www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
E
GZAMIN
M
ATURALNY
Z
M
ATEMATYKI
POZIOM PODSTAWOWY
8
MAJA
2013
C
ZAS PRACY
: 170
MINUT
Zadania zamkni˛ete
Z
ADANIE
1
(1
PKT
.)
Wska ˙z rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniaj ˛
a-
cych nierówno´s´c
|
x
+
4
| <
5.
-9
x
-1
x
x
x
A)
B)
C)
D)
-5
1
9
5
-1
9
4
-9
1
-4
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli zapiszemy dan ˛
a nierówno´s´c w postaci
|
x
− (−
4
)| <
5
to wida´c, ˙ze spełniaj ˛
a j ˛
a liczby, które s ˛
a odległe od
−
4 o mniej ni ˙z 5. Rozwi ˛
azaniem jest wi˛ec
przedział
h−
4
−
5,
−
4
+
5
i = h−
9, 1
i
.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
2
(1
PKT
.)
Liczby a i b s ˛
a dodatnie oraz 12% liczby a jest równe 15% liczby b. St ˛
ad wynika, ˙ze a jest
równe
A) 103% liczby b
B) 125% liczby b
C) 150% liczby b
D) 153% liczby b
Materiał pobrany z serwisu
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Wiemy, ˙ze
12%a
=
15%b
/ : 12%
a
=
15
12
b
=
5
4
b
=
125
100
b
=
125%b.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
3
(1
PKT
.)
Liczba log 100
−
log
2
8 jest równa
A)
−
2
B)
−
1
C) 0
D) 1
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
log 100
−
log
2
8
=
log
10
10
2
−
log
2
2
3
=
2
−
3
= −
1.
Je ˙zeli kto´s nie rozumie tego rachunku to niech zajrzy do
Odpowied´z: B
Zadania
.info
Podobają Ci się nasze rozwiązania?
Pokaż je koleżankom i kolegom ze szkoły!
Z
ADANIE
4
(1
PKT
.)
Rozwi ˛
azaniem układu równa ´n
(
5x
+
3y
=
3
8x
−
6y
=
48
jest para liczb
A) x
= −
3 i y
=
4
B) x
= −
3 i y
=
6
C) x
=
3 i y
= −
4
D) x
=
9 i y
=
4
R
OZWI ˛
AZANIE
Dodajemy do drugiego równania pierwsze pomno ˙zone przez 2 ( ˙zeby skróci´c y).
18x
=
54
⇒
x
=
3.
St ˛
ad
3y
=
3
−
5x
=
3
−
15
= −
12
⇒
y
= −
4.
Odpowied´z: C
Materiał pobrany z serwisu
2
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
5
(1
PKT
.)
Punkt A
= (
0, 1
)
le ˙zy na wykresie funkcji liniowej f
(
x
) = (
m
−
2
)
x
+
m
−
3. St ˛
ad wynika,
˙ze
A) m
=
1
B) m
=
2
C) m
=
3
D) m
=
4
R
OZWI ˛
AZANIE
Podstawiamy w danym wzorze współrz˛edne punktu A.
1
=
m
−
3
⇒
m
=
4.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
6
(1
PKT
.)
Wierzchołkiem paraboli o równaniu y
= −
3
(
x
−
2
)
2
+
4 jest punkt o współrz˛ednych
A)
(−
2,
−
4
)
B)
(−
2, 4
)
C)
(
2,
−
4
)
D)
(
2, 4
)
R
OZWI ˛
AZANIE
Korzystamy z postaci kanonicznej
y
=
a
(
x
−
x
w
)
2
+
y
w
funkcji kwadratowej. W powy ˙zszym wzorze
(
x
w
, y
w
)
s ˛
a współrz˛ednymi wierzchołka para-
boli. W naszej sytuacji mamy wierzchołek ma współrz˛edne
(
2, 4
)
.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
7
(1
PKT
.)
