Adam Bednarz
Instytut Matematyki PK
1 MACIERZE, UKADY RÓWNA LINIOWYCH
1.1 Macierze i wyznaczniki
Denicja 1.1.1. Macierz¡ prostok¡tn¡ A o wymiarze m × n (m, n ∈ Z
+
) nazywamy upo-
rz¡dkowany ukªad m · n liczb, zapisany w tablicy
A =
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
...
... ... ...
a
m1
a
m2
. . . a
mn
i zapisujemy krótko
A = [a
ij
]
m×n
Ukªad liczb a
i1
, . . . a
in
nazywamy i-tym wierszem macierzy, za± ukªad a
1j
, . . . a
mj
nazywamy
j
-t¡ kolumn¡ macierzy.
Liczba a
ij
jest elementem macierzy, który znajduje si¦ na przeci¦ciu i-tego wiersza i j -tej
kolumny macierzy.
Denicja 1.1.2. Niech A = [a
ij
]
m×n
, B = [b
ij
]
m×n
oraz α ∈ R. Wtedy
A + B = C = [c
ij
]
m×n
,
gdzie c
ij
= a
ij
+ b
ij
, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n,
(1.1)
oraz
α · A = [d
ij
]
m×n
,
gdzie d
ij
= α · d
ij
, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
(1.2)
Macierz [0]
m×n
nazywamy macierz¡ zerow¡, za± [−a
ij
]
m×n
macierz¡ przeciwn¡ do macierzy
[a
ij
]
m×n
.
Uwaga 1.1.3. Zauwa»my, »e macierze mo»emy dodawa¢ do siebie, gdy s¡ o tym samym
wymiarze.
Denicja 1.1.4. Niech A = [a
ij
]
m×p
, B = [b
ij
]
p×n
. Wtedy iloczyn macierzy A i B deniu-
jemy nast¦puj¡co
A · B = [c
ij
]
m×n
,
gdzie c
ij
=
p
X
k=1
a
ik
· b
kj
, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
(1.3)
Iloczyn macierzy A i B b¦dziemy zapisywa¢ AB .
Uwaga 1.1.5. Zauwa»my, »e dwie macierze mo»emy przez siebie wymno»y¢, je±li liczba
kolumn w macierzy pierwszej jest równa ilo±ci wierszy w macierzy drugiej.
Macierz o wymiarze n×n nazywamy macierz¡ kwadratow¡ stopnia n. Ci¡g (a
11
, . . . , a
nn
)
nazywamy przek¡tn¡ gªówn¡ macierzy kwadratowej.
Macierz diagonalna to macierz, w której wszystkie elementy poza przek¡tn¡ gªówn¡ s¡
równe zeru. Je±li w macierzy diagonalnej wszystkie elementy na przek¡tnej gªównej s¡ rów-
ne 1, to tak¡ macierz nazywamy macierz¡ jednostkow¡ i oznaczamy symbolem I .
Je±li A jest macierz¡ o wymiarze m × n, B jest macierz¡ o wymiarze n × k, a I jest
macierz¡ jednostkow¡ stopnia n, to
AI = A
oraz IB = B
1
Uwaga 1.1.6. Mno»enie macierzy nie jest przemienne. Je±li istnieje iloczyn AB , to iloczyn
BA
mo»e mie¢ inny wymiar albo mo»e wogóle nie istnie¢.
Uwaga 1.1.7. Pot¦gowanie macierzy jest mo»liwe tylko wtedy, gdy macierz jest kwadratowa
i tak A
n
= A · . . . · A
|
{z
}
n
razy
Denicja 1.1.8. Macierz transponowan¡ macierzy A = [a
ij
]
m×n
nazywamy macierz, która
powstaje z macierzy A przez zamian¦ kolumn na wiersze bez zmiany kolejno±ci wyrazów i
oznaczamy j¡ sybolem A
T
. Czyli
A
T
= [a
ji
]
n×m
.
(1.4)
Przykªad 1.1.9. Dane s¡ macierze
A =
0 1
3
−1 2
1
1 0 −1
, B =
−2
1 −5
0 −3 −3
−2
1
1
, C =
1 1
−2 0
1 1
, D =
1 −1 0
−1
0 2
.
