¡ (ij) nazywamy permutacj¦ zbioru {1, 2, . . . , n}, która speª-

nia warunki σ(i) = j , σ(j) = i oraz σ(k) = k dla k 6= i i k 6= j . Tak wi¦c transpozycj¡ jest

ci¡g (1, . . . , i − 1, j, j, i + 1, . . . , j − 1, i, j + 1, . . . , n).

Ka»d¡ permutacj¦ mo»na przedstawi¢ w postaci zªo»enia pewnej ilo±ci transpozycji.

Denicja 1.1.13. Niech k b¦dzie ilo±ci¡ transpozycji, których zªo»enie stanowi permutacj¦
σ

. Znak permutacji σ to liczba (−1)

k

, piszemy wtedy sgn(σ) = (−1)

k

.

Przykªad 1.1.14. Zbiory (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1) s¡ permuta-

cjami zbioru {1, 2, 3},

Ka»dej macierzy kwadratowej mo»emy przyporz¡dkowa¢ liczb¦ zwan¡ wyznacznikiem.

Wyznacznik macierzy A = [a

ij

]

n×n

oznaczamy symbolem det A lub |A| lub po prostu







a

11

. . . a

1n

... ... ...

a

n1

. . . a

nn







.

Liczb¦ n nazywamy stopniem wyznacznika.

Denicja 1.1.15. Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A = [a

ij

]

n×n

nazywamy liczb¦

X

σ∈S

n

sgn(σ) a

1σ(1)

· . . . · a

1σ(n)

.

(1.5)

Z denicji tej w szczególno±ci wynikaj¡ wzory

dla n = 1, det[a

11

] = a

11

.

dla n = 2, det

a

11

a

12

a

21

a

22

= a

11

· a

22

− a

21

· a

12

,

dla n = 3, det

a

11

a

12

a

13

a

21

a

22

a

23

a

31

a

32

a

33

=

a

11

· a

22

· a

33

+ a

21

· a

32

· a

13

+ a

31

· a

12

· a

23

+

−a

31

· a

22

· a

13

− a

32

· a

23

· a

11

− a

33

· a

21

· a

12

.

Przykªad 1.1.16.

det

2 −3

5

4

= 2 · 4 − 5 · (−3) = 8 + 15 = 23,

det

−2 3 1

1 4 2

−1 2 3

= −2 · 4 · 3+1 · 2 · 1+(−1) · 3 · 2−(−1) · 4 · 1−2 · 2 · (−2)−3 · 1 · 3 =

= −24 + 2 − 6 + 4 + 8 − 9 = −27

Denicja 1.1.17. Minorem macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy utworzonej

z macierzy A poprzez skre±lenie pewnej ilo±ci wierszy i kolumn w macierzy A.

Uwaga 1.1.18. Poniewa» minor jest wyznacznikiem, wi¦c ilo±ci skre±lonych wierszy i kolumn

musz¡ by¢ takie, aby powstaªa macierz kwadratowa.

3

background image

Przez M

ij

b¦dziemy oznacza¢ minor stopnia n − 1 powstaªy z macierzy A stopnia n

przez skre±lenie w macierzy A i-tego wiersza i j -tej kolumny.

Denicja 1.1.19. Liczb¦ (−1)

i+j

M

ij

nazywamy dopeªnieniem algebraicznym elementu a

ij

i oznaczamy symbolem A

ij

, tzn.

A

ij

= (−1)

i+j

M

ij

.

(1.6)

Przykªad 1.1.20. Dana jest macierz A =

−2

3 −8

1 −5 −4

−3

1

0

Wtedy

A

23

= (−1)

2+3

· M

23

= −M

23

= −




−2 3
−3 1




= −(−2 + 9) = −7.

