BADANIA OPERACYJNE
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO
SYSTEMU MASOWEJ OBSA
UGI
M/M/1/"
Materiały pomocnicze do wykładu
[e-mail]
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 1 / 19
A. KADZIC
SKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSA
UGI M/M/1/"
POJ
CIE SYSTEMU M/M/1/"

ź
" 2 1
Strumień Kolejka Stanowisko Strumień
zgłoszeń obsługi wyjściowy
Poissona
PRZYKA
ADY
- Stanowisko diagnostyczne;
- Mały warsztat samochodowy;
- Myjnia samochodowa;
- Automat telefoniczny;
- Gabinet lekarski specjalistyczny;
- Kiosk.
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 2 / 19
A. KADZIC
SKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSA
UGI M/M/1/"
ZAA
OŻENIA M/M/1/"

ź
" 2 1
Strumień Kolejka Stanowisko Strumień
zgłoszeń obsługi wyjściowy
Poissona
- Strumień zgłoszeń jest strumieniem Poissona o intensywności  , czyli odstępy między
zgłoszeniami opisuje rozkład wykładniczy o funkcji gęstości prawdopodobieństwa:
f (t) =  �" e-�"t
- Stanowisko obsługowe ma jeden kanał obsługi;
- Czas obsługi zgłoszeń opisuje rozkład wykładniczy o funkcji gęstości prawdopodobieństwa:
f (� ) = ź �"e- ź �"�
- Kolejka posiada nieograniczoną liczbę miejsc przeznaczonych na oczekiwanie zgłoszeń
(obiektów).
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 3 / 19
A. KADZIC
SKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSA
UGI M/M/1/"
POSZUKIWANE

ź
" 2 1
Strumień Kolejka Stanowisko Strumień
zgłoszeń obsługi wyjściowy
Poissona
�% Stany systemu;
�% Graf stanów systemu;
�% Stacjonarne prawdopodobieństwa stanów systemu;
�% Średnia liczba zgłoszeń w systemie;
�% Średnia liczba zgłoszeń oczekujących w kolejce;
�% Średnia liczba obsługiwanych zgłoszeń w systemie.
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 4 / 19
A. KADZIC
SKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSA
UGI M/M/1/"
ROZWI
ZANIA
�% Stany systemu
S0 - w systemie nie ma zgłoszeń,
S1 - jedno zgłoszenie znajduje się w systemie i następuje jego obsługa na pierwszym
i jedynym kanale obsługowym, kolejka nie występuje,
S2 - dwa zgłoszenia znajdują się w systemie, pierwsze jest obsługiwane, drugie czeka
w kolejce,
Sk - k zgłoszeń znajduje się w systemie, pierwsze jest obsługiwane, pozostałe k - 1
zgłoszeń oczekuje w kolejce.
�% Graf stanów systemu
     

S0 S1 S2 . . . Sk-1 Sk . . .
Sk+1
ź ź ź ź ź ź ź
STANY
STANY
BEZ KOLEJKI Z KOLEJK

Rys. 1. Graf stanów
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 5 / 19
A. KADZIC
SKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSA
UGI M/M/1/"
�% Stacjonarne prawdopodobieństwa stanów systemu
1.
 
. . .
S0 S1
ź
ź
p0(t + "t) = p0(t)�"(1-  �" "t)+ p1(t)�" ź �" "t + o("t)
gdzie: o("t) - prawdopodobieństwo, że w przedziale "t nastąpi co najmniej dwukrotna zmiana stanu
systemu; jest bardzo małe i dalej będzie pomijane.
p0(t + "t)- p0(t)
= - p0(t)�" + p1(t)�" ź
lim
"t
"t0
p0(t + "t)- p0(t)
= - p0(t)�"  + p1(t)�" ź
lim
"t
"t0
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 6 / 19
A. KADZIC
SKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSA
UGI M/M/1/"
Wykorzystując definicję pochodnej
dp0(t) p0(t + "t)- p0(t)
=
lim
dt "t
"t 0
otrzymuje się
dp0(t)
= - p0(t)�" + p1(t)�" ź
dt
Dla warunków ustalonych:
dp0(t)
= 0; p0(t) = p0; p1(t) = p1;
dt
stąd
0 = - p0 �"  + p1 �" ź
oraz
 
p1 = p0 �" �
p1 = p0 �" , a gdy przyjmie się, że � = , to (1)
ź ź
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 7 / 19
A. KADZIC
SKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSA
UGI M/M/1/"
  
