FUNDAMENTY ELEKTRONIKI
F
U
N
D
A
M
E
N
T
Y
E
L
E
K
T
R
O
N
I
K
I
W poprzednim miesiącu doszliśmy do
wniosku, że graficzną reprezentacją licz-
by -1
nie jest żaden punkt na osi liczb
rzeczywistych...
No właśnie, a niby dlaczego mamy się
ograniczać do punktów na osi? Dlaczego
nie mielibyśmy wprowadzić drugiej osi
i wykorzystać płaszczyzny?
Genialna myśl! Na płaszczyz
nie zna-
jdziemy graficznÄ… reprezentacjÄ™ liczby
-1
r
y
s
u
n
k
u
2
. Na rysunku 2 pokazujÄ™ ci nie oÅ› licz-
bową, tylko  płaszczyznę liczbową ,
zwaną płaszczyzną liczb zespolonych. Na
płaszczyz
nie tej mamy naszÄ… starÄ… znajo-
mą: oś liczb rzeczywistych. Mamy też
drugą, prostopadłą oś.
Rozszerzamy więc pojęcie liczby. Na-
dal graficznÄ… reprezentacjÄ… liczb sÄ… punk-
Liczby zespolone, II
ty. Jeszcze wszystkiego nie rozumiesz,
ale się chyba zbytnio nie zdziwisz, jeśli
powiem, iż liczbę pierwiastek (drugiego
stopnia) z -1 reprezentuje punkt na tej właśnie wspólnie przed chwilą  wykom- żą się tak samo przydatne, jak  odwrotne
drugiej osi, w odległości jednej jednostki binowaliśmy . owce Fenicjan.
od punktu zerowego tej osi (to zresztą Czy już wiesz jak zaznaczyć rezystan-
zgadza się z intuicją, która podpowiada, cję, jak reaktancję indukcyjną, a jak po- Sposoby zapisu liczb
że pierwiastek z -1 powinien mieć jakiś jemnościową? Popatrz, oto kilka przykładów zapisu
związek z liczbą 1). Ale może na razie trudno ci jest upo- liczb rzeczywistych:
Ale liczby mogą leżeć nie tylko na oby- rządkować podane informacje. Wróć więc
4
dwu osiach, lecz na całej płaszczyz
nie. do poprzednich artykułów i pomału próbuj
-1,2003419
Może zaprotestujesz, że jest to tylko sobie wszystko poukładać w głowie.
2
abstrakcja, nie mająca nic wspólnego Nie ty jeden masz kłopoty z upchnię-
2Ä„
z rzeczywistością. Jak takie dziwaczne licz- ciem sobie pod czaszką nowego pojęcia
11
by dodawać, odejmować, mnożyć i dzie- liczby, zrozumienia jej sensu i wykorzys-
19
lić? Stop! Nie zabawiaj się znów w Fenicja- tania w praktyce. Pocieszę cię! Inni też
-0,0909(09)
nina, który nie potrafił sobie wyobrazić mieli kłopoty, i dlatego długi czas, aż do
 odwrotnych , i  niepełnych owiec. dziewiętnastego wieku mówiono o osi Ale liczby można zapisać inaczej, na
urojonej i liczbach urojonych. Dlaczego przykład w systemie rzymskim CLXVII to
urojonych? Wydawało się, że takie poję- liczba sto sześćdziesiąt siedem. Rzymski
cie liczby, jak pokazałem ci na rysunku 2 system zapisu jest jednak bardzo nieprak-
naprawdę nie ma związku z rzeczywistoś- tyczny, bo nie sposób zapisać przy jego
cią  stąd nazwa  liczby urojone. Dopie- pomocy liczb ujemnych, ułamków i liczb
ro wielcy matematycy Hamilton i Gauss niewymiernych. Tym bardziej bezużytecz-
ugruntowali podstawy logiczne takich ne są wcześniejsze systemy zapisu, na
liczb. Okazało się, że wcale nie są to żad- przykład fenicki, egipski czy babiloński.