Twierdzenie 1.1.21. (Laplace'a) Wyznacznik macierzy A = [a

ij

]

n×n

wyra»a si¦ wzorami

det A =

n

X

i=1

a

ij

A

ij

= a

1j

A

1j

+ a

2j

A

2j

+ a

3j

A

3j

+ · · · + a

nj

A

nj

,

(1.7)

gdzie j jest dowoln¡ liczb¡ ze zbioru {1, 2, . . . , n},

det A =

n

X

j=1

a

ij

A

ij

= a

i1

A

i1

+ a

i2

A

i2

+ a

i3

A

i3

+ . . . + a

in

A

in

,

(1.8)

gdzie i jest dowoln¡ liczb¡ ze zbioru {1, 2, . . . , n}.

Uwaga 1.1.22. Obliczanie wyznacznika wedªug wzoru (1.7) nazywamy rozwini¦ciem Lapla-

ce'a wzgl¦dem j -tej kolumny, natomiast obliczanie wyznacznika wedªug wzoru (1.8) nazy-

wamy rozwini¦ciem Laplace'a wzgl¦dem i-tego wiersza.

Uwaga 1.1.23. Je±li w macierzy kwadratowej kolumna (wiersz) zbudowana jest z samych

zer, to jej wyznacznik równy jest 0.

Przykªad 1.1.24. Dana jest macierz

A =



2 3 1 1
4 1 1 2
1 1 0 2
3 2 3 1



.

Obliczymy jej wyznacznik stosuj¡c rozwini¦cie Laplace'a wzgl¦dem pierwszej kolumny.

det A =








2 3 1 1
4 1 1 2
1 1 0 2
3 2 3 1








= a

11

A

11

+ a

21

A

21

+ a

31

A

31

+ a

41

A

41

=

= 2 · (−1)

1+1

·






1 1 2
1 0 2
2 3 1






+ 4 · (−1)

2+1

·






3 1 1
1 0 2
2 3 1






+ 1 · (−1)

3+1

·






3 1 1
1 1 2
2 3 1






+

+ 3 · (−1)

4+1

·






3 1 1
1 1 2
1 0 2






= 2(6 + 4 − 6 − 1) − 4(3 + 4 − 18 − 1) +

+ (3 + 3 + 4 − 2 − 18 − 1) − 3(6 + 2 − 1 − 2) = 6 + 48 − 11 − 15 = 28

4

background image

Twierdzenie 1.1.25. Wyznacznik nie ulegnie zmianie, je±li do jego kolumny (wiersza) do-

damy inn¡ kolumn¦ (wiersz) tej macierzy pomno»on¡ przez dowoln¡ liczb¦. Ponadto zachodzi

wzór

det A

T

= det A.

(1.9)

Je±li A i B s¡ macierzami kwadratowymi tego samego wymiaru, to

det AB = det A · det B.

(1.10)

Uwaga 1.1.26. Je±li w macierzy kwadratowej dwie lub wi¦cej kolumn (wierszy) jest iden-

tycznych, to jej wyznacznik jest równy zero.

Przykªad 1.1.27. Obliczymy jeszcze raz wyznacznik macierzy z Przykªadu 1.1.24

A =



2 3 1 1
4 1 1 2
1 1 0 2
3 2 3 1



.

Na wyznaczniku tej macierzy dokonamy elementarnych operacji, nie wpªywaj¡cych jego

posta¢, a cz¦sto zdecydowanie uªatwiaj¡cych i przyspieszaj¡cych jego obliczenie. Operacje

te b¦dziemy opisywa¢ nad równo±ci¡ i tak np. wyra»enie ”k

2

+ 2 ·

k

3

oznacza¢ b¦dzie,

»e do kolumny drugiej dodajemy kolumn¦ trzeci¡ pomno»on¡ przez liczb¦ 2, a wyra»enie