Wtedy
C + 2 · D
T
=
1 1
−2 0
1 1
+ 2 ·
1 −1
−1
0
0
2
=
1 1
−2 0
1 1
+
2 −2
−2
0
0
4
=
=
1 + 2 1 + (−2)
−2 + (−2)
0 + 0
1 + 0
1 + 4
=
3 −1
−4
0
1
5
,
A − B
=
−2
1 −5
0 −3 −3
−2
1
1
−
0 1
3
−1 2
1
1 0 −1
=
−2 − 0
1 − 1
−5 − 3
0 − (−1) −3 − 2
−3 − 1
−2 − 1
1 − 0 1 − (−1)
=
=
−2
0 −8
1 −5 −4
−3
1
0
,
B · A
=
−2
1 −5
0 −3 −3
−2
1
1
·
0 1
3
−1 2
1
1 0 −1
=
=
−2·0+1 ·(−1)+(−5)·1
−2·1+1·2+(−5)·0 −2·3+1·1+(−5) · (−1)
0·0+(−3) ·(−1)+(−3)·1 0·1+(−3) ·2+(−3)·0 0·3+(−3) ·1+(−3)·(−1)
(−2)·0+1 ·(−1)+1·1
(−2)·1+1 ·2+1·0
(−2)·3+1 ·1+1·(−1)
=
=
−6
0
0
0 −6
0
0
0 −6
= −6 ·
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= −6 · I.
Denicja 1.1.10. Odwzorowanie f : X −→ X nazywamy odwzorowaniem ró»nowarto-
±ciowym zbioru X na siebie, je±li ró»nym argumentom przyporz¡dkowuje ró»ne warto±ci
tzn.
∀x
1
, x
2
∈ X : x
1
6= x
2
=⇒ f (x
1
) 6= f (x
2
),
lub równowa»nie (prawo kontrapozycji)
∀x
1
, x
2
∈ X : f (x
1
) = f (x
2
) =⇒ x
1
= x
2
.
Denicja 1.1.11. Permutacj¡ σ zbioru {1, 2, . . . , n} nazywamy ró»nowarto±ciowe odwzo-
rowanie tego zbioru na siebie tzn.
σ : {1, 2, . . . , n} −→ {1, 2, . . . , n} : i 6= j =⇒ σ(i) 6= σ(j).
2
Mo»emy powiedzie¢, »e permutacja to n-elementowy ci¡g (σ
1
, σ
2
, . . . , σ
n
)
o wyrazach nale»¡-
cych do zbioru {1, 2, . . . , n}. Zbiór wszystkich permutacji zbioru {1, 2, . . . , n} oznaczamy
symbolem S
n
. Moc, ilo±¢ wszystkich elementów zbioru (ilo±¢ wszystkich permutacji) zbioru
{1, . . . , n}
wynosi n!, co zapisujemy S
n
= n!
.
Denicja 1.1.12. Transpozycj¡ (ij) nazywamy permutacj¦ zbioru {1, 2, . . . , n}, która speª-
nia warunki σ(i) = j , σ(j) = i oraz σ(k) = k dla k 6= i i k 6= j . Tak wi¦c transpozycj¡ jest
ci¡g (1, . . . , i − 1, j, j, i + 1, . . . , j − 1, i, j + 1, . . . , n).
Ka»d¡ permutacj¦ mo»na przedstawi¢ w postaci zªo»enia pewnej ilo±ci transpozycji.
Denicja 1.1.13. Niech k b¦dzie ilo±ci¡ transpozycji, których zªo»enie stanowi permutacj¦
σ
. Znak permutacji σ to liczba (−1)
k
, piszemy wtedy sgn(σ) = (−1)
k
.
Przykªad 1.1.14. Zbiory (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1) s¡ permuta-
cjami zbioru {1, 2, 3},
Ka»dej macierzy kwadratowej mo»emy przyporz¡dkowa¢ liczb¦ zwan¡ wyznacznikiem.
Wyznacznik macierzy A = [a
ij
]
n×n
oznaczamy symbolem det A lub |A| lub po prostu
a
11
. . . a
1n
... ... ...
a
n1
. . . a
nn
.
Liczb¦ n nazywamy stopniem wyznacznika.
Denicja 1.1.15. Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A = [a
ij
]
n×n
nazywamy liczb¦
X
σ∈S
n
sgn(σ) a
1σ(1)
· . . . · a
1σ(n)
.
(1.5)
Z denicji tej w szczególno±ci wynikaj¡ wzory
•
dla n = 1, det[a
11
] = a
11
.
•
dla n = 2, det
a
11
a
12
a
21
a
22
= a
11
· a
22
− a
21
· a
12
,
•
dla n = 3, det
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
=
a
11
· a
22
· a
33
+ a
21
· a
32
· a
13
+ a
31
· a
12
· a
23
+
−a
31
· a
22
· a
13
− a
32
· a
23
· a
11
− a
33
· a
21
· a
12
.
Przykªad 1.1.16.
det
2 −3
5
4
= 2 · 4 − 5 · (−3) = 8 + 15 = 23,
det
−2 3 1
1 4 2
−1 2 3
= −2 · 4 · 3+1 · 2 · 1+(−1) · 3 · 2−(−1) · 4 · 1−2 · 2 · (−2)−3 · 1 · 3 =
= −24 + 2 − 6 + 4 + 8 − 9 = −27
Denicja 1.1.17. Minorem macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy utworzonej
z macierzy A poprzez skre±lenie pewnej ilo±ci wierszy i kolumn w macierzy A.