ne liczby urojone, w domyśle  niepraw- Chcę ci tu pokazać, że liczba rzeczy-
dziwe. Są to najprawdziwsze liczby  na- wiście jest abstrakcyjnym pojęciem ma-
Rys. 2. zywamy je liczbami zespolonymi. Istnieją tematycznym, a jej sposób zapisu może
nie tylko w wyobraz
ni matematyków i na być rozmaity. Wybieramy taki sposób za-
Niech do ciebie dotrze, że po prostu na  płaszczyz
nie liczbowej . pisu, który nam pasuje i jest wygodny
razie tego nie umiesz, ale jest to możliwe, Czy są to jakieś inne liczby, niż znane przy obliczeniach.
i nawet wcale nie trudne. O tym za chwilę. nam dobrze liczby rzeczywiste? Jak poka- Doszliśmy tu do ważnego pytania: jak
Teraz już powinieneś wreszcie zrozu- zuje rysunek 2, liczby rzeczywiste są po zapisać liczby zespolone?
mieć, dlaczego tłumaczę ci, jak chłop kro- prostu tylko niewielką częścią (podzbio- Popatrz na rysunki 1, 2. Liczby reprezen-
wie na granicy, sprawę tych liczb zespo- rem) zbioru liczb zespolonych. Wszystkie towane są na płaszczyz
nie przez punkty.
lonych. Oczywiście wracamy do pojęcia znane do tej pory liczby (rzeczywiste) ma- Czy rozumiesz, że punkty na płasz-
oporności.  Czystą rezystancję możemy ją swą reprezentację na jednej prostej  czyz
nie zespolonej nie sÄ… liczbami, tylko
wyrażać znanymi każdemu liczbami na osi liczb rzeczywistych. A oto teraz są graficznym przedstawieniem, czyli ja-
rzeczywistymi. Ale już do przedstawienia mamy do dyspozycji nie jedną prostą, kąś tam reprezentacją liczb?
reaktancji, konieczne są jakieś  pełniej- lecz całą płaszczyznę. Czyli oprócz zna- W przypadku osi liczb rzeczywistych,
sze liczby. I właśnie do obliczeń opor- nych nam liczb rzeczywistych mamy do do pełnego scharakteryzowania punktu
ności, a ściślej mówiąc, impedancji dos- dyspozycji nieskończenie wiele innych odpowiadającego liczbie, wystarczy po-
konale nadają się liczby zespolone, które liczb. Po co nam te liczby? Za chwilę oka- dać odległość od punktu początkowego
ELEKTRONIKA DLA WSZYSTKICH 8/97 35
Listy od Piotra
L
i
s
t
y
o
d
P
i
o
t
r
a
(zerowego) oraz znak plus lub minus. Ale co z pionową osią? Tak jak mówi-
Wszystko wskazuje, że teraz potrzeba łem, nie jest to żadna oś  ujemnych
będzie czegoś więcej. pierwiastków. Po prostu mamy teraz
Rzeczywiście, dla liczb zespolonych całą masę liczb. Kiedyś mieliśmy  tyl-
należy podać informacje, jednoznacznie ko liczby rzeczywiste. Do ich graficz-
lokalizujące punkt odpowiadający tej licz- nej reprezentacji wystarczyła jedna
bie na płaszczyz
nie zespolonej. I tu ma- prosta. Teraz, do graficznej reprezenta-
r
y
s
u
my kilka możliwości. Popatrz na rysu- cji liczb zespolonych potrzebna jest
nek 3. Wez
my jakąś liczbę zespoloną. Na- płaszczyzna.
n
e
k
3
zwijmy jÄ… z. Niech jej graficznÄ… reprezen- Rys. 3.
Jeszcze raz ci powtarzam, punkty nie
tacją na płaszczyz
nie zespolonej będzie są liczbami. Fenicjanin nierozerwalnie ko-
punkt z. Położenie punktu z na płaszczyz
- jarzył liczby z owcami. My, przyzwyczaje-
nie można określić podając jego dwie ni od dawna, skłonni jesteśmy utożsa-
współrzędne, odniesione do obu osi. miać liczby z punktami na osi. Nie potra-
Znamy to z geometrii. fimy wyobrazić sobie  gołej liczby; licz-
W każdym razie powiemy, że punkt by jako takiej  zawsze musimy podpie-
z ma współrzędne (2, 2). Z grubsza bio- rać się jakimś wyobrażeniem: owiec,
rąc znaczy to, że punkt z jest oddalony punktów, palców u rąk, itp.
od osi pionowej o dwie odległości jed- Teraz mamy płaszczyznę zespoloną.
nostkowe w prawo, i jednocześnie odda- Liczby reprezentowane są przez punkty.
lony od osi poziomej o dwie odległości Musimy znalez
ć jakiś sposób na zapa-
Rys. 4.
jednostkowe w górę. nowanie nad całym tym bałaganem.