w

4

w

1

oznacza¢ b¦dzie, »e od wiersza czwartego odejmujemy wiersz pierwszy. Zobaczmy,

»e wyznacznik si¦ nie zmieni

det A =








2 3 1 1
4 1 1 2
1 1 0 2
3 2 3 1








k1-k3

=








1 3 1 1
3 1 1 2
1 1 0 2
0 2 3 1








w2-3

·

w1

w3-w1

=








1

3

1

1

0 −8 −2 −1
0 −2 −1

1

0

2

3

1








k2-6

·

k4

=

=








1 −3

1

1

0 −2 −2 −1
0 −8 −1

1

0 −4

3

1








w3-4

·

w2

w4-2

·

w2

=








1 −3

1

1

0 −2 −2 −1
0

0

7

5

0

0

7

3








w4-w3

=

=








1 −3

1

1

0 −2 −2 −1
0

0

7

5

0

0

0 −2








rozw. L wzgl.

1 kolumny

=

1 · (−1)

1+1






−2 −2 −1

0

7

5

0

0 −2






rozw. L. wzgl.

1 kolumny

=

= 1 · (−2)(−1)

1+1




7

5

0 −2




rozw. L. wzgl.

1 kolumny

=

1 · (−2) · 7(−1)

1+1


−2


=

= 1 · (−2) · 7 · (−2) = 28.

Wyznacznik macierzy mo»emy te» obliczy¢ korzystaj¡c z algorytmu Chió. Algorytm

ten pozwala oblicza¢ wyznaczniki przez kolejne obni»anie ich stopni. Wyznacznik macierzy

kwadratowej A = [a

ij

]

stopnia n > 3, w której a

11

jest niezerowy, wyra»a si¦ wzorem

det A =

1

(a

11

)

n−2

·









a

0
22

a

0
23

. . . a

0
2n

a

0
32

a

0
33

. . . a

0
3n

... ... ... ...

a

0
n2

a

0
n3

. . . a

0
nn









,

gdzie a

0
ij

=




a

11

a

1j

a

i1

a

ij




, i, j ∈ {2, . . . , n}

(1.11)

5

background image

Przykªad 1.1.28. Wykorzystuj¡c algorytm Chió, kolejny raz obliczymy wyznacznik

macierzy z Przykªadu 1.1.24.








2 3 1 1
4 1 1 2
1 1 0 2
3 2 3 1








=

1

2

4−2

·
















2 3
4 1







2 1
4 1







2 1
4 2







2 3
1 1







2 1
1 0







2 1
1 2







2 3
3 2







2 1
3 3







2 1
3 1
















=

1

4

·






−10 −2

0

−1 −1

3

−5

3 −1






=

=

1

4

·

1

(−10)

3−2

·












−10 −2

−1 −1







−10 0

−1 3







−10 −2

−5

3







−10

0

−5 −1












= −

1

40

·




8 −30

−40

10




=

= −

1

40

(80 − 1200) = −

1

40

· 40(2 − 30) = −(−28) = 28

Denicja 1.1.29. Je±li kwadratowe i tego samego wymiaru macierze A i B speªniaj¡

warunki

AB = BA = I,

(1.12)

to A nazywamy macierz¡ odwracaln¡ (nieosobliw¡), za± B macierz¡ odwrotn¡ do A i ozna-

czamy symbolem A

−1

, tzn. B = A

−1

i analogicznie A = B

−1

.

Twierdzenie 1.1.30. Je±li det A 6= 0, to macierz A jest odwracalna oraz

A

−1

=

1

det A

[A

ij

]

T

,

(1.13)

gdzie A

ij

oznacza dopeªnienie algebraiczne elementu a

ij

macierzy A.

Przykªad 1.1.31. Wyznaczymy macierz odwrotn¡ do macierzy

A =

1

0 1

−1 −1 0

0

1 2

.

Sprawadzimy, czy macierz A jest odwracalna.

det A =






1

0 1

−1 −1 0

0

1 2






= −2 − 1 = −3 6= 0.