Uwaga 1.1.18. Poniewa» minor jest wyznacznikiem, wi¦c ilo±ci skre±lonych wierszy i kolumn
musz¡ by¢ takie, aby powstaªa macierz kwadratowa.
3
Przez M
ij
b¦dziemy oznacza¢ minor stopnia n − 1 powstaªy z macierzy A stopnia n
przez skre±lenie w macierzy A i-tego wiersza i j -tej kolumny.
Denicja 1.1.19. Liczb¦ (−1)
i+j
M
ij
nazywamy dopeªnieniem algebraicznym elementu a
ij
i oznaczamy symbolem A
ij
, tzn.
A
ij
= (−1)
i+j
M
ij
.
(1.6)
Przykªad 1.1.20. Dana jest macierz A =
−2
3 −8
1 −5 −4
−3
1
0
Wtedy
A
23
= (−1)
2+3
· M
23
= −M
23
= −
−2 3
−3 1
= −(−2 + 9) = −7.
Twierdzenie 1.1.21. (Laplace'a) Wyznacznik macierzy A = [a
ij
]
n×n
wyra»a si¦ wzorami
det A =
n
X
i=1
a
ij
A
ij
= a
1j
A
1j
+ a
2j
A
2j
+ a
3j
A
3j
+ · · · + a
nj
A
nj
,
(1.7)
gdzie j jest dowoln¡ liczb¡ ze zbioru {1, 2, . . . , n},
det A =
n
X
j=1
a
ij
A
ij
= a
i1
A
i1
+ a
i2
A
i2
+ a
i3
A
i3
+ . . . + a
in
A
in
,
(1.8)
gdzie i jest dowoln¡ liczb¡ ze zbioru {1, 2, . . . , n}.
Uwaga 1.1.22. Obliczanie wyznacznika wedªug wzoru (1.7) nazywamy rozwini¦ciem Lapla-
ce'a wzgl¦dem j -tej kolumny, natomiast obliczanie wyznacznika wedªug wzoru (1.8) nazy-
wamy rozwini¦ciem Laplace'a wzgl¦dem i-tego wiersza.
Uwaga 1.1.23. Je±li w macierzy kwadratowej kolumna (wiersz) zbudowana jest z samych
zer, to jej wyznacznik równy jest 0.
Przykªad 1.1.24. Dana jest macierz
A =
2 3 1 1
4 1 1 2
1 1 0 2
3 2 3 1
.
Obliczymy jej wyznacznik stosuj¡c rozwini¦cie Laplace'a wzgl¦dem pierwszej kolumny.
det A =
2 3 1 1
4 1 1 2
1 1 0 2
3 2 3 1
= a
11
A
11
+ a
21
A
21
+ a
31
A
31
+ a
41
A
41
=
= 2 · (−1)
1+1
·
1 1 2
1 0 2
2 3 1
+ 4 · (−1)
2+1
·
3 1 1
1 0 2
2 3 1
+ 1 · (−1)
3+1
·
3 1 1
1 1 2
2 3 1
+
+ 3 · (−1)
4+1
·
3 1 1
1 1 2
1 0 2
= 2(6 + 4 − 6 − 1) − 4(3 + 4 − 18 − 1) +
+ (3 + 3 + 4 − 2 − 18 − 1) − 3(6 + 2 − 1 − 2) = 6 + 48 − 11 − 15 = 28
4
Twierdzenie 1.1.25. Wyznacznik nie ulegnie zmianie, je±li do jego kolumny (wiersza) do-
damy inn¡ kolumn¦ (wiersz) tej macierzy pomno»on¡ przez dowoln¡ liczb¦. Ponadto zachodzi
wzór
det A
T
= det A.
(1.9)
Je±li A i B s¡ macierzami kwadratowymi tego samego wymiaru, to
det AB = det A · det B.
(1.10)
Uwaga 1.1.26. Je±li w macierzy kwadratowej dwie lub wi¦cej kolumn (wierszy) jest iden-
tycznych, to jej wyznacznik jest równy zero.
Przykªad 1.1.27. Obliczymy jeszcze raz wyznacznik macierzy z Przykªadu 1.1.24
A =
2 3 1 1
4 1 1 2
1 1 0 2
3 2 3 1
.