Dla ka ˙zdej liczby rzeczywistej x, wyra ˙zenie 4x
2
−
12x
+
9 jest równe
A)
(
4x
+
3
)(
x
+
3
)
B)
(
2x
−
3
)(
2x
+
3
)
C)
(
2x
−
3
)(
2x
−
3
)
D)
(
x
−
3
)(
4x
−
3
)
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Zauwa ˙zmy, ˙ze podane wyra ˙zenie to pełen kwadrat.
4x
2
−
12x
+
9
= (
2x
−
3
)
2
= (
2x
−
3
)(
2x
−
3
)
.
Sposób II
Sprawd´zmy jakie s ˛
a pierwiastki danego trójmianu.
∆
=
144
−
144
=
0
x
1,2
= −
b
2a
=
12
8
=
3
2
.
Zatem
4x
2
−
12x
+
9
=
4
x
−
3
2
2
= (
2x
−
3
)
2
.
Odpowied´z: C
Materiał pobrany z serwisu
3
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
8
(1
PKT
.)
Prosta o równaniu y
=
2
m
x
+
1 jest prostopadła do prostej o równaniu y
= −
3
2
x
−
1. St ˛
ad
wynika, ˙ze
A) m
= −
3
B) m
=
2
3
C) m
=
3
2
D) m
=
3
R
OZWI ˛
AZANIE
Proste y
=
ax
+
b i y
=
cx
+
d s ˛
a prostopadłe je ˙zeli ac
= −
1. Mamy zatem
2
m
·
−
3
2
= −
1
/
· (−
1
)
3
m
=
1
m
=
3.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
9
(1
PKT
.)
Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y
=
ax
+
b.
x
y
0
Jakie znaki maj ˛
a współczynniki a i b?
A) a
<
0 i b
<
0
B) a
<
0 i b
>
0
C) a
>
0 i b
<
0
D) a
>
0 i b
>
0
R
OZWI ˛
AZANIE
Dany wykres przedstawia funkcj˛e, która jest malej ˛
aca, wi˛ec a
<
0. Ponadto jej warto´s´c w
x
=
0 jest ujemna, wi˛ec b
<
0.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
10
(1
PKT
.)
Najmniejsz ˛
a liczb ˛
a całkowit ˛
a spełniaj ˛
ac ˛
a nierówno´s´c
x
2
6
2x
3
+
1
4
jest
A)
−
2
B)
−
1
C) 0
D) 1
Materiał pobrany z serwisu
4
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Przekształ´cmy dan ˛
a nierówno´s´c.
x
2
6
2x
3
+
1
4
/
·
12
6x
6
8x
+
3
−
3
6
2x
/ : 2
−
3
2
6
x.
Najmniejsza liczba całkowita spełniaj ˛
aca t˛e nierówno´s´c to
−
1.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
11
(1
PKT
.)
Na rysunku 1 przedstawiony jest wykres funkcji y
=
f
(
x
)
okre´slonej dla x
∈ h−
7, 4
i
.
0
1
2
3
4
5
y
x
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
0
1
2
3
4
5
y
x
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
Rysunek 2 przedstawia wykres funkcji
A) y
=
f
(
x
+
2
)
B) y
=
f
(
x
) −
2
C) y
=
f
(
x
−
2
)
D) y
=
f
(
x
) +
2
R
OZWI ˛
AZANIE
Wykres na drugim rysunku jest przesuni˛ety wzgl˛edem wykresu na pierwszym rysunku o
dwie jednostki w prawo. Jest to wi˛ec wykres funkcji y
=
f
(
x
−
2
)
.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
12
(1
PKT
.)
Ci ˛
ag
(
27, 18, x
+
5
)
jest geometryczny. Wtedy
A) x
=
4
B) x
=
5
C) x
=
7
D) x
=
9
R
OZWI ˛
AZANIE
Iloraz danego ci ˛
agu jest równy
q
=
a
2
a
1
=
18
27
=
2
3
.
Zatem
x
+
5
=
a
3
=
a
2
q
=
18
·
2
3
=
12.
St ˛
ad x
=
12
−
5
=
7.
Odpowied´z: C
Materiał pobrany z serwisu
5
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
13
(1
PKT
.)
