Dynamika punktu materialnego w jednym wymiarze 1A

background image

Wprowadzenie do fizyki

Mirosław Kozłowski

Mirosław Kozłowski

rok akad. 2002/2003

background image

Część 1a

Dynamika punktu

materialnego w jednym

materialnego w jednym

wymiarze

background image

Dynamika punktu

materialnego w R

1

cz. a

Slajd podsumowania

1.1 Prędkość i przyśpieszenie w R1

1.2 Pochodna funkcji f(t)

1.3 Obliczanie pochodnych funkcji f(t)

Koniec
pokazu

Ruchy w R1

3

1.3 Obliczanie pochodnych funkcji f(t)

1.4 Antypochodna = całka nieoznaczona

1.5 Pochodna funkcji złożonej

1.6 Zasada zachowania energii

1.7 Zasada zachowania pędu

background image

Linki do stron WWW

Hyper Physics

4

Astronomy Picture of the Day

Space Photos and Images

background image

Czas

Chronos

– czas obiektywny,

niezależny od nas, znany ze swej
równomierności. Czas mierzony
przez zegarki, czas eksperymentu

Ruchy w R1

5

przez zegarki, czas eksperymentu
fizycznego.

background image

Od 13 października 1967 roku, jego wzorzec,
sekunda jest zdefiniowana następująco:

Jedna sekunda to trwanie

9 192 631 770 okresów fali
elektromagnetycznej emitowanej lub
absorbowanej przez atom cezu o

Ruchy w R1

6

Tempus

– czas odczuwany subiektywnie,

czas psychologiczny, ten, którego pomiar
odbywa się w naszym mózgu.

absorbowanej przez atom cezu o
liczbie masowej 133.

background image

1 attosekunda

Ultrakrótkie impulsy laserowe – kilka attosekund

1 femtosekunda (procesy biologiczne, chemia)

Czas oddziaływania światła z siatkówką oka
człowieka ~200 fs.

1 pikosekunda

Najszybsze tranzystory pracują w zakresie

Ruchy w R1

7

Najszybsze tranzystory pracują w zakresie
pikosekund.

1 nanosekunda

Mikroprocesor wewnątrz współczesnego
komputera w ciągu kilku nanosekund wykonuje
podstawowe operacje np. dodawania dwóch liczb.

background image

1 sekunda

Czas trwania jednego uderzenia serca człowieka,
oraz 1 sekunda = czas trwania 9 192 631 770
okresów promieniowania elektromagnetycznego
emitowanego przez atom cezu.

1 minuta

Ś

wiatło przebiega odległość Słońce – Ziemia

Ruchy w R1

8

Ś

wiatło przebiega odległość Słońce – Ziemia

w ciągu 8. minut.

1 godzina

Ś

wiatło z Plutona (ostatniej planety w naszym

układzie słonecznym) dociera do Ziemi w ciągu
5 godzin 20 minut.

background image

1 dzień

1 obrót Ziemi trwa: 23 h 56’ 41”.
Ziemia zwalnia ze względu na grawitacyjne
oddziaływanie Księżyca.

1 rok

Ruchy w R1

9

Ziemia wykonuje 1 okres obiegu wokół Słońca
i obraca się wokół osi 365,25 razy.

~10

10

lat

Wiek naszego Wszechświata

background image

1.1 Prędkość i przyśpieszenie w R

1

( ) ( )

,

3

2

pt

ht

bt

d

t

f

t

s

+

+

+

=

=

Rozważmy funkcję

Ruchy w R1

10

( ) ( )

,

pt

ht

bt

d

t

f

t

s

+

+

+

=

=

gdzie t jest czasem mierzonym przez
zegarki. Jest to czas eksperymentu
fizycznego (chronos).
Jak zmieni się funkcja f(t) po upływie
czasu

t?

background image

(

) (

)

(

) (

)

(

)

.

3

2

t

t

p

t

t

h

t

t

b

d

t

t

f

t

t

s

+

+

+

+

+

+

=

=

+

=

+

(

) ( )

t

t

s

t

t

s

t

s

=

+

=

A zatem:

Ruchy w R1

11

(

)

( )

(

)

( ) ( )

(

)

.

3

3

2

3

3

2

2

3

2

2

2

t

t

t

t

t

t

t

t

p

t

t

t

t

t

t

h

t

t

t

t

b

d

d

t

t

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

=

=

background image

(

) ( )

(

)

t

t

s

t

t

s

v

ś

r

=

+

=

Definiujemy nowe pojęcie –

prędkość średnia v

ś

r

:

Ruchy w R1

12

(

)

( )

(

)

.