Na wyznaczniku tej macierzy dokonamy elementarnych operacji, nie wpªywaj¡cych jego
posta¢, a cz¦sto zdecydowanie uªatwiaj¡cych i przyspieszaj¡cych jego obliczenie. Operacje
te b¦dziemy opisywa¢ nad równo±ci¡ i tak np. wyra»enie ”k
2
+ 2 ·
k
3
”
oznacza¢ b¦dzie,
»e do kolumny drugiej dodajemy kolumn¦ trzeci¡ pomno»on¡ przez liczb¦ 2, a wyra»enie
”
w
4
−
w
1
”
oznacza¢ b¦dzie, »e od wiersza czwartego odejmujemy wiersz pierwszy. Zobaczmy,
»e wyznacznik si¦ nie zmieni
det A =
2 3 1 1
4 1 1 2
1 1 0 2
3 2 3 1
k1-k3
=
1 3 1 1
3 1 1 2
1 1 0 2
0 2 3 1
w2-3
·
w1
w3-w1
=
1
3
1
1
0 −8 −2 −1
0 −2 −1
1
0
2
3
1
k2-6
·
k4
=
=
1 −3
1
1
0 −2 −2 −1
0 −8 −1
1
0 −4
3
1
w3-4
·
w2
w4-2
·
w2
=
1 −3
1
1
0 −2 −2 −1
0
0
7
5
0
0
7
3
w4-w3
=
=
1 −3
1
1
0 −2 −2 −1
0
0
7
5
0
0
0 −2
rozw. L wzgl.
1 kolumny
=
1 · (−1)
1+1
−2 −2 −1
0
7
5
0
0 −2
rozw. L. wzgl.
1 kolumny
=
= 1 · (−2)(−1)
1+1
7
5
0 −2
rozw. L. wzgl.
1 kolumny
=
1 · (−2) · 7(−1)
1+1
−2
=
= 1 · (−2) · 7 · (−2) = 28.
Wyznacznik macierzy mo»emy te» obliczy¢ korzystaj¡c z algorytmu Chió. Algorytm
ten pozwala oblicza¢ wyznaczniki przez kolejne obni»anie ich stopni. Wyznacznik macierzy
kwadratowej A = [a
ij
]
stopnia n > 3, w której a
11
jest niezerowy, wyra»a si¦ wzorem
det A =
1
(a
11
)
n−2
·
a
0
22
a
0
23
. . . a
0
2n
a
0
32
a
0
33
. . . a
0
3n
... ... ... ...
a
0
n2
a
0
n3
. . . a
0
nn
,
gdzie a
0
ij
=
a
11
a
1j
a
i1
a
ij
, i, j ∈ {2, . . . , n}
(1.11)
5
Przykªad 1.1.28. Wykorzystuj¡c algorytm Chió, kolejny raz obliczymy wyznacznik
macierzy z Przykªadu 1.1.24.
2 3 1 1
4 1 1 2
1 1 0 2
3 2 3 1
=
1
2
4−2
·
2 3
4 1
2 1
4 1
2 1
4 2
2 3
1 1
2 1
1 0
2 1
1 2
2 3
3 2
2 1
3 3
2 1
3 1
=
1
4
·
−10 −2
0
−1 −1
3
−5
3 −1
=
=
1
4
·
1
(−10)
3−2
·
−10 −2
−1 −1
−10 0
−1 3
−10 −2
−5
3
−10
0
−5 −1
= −
1
40
·
8 −30
−40
10
=
= −
1
40
(80 − 1200) = −
1
40
· 40(2 − 30) = −(−28) = 28
Denicja 1.1.29. Je±li kwadratowe i tego samego wymiaru macierze A i B speªniaj¡
warunki
AB = BA = I,
(1.12)
to A nazywamy macierz¡ odwracaln¡ (nieosobliw¡), za± B macierz¡ odwrotn¡ do A i ozna-
czamy symbolem A
−1
, tzn. B = A
−1
i analogicznie A = B
−1
.
Twierdzenie 1.1.30. Je±li det A 6= 0, to macierz A jest odwracalna oraz
A
−1
=
1
det A
[A
ij
]
T
,
(1.13)
gdzie A
ij
oznacza dopeªnienie algebraiczne elementu a
ij
macierzy A.
Przykªad 1.1.31. Wyznaczymy macierz odwrotn¡ do macierzy
A =
1
0 1
−1 −1 0
0
1 2
.
Sprawadzimy, czy macierz A jest odwracalna.
det A =
1
0 1
−1 −1 0
0
1 2
= −2 − 1 = −3 6= 0.