Ci ˛
ag
(
a
n
)
okre´slony dla n
>
1 jest arytmetyczny oraz a
3
=
10 i a
4
=
14. Pierwszy wyraz tego
ci ˛
agu jest równy
A) a
1
= −
2
B) a
1
=
2
C) a
1
=
6
D) a
1
=
12
R
OZWI ˛
AZANIE
Ró ˙znica ci ˛
agu
(
a
n
)
jest równa
r
=
a
4
−
a
3
=
14
−
10
=
4.
St ˛
ad
a
2
=
a
3
−
r
=
10
−
4
=
6
a
1
=
a
2
−
r
=
6
−
4
=
2.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
14
(1
PKT
.)
K ˛
at α jest ostry i sin α
=
√
3
2
. Warto´s´c wyra ˙zenia cos
2
α
−
2 jest równa
A)
−
7
4
B)
−
1
4
C)
1
2
D)
√
3
2
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Na mocy jedynki trygonometrycznej
sin
2
α
+
cos
2
α
=
1
mamy
cos
2
α
−
2
= (
1
−
sin
2
α
) −
2
= −
sin
2
α
−
1
= −
3
4
−
1
= −
7
4
.
Sposób II
Je ˙zeli sin α
=
√
3
2
to α
=
60
◦
i mamy
cos
2
α
−
2
=
1
2
2
−
2
=
1
4
−
2
= −
7
4
.
Odpowied´z: A
Materiał pobrany z serwisu
6
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
15
(1
PKT
.)
´Srednice AB i CD okr˛egu o ´srodku S przecinaj ˛a si˛e pod k ˛atem 50
◦
(tak jak na rysunku).
α
A
B
D
M
C
S
50
o
Miara k ˛
ata α jest równa
A) 25
◦
B) 30
◦
C) 40
◦
D) 50
◦
R
OZWI ˛
AZANIE
Miara k ˛
ata α
= ]
DMB jest równa połowie miary k ˛
ata ´srodkowego
]
DSB, a ten k ˛
at z kolei
jest równy k ˛
atowi k ˛
atowi
]
ASC. Zatem
α
=
1
2
·
50
◦
=
25
◦
.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
16
(1
PKT
.)
Liczba rzeczywistych rozwi ˛
aza ´n równania
(
x
+
1
)(
x
+
2
)(
x
2
+
3
)
jest równa
A) 0
B) 1
C) 2
D) 4
R
OZWI ˛
AZANIE
Poniewa ˙z x
2
+
3
>
0 równanie ma dwa rozwi ˛
azania: x
= −
1 i x
= −
2.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
17
(1
PKT
.)
Punkty A
= (−
1, 2
)
i B
= (
5,
−
2
)
s ˛
a dwoma s ˛
asiednimi wierzchołkami rombu ABCD.
Obwód tego rombu jest równy
A)
√
13
B) 13
C) 676
D) 8
√
13
Materiał pobrany z serwisu
7
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Znaj ˛
ac współrz˛edne dwóch kolejnych wierzchołków rombu mo ˙zemy obliczy´c długo´s´c jego
boku.
a
=
AB
=
q
(
5
+
1
)
2
+ (−
2
−
2
)
2
=
√
36
+
16
=
√
52
=
2
√
13.
Obwód rombu jest 4 razy wi˛ekszy, wi˛ec wynosi
4a
=
8
√
13.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
18
(1
PKT
.)
Punkt S
= (−
4, 7
)
jest ´srodkiem odcinka PQ, gdzie Q
= (
17, 12
)
. Zatem punkt P ma współ-
rz˛edne
A) P
= (
2,
−
25
)
B) P
= (
38, 17
)
C) P
= (−
25, 2
)
D) P
= (−
12, 4
)
R
OZWI ˛
AZANIE
Korzystamy ze wzoru
S
=
a
+
c
2
,
b
+
d
2
.
na ´srodek odcinka o ko ´ncach P
= (
a, b
)
i Q
= (
c, d
)
. Mamy wi˛ec równanie
(−
4, 7
) =
a
+
17
2
,
b
+
12
2
(
−
4
=
a
+
17
2
7
=
b
+
12
2
(
−
8
=
a
+
17
⇒
a
= −
25
14
=
b
+
12
⇒
b
=
2.