Poniewa» wyznacznik jest ró»ny od zera, to macierz jest odwracalna tzn. istnieje macierz

odwrotna A

−1

. Aby skorzysta¢ ze wzoru (1.13) wyliczamy dopeªnienia algebraiczne wszyst-

kich wyrazów:

A

11

= (−1)

1+1

·




−1 0

1 2




= −2,

A

12

= (−1)

1+2

·




−1 0

0 2




= 2,

A

13

= (−1)

1+3

·




−1 −1

0

1




= −1,

A

21

= (−1)

2+1

·




0 1
1 2




= 1,

A

22

= (−1)

2+2

·




1 1
0 2




= 2,

A

23

= (−1)

2+3

·




1 0
0 1




= −1,

6

background image

A

31

= (−1)

3+1

·




0 1

−1 0




= 1,

A

32

= (−1)

3+2

·




1 1

−1 0




= −1,

A

33

= (−1)

3+3

·




1

0

−1 −1




= −1.

Otrzymujemy

A

−1

=

1

det A

[A

ij

]

T

=

1

−3

−2

2 −1

1

2 −1

1 −1 −1

T

=

1

−3

−2

1

1

2

2 −1

−1 −1 −1

=


2
3

1
3

1
3

2
3

2
3

1
3

1
3

1
3

1
3


.

Aby sprawdzi¢, czy dobrze wyznaczyli±my macierz odwrotn¡ mo»emy wyznaczy¢ iloczyny
AA

−1

i A

−1

A

. Je±li w obu przypadkach otrzymamy macierz jednostkow¡, to macierz

odwrotna zostaªa dobrze wyznaczona.

Bezwyznacznikowa metoda znajdowania macierzy odwrotnej polega na wykonywaniu

tych samych elementarnych operacji na wierszach macierzy wyj±ciowej oraz macierzy jednos-

tkowej. Celem tych operacji jest sprowadzenie macierzy wyj±ciowej do macierzy jednostko-

wej. Wówczas macierz jednostkowa przechodzi w macierz odwrotn¡ do wyj±ciowej.

A I

elementarne

operacje

na wierszach

−→

I A

−1

Elementarnymi operacjami w tej metodzie s¡:

dodawanie do wiersza innego wiersza pomno»onego przez liczb¦,

odejmowanie od wiersza innego wiersza pomno»onego przez liczb¦,

mno»enie wiersza przez liczb¦,

zamiana wierszy.

Przykªad 1.1.32. Korzystaj¡c z bezwyznacznikowej metody wyznaczymy macierz odwro-

tn¡ do macierzy

A =

1

0 1

−1 −1 0

0

1 2

.

Otrzymujemy

A I =

1

0 1 1 0 0

−1 −1 0 0 1 0

0

1 2 0 0 1

w

2

+ w

1

−→

1

0 1 1 0 0

0 −1 1 1 1 0
0

1 2 0 0 1

w

2

· (−1)

−→

1 0

1

1

0 0

0 1 −1 −1 −1 0
0 1

2

0

0 1

w

3

− w

2

−→

1 0

1

1

0 0

0 1 −1 −1 −1 0
0 0

3

1

1 1

w

3

·

1
3

−→

1 0

1

1

0

0

0 1 −1 −1 −1

0

0 0

1

1
3

1
3

1
3

w

2

+ w

3

w

1

− w

3

−→


1 0 0

2
3

1
3

1
3

0 1 0 −

2
3

2
3

1
3

0 0 1

1
3

1
3

1
3


=

I A

−1

.

7

background image

Przykªad 1.1.33. Rozwi¡za¢ równanie macierzowe AX = B , je±li

A =

1

0 1

−1 −1 0

0

1 2

oraz B =

3

3

6

0

−9 −3

.