Poniewa» wyznacznik jest ró»ny od zera, to macierz jest odwracalna tzn. istnieje macierz
odwrotna A
−1
. Aby skorzysta¢ ze wzoru (1.13) wyliczamy dopeªnienia algebraiczne wszyst-
kich wyrazów:
A
11
= (−1)
1+1
·
−1 0
1 2
= −2,
A
12
= (−1)
1+2
·
−1 0
0 2
= 2,
A
13
= (−1)
1+3
·
−1 −1
0
1
= −1,
A
21
= (−1)
2+1
·
0 1
1 2
= 1,
A
22
= (−1)
2+2
·
1 1
0 2
= 2,
A
23
= (−1)
2+3
·
1 0
0 1
= −1,
6
A
31
= (−1)
3+1
·
0 1
−1 0
= 1,
A
32
= (−1)
3+2
·
1 1
−1 0
= −1,
A
33
= (−1)
3+3
·
1
0
−1 −1
= −1.
Otrzymujemy
A
−1
=
1
det A
[A
ij
]
T
=
1
−3
−2
2 −1
1
2 −1
1 −1 −1
T
=
1
−3
−2
1
1
2
2 −1
−1 −1 −1
=
2
3
−
1
3
−
1
3
−
2
3
−
2
3
1
3
1
3
1
3
1
3
.
Aby sprawdzi¢, czy dobrze wyznaczyli±my macierz odwrotn¡ mo»emy wyznaczy¢ iloczyny
AA
−1
i A
−1
A
. Je±li w obu przypadkach otrzymamy macierz jednostkow¡, to macierz
odwrotna zostaªa dobrze wyznaczona.
Bezwyznacznikowa metoda znajdowania macierzy odwrotnej polega na wykonywaniu
tych samych elementarnych operacji na wierszach macierzy wyj±ciowej oraz macierzy jednos-
tkowej. Celem tych operacji jest sprowadzenie macierzy wyj±ciowej do macierzy jednostko-
wej. Wówczas macierz jednostkowa przechodzi w macierz odwrotn¡ do wyj±ciowej.
A I
elementarne
operacje
na wierszach
−→
I A
−1
Elementarnymi operacjami w tej metodzie s¡:
•
dodawanie do wiersza innego wiersza pomno»onego przez liczb¦,
•
odejmowanie od wiersza innego wiersza pomno»onego przez liczb¦,
•
mno»enie wiersza przez liczb¦,
•
zamiana wierszy.
Przykªad 1.1.32. Korzystaj¡c z bezwyznacznikowej metody wyznaczymy macierz odwro-
tn¡ do macierzy
A =
1
0 1
−1 −1 0
0
1 2
.
Otrzymujemy
A I =
1
0 1 1 0 0
−1 −1 0 0 1 0
0
1 2 0 0 1
w
2
+ w
1
−→
1
0 1 1 0 0
0 −1 1 1 1 0
0
1 2 0 0 1
w
2
· (−1)
−→
1 0
1
1
0 0
0 1 −1 −1 −1 0
0 1
2
0
0 1
w
3
− w
2
−→
1 0
1
1
0 0
0 1 −1 −1 −1 0
0 0
3
1
1 1
w
3
·
1
3
−→
1 0
1
1
0
0
0 1 −1 −1 −1
0
0 0
1
1
3
1
3
1
3
w
2
+ w
3
w
1
− w
3
−→
1 0 0
2
3
−
1
3
−
1
3
0 1 0 −
2
3
−
2
3
1
3
0 0 1
1
3
1
3
1
3
=
I A
−1
.
7
Przykªad 1.1.33. Rozwi¡za¢ równanie macierzowe AX = B , je±li
A =
1
0 1
−1 −1 0
0
1 2
oraz B =
3
3
6
0
−9 −3
.
Macierz A jest odwracalna (Przykªad 1.1.31). Aby wyznaczy¢ macierz X pomno»ymy z
lewej strony nasze równanie przez A
−1
. Otrzymujemy
A
−1
AX = A
−1
B
IX = A
−1
B
X = A
−1
B
Korzystamy z wyliczonej w Przykªadzie 1.1.31 macierzy odwrotnej A
−1
i otrzymujemy
X
=
2
3
−
1
3
−
1
3
−
2
3
−
2
3
1
3
1
3
1
3
1
3
·
3
3
6
0
−9 −3
=
3
3
−9 −3
0
0
Twierdzenie 1.1.34. Je±li A i B s¡ macierzami kwadratowymi tego samego wymiaru,
a α 6= 0, to zachodz¡ nast¦puj¡ce wzory:
det A
−1
=
1
det A
,
(1.14)
(αA)
−1
= α
−1
A
−1
,
(1.15)
(AB)
−1
= B
−1
A
−1
,
(1.16)
A
−1
T
= A
T
−1
.
(1.17)
Uwaga 1.1.35. Macierz A jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy det A 6= 0.
1.2 Ukªady równa« liniowych
Denicja 1.2.1. Ukªad m równa« liniowych o n niewiadomych to ukªad postaci
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1n
x
n
= b
1
,
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ . . . + a
2n
x
n
= b
2
,
...