Zatem P
= (−
25, 2
)
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
19
(1
PKT
.)
Odległo´s´c mi˛edzy ´srodkami okr˛egów o równaniach
(
x
+
1
)
2
+ (
y
−
2
)
2
=
9 oraz x
2
+
y
2
=
10 jest równa
A)
√
5
B)
√
10
−
3
C) 3
D) 5
Materiał pobrany z serwisu
8
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Pierwszy okr ˛
ag ma ´srodek A
= (−
1, 2
)
, a drugi B
= (
0, 0
)
. Odległo´s´c ´srodków jest wi˛ec
równa
AB
=
q
(
0
+
1
)
2
+ (
0
−
2
)
2
=
√
1
+
4
=
√
5.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
20
(1
PKT
.)
Liczba wszystkich kraw˛edzi graniastosłupa jest o 10 wi˛eksza od liczby wszystkich jego ´scian
bocznych. St ˛
ad wynika, ˙ze podstaw ˛
a tego graniastosłupa jest
A) czworok ˛
at
B) pi˛eciok ˛
at
C) sze´sciok ˛
at
D) dziesi˛eciok ˛
at
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli w podstawie graniastosłupa jest n–k ˛
at to graniastosłup ma 3n kraw˛edzi i n ´scian bocz-
nych.
Mamy wi˛ec równanie
3n
=
n
+
10
2n
=
10
n
=
5.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
21
(1
PKT
.)
Pole powierzchni bocznej sto ˙zka o wysoko´sci 4 i promieniu podstawy 3 jest równe
A) 9π
B) 12π
C) 15π
D) 16π
Materiał pobrany z serwisu
9
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Zaczynamy od rysunku
4
l
3
Liczymy długo´s´c tworz ˛
acej sto ˙zka
l
=
p
3
2
+
4
2
=
5.
Obliczamy pole powierzchni bocznej
P
b
=
πrl
=
15π.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
22
(1
PKT
.)
Rzucamy dwa razy symetryczn ˛
a sze´scienn ˛
a kostk ˛
a do gry. Niech p oznacza prawdopodo-
bie ´nstwo zdarzenia, ˙ze iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest równy 5. Wtedy
A) p
=
1
36
B) p
=
1
18
C) p
=
1
12
D) p
=
1
9
R
OZWI ˛
AZANIE
Wyniki rzutów b˛edziemy zapisywa´c jako pary
(
a, b
)
, gdzie a jest wynikiem na pierwszej
kostce, a b wynikiem na drugiej. Najpierw obliczamy ile jest zdarze ´n elementarnych
|
Ω
| =
6
·
6
=
36.
S ˛
a dwa zdarzenia sprzyjaj ˛
ace:
(
1, 5
)
,
(
5, 1
)
.
Zatem prawdopodobie ´nstwo wynosi
2
36
=
1
18
.
Odpowied´z: B
Materiał pobrany z serwisu
10
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
23
(1
PKT
.)
Liczba
√
50
−
√
18
√
2
jest równa
A) 2
√
2
B) 2
C) 4
D)
√
10
−
√
6
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
√
50
−
√
18
√
2
=
√
50
√
2
−
√
18
√
2
=
r
50
2
−
r
18
2
=
=
√
25
−
√
9
=
5
−
3
=
2
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
24
(1
PKT
.)
Mediana uporz ˛
adkowanego niemalej ˛
aco zestawu sze´sciu liczb: 1, 2, 3, x, 5, 8 jest równa 4.
Wtedy
A) x
=
2
B) x
=
3
C) x
=
4
D) x
=
5
R
OZWI ˛
AZANIE
Mediana z sze´sciu uporz ˛
adkowanych liczb to ´srednia arytmetyczna dwóch ´srodkowych,
wi˛ec mamy równanie
3
+
x
2
=
4
3
+
x
=
8
⇒
x
=
5.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
25
(1
PKT
.)