Macierz A jest odwracalna (Przykªad 1.1.31). Aby wyznaczy¢ macierz X pomno»ymy z

lewej strony nasze równanie przez A

−1

. Otrzymujemy

A

−1

AX = A

−1

B

IX = A

−1

B

X = A

−1

B

Korzystamy z wyliczonej w Przykªadzie 1.1.31 macierzy odwrotnej A

−1

i otrzymujemy

X

=


2
3

1
3

1
3

2
3

2
3

1
3

1
3

1
3

1
3


·

3

3

6

0

−9 −3

=

3

3

−9 −3

0

0

Twierdzenie 1.1.34. Je±li A i B s¡ macierzami kwadratowymi tego samego wymiaru,

a α 6= 0, to zachodz¡ nast¦puj¡ce wzory:

det A

−1

=

1

det A

,

(1.14)

(αA)

−1

= α

−1

A

−1

,

(1.15)

(AB)

−1

= B

−1

A

−1

,

(1.16)

A

−1

T

= A

T

−1

.

(1.17)

Uwaga 1.1.35. Macierz A jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy det A 6= 0.

1.2 Ukªady równa« liniowych

Denicja 1.2.1. Ukªad m równa« liniowych o n niewiadomych to ukªad postaci

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ . . . + a

1n

x

n

= b

1

,

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ . . . + a

2n

x

n

= b

2

,

...

...

...

...

...

a

m1

x

1

+ a

m2

x

2

+ . . . + a

mn

x

n

= b

m

,

(1.18)

gdzie a

11

, . . . , a

mn

s¡ wspóªczynnikami, natomiast x

1

, . . . , x

n

niewiadomymi tego ukªadu.

Macierze

A =




a

11

a

12

. . .

a

1n

a

21

a

22

. . .

a

2n

...

... ... ...

a

m1

a

m2

. . . a

mn




m×n

, U =




a

11

a

12

. . .

a

1n

b

1

a

21

a

22

. . .

a

2n

b

2

...

... ... ... ...

a

m1

a

m2

. . . a

mn

b

m




m×(n+1)

, B =




b

1

b

2

...

b

m




m×1

nazywamy odpowiednio macierz¡ wspóªczynników tego ukªadu, macierz¡ uzupeªnion¡,

macierz¡ (kolumn¡) wyrazów wolnych.

8

background image

Je±li m = n, to powy»szy ukªad (1.18) jest ukªadem kwadratowym o takiej samej n ilo±ci

równa« i niewiadomych

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ . . . + a

1n

x

n

= b

1

,

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ . . . + a

2n

x

n

= b

2

,

...

...

...

...

...

a

n1

x

1

+ a

n2

x

2

+ . . . + a

nn

x

n

= b

n

,

.

(1.19)

Wówczas wyznacznik

W =









a

11

a

12

. . . a

1n

a

21

a

22

. . . a

2n

... ... ... ...

a

n1

a

n2

. . . a

nn









nazywamy wyznacznikiem gªównym ukªadu kwadratowego. Niech

W

x

k

=








a

11

. . . a

1(k−1)

b

1

a

1(k+1)

. . . a

1n

a

21

. . . a

2(k−1)

b

2

a

1(k+1)

. . . a

2n

... ...

...

...

... ... ...

a

n1

. . . a

n(k−1)

b

n

|{z}

k-ta kolumna

a

1(k+1)

. . . a

nn








,

gdzie k ∈ 1, . . . , n

b¦d¡ wyznacznikami otrzymanymi z wyznacznika gªównego przez zast¡pienie k-tej

kolumny kolumn¡ wyrazów wolnych.
Twierdzenie 1.2.2. (Cramera) Je±li W 6= 0, to ukªad równa« liniowych (1.19) posiada

dokªadnie jedno rozwi¡zanie dane wzorami Cramera

x

k

=

W

x

k

W

,

gdzie k ∈ 1, . . . , n.

(1.20)

Denicja 1.2.3. Je±li W 6= 0, to ukªad (1.19) nazywamy ukªadem Cramera.
Przykªad 1.2.4. Rozwi¡»emy ukªad równa« liniowych

x +

y +

z =

0

2x −

y −

z = −3

4x − 5y − 3z = −7

.