...
...
...
...
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ . . . + a
mn
x
n
= b
m
,
(1.18)
gdzie a
11
, . . . , a
mn
s¡ wspóªczynnikami, natomiast x
1
, . . . , x
n
niewiadomymi tego ukªadu.
Macierze
A =
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
...
... ... ...
a
m1
a
m2
. . . a
mn
m×n
, U =
a
11
a
12
. . .
a
1n
b
1
a
21
a
22
. . .
a
2n
b
2
...
... ... ... ...
a
m1
a
m2
. . . a
mn
b
m
m×(n+1)
, B =
b
1
b
2
...
b
m
m×1
nazywamy odpowiednio macierz¡ wspóªczynników tego ukªadu, macierz¡ uzupeªnion¡,
macierz¡ (kolumn¡) wyrazów wolnych.
8
Je±li m = n, to powy»szy ukªad (1.18) jest ukªadem kwadratowym o takiej samej n ilo±ci
równa« i niewiadomych
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1n
x
n
= b
1
,
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ . . . + a
2n
x
n
= b
2
,
...
...
...
...
...
a
n1
x
1
+ a
n2
x
2
+ . . . + a
nn
x
n
= b
n
,
.
(1.19)
Wówczas wyznacznik
W =
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
... ... ... ...
a
n1
a
n2
. . . a
nn
nazywamy wyznacznikiem gªównym ukªadu kwadratowego. Niech
W
x
k
=
a
11
. . . a
1(k−1)
b
1
a
1(k+1)
. . . a
1n
a
21
. . . a
2(k−1)
b
2
a
1(k+1)
. . . a
2n
... ...
...
...
... ... ...
a
n1
. . . a
n(k−1)
b
n
|{z}
k-ta kolumna
a
1(k+1)
. . . a
nn
,
gdzie k ∈ 1, . . . , n
b¦d¡ wyznacznikami otrzymanymi z wyznacznika gªównego przez zast¡pienie k-tej
kolumny kolumn¡ wyrazów wolnych.
Twierdzenie 1.2.2. (Cramera) Je±li W 6= 0, to ukªad równa« liniowych (1.19) posiada
dokªadnie jedno rozwi¡zanie dane wzorami Cramera
x
k
=
W
x
k
W
,
gdzie k ∈ 1, . . . , n.
(1.20)
Denicja 1.2.3. Je±li W 6= 0, to ukªad (1.19) nazywamy ukªadem Cramera.
Przykªad 1.2.4. Rozwi¡»emy ukªad równa« liniowych
x +
y +
z =
0
2x −
y −
z = −3
4x − 5y − 3z = −7
.
Tworzymy macierz gªówn¡ tego ukªadu
A =
1
1
1
2 −1 −1
4 −5 −3
i obliczamy jej wyznacznik
W = det A =
1
1
1
2 −1 −1
4 −5 −3
= 3 − 10 − 4 + 4 − 5 + 6 = −6 6= 0.
Poniewa» macierz gªówna jest niesobliwa (det A 6= 0), to ukªad jest Cramera i ma jedno
rozwi¡zanie.
W
x
=
0
1
1
−3 −1 −1
−7 −5 −3
= 15 + 7 − 7 − 9 = 6
W
y
=
1
0
1
2 −3 −1
4 −7 −3
= 9 − 14 + 12 − 7 = 0
9
W
z
=
1
1
0
2 −1 −3
4 −5 −7
= 7 − 12 − 15 + 14 = −6
Nasz ukªad ma rozwi¡zanie
x =
6
−6
= −1
y =
0
−6
= 0
z =
−6
−6
= 1
.
Denicja 1.2.5. Rz¦dem macierzy niezerowej nazywamy liczb¦ r równ¡ najwi¦kszemu ze
stopni jej ró»nych od zera minorów. Przyjmujemy, »e rz¡d macierzy zerowej wynosi 0. Rz¡d
macierzy A b¦dziemy oznacza¢ symbolem rzA.
Uwaga 1.2.6. Je±li A jest macierz¡ niezerow¡ wymiaru n × m, 1 6 rzA 6 min{n, m}.
Przykªad 1.2.7. Znale¹¢ rz¡d macierzy
A =
1
0 1
−1 −1 0
0
1 2
.
Poniewa»
det A =
1
0 1
−1 −1 0
0
1 2
= −2 − 1 = −3 6= 0,
to rzA = 3.
Przykªad 1.2.8. Znajdziemy rz¡d macierzy
B =
1
1
2
2 −1
1
3
0
3
−1 −1 −2
.