Zgodnie z przyjętymi sposobami zapi- Oprócz osi liczb rzeczywistych, na
su, powiemy, że dla liczby zespolonej a, nam w ogóle potrzebny? Niekiedy mówi płaszczyz
nie tej umieszczamy więc drugą
zaznaczony na tymże rysunku punkt a ma się, że właśnie literka j to ów -1 . oś, która pomoże nam w prosty sposób
współrzędne (-2, 1). Nie jest to do końca prawdą. Uważaj! zapisać dowolne liczby zespolone.
W geometrii powszechnie nazywa się Co jest rozwiązaniem równania: Mówię  umieszczamy ; czy to zna-
oś poziomą osią X, a oś pionową  osią Y. x2= 1 czy, że tej osi moglibyśmy tam nie
Teraz jednak rozważamy sprawę liczb ze- Inaczej mówiąc: -1 równa się...? umieszczać? Tak! Nie zapominaj, że mó-
spolonych. Nie mówimy tu o osi X i Y. Czy to tylko jedna liczba? wimy o liczbach (czyli pojęciach abstrak-
Mamy natomiast oś liczb rzeczywistych Oczywiście, że nie: rozwiązaniem są liczby cyjnych). Wśród liczb nie ma żadnych osi
(na rysunkach jest to oś pozioma), oraz -1 oraz 1. Tak samo rozwiązaniem równania:  wyobrażamy sobie te osie, rysujemy na
nazwaną tak ze względów historycznych, x2= -1 płaszczyz
nie tylko po to, żeby znalez
ć
oś liczb urojonych. też są dwie liczby. Jedna z nich to: dobry i prosty sposób  zapanowania nad
Poznaliśmy więc pierwszy sposób 0+j1 (czyli po prostu j1), druga to 0-j1 nimi czyli zapisu liczb zespolonych.
zapisu liczb zespolonych: za pomocą pa- (czyli -j1). Obie te liczby zaznaczyłem ci Nie potrzeba tu żadnego -1 . Potrzeb-
r
y
s
u
n
k
u
4
.
ry liczb (rzeczywistych). Pierwsza z tych na rysunku 4. ne natomiast sÄ… jakieÅ› odcinki, czy raczej
dwóch liczb nazywana jest częścią Inaczej mówiąc, istnieją dwie (?!) licz- wektory jednostkowe na poszczególnych
rzeczywistą liczby zespolonej, a druga  by, które są pierwiastkami z minus jeden! osiach. Wektory te zaznaczyłem ci na ry-
częścią urojoną liczby zespolonej. Żeby A więc? sunku 4. Literkę j w zapisie liczby zespo-
nie było wątpliwości, należałoby jakoś Pierwiastek z -1 wprowadziłem tylko lonej możemy więc raczej traktować, ja-
oznaczyć obie części. Część rzeczywis- po to, żeby ci pokazać, że są liczby, które ko wektor jednostkowy (tzw. wersor) osi
tą oznacza się Re (od angielskiego real), nie są liczbami rzeczywistymi. Teraz już urojonej.
a część urojoną  Im (od  imaginary). -1 nie będzie ci do niczego potrzebny. Stąd już tylko jeden krok do dalszego
Przyjęto, że przy takim zapisie liczb Zapominamy o nim. rozszerzenia pojęcia liczby. Najpierw
zespolonych, najpierw podaje się część
rzeczywistą, potem część urojoną. Dla
uniknięcia pomyłek, część urojoną (ima-
ginary) w matematyce poprzedza siÄ™
małą literką i. W elektronice litera i ko-
jarzy się z prądem, więc zamiast i, pi-
szemy j.