3

3

2

2

2

t

t

t

t

p

t

t

h

b

t

+

+

+

+

+

+

=

background image

Gdy

t

0

(

) ( )

.

t

t

s

t

t

s

v

ś

r

+

=

.

3

2

2

p

t

th

b

v

ś

r

+

+

=

Ruchy w R1

13

.

3

2

2

p

t

th

b

v

+

+

=

W granicy

t

0, v

ś

r

v, gdzie v

oznacza prędkość.

ś

r

background image

(

) ( )

(

)

(

)

3

2

3

2

2

2

p

t

ht

b

t

t

p

h

t

t

b

t

t

v

t

t

v

a

ś

r

=

+

+

+

+

+

+

=

=

+

=

=

Definiujemy nowe pojęcie –
przyśpieszenie średnie a

ś

r

:

Ruchy w R1

14

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

,

2

3

2

3

2

3

2

2

2

2

t

t

t

t

t

t

p

t

t

t

h

b

b

t

p

t

ht

b

t

t

t

p

h

t

t

b

+

+

+

+

+

=

=

+

+

+

+

+

+

=

(

)

.

2

3

2

t

t

p

h

a

ś

r

+

+

=

background image

W granicy

gdzie a z definicji jest przyśpieszeniem:

,

,

0

a

a

t

ś

r

Ruchy w R1

15

.

6

2

pt

h

a

+

=

background image

a. Ruch ze stałym przyśpieszeniem

,

6

2

pt

h

g

a

+

=

=

Rozważmy ruchy odbywające się ze
stałym przyśpieszeniem a = stałe

g,

a więc p musi równać się zero, p = 0, stąd

Ruchy w R1

16

.

,

2

,

2

gt

b

v

ht

b

v

h

g

a

+

=

+

=

=

=

a więc p musi równać się zero, p = 0, stąd

background image

(

)

,

0

0

v

b

t

v

=

=

=

+

=

gt

v

v

,

0

Wybieramy chwilę początkową ruchu t = 0,

Stąd:

Ruchy w R1

17

stałe.

=

+

+

=

+

=

g

gt

t

v

d

s

gt

v

v

,

2

,

2

0

0

background image

(

)

.

0

0

d

s

t

s

=

=

=

g

=

stałe,

W chwili t = 0

Ruchy w R1

18

.

2

,

2

0

0

0

gt

t

v

s

s

gt

v

v

+

+

=

+

=

(1)

background image

Zastosowanie wzoru (1)

1. Spadek w polu grawitacyjnym:

Ziemi

g

Z

=9.81 m s

-2

,

Marsa

g

M

=3.7 m s

-2

.

Ruchy w R1

19

2. Ruch w stałym polu elektrycznym o natężeniu E:

g

El

=qE/m,

q = ładunek ciała,

m = masa ciała.

background image

h

tt

p

:/

/p

d

s.

jp

l.

n

as

a.

g

o

v

/p

la

n

et

s/

h

tt

p

:/

/p

d

s.

jp

l.

n

as

a.

g

o

v

/p

la

n

et

s/

Panorama Marsa. W prawym dolnym rogu widoczna jest część
lądownika (Mars Lander 2).

background image

21

Czy podkarpackie pole nie jest podobne do powierzchni Marsa?
fot. M. Kozłowski

background image

22

Albo bałtycka plaża?
Fot. R. Gauer, Wyd. Kamera

background image

h

tt

p

:/

/p

d

s.

jp

l.

n

as

a.

g

o

v

/p

la

n

et

s/

ci

M

ar

sa

w

id

o

cz

n

a

je

st

„r

an

a”

o

ci

o

k

o

ło

5

0

0

0

k

m

i

g

łę

b

o

k

o

śc

i

7

k

m

.

23

h

tt

p

:/

/p

d

s.

jp

l.

n

as

a.

g

o

v

/p

la

n

et

s/

W

c

en

tr

al

n

ej

c

z

ę

śc

i

M

ar

sa

w

id

o

cz

n

a

je

st

„r

an

a”

o

ca

łk

o

w

it

ej

d

łu

g

o

śc

i

o

k

o

ło

5

0

0

0

k

m

i

g

ł

background image

1.2 Pochodna funkcji f(t)

( )

( )

(

)

( )

,

,

t

t

f

t

t

f

t

s

t

t

f

t

f

s

+

=

=

=

Ruchy w R1

24

t

t

t

( )

( )

( )

.

t

f

dt

t

df

dt

t

ds

funkcji

pochodna

=

W granicy

0

t

background image

( )

( )

( )

( )

.

.

dt

t

s

d

t

v

dt

t

ds

t

v

r

r

=

=

Ogólnie

s(t) = trajektoria ruchu ciała o masie m.