Macierz B jest wymiaru 4 × 3, wi¦c jej rz¡d mo»e by¢ co najwy»ej równy 3. Mamy cztery
minory stopnia 3. Sprawdzamy, czy który± z nich jest niezerowy:
1
1 2
2 −1 1
3
0 3
= −3 + 3 + 6 − 6 = 0,
1
1
2
2 −1
1
−1 −1 −2
= 2 − 2 − 1 − 2 − 1 + 4 = 0,
1
1
2
3
0
3
−1 −1 −2
= −6 − 3 + 3 + 6 = 0,
2 −1
1
3
0
3
−1 −1 −2
= −3 + 3 + 6 − 6 = 0.
Wszystkie minory stopnia 3 zeruj¡ si¦, st¡d rzB < 3. Szukamy niezerowego minora stopnia 2.
Wszystkich minorów stopnia 2 jest 18. Wystarczy, »e wska»emy jeden niezerowy. Zauwa»my,
»e
1
1
2 −1
= −3 6= 0
. Oznacza to, »e rzB = 2.
10
Twierdzenie 1.2.9. Rz¡d macierzy nie zmieni si¦, gdy
1. dodamy do kolumny dowoln¡ inn¡ kolumn¦ pomno»on¡ przez dowoln¡ liczb¦,
2. dodamy do wiersza dowolny inny wiersz pomno»ony przez dowoln¡ liczb¦,
3. przestawimy dowolne dwa wiersze lub dowolne dwie kolumny,
4. dopiszemy lub skre±lamy kolumn¦ lub wiersz zªo»on¡ z samych zer,
5. dowoln¡ kolumn¦ lub wiersz pomno»my przez liczb¦ ró»n¡ od zera,
6. dokonamy transpozycji macierzy.
Przykªad 1.2.10. Wykorzystuj¡c Twierdzenie 1.2.9 znajdziemy rz¡d macierzy
B =
1
1
2
2 −1
1
3
0
3
−1 −1 −2
.
rzB = rz
1
1
2
2 −1
1
3
0
3
−1 −1 −2
w
4
+ w
1
w
3
− (w
1
+ w
2
)
=
rz
1
1 2
2 −1 1
0
0 0
0
0 0
skre±lamy w
3
, w
4
=
=
rz
1
1 2
2 −1 1
k
3
− (k
1
+ k
2
)
=
rz
1
1 0
2 −1 0
skre±lamy k
3
=
rz
1
1
2 −1
= 2.
Twierdzenie 1.2.11. (Kroneckera-Capellego) Ukªad równa« (1.18) posiada co najmniej
jedno rozwi¡zanie wtedy i tylko wtedy, gdy
rzA = rzU.
Je±li w szczególno±ci rzA = rzU = r = n, to ukªad ten ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie
wyra»aj¡ce si¦ wzorami Cramera, a je±li rzA = rzU = r < n, to ukªad ma niesko«czenie
wiele rozwi¡za« zale»nych od n − r parametrów.
Uwaga 1.2.12. Ukªad (1.18) jest sprzeczny (nie posiada rozwi¡za«) wtedy i tylko wtedy,
gdy rzA 6= rzU .
Przykªad 1.2.13. Rozwi¡»emy ukªad równa« liniowych
3x −
y +
z = 2
6x − 2y + 2z = 1
.
Tworzymy macierz gªówn¡ i macierz uzupeªnion¡ tego ukªadu
A =
3 −1 1
6 −2 2
2×3
,
U =
3 −1 1 2
6 −2 2 1
2×4
.
Z postaci macierzy gªównej widzimy, »e nie jest to ukªad Cramera (liczba wierszy nie jest
równa liczbie kolumn, liczba równa« nie jest równa liczbie niewiadomych). Zastosujemy
Twierdzenie (1.2.11) Kroneckera-Capellego. Wyznaczamy rz¦dy macierzy A i U .
rzA = rz
3 −1 1
6 −2 2
w
2
− 2 · w
1
=
rz
3 −1 1
0
0 0
skre±lamy w
2
=
rz 3 −1 1 = 1,
rzU = rz
3 −1 1 2
6 −2 2 1
k
1
+ 3 · k
2
k
3
+ ·k
2
=
rz
0 −1 0 2
0 −2 0 1
skre±lamy k
1
, k
3
=
rz
−1 2
−2 1
= 2.
Poniewa» rz¦dy s¡ ró»ne tzn. rzA 6= rzU , to ukªad jest sprzeczny (Uwaga 1.2.12).