Oto przykłady liczb zespolonych:
b = 3+j1,5
c = -1+j3
2
d = -2,33-j
e = 3,9-j1,82
Ich reprezentację graficzną na płasz-
czyz
nie możesz zobaczyć na rysunku 3.
Zauważ, że na osi pionowej nie zazna-
czyłem żadnego pierwiastka z minus je-
den. Nie jest to oś żadnych  ujemnych
pierwiastków . Jest to oś podobna do
osi liczb rzeczywistych (trochÄ™ upraszcza-
jąc powiemy, że jest to druga, taka sama
oś). Czy więc ów nieszczęsny -1 jest
36 ELEKTRONIKA DLA WSZYSTKICH 8/97
Listy od PIotra
L
i
s
t
y
o
d
P
I
o
t
r
a
mieliśmy oś liczbową. Wystarczyło to dla i Im), to musimy obliczyć moduł r, korzys-
zobrazowania wszystkich liczb rzeczy- tając choćby z twierdzenia Pitagorasa,
wistych. Teraz wprowadziliśmy płasz- oraz argument Ć, korzystając z definicji
czyznę zespoloną, na której możemy którejś z funkcji trygonometrycznej.
przedstawić wszystkie liczby zespolone. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy
Chyba się już domyśliłeś, że można jesz- moduł:
(Re2 + Im2)
cze bardziej rozszerzyć pojęcie liczby. r =
GraficznÄ… reprezentacjÄ… takich  rozsze- Dla naszej liczby z:
Rys. 5.
rzonych liczb, będą punkty w przestrzeni.
22 + 22 4 + 4 4"2
r = = = =
Do zapisu takich liczb można wykorzys-
4
= 2 =2 2
*
tać trójki liczb, które określą odległość od 2 2 to moduł, 45 stopni to argument, e to
Z definicji funkcji sinus lub cosinus ob-
poszczególnych osi. A czy można dodać liczba Nepera, podstawa logarytmów natu-
liczamy argument:
jeszcze jedną, czwartą oś? Oczywiście! ralnych (w przybliżeniu e=2,71828182...). Im 2 1
sinĆ = = =
Nie tylko czwartą, ale i piątą, szóstą itd. Nie musisz rozumieć, skąd i dlaczego r
2 2 2
Nie bardzo potrafimy wyobrazić sobie w zapisie pojawiła się liczba e. Powinie-
możemy też wykorzystać funkcję cosinus:
przestrzeni więcej niż trójwymiarowej, neś tylko wiedzieć, jaki jest sens takiego Re 2 1
cosĆ = = =
ale nie tylko można tak robić, ale tak się zapisu. A to, jak pokazuje rysunek 5, jest r
2 2 2
robi, i co ciekawe... liczby takie sÄ… po- beznadziejnie proste. Ä„
Ć = 45o =
stąd oczywiście radianów.
4
wszechnie wykorzystywane w oblicze- Cały czas pamiętaj też, że w obu wy-
niach technicznych. Naukowcy przypusz- padkach naszą liczbę z reprezentuje na W tym wypadku zdarzyło się, że sinus
czają, że nasz wszechświat może być płaszczyz
nie ten sam punkt. My tylko i kosinus naszego kÄ…ta majÄ… tÄ™ samÄ… war-
1
10-wymiarowy. Jeśli tak jest, to w do w różny sposób to zapisujemy. tość 2  jest to szczególny przypadek,
opisujących go obliczeń należy używać Poniżej podaję ci kilka przykładów za- dla większości kątów wartości te będą
liczb, które można zapisać w postaci nie pisu liczb zespolonych w postaci wykład- różne, co niczego nie zmienia.
pary, trójki, czy czwórki, ale dziesiątki niczej: Tą metodą możemy zamieniać zapis
liczb (rzeczywistych). PrzykÅ‚adowo liczbÄ… f =5ej45° z algebraicznego na wykÅ‚adniczy.