Tworzymy macierz gªówn¡ tego ukªadu

A =

1

1

1

2 −1 −1
4 −5 −3

i obliczamy jej wyznacznik

W = det A =






1

1

1

2 −1 −1
4 −5 −3






= 3 − 10 − 4 + 4 − 5 + 6 = −6 6= 0.

Poniewa» macierz gªówna jest niesobliwa (det A 6= 0), to ukªad jest Cramera i ma jedno

rozwi¡zanie.

W

x

=






0

1

1

−3 −1 −1
−7 −5 −3






= 15 + 7 − 7 − 9 = 6

W

y

=






1

0

1

2 −3 −1
4 −7 −3






= 9 − 14 + 12 − 7 = 0

9

background image

W

z

=






1

1

0

2 −1 −3
4 −5 −7






= 7 − 12 − 15 + 14 = −6

Nasz ukªad ma rozwi¡zanie

x =

6

−6

= −1

y =

0

−6

= 0

z =

−6
−6

= 1

.

Denicja 1.2.5. Rz¦dem macierzy niezerowej nazywamy liczb¦ r równ¡ najwi¦kszemu ze

stopni jej ró»nych od zera minorów. Przyjmujemy, »e rz¡d macierzy zerowej wynosi 0. Rz¡d

macierzy A b¦dziemy oznacza¢ symbolem rzA.
Uwaga 1.2.6. Je±li A jest macierz¡ niezerow¡ wymiaru n × m, 1 6 rzA 6 min{n, m}.
Przykªad 1.2.7. Znale¹¢ rz¡d macierzy

A =

1

0 1

−1 −1 0

0

1 2

.

Poniewa»

det A =






1

0 1

−1 −1 0

0

1 2






= −2 − 1 = −3 6= 0,

to rzA = 3.
Przykªad 1.2.8. Znajdziemy rz¡d macierzy

B =



1

1

2

2 −1

1

3

0

3

−1 −1 −2



.

Macierz B jest wymiaru 4 × 3, wi¦c jej rz¡d mo»e by¢ co najwy»ej równy 3. Mamy cztery

minory stopnia 3. Sprawdzamy, czy który± z nich jest niezerowy:






1

1 2

2 −1 1
3

0 3






= −3 + 3 + 6 − 6 = 0,






1

1

2

2 −1

1

−1 −1 −2






= 2 − 2 − 1 − 2 − 1 + 4 = 0,






1

1

2

3

0

3

−1 −1 −2






= −6 − 3 + 3 + 6 = 0,






2 −1

1

3

0

3

−1 −1 −2






= −3 + 3 + 6 − 6 = 0.

Wszystkie minory stopnia 3 zeruj¡ si¦, st¡d rzB < 3. Szukamy niezerowego minora stopnia 2.

Wszystkich minorów stopnia 2 jest 18. Wystarczy, »e wska»emy jeden niezerowy. Zauwa»my,
»e




1

1

2 −1




= −3 6= 0

. Oznacza to, »e rzB = 2.

10

background image

Twierdzenie 1.2.9. Rz¡d macierzy nie zmieni si¦, gdy
1. dodamy do kolumny dowoln¡ inn¡ kolumn¦ pomno»on¡ przez dowoln¡ liczb¦,
2. dodamy do wiersza dowolny inny wiersz pomno»ony przez dowoln¡ liczb¦,
3. przestawimy dowolne dwa wiersze lub dowolne dwie kolumny,
4. dopiszemy lub skre±lamy kolumn¦ lub wiersz zªo»on¡ z samych zer,
5. dowoln¡ kolumn¦ lub wiersz pomno»my przez liczb¦ ró»n¡ od zera,
6. dokonamy transpozycji macierzy.
Przykªad 1.2.10. Wykorzystuj¡c Twierdzenie 1.2.9 znajdziemy rz¡d macierzy