11
1.3 Zadania do samodzielnego rozwi¡zania
Zadanie 1. Obliczy¢ wyznaczniki:
a)
i
5
−2 7 + 2i
,
b)
1
ε
ε
2
ε
2
1
ε
ε
ε
2
1
, gdzie ε =
1
2
− i
√
3
2
,
c)
cos α
sin α cos β
sin α sin β
− sin α cos α cos β cos α sin β
0
− sin β
cos β
,
d*)
2 0
0 2
−1
0
0 −1
0 0
0 0
−3
0
0 −3
2 0
0 2
1 0
0 1
3 0
0 3
0 0
0 0
2 0
0 2
nad ciaªem macierzy diagonalnych postaci
a 0
0 a
, gdzie a ∈ R.
Zadanie 2. Dana jest macierz A =
−1
1 2
2
1
3 1
1
−1 −3 1 −1
3
6 1
2
.
a) Wyznaczy¢ dopeªnienia algebraiczne wyrazów a
14
i a
33
.
b) Obliczy¢ wyznacznik stosuj¡c rozwini¦cia Laplace'a wedªug dowolnie wybranego wiersza
lub kolumny.
c) Wykona¢ kolejno nast¦puj¡ce czynno±ci:
•
zamieni¢ pierwsz¡ z ostatni¡ kolumn¡,
•
zamieni¢ pierwszy z drugim wierszem,
•
doda¢ czwart¡ kolumn¦ do trzeciej kolumny,
•
odj¡¢ podwojony pierwszy wiersz od czwartego wiersza,
•
odj¡¢ pierwszy wiersz od trzeciego wiersza,
•
transponowa¢ macierz,
•
zastosowa¢ rozwini¦cie wedªug pierwszego wiersza.
Porówna¢ otrzymane wyniki w podpunktach a) i b).
Zadanie 3. Obliczy¢ wyznacznik:
1 2 3 0
1 −1
0 1 1 2 −1
2
1 1 1 3
0
1
−1 1 2 0
1
2
2 1 1 1
3
0
−2 2 1 0 −1 −1
.
12
Zadanie 4*.
Korzystaj¡c z algorytmu Chi´o obliczy¢ wyznacznik macierzy
A =
2
1 2
1
1
3 1
1
1 −3 1 −1
3
2 1
2
.
Zadanie 5. Korzystaj¡c z denicji znale¹¢ (o ile istnieje) macierz odwrotn¡ do macierzy:
a) A =
1 2
0 1
,
b) B =
1 0 2
2 1 0
0 0 1
.
Zadanie 6. Korzystaj¡c z twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej znale¹¢ (o ile istnieje)
macierz odwrotn¡ do macierzy:
a) A =
1 1 1
2 1 0
0
i
i
,
b) B =
1 0 1 0
0 1 1 1
0 0 2 1
0 1 0 1
.
Zadanie 7*. Korzystaj¡c z metody bezwyznacznikowej znale¹¢ macierz odwrotn¡ do
macierzy
A =
1 0 1 0 0
1 1 0 0 0
0 1 1 1 0
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1
.
Zadanie 8. Rozwi¡za¢ równanie macierzowe
1 1 1
2 1 0
0 1 1
· X + 2
2 0
1
0 1
1
−2 1 −1
=
−1
0 0
1 −1 2
1
0 1
.
Zadanie 9. Wyznaczy¢ rz¡d macierzy:
a) A =
1
2
1 −1
2
1
1
2
1
1
−1 −2 −1
1 −2
−1 −1 −2 −1 −1
2
3
3
0
3
,
b) B =
1 0 1 0 0 1
1 1 0 0 0 1
0 1 1 1 0 2
0 0 0 1 1 1
.
Zadanie 10*. Wyznaczy¢ rz¡d macierzy
B =
p − 1
1
0
0
2
p − 2 0
0
0
0
p
2
0
0
p p + 1
.
w zale»no±ci od parametru p.
13
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Algebra z geometrią teoria, przykłady, zadania
Macierze teoria przyklady zadan Nieznany
Gewert, Skoczylas Równania różniczkowe zwyczajne , teoria przykłady, zadania
Gewert M, Skoczylas Z Wstęp do analizy i algebry Teoria, przykłady, zadania wyd 2
M Gewert, Z Skoczylas Równania różniczkowe zwyczajne Teoria, przyklady, zadania
Stankiewicz Wilczek Algebra Z Geometria Teoria Przyklady Zadania
Prognozowanie Teoria przyklady zadania e b0s0
steżenia II przykładowe zadanie, semestr 1, Chemia, teoria
Kordecki W, Jasiulewicz H Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna Przykłady i zadania
na egzamin przykladowe zadania
Drzewo decyzyjne przykład, Zadania
Kreatives Schreiben przykładowe zadania
(), podstawy chemii fizycznej Ć , przemiany gazowe przykładowe zadaniaid 736
Analiza matematyczna 2 Przyklady i zadania
Maryśka KOL 2 Pardalec przykładowe zadania
estymacja teoria i przyklady id 163721
więcej podobnych podstron