Ä„
2
taką jest liczba u: g =3ej W drugą stronę pójdzie chyba jeszcze
u = 2,4+j2,39-k0,023+l562,4+m31,4- h =3e-j150° Å‚atwiej:
Ä„
2
-n0,000012-o23-p9,91+r1,1-s3,33 k =5e-j Zauważ, że na podstawie podanych
Poszczególne literki j...s oznaczają tu Druga i czwarta liczba mają argu- powyżej wzorów na sinus i kosinus ką-
wektory jednostkowe (wersory) kolej- ment podany nie w stopniach, tylko ta Ć możemy zapisać:
nych osi (wymiarów). Czy takie liczby w mierze łukowej  w radianach (Ą ra- Im = r sinĆ
*
można mnożyć, dzielić, dodawać, odej- dianów (w przybliżeniu 3,14159265 ra- Re = r cosĆ
*
r
y
s
u
n
k
u
6
mować itp? Tak! Ale to już historia dianów) to 180 stopni). Na rysunku 6 Piszemy więc po prostu:
z zupełnie innej bajki. możesz zobaczyć geometryczną inter- rejĆ = (r * cosĆ) + j(r * sinĆ)
Wracajmy do liczb zespolonych, bo za pretację tych liczb. Ten ostatni sposób zapisu liczb zespo-
bardzo odeszliśmy od elektroniki i naszej Teraz, jak cię znam, zapytasz jak za- lonych nazywany trygonometrycznym.
impedancji. mieniać postać algebraiczną na wykładni- Wystarczy obliczyć wartość kosinusa i sinu-
Powiedzieliśmy, że liczby można zapi- czą i na odwrót. sa kąta Ć, a potem pomnożyć przez r.
r
y
s
u
n
e
k
7
sywać w różny sposób. Przed chwilą poz- To proste. Popatrz na rysunek 7. Jeśli A oto przykłady liczb zespolonych
nałeś sposób zapisu liczb zespolonych mamy postać algebraiczną (mamy Re w zapisie trygonometrycznym:
w postaci zwanej algebraicznÄ… lub kano- l = (5,21 * cos67°) +j(5,21 * sin67°)
nicznÄ…. Spotyka siÄ™ też okreÅ›lenia zapis m = (4 * cos(-142°))  j(4 * sin(-142°))
ëÅ‚ Ä„ öÅ‚ ëÅ‚ Ä„ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
prostokÄ…tny (ang. rectangular) i zapis kar- n = -(195 * cos íÅ‚ 3Å‚Å‚ )+j(195 * sin íÅ‚ 3Å‚Å‚ )
tezjański. Powiedziałem ci, że oś urojoną Naszą liczbę z umiemy już zapisać na
wstawiliśmy, bo była nam potrzebna do trzy sposoby:
2
znalezienia prostego sposobu zapisu. Te- z = 2+j2 = 2 ej45° =
raz poradzimy sobie bez niej. =(2 2 cos45°) + j(2 2 sin45°)
* *
r
y
s
u
n
e
k
5
Spójrz na rysunek 5. Znów mamy A teraz w ramach ćwiczenia, możesz
płaszczyznę zespoloną. Tę samą liczbę z, samodzielnie wyrazić podane liczby ze-
reprezentowanÄ… na rysunku 3 przez spolone b...n na wszystkie trzy sposoby.
punkt z możemy określić, podając odleg- Potrzebny do tego będzie kalkulator z fun-
łość od punktu początkowego (zerowe- kcjami trygonometrycznymi. Gdy masz
go) oraz kąt, jaki powstały odcinek, moduł r i argument Ć, będziesz wykorzys-
Rys. 6.
a właściwie wektor, tworzy z dodatnim tywał klawisze sin, cos. Gdy masz część
zwrotem osi liczb rzeczywistych. rzeczywistÄ… Re i urojonÄ… Im, do obliczenia
W takim zapisie liczbÄ™ zespolonÄ… z re- kÄ…ta wykorzystasz funkcje arcus sinus
prezentować będzie tak zwany mo- i arcus cosinus, dostępne zazwyczaj po
duł r (odległość od początku układu naciśnięciu klawiszy inv sin, inv cos.