2.
. . .
S0 S1 S2
ź ź ź
p1(t + "t) = p1(t)�"[1- ( + ź)�" "t]+ p0(t)�" �" "t + p2(t)�" ź �" "t
p1(t + "t)- p1(t)
= - p1(t)�"( + ź)+ p0(t)�" + p2(t)�" ź
"t
Dla warunków ustalonych:
0 = - p1 �"( + ź)+ p0 �" + p2 �" ź
Wykorzystując równanie (1)
0 = - p0 �" � �"( + ź)+ p0 �" + p2 �" ź
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 8 / 19
A. KADZIC
SKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSA
UGI M/M/1/"
Stąd
1 
p2 = �" p0 �" � �"( + ź)- p0 �"
ź ź
a gdy

� =
ź
mamy
Ą# + ź ń#
p2 = p0 �" � �" -1Ą#
ó#
ź
Ł# Ś#
a dalej
Ą# ń#
p2 = p0 �" � �" + 1 -1Ą#
ó#ź
Ł# Ś#
Stąd zależność na prawdopodobieństwo stacjonarne p2 przedstawia zależność:
p2 = p0 �" �2
(2)
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 9 / 19
A. KADZIC
SKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSA
UGI M/M/1/"
   
3.
. . .
S1 S2
S3 . . .
ź
ź ź ź
p2(t + "t) = p2(t)�"[1- ( + ź)�" "t]+ p1(t)�" �" "t + p3(t)�" ź �" "t
p2(t + "t)- p2(t)
= - p2(t)�"( + ź)+ p1(t)�" + p3(t)�" ź
"t
Dla warunków ustalonych:
0 = - p2 �"( + ź)+ p1 �" + p3 �" ź
stąd:
 + ź 
p3 = p2 �" - p1 �"
ź ź
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 10 / 19
A. KADZIC
SKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSA
UGI M/M/1/"
Wykorzystując równania (1) i (2)
 + ź 
p3 = p0 �" �2 �" - p0 �" � �" ,
ź ź