Obj˛eto´s´c graniastosłupa prawidłowego trójk ˛
atnego o wysoko´sci 7 jest równa 28
√
3. Długo´s´c
kraw˛edzi podstawy tego graniastosłupa jest równa
A) 2
B) 4
C) 8
D) 16
R
OZWI ˛
AZANIE
Szkicujemy graniastosłup.
a
a
a
h
Materiał pobrany z serwisu
11
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Je ˙zeli oznaczymy przez a długo´s´c kraw˛edzi podstawy graniastosłupa to pole podstawy
jest równe
P
p
=
a
2
√
3
4
i z podanej obj˛eto´sci otrzymujemy równanie
28
√
3
=
a
2
√
3
4
·
7
/
·
4
7
√
3
16
=
a
2
⇒
a
=
4.
Odpowied´z: B
Zadania otwarte
Z
ADANIE
26
(2
PKT
.)
Rozwi ˛
a ˙z równanie x
3
+
2x
2
−
8x
−
16
=
0.
R
OZWI ˛
AZANIE
Łatwo zauwa ˙zy´c, ˙ze mo ˙zemy wył ˛
aczy´c
(
x
+
2
)
przed nawias.
0
=
x
3
+
2x
2
−
8x
−
16
=
x
2
(
x
+
2
) −
8
(
x
+
2
) =
= (
x
+
2
)(
x
2
−
8
) = (
x
+
2
)(
x
−
√
8
)(
x
+
√
8
) =
= (
x
+
2
)(
x
−
2
√
2
)(
x
+
2
√
2
)
.
Odpowied´z: x
∈ {−
2
√
2,
−
2, 2
√
2
}
Z
ADANIE
27
(2
PKT
.)
K ˛
at α jest ostry i sin α
=
√
3
2
. Oblicz warto´s´c wyra ˙zenia sin
2
α
−
3 cos
2
α
.
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Je ˙zeli sin α
=
√
3
2
to α
=
60
◦
i mamy
sin
2
α
−
3 cos
2
α
=
√
3
2
!
2
−
3
·
1
2
2
= =
3
4
−
3
4
=
0.
Sposób II
Na mocy jedynki trygonometrycznej mamy
sin
2
α
−
3 cos
2
α
=
sin
2
α
−
3
(
1
−
sin
2
α
) =
4 sin
2
α
−
3
=
4
·
3
4
−
3
=
0
Odpowied´z: 0
Materiał pobrany z serwisu
12
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
28
(2
PKT
.)
Udowodnij, ˙ze dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z takich, ˙ze x
+
y
+
z
=
0, prawdziwa
jest nierówno´s´c xy
+
yz
+
zx
6
0.
Mo ˙zesz skorzysta´c z to ˙zsamo´sci
(
x
+
y
+
z
)
2
=
x
2
+
y
2
+
z
2
+
2xy
+
2xz
+
2yz.
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Korzystaj ˛
ac z podanej to ˙zsamo´sci mamy
xy
+
xz
+
yz
=
(
x
+
y
+
z
)
2
−
x
2
−
y
2
−
z
2
2
=
−
x
2
−
y
2
−
z
2
2
.
Otrzymane wyra ˙zenie jest oczywi´scie zawsze niedodatnie.
Sposób II
Zauwa ˙zmy najpierw, ˙ze przynajmniej dwie z liczb x, y, z maj ˛
a ró ˙zne znaki (lub s ˛
a równe 0).
Bez zmniejszania ogólno´sci mo ˙zemy zało ˙zy´c, ˙ze t˛e własno´s´c maj ˛
a liczby x i y, tzn. xy
6
0.
Korzystaj ˛
ac z warunku x
+
y
+
z
=
0 b˛edziemy przekształca´c lew ˛
a stron˛e nierówno´sci.
xy
+
yz
+
zx
=
xy
+
y
(−
x
−
y
) + (−
x
−
y
)
x
=
= −
x
2
−
y
2
−
xy
= −(
x
+
y
)
2
+
xy.