Definicja prędkości:

Ruchy w R1

25

dt

( )

( )

.

dt

t

v

d

t

a

r

r

=

(2)

Definicja przyśpieszenia:

background image

1.3 Obliczanie pochodnych

funkcji f(t)

,

gt

v

v

+

=

Wykazaliśmy już, że:

Ruchy w R1

26

.

,

g

a

gt

v

v

o

=

+

=

(3)

background image

(

) ( )

(

) (

)

lim

lim

0

0

0

0

t

gt

v

t

t

g

v

t

t

v

t

t

v

dt

dv

a

t

t

=

+

+

+

=

=

+

=

=

Teraz, znając definicję pochodnej
sprawdzimy wzór (3).

Ruchy w R1

27

Wszystko w porządku!

.

lim

0

0

g

t

t

g

t

t

t

=

=

background image

Niech teraz f(t) ma następującą postać:

( )

( )

(

)

.

sin

sin

cos

cos

sin

lim

sin

sin

lim

,

sin

0

0

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

dt

t

df

t

t

f

t

t

+

=

=

+

=

=

Ruchy w R1

28

.

lim

0

t

t

=

(

)

.

cos

sin

,

cos

sin

cos

sin

lim

sin

0

t

dt

t

d

t

t

t

t

t

t

dt

t

d

t

=

=

+

=

więc

a

background image

( )

( )

,

t

g

dt

t

df

=

g (t)

pochodna funkcji f(t)

1.4 Antypochodna = całka

nieoznaczona

Ruchy w R1

29

( )

( )

=

dt

t

g

t

F

g (t)

pochodna funkcji f(t)

względem zmiennej niezależnej t

całka

nieoznaczona
funkcji g(t).

background image

cos t

sin t

Pochodna

Funkcja

Tabela 1

Pożyteczne wzory

(do sprawdzenia)

Ruchy w R1

30

0

Stała, niezależna od t

f(t) = b

n t

n-1

t

n

-sin t

cos t

background image

Tabela 2

Całki

a = stała

Całka f (t)

Funkcja g(t)

( )

t

df

at

adt

t

f

=

=

)

(

Ruchy w R1

31

sin t

a = stała

g

a

dt

t

df

=

=

)

(

bo

( )

(

)

( )

t

g

t

t

dt

t

d

t

t

t

f

=

=

=

=

=

=

sin

sin

cos

cos

sin

bo

background image

1.5 Pochodna funkcji złożonej

( )

( )

( )

[

]

( )

,

sin

sin

2

t

g

t

t

f

=

=

Niech f(t) ma postać:

Ruchy w R1

32

( )

.

2

t

t

g

=

background image

( )

(

)

[

]

( )

( )

[

]

( )

sin

2

sin

lim

sin

sin

lim

2

2

2

0

2

2

0

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

dt

t

df

t

t

=

+

+

=

=

+

=

=

Ruchy w R1

33

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

.

cos

2

2

sin

cos

lim

sin

2

sin

cos

2

cos

sin

lim

2

2

0

2

2

2

0

0

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

=

=

=

+

=

background image

( )

( )

[

]

( )

( )

( )

[

]

( )

.

2

cos

,

sin

sin

2

2

t

t

dt

t

g

df

dt

t

df

t

t

g

t

f

=

=

=

=

Ważny wzór (do zapamiętania!)

Ruchy w R1

34

Ważny wzór (do zapamiętania!)

( )

[ ]

( )

.

dt

t

dg

dg

df

dt

t

g

df

=

(4)

background image

Tabela 3

Sprawdzamy nasze umiejętności

2t cos(t

2

)

sin (t

2

)

pochodna

funkcja

Ruchy w R1

35

a cos at

sin at

-2t sin(t

2

)

cos(t

2

)

2t cos(t

2

)

sin (t

2

)

background image

1.6 Zasada zachowania energii

Fizycy szukają ważnych zasad, których
przestrzeganie ułatwia zrozumienie otaczającego
ś

wiata.

Dla przypomnienia:

( )

( )

x

df

Ruchy w R1

36

( )

( )

( )

( )

=

=

.

,

dx

x

g

x

f

x

g

dx

x

df

Funkcja pierwotna

background image

Druga zasada dynamiki (R

1

)

( )

( )

,

x

ma

x

F

=

( )

( )

dt

dx

dx

dv

dt

x

dv

x

a

=

=

=

Korzystamy ze wzoru (4).

Ruchy w R1

37

( )

( )

,

2

1

2

dx

x

dv

dx

dv

v

dt

dx

dt

x

a

=

=

=

=

=

( )

( )

,

2

2

dx

x

dv

v

dx

x

dv

=

background image

( )

( )

[ ]

,

2

1

2

x

v

dx

d

m

x

F

=

m = stałe,

( )

( )

.