B =



1

1

2

2 −1

1

3

0

3

−1 −1 −2



.

rzB = rz



1

1

2

2 −1

1

3

0

3

−1 −1 −2



w

4

+ w

1

w

3

− (w

1

+ w

2

)

=

rz



1

1 2

2 −1 1
0

0 0

0

0 0



skre±lamy w

3

, w

4

=

=

rz

1

1 2

2 −1 1

k

3

− (k

1

+ k

2

)

=

rz

1

1 0

2 −1 0

skre±lamy k

3

=

rz

1

1

2 −1

= 2.

Twierdzenie 1.2.11. (Kroneckera-Capellego) Ukªad równa« (1.18) posiada co najmniej

jedno rozwi¡zanie wtedy i tylko wtedy, gdy

rzA = rzU.

Je±li w szczególno±ci rzA = rzU = r = n, to ukªad ten ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie

wyra»aj¡ce si¦ wzorami Cramera, a je±li rzA = rzU = r < n, to ukªad ma niesko«czenie

wiele rozwi¡za« zale»nych od n − r parametrów.
Uwaga 1.2.12. Ukªad (1.18) jest sprzeczny (nie posiada rozwi¡za«) wtedy i tylko wtedy,

gdy rzA 6= rzU .
Przykªad 1.2.13. Rozwi¡»emy ukªad równa« liniowych

3x −

y +

z = 2

6x − 2y + 2z = 1

.

Tworzymy macierz gªówn¡ i macierz uzupeªnion¡ tego ukªadu

A =

3 −1 1

6 −2 2

2×3

,

U =

3 −1 1 2

6 −2 2 1

2×4

.

Z postaci macierzy gªównej widzimy, »e nie jest to ukªad Cramera (liczba wierszy nie jest

równa liczbie kolumn, liczba równa« nie jest równa liczbie niewiadomych). Zastosujemy

Twierdzenie (1.2.11) Kroneckera-Capellego. Wyznaczamy rz¦dy macierzy A i U .

rzA = rz

3 −1 1

6 −2 2

w

2

− 2 · w

1

=

rz

3 −1 1

0

0 0

skre±lamy w

2

=

rz 3 −1 1 = 1,

rzU = rz

3 −1 1 2

6 −2 2 1

k

1

+ 3 · k

2

k

3

+ ·k

2

=

rz

0 −1 0 2

0 −2 0 1

skre±lamy k

1

, k

3

=

rz

−1 2

−2 1

= 2.

Poniewa» rz¦dy s¡ ró»ne tzn. rzA 6= rzU , to ukªad jest sprzeczny (Uwaga 1.2.12).

11

background image

1.3 Zadania do samodzielnego rozwi¡zania

Zadanie 1. Obliczy¢ wyznaczniki:
a)




i

5

−2 7 + 2i




,

b)






1

ε

ε

2

ε

2

1

ε

ε

ε

2

1






, gdzie ε =

1
2

− i

3

2

,

c)






cos α

sin α cos β

sin α sin β

− sin α cos α cos β cos α sin β

0

− sin β

cos β






,

d*)













2 0

0 2

−1

0

0 −1

0 0

0 0

−3

0

0 −3

2 0

0 2

1 0

0 1

3 0

0 3

0 0

0 0

2 0

0 2













nad ciaªem macierzy diagonalnych postaci

a 0

0 a

, gdzie a ∈ R.