a gdy � = , mamy:
ź
�#  ś#
2
p3 = p0 �" �2 �" ś# + 1 -1ź# = p0 �" � �" (� + 1 -1)
ź
�# #
Stąd zależność na prawdopodobieństwo stacjonarne p3 przedstawia zależność:
p3 = p0 �" �3
(3)
Na podstawie zależności (1),(2) i (3), można zauważyć, że obowiązuje zależność rekurencyjna:
pk +1 = pk �" �
a stąd
k
pk +1 = p0 �" � �" �
(4)
k +1
i pk +1 = p0 �" � (5)
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 11 / 19
A. KADZIC
SKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSA
UGI M/M/1/"
Porządkując wykonane obliczenia można zapisać, że:
p1 = p0 �" �
�#
2 �#
p2 = p0 �" �
�#
3
p3 = p0 �" � �#
�#
M
�#
(6)
Ź#
k -1
pk -1 = p0 �" �
�#
k
�#
pk = p0 �" �
�#
k +1
pk +1 = p0 �" �
�#
�#
M
�#
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 12 / 19
A. KADZIC
SKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSA
UGI M/M/1/"
Oczywiście obowiązuje tu również warunek, że:
"
pi = 1 (7)
"
i=0
Wykorzystując równania (6) i (7) można zapisać, że:
2 k
p0 + p0 �" � + p0 �" � + L + p0 �" � + L =1
-1
Ą# ń#
ó# Ą#
ó#1+ � � 2 +K+ k + Ą#
a stąd p0 =
1+ 44K Ą#
44424� 3
ó#
a0
ó# Ą#
(suma nieskoncz. ciagu geometr.)
1-q
Ł# Ś#
gdzie: a0 - pierwszy wyraz nieskończonego ciągu geometrycznego,
q - iloraz nieskończonego ciągu geometrycznego.
Dalej można więc zapisać, że:
-1 -1
Ą# � ń# Ą# 1 ń#
p0 = + =
ó#1 1 - � Ą# ó#1 - � Ą#
Ł# Ś# Ł# Ś#
co daje ostatecznie zależność postaci:
p0 = 1- �
(8)
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 13 / 19
A. KADZIC
SKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSA
UGI M/M/1/"
Wykorzystując równania (6) i (8) można napisać równania (9) wyrażające prawdopodobieństwa
stacjonarne stanów systemu M/M/1/" postaci:
p1 = (1- �)�" �
�#
2 �#
p2 = (1- �)�" �
�#
p3 = (1- �)�" �3 �#
�#
M
�#
(9)
Ź#
k -1
pk -1 = (1- �)�" �
�#
k
�#
pk = (1- �)�" �
�#
k +1
pk +1 = (1- �)�" �
�#
�#
M
�#
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 14 / 19
A. KADZIC
SKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSA
UGI M/M/1/"
�% Średnia liczba zgłoszeń w systemie M/M/1/"
Korzystając z zależności na wartość oczekiwaną zmiennej losowej typu dyskretnego, średnią
liczbę zgłoszeń w systemie można obliczyć wg formuły:
"
Lsys = �" pi
"i
i =0
Rozpiszmy powyższą formułę bardziej szczegółowo do postaci:
Lsys = 0�" p0 +1�" p1 + 2�" p2 +K+ k �" pk +K
{ { {
2 k
� �"(1- � )
� �"(1- � ) � �"(1- � )
oraz uwzględnijmy zależność (9):
2 k
Lsys =1�" � �"(1- �)+ 2�" � �"(1- �)+ L + k �" � �"(1- �)+ L
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 15 / 19
A. KADZIC
SKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSA
UGI M/M/1/"
Można zauważyć, że powyższą zależność można zapisać w postaci:
" "
d d
i
Lsys = � �"(1- �)�" lub Lsys = � �"(1- �)�"
�
" "� i
d� d�
i =1 i =1
13
2
a0
�
=
1-q 1- �
co prowadzi w efekcie końcowym do zależności (10):
d �# � ś#
Lsys = � �"(1- �)�" ś# ź#
d�
�#1- � #
1
po obliczeniu pochodnej: Lsys = � �"(1- �)�"
(1- �)2
�
Lsys =
(10)
1- �
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 16 / 19
A. KADZIC
SKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSA
UGI M/M/1/"
�% Średnia liczba zgłoszeń oczekujących w kolejce systemu M/M/1/"
Średnia liczba zgłoszeń w kolejce zostanie obliczona jako różnica średniej liczby zgłoszeń w
systemie i średniej liczby zgłoszeń obsługiwanych, wg zależności:
Loczek = Lsys - Lobs (11)
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 17 / 19
A. KADZIC
SKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSA
UGI M/M/1/"
�% Średnia liczba zgłoszeń obsługiwanych w systemie M/M/1/"
Korzystając z zależności na wartość oczekiwaną zmiennej losowej typu dyskretnego, średnią
liczbę zgłoszeń obsługiwanych w systemie dysponującym jednym kanałem obsługowym, można
obliczyć wg formuły:
1
Lobs = �" piobs
"i
i =0
Po rozpisaniu powyższej zależności otrzymuje się:
"
Lobs = 0�" p0obs +1�" p1obs ale p1obs = pk
"
k =1
co skutkuje w następującym zapisie:
"
Lobs = 0�" p0obs + pk
"
k =
113
2
suma nieskonczonego
ciagu geometrycznego
� �"(1-� )
1-�
i zależnością końcową (12)
Lobs. = �
(12)
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 18 / 19
A. KADZIC
SKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSA
UGI M/M/1/"
�% Średnia liczba zgłoszeń oczekujących w kolejce systemu M/M/1/" cd.
Teraz można powrócić do wyznaczenia średniej liczby zgłoszeń oczekujących w kolejce. Korzysta
się przy tym z zależności (10), (11) i (12):
2
� � - � + �
Loczek = - 1�3 =
2
1- � 1- �
{
zal. (12)
zal. (10)
otrzymując w końcu formułę (13) postaci:
�2
Loczek. =
(13)
1- �
Plik: BO_M_M_1_oo_Analityczne_p_s_[v3].doc 19 / 19
A. KADZIC
SKI, ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU MASOWEJ OBSA
UGI M/M/1/"