Zauwa ˙zmy teraz, ˙ze na mocy zało ˙zenia xy
6
0 otrzymane wyra ˙zenie jest zawsze niedodat-
nie.
Z
ADANIE
29
(2
PKT
.)
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f
(
x
)
okre´slonej dla x
∈ h−
7, 8
i
.
-5
-1
+3
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
-6
-7
-4 -3 -2
+1 +2
+4
+6 +7 +8
+2
+3
+4
+6
+7
-2
-3
-4
-6
-7
Odczytaj z wykresu i zapisz:
a) najwi˛eksz ˛
a warto´s´c funkcji f ,
b) zbiór rozwi ˛
aza ´n nierówno´sci f
(
x
) <
0.
Materiał pobrany z serwisu
13
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
a) Odczytujemy z wykresu: najwi˛eksza warto´s´c funkcji f to f
(
6
) =
7.
Odpowied´z: f
(
6
) =
7
b) Dany wykres funkcji jest poni ˙zej osi Ox na przedziale:
(−
3, 5
)
.
Odpowied´z:
(−
3, 5
)
Z
ADANIE
30
(2
PKT
.)
Rozwi ˛
a ˙z nierówno´s´c 2x
2
−
7x
+
5
>
0.
R
OZWI ˛
AZANIE
Znajdujemy najpierw miejsca zerowe trójmianu 2x
2
−
7x
+
5.
∆
=
7
2
−
4
·
2
·
5
=
49
−
40
=
9
=
3
2
x
1
=
7
−
3
4
=
1
x
2
=
7
+
3
4
=
10
4
=
5
2
.
Poniewa ˙z współczynnik przy x
2
jest dodatni, wykres tego trójmianu jest parabol ˛
a o ramio-
nach skierowanych w gór˛e.
-5
-1
+3
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
Otrzymujemy st ˛
ad rozwi ˛
azanie nierówno´sci
(−
∞, 1
i ∪
5
2
,
+
∞.
Odpowied´z:
(−
∞, 1
i ∪
5
2
,
+
∞
Materiał pobrany z serwisu
14
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
31
(2
PKT
.)
Wyka ˙z, ˙ze liczba 6
100
−
2
·
6
99
+
10
·
6
98
jest podzielna przez 17.
R
OZWI ˛
AZANIE
Zauwa ˙zmy, ˙ze
6
100
−
2
·
6
99
+
10
·
6
98
=
6
98
(
6
2
−
2
·
6
+
10
) =
=
6
98
(
36
−
12
+
10
) =
6
98
·
34
=
6
98
·
2
·
17.
Wida´c teraz, ˙ze liczba ta dzieli si˛e przez 17.
Z
ADANIE
32
(4
PKT
.)
Punkt S jest ´srodkiem okr˛egu opisanego na trójk ˛
acie ostrok ˛
atnym ABC. K ˛
at ACS jest trzy ra-
zy wi˛ekszy od k ˛
ata BAS, a k ˛
at CBS jest dwa razy wi˛ekszy od k ˛
ata BAS. Oblicz k ˛
aty trójk ˛
ata
ABC.
A
B
C
S
R
OZWI ˛
AZANIE
Oznaczmy α
= ]
BAS.
A
B
C
S
α
α
3α
3α
2α
2α
Trójk ˛
aty ABS, BSC i ASC s ˛
a równoramienne, wi˛ec z podanych informacji mamy
]
ACS
= ]
CAS
=
3α
]
CBS
= ]
BCS
=
2α.
Materiał pobrany z serwisu
15
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Suma k ˛
atów trójk ˛
ata ABC jest równa 180
◦
, wi˛ec
α
+
α
+
2α
+
2α
+
3α
+
3α
=
180
◦
12α
=
180
◦
⇒
α
=
15
◦
.
W takim razie k ˛
aty trójk ˛
ata ABC maj ˛
a miary
]
A
=
4α
=
60
◦
]
B
=
3α
=
45
◦
]
C
=
5α
=
75
◦
.