współrzędnych) oraz argument Ć (czyli Niektóre kalkulatory naukowe potrafią
wspomniany kąt). Taki sposób zapisu przeliczać liczby zespolone z jednej po-
liczb zespolonych nazywamy wykładni- staci na drugą za jednym naciśnięciem
czym lub biegunowym (ang. polar). klawisza  sprawdz
to w instrukcji twoje-
Teraz naszą liczbę z umiemy zapisać go kalkulatora. Jeśli znajdziesz skrót
w dwóch postaciach:  rect(angular)- polar (lub P-R R-P)- to
Rys. 7.
z = 2+j2 = 2 ej45° jest ta funkcja
2
ELEKTRONIKA DLA WSZYSTKICH 8/97 37
Listy od Piotra
L
i
s
t
y
o
d
P
i
o
t
r
a
Działania na liczbach
zespolonych
Zaspokoiłeś swoją ciekawość, ale
wcale nie bawi cię żmudne przeliczanie.
Czy nie wystarczyłaby jedna postać liczb
zespolonych?
Nie! Chodzi o obliczenia na tych licz-
bach. Dodawanie i odejmowanie liczb ze-
spolonych bardzo prosto przeprowadza
siÄ™ na postaci algebraicznej: po prostu
sumujemy lub odejmujemy części
rzeczywiste i części urojone:
Wykonajmy działania:
(3+j2) + (-1+j3) = (3-1) + j(2+3) = 2+j5
(-3-j1)  (2-j2) = (-3-2) + j(-1-(-2)) = -5 + j1
InterpretacjÄ™ geometrycznÄ… tych dzia-
łań narysuj sam, jeśli chcesz; przekonasz
się wtedy , że jest to po prostu znane ci
ze szkoły dodawanie wektorów.
Przy okazji: widzisz chyba jasno, że
w przypadku liczb zespolonych traci sens
określenie: liczba większa lub liczba stopni? 180 stopni? Przecież to jest po Jeśli w końcówce trochę się zgubiłeś,
mniejsza. Możemy jedynie mówić prostu liczba rzeczywista ujemna: i nie jesteś pewny, czy dobrze zrozumia-
o większym lub mniejszym module. 0,6ejĄ = -0,6 łeś zasady wykonywania obliczeń na licz-
W elektronice przy obliczeniach impeda- Z tego, co dotychczas tłumaczyłem ci bach zespolonych, nie załamuj się. Ja
ncji często interesować nas będzie o rozwoju pojęcia liczby, począwszy od chciałem ci tylko wytłumaczyć podstawy
właśnie wartość modułu impedancji. liczb naturalnych do zespolonych, można i rozszerzyć horyzonty. Przeczytaj jeszcze
Liczby w postaci algebraicznej moż- wyciągnąć wniosek, że działania mate- raz materiał z tego i poprzedniego moje-
na też mnożyć i dzielić. Nie będą ci tu matyczne na liczbach zespolonych nie go listu, a szczegóły wykonywania obli-
podawał szczegółów  znajdziesz je powinny w żaden sposób kolidować z za- czeń znajdziesz w podręcznikach. Mo-
w książkach. Zapamiętaj jedynie, że bar- sadami obliczeń na liczbach rzeczywis- żesz też zwrócić się o pomoc do nauczy-
dzo łatwe jest mnożenie i dzielenie liczb tych. Tak jest w istocie  wprowadzenie ciela matematyki lub elektrotechniki.
zespolonych w postaci wykładniczej. liczb zespolonych rozszerza tylko możli- Mam nadzieję, że teraz lepiej rozumiesz
Uważaj! wości obliczeń. Co prawda komplikuje pojęcie liczby i pojąłeś, dlaczego liczby ze-
Mnożenie: mnożymy moduły, a argu- nieco te obliczenia, ale wcale nie jest aż spolone doskonale nadają się do obliczeń
menty dodajemy. takie trudne jak ci się wydawało. związanych z opornością (impedancją).