Zadanie 2. Dana jest macierz A =



−1

1 2

2

1

3 1

1

−1 −3 1 −1

3

6 1

2



.

a) Wyznaczy¢ dopeªnienia algebraiczne wyrazów a

14

i a

33

.

b) Obliczy¢ wyznacznik stosuj¡c rozwini¦cia Laplace'a wedªug dowolnie wybranego wiersza

lub kolumny.

c) Wykona¢ kolejno nast¦puj¡ce czynno±ci:

zamieni¢ pierwsz¡ z ostatni¡ kolumn¡,

zamieni¢ pierwszy z drugim wierszem,

doda¢ czwart¡ kolumn¦ do trzeciej kolumny,

odj¡¢ podwojony pierwszy wiersz od czwartego wiersza,

odj¡¢ pierwszy wiersz od trzeciego wiersza,

transponowa¢ macierz,

zastosowa¢ rozwini¦cie wedªug pierwszego wiersza.

Porówna¢ otrzymane wyniki w podpunktach a) i b).

Zadanie 3. Obliczy¢ wyznacznik:












1 2 3 0

1 −1

0 1 1 2 −1

2

1 1 1 3

0

1

−1 1 2 0

1

2

2 1 1 1

3

0

−2 2 1 0 −1 −1












.

12

background image

Zadanie 4*.

Korzystaj¡c z algorytmu Chi´o obliczy¢ wyznacznik macierzy

A =



2

1 2

1

1

3 1

1

1 −3 1 −1
3

2 1

2



.

Zadanie 5. Korzystaj¡c z denicji znale¹¢ (o ile istnieje) macierz odwrotn¡ do macierzy:
a) A =

1 2

0 1

,

b) B =

1 0 2
2 1 0
0 0 1

.

Zadanie 6. Korzystaj¡c z twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej znale¹¢ (o ile istnieje)

macierz odwrotn¡ do macierzy:

a) A =

1 1 1
2 1 0
0

i

i

,

b) B =



1 0 1 0
0 1 1 1
0 0 2 1
0 1 0 1



.

Zadanie 7*. Korzystaj¡c z metody bezwyznacznikowej znale¹¢ macierz odwrotn¡ do

macierzy

A =





1 0 1 0 0
1 1 0 0 0
0 1 1 1 0
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1





.

Zadanie 8. Rozwi¡za¢ równanie macierzowe

1 1 1
2 1 0
0 1 1

· X + 2

2 0

1

0 1

1

−2 1 −1

=

−1

0 0

1 −1 2
1

0 1

.

Zadanie 9. Wyznaczy¢ rz¡d macierzy:

a) A =





1

2

1 −1

2

1

1

2

1

1

−1 −2 −1

1 −2

−1 −1 −2 −1 −1

2

3

3

0

3





,

b) B =



1 0 1 0 0 1
1 1 0 0 0 1
0 1 1 1 0 2
0 0 0 1 1 1



.

Zadanie 10*. Wyznaczy¢ rz¡d macierzy

B =



p − 1

1

0

0

2

p − 2 0

0

0

0

p

2

0

0

p p + 1



.

w zale»no±ci od parametru p.

13


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Algebra z geometrią teoria, przykłady, zadania
Macierze teoria przyklady zadan Nieznany
Gewert, Skoczylas Równania różniczkowe zwyczajne , teoria przykłady, zadania
Gewert M, Skoczylas Z Wstęp do analizy i algebry Teoria, przykłady, zadania wyd 2
M Gewert, Z Skoczylas Równania różniczkowe zwyczajne Teoria, przyklady, zadania
Stankiewicz Wilczek Algebra Z Geometria Teoria Przyklady Zadania
Prognozowanie Teoria przyklady zadania e b0s0
steżenia II przykładowe zadanie, semestr 1, Chemia, teoria
Kordecki W, Jasiulewicz H Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna Przykłady i zadania
na egzamin przykladowe zadania
Drzewo decyzyjne przykład, Zadania
Kreatives Schreiben przykładowe zadania
(), podstawy chemii fizycznej Ć , przemiany gazowe przykładowe zadaniaid 736
Analiza matematyczna 2 Przyklady i zadania
Maryśka KOL 2 Pardalec przykładowe zadania
estymacja teoria i przyklady id 163721

więcej podobnych podstron