2

dx

x

mv

d

dx

x

F

=

Ruchy w R1

38

( )

( )

.

2

dx

x

mv

dx

d

dx

x

F





=

Praca elementarna na

drodze dx

background image

( )

( )

.

2

2

dx

x

mv

dx

d

dx

x

F





=

Suma prac elementarnych

F(x)

Ruchy w R1

39

a

b

x

F(x)

background image

Obliczamy sumę (całkę) prac elementarnych.
Niech F(x) = c = stała.

F(x)

c

c

c

Ruchy w R1

40

[ ]

(

)

.

b-a

c

a

b

c

x

c

cdx

b

a

b

a

i

bokach

o

ta

ą

prostok

pole

=

=

=

=

x

a

b

b-a

background image

A teraz niech F(x) = x.

F(x)

a

b

F(b)=b

F(a)=a

Ruchy w R1

41

(

)(

)

trapezu.

pole

=

+

=

=

=

=

a

b

a

b

a

b

x

xdx

b

a

b

a

2

1

2

2

2

2

2

2

x

a

b

a

background image

Wniosek

( )

( )

[

]

( )

.

x

F

x

G

dx

x

F

b

a

b

a

krzywą”

„pod

pole

=

=

F(x)

F(x)

Ruchy w R1

42

a

b

F(x)

x

( )

[

]

b

a

x

G

background image

A więc

( )

( )

,

2

2





=

b

a

b

a

dx

x

mv

dx

d

dx

x

F

( )

( )

( )

.

2

2

a

mv

b

mv

dx

x

F

b

=

Ruchy w R1

43

( )

( )

( )

.

2

2

a

mv

b

mv

dx

x

F

a

=

Jest to prawo zachowania energii w R

1

.

background image

Siły potencjalne

Przypuśćmy, że istnieje taka funkcja
V(x), że spełniony jest wzór:

( )

x

dV

Ruchy w R1

44

( )

( )

.

dx

x

dV

x

F

=

background image

Mamy więc:

( )

( )

( )

( )

( )

[

]

( )

( )

,

,

a

T

b

T

a

V

b

V

a

T

b

T

dx

dx

x

dV

b

a

kin

kin

kin

kin

=

=

Ruchy w R1

45

czyli

( )

( )

( )

( )

.

a

V

a

T

b

V

b

T

+

=

+

kin

kin

background image

F(x)

a

b

x

Ruchy w R1

46

Praca siły potencjalnej na odcinku
drogi (a, b
) równa si

ę

zmianie

energii kinetycznej na tym odcinku

.

a

b

background image

( )

( )

,

E

x

T

x

V

=

+

kin

Ruchy w R1

47

gdzie E = suma energii potencjalnej

i kinetycznej jest stała.

background image

1.7 Zasada zachowania pędu

(

)

stała.

dynamiki

Zasada

III

=

+

=

+

=

+

21

12

2

2

1

1

,

0

v

m

v

m

F

F

v

m

v

m

dt

d

r

r

4

3

42

1

r

r

r

r

Ruchy w R1

48

stała.

=

+

2

2

1

1

v

m

v

m

r

r

A więc:
Suma pędów jest wielkością stałą (niezależną
od czasu), gdy działają tylko siły wewnętrzne.

background image

To jest ostatni slajd pierwszej części rozdziału „Ruch
punktu materialnego w przestrzeni jednowymiarowej”.
Możesz:
•przejść do „Spisu treści” i wybrać kolejny rozdział,
•wrócić do materiału tego rozdziału,
•zakończyć pokaz.

Spis treści

49

Spis treści

Koniec
pokazu


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Dynamika punktu materialnego w jednym wymiarze 1A
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO W JEDNYM WYMIARZE
zestaw 5 dynamika punktu materi Nieznany
05 dynamika punktu materialnego II
04 Dynamika punktu materialnego I
8 Dynamika 1 Dynamika punktu materialnego
04 dynamika punktu materialnego
4 Dynamika punktu materialnego, Fizjoterapia i Rehabilitacja, AWF MGR Fizjoterapia, Biomechanika AWF
8 Dynamika 1, Dynamika punktu materialnego
Dynamika punktu materialnego
3 Dynamika punktu materialnego Nieznany (2)
04 Dynamika punktu materialneg Nieznany (2)
Dynamika punktu materialnego
Mechatronika, Dynamika punktu materialnego w ujęciu Eulera, Euler udowodnił tożsamości Newtona (wzor
kinematyka i dynamika punktu materialnego, Studia 1, I rok, mechanika

więcej podobnych podstron