Dzielenie: moduły dzielimy, argumen- A teraz powrócimy na chwilę do liczb Czy teraz wiesz, dlaczego wcześniej
ty odejmujemy. rzeczywistych. wychodziło nam, że reaktancje indukcyjna
Dla podanych wcześniej liczb f, g, h, k ob- Liczby rzeczywiste, to takie liczby ze- i pojemnościowa są  odwrotne , czyli ma-
liczymy: spolone, które w zapisie algebraicznym ją jakby przeciwny znak? Teraz chyba już
o o o o
mają część urojoną równą zeru, a w zapi- wiesz, dlaczego  om, omowi nie równy .
f"h = 5ej45 "3e-j150 = 5"3ej(45 +(-150)) = 15e-j105
Ą sie wykładniczym argument, czyli kąt jest Przejrzyj jeszcze raz poprzednie listy
j
2
g 3e 3
równy zero (liczby dodatnie) lub 180°, czy- i spróbuj poukÅ‚adać sobie w gÅ‚owie poda-
= = = 06ejĄ
,
Ä„ Ä„ Ä„
k -j j( -( )) li Ą radianów (liczby ujemne). ne wiadomości. Jeśli jakaś sprawa nadal
2 2 2
5e 5e
Spróbuj wykonać działania na kilku nie jest dla ciebie jasna, napisz do mnie.
Graficzną ilustrację tych działań po liczbach rzeczywistych, przedstawio- Wykonaj też zadanie domowe. Będzie
odrobinie zastanowienia narysujesz sam. nych w postaci liczb zespolonych, to sprawdzianem, czy zrozumiałeś spra-
Przy okazji w ostatnim obliczeniu otrzy- a przekonasz się, że wszystko się zga- wę zastosowania liczb zespolonych do
maliśmy ciekawy wynik. Co to znaczy, że dza z naszymi dotychczasowymi do- zapisu i obliczeń wartości impedancji.
argument wynosi Ą radianów, czyli 180 świadczeniami. Niech to będzie także konkurs dla począt-
kujÄ…cych. Zadania konkursowe znajdziesz
w ramce. Wśród osób, które nadeślą pra-
widłowe rozwiązania, zostaną rozlosowa-
1. Zaznacz na płaszczyz
nie zespolonej następujące
Zadania:
ne nagrody-niespodzianki.
oporności:
1. Zaznacz na płaszczyz
nie zespolonej następujące opor-
1
.
Ze względu na bardzo dużą ilość lis-
rezystancję R = 10W, reaktancję pojemnościową
ności:
tów nadchodzących do redakcji, bardzo
X = 10W i reaktancjÄ™ indukcyjnÄ… X = 10W.
rezystancję R = 10&!, reaktancję pojemnościową X = 10&!
proszę, żebyś rozwiązanie nadesłał w ko-
2a.Zapisz w postaci liczby zespolonej wypadkową oporność sze-
i reaktancjÄ™ indukcyjnÄ… X = 10&!.
percie z wyraz
nym dopiskiem  LICZBY
regowego połączenia rezystora 10W i kondensatora, który dla
2. Zapisz w postaci liczby zespolonej wypadkową oporność szerego-
2
.
ZESPOLONE .
pewnej częstotliwości ma reaktancję 10W?
wego połączenia rezystora 10&! i kondensatora, który dla pewnej
Tyle na dziÅ›.
2b.Na płaszczyz
nie zespolonej zaznacz punkt odpowiadajÄ…cy tej liczbie.
częstotliwości ma reaktancję 10&!?
P
i
o
t
r
G
ó
r
e
c
k
i
3. Wyjaśnij w jednym zdaniu, lub posługując się wzorem matematycznym, Piotr Górecki
3. Na płaszczyz
nie zespolonej zaznacz punkt odpowiadajÄ…cy tej liczbie.
3
.
g
r
a
f
i
k
a
:
M
a
Å‚
g
o
r
z
a
t
a
Z
a
c
k
i
e
w
i
c
z
dlaczego wypadkowa reaktancja obwodu szeregowego LC dla częstotli- grafika: Małgorzata Zackiewicz
4. Wyjaśnij w jednym zdaniu, lub posługując się wzorem matematycznym,
4
.
wości rezonansowej jest równa zeru.
dlaczego wypadkowa reaktancja obwodu szeregowego LC dla częstotliwoś-
Ps. Za miesiąc nie będę cię męczył żadną
ci rezonansowej jest równa zeru.
teoriÄ…, napiszÄ™ Ci coÅ› o sprawach czysto
praktycznych.
38 ELEKTRONIKA DLA WSZYSTKICH 8/97
Konkurs
Konkurs