Odpowied´z: 60
◦
, 45
◦
, 75
◦
Z
ADANIE
33
(4
PKT
.)
Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworok ˛
atnego jest równe 100 cm
2
, a jego pole
powierzchni bocznej jest równe 260 cm
2
Oblicz obj˛eto´s´c tego ostrosłupa.
R
OZWI ˛
AZANIE
Zacznijmy od rysunku.
A
B
C
D
S
E
a
F
H
h
Wiemy, ˙ze kwadrat w podstawie ma pole 100 cm
2
, wi˛ec jego bok ma długo´s´c 10 cm. W
takim razie z podanego pola powierzchni bocznej mamy równanie
4
·
1
2
ah
=
260
4
·
5h
=
260
⇒
h
=
13.
Z trójk ˛
ata prostok ˛
atnego EFS mamy
H
2
=
r
h
2
−
a
2
2
=
√
169
−
25
=
√
144
=
12.
Obj˛eto´s´c ostrosłupa jest wi˛ec równa
V
=
1
3
·
P
p
·
H
=
1
3
·
100
·
12
=
400.
Odpowied´z: 400 cm
3
Materiał pobrany z serwisu
16
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
34
(5
PKT
.)
Dwa miasta ł ˛
aczy linia kolejowa o długo´sci 336 kilometrów. Pierwszy poci ˛
ag przebył t˛e
tras˛e w czasie o 40 minut krótszym ni ˙z drugi poci ˛
ag. ´Srednia pr˛edko´s´c pierwszego poci ˛
agu
na tej trasie była o 9 km/h wi˛eksza od ´sredniej pr˛edko´sci drugiego poci ˛
agu. Oblicz ´sredni ˛
a
pr˛edko´s´c ka ˙zdego z tych poci ˛
agów na tej trasie.
R
OZWI ˛
AZANIE
Niech t i v oznaczaj ˛
a odpowiednio czas przejazdu oraz pr˛edko´s´c pierwszego poci ˛
agu. Z
zało ˙ze ´n mamy
(
tv
=
336
(
v
−
9
)
t
+
2
3
=
336.
Podstawiamy t
=
336
v
z pierwszego równania do drugiego.
(
v
−
9
)
336
v
+
2
3
=
336
/
·
3v
2
(
v
−
9
)(
504
+
v
) =
504v
v
2
+
504v
−
9v
−
4536
=
504v
v
2
−
9v
−
4536
=
0
∆
=
81
2
+
4
·
4536
=
18225
=
135
2
v
=
9
−
135
2
<
0
∨
v
=
9
+
135
2
=
144
2
=
72.
Ujemne rozwi ˛
azanie odrzucamy i mamy v
=
72 km/h. Wtedy pr˛edko´s´c drugiego poci ˛
agu
to
72
−
9
=
63 km/h
Odpowied´z: Pierwszy poci ˛
ag: 72 km/h, drugi poci ˛
ag: 63 km/h
Materiał pobrany z serwisu
17
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2013 05 08 Pod Odpowid 28274 Nieznany (2)
2013 05 08 Pod Arkusz
C5 (X7) B3DG010WP0 2 05 08 2013 Demontaż Montaż Wahacz wzdłużny tylnego zawieszenia (Z zawiesz
2013 05 10 Matma Roz Odpow
2011 03 05 21;05;08
OM z 04 2013 05 02 ko
2013 10 08 Dec nr 4 Regulamin KP PSP Ostrow Wlkpid
05 08
2013 03 08
e 13 2013 05 X k
03 OZE 2013 11 08 sk
2013 vol 08 GLOBALNE ZARZĄDZANIE JAKO MODEL DECYZYJNY STARA KONCEPTUALIZACJA NOWEJ PRAKTYKI
2013 05
05 Prace pod ruchem 1
Narz dzie nr 2 Wykre lanka dzieci 13 05 08
2001 05 08
SERWIS 2010.05.08
R 7 scalony 05 08
więcej podobnych podstron