13. Zjawiska transportu w gazach
Wybór i opracowanie zadań.13.1-13.11.Bogumiła Strzelecka
13.1. Ile razy zmieni się współczynnik dyfuzji gazu dwuatomowego, jeżeli w wyniku :
a) izotermicznego,
b) adiabatycznego
rozprężania gazu jego ciśnienie zmniejszyło się dwukrotnie?
13.2. Współczynnik dyfuzji tlenu w warunkach normalnych jest równy 1,41 Å"10-4 m2/s.
Znalez
ć współczynnik dyfuzji tego gazu w temperaturze 50oC, jeżeli gaz ogrzewano przy
stałej objętości.
13.3. Współczynnik przewodnictwa cieplnego gazu trójatomowego jest równy 1,45Å"10-2
W/mÅ"K, a współczynnik dyfuzji w tych samych warunkach wynosi 10-5 m2/s. Znalez
ć liczbę
czÄ…steczek gazu w 1m3 w tych warunkach.
13.4. Znalez
ć współczynnik przewodnictwa cieplnego chloru, jeżeli wiadomo, że
współczynnik lepkoÅ›ci dynamicznej tego gazu w danych warunkach jest równy 1,29Å"10-5
NÅ"s/m2.
13.5. W jakiej temperaturze współczynnik lepkości dynamicznej azotu jest równy
współczynnikowi lepkości dynamicznej wodoru w temperaturze 19oC? Średnica atomu azot
wynosi 3,1Å"10-10 m, a Å›rednica atomu wodoru  2,3Å"10-10 m.
13.6. Obliczyć ilość ciepła przewodzonego przez ścianę mieszkania w zimie w czasie t., jeżeli
przewodnictwo cieplne Å›ciany wynosi Ç, grubość Å›ciany jest równa d, zaÅ› jej powierzchnia S.
Temperatura w mieszkaniu wynosi T1, a na zewnątrz T2 < T1. Ile należy spalić węgla w celu
wyrównania ubytku ciepÅ‚a przez przewodnictwo, zakÅ‚adajÄ…c, że tylko · część ciepÅ‚a
dostarczonego przez spalanie węgla idzie na wyrównanie tego braku. Ze spalenia 1 kg węgla
uzyskujemy r [J] ciepła.
13.7. Naczynie szklane o powierzchni S i grubości ścianek d, zawierające mieszaninę wody z
lodem w równowadze termicznej, postawiono w pokoju o temperaturze T1. Wiedząc, że
przez jednostkę powierzchni szkła, przy gradiencie temperatur "T/d, w każdej sekundzie
dopÅ‚ywa ilość ciepÅ‚a Ç, obliczyć ile lodu ulegnie stopieniu w tym naczyniu w czasie Ä. CiepÅ‚o
topnienia lodu jest równe l.
13.8. Ściana drewniana ma grubość d. Jaką grubość powinien mieć mur z cegieł, aby miał
taką samą przewodność cieplną jak ta ściana z drewna. Współczynnik przewodnictwa
cieplnego drewna wynosi Ç1 a cegÅ‚y - Ç2.
13.9. Dwie płytki  miedziana i żelazna, z których każda ma grubość 1 cm, dokładnie
przylegają do siebie. Temperatura zewnętrznej powierzchni płytki miedzianej jest równa 373
K, a temperatura zewnętrznej powierzchni płytki żelaznej jest równa 273 K. Znalez
ć
temperaturę płaszczyzny zetknięcia płytek jeżeli współczynniki przewodnictwa cieplnego są
równe Ç1 = 390 W/mÅ"K (miedz
), Ç2 = 62 W/mÅ"K (żelazo).
13.10. Piec elektryczny o mocy P =2kW i powierzchni S = 0,25 m2 pokryty jest ogniotrwałym
materiałem o grubości d =10 cm. Współczynnik przewodnictwa cieplnego tego materiału jest
równy Ç = 0,8W/mÅ"K. Jaka jest temperatura zewnÄ™trznej powierzchni pieca, jeżeli temperatura
jego wewnętrznej powierzchni jest równa t =1200 oC?
13.11. Zamknięty termos styropianowy zawierający masę m cieczy o temperaturze To
wstawiono do pieca o stałej temperaturze T1 > Tw (Tw  temperatura wrzenia cieczy).
Ogrzewana powierzchnia termosu wynosi S, zaś grubość ścianek naczynia d. Współczynnik
przewodnictwa cieplnego styropianu jest równy Ç, zaÅ› ciepÅ‚o wÅ‚aÅ›ciwe wody wynosi c. Po
jakim czasie ciecz w naczyniu zagotuje siÄ™?
RozwiÄ…zania:
13.1.R.
Współczynnik dyfuzji wyraża się wzorem:
1
D = v Å"  ,
3
åÅ‚v  wartość Å›redniej prÄ™dkoÅ›ci arytmetycznej czÄ…steczek gazu, åÅ‚ - Å›rednia droga swobodna
czÄ…steczek.
8kT
v = , gdzie k  stała Boltzmanna, T  temperatura, m  masa cząsteczki;
Ä„ Å" m
1
 = , gdzie d  średnica czynna cząsteczki, n  liczba cząsteczek, V  objętość.
n
2
2Ä„ Å" d
V
Podstawiając powyższe zależności do wyrażenia opisującego współczynnik dyfuzji i
n p
uwzględniając, że : = otrzymujemy zależność:
V kT
1 8kT kT
(1) D = Å"
2
3 Ä„ Å" m
2Ä„ Å" d p
1
a) w przemianie izotermicznej T = const, możemy więc napisać, że D ~
p
D2 p1
Wówczas = = 2
D1 p2
3
T
b) Przy przemianie adiabatycznej możemy napisać D ~
p
Wówczas
D2 T23 p1
(2) = Å" .
D1 T13 p2
Korzystając z równania adiabaty otrzymujemy zależność:
i
Ç -1
+1
ëÅ‚ öÅ‚
T2 p2 Ç
2
ìÅ‚ ÷Å‚
= , gdzie Ç = , i  liczba stopni swobody dla gazu dwuatomowego jest
i
T1 ìÅ‚ p1 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2
równa 5.
Podstawiając powyższe zależności do równania (2) otrzymujemy :
Ç -1
3
ëÅ‚ öÅ‚
D2 p2 Ç p1
ìÅ‚ ÷Å‚
= Å" = 1,49
D1 ìÅ‚ p1 ÷Å‚ p2
íÅ‚ Å‚Å‚
13.2. O.
T
D = D0
T0
13.3.R.
n
Należy obliczyć wielkość: .
V
Korzystamy z następujących zależności:
1
Ç = v Å"  Å" Á Å" cv - współczynnik przewodnictwa cieplnego;
3
1
D = v Å"  - współczynnik dyfuzji.
3
Obliczamy:
Ç m Cv Cv
= Å" , ponieważ cV = .
D V µ µ
m
n = Å" N , gdzie µ jest masÄ… 1 mola gazu, NA - staÅ‚a Avogadro,
A
µ
zaÅ›
i
CV = R , gdzie R  uniwersalna stała gazowa, i  liczba stopni swobody (dla gazu
2
trójatomowego wynosi 7) , otrzymujemy zależność
i
R
Ç n Å" µ
2
= Å" .
D V Å" N µ
A
R
Po przeksztaÅ‚ceniach oraz uwzglÄ™dniajÄ…c, że = k = 1,38 Å"10-23 J / K
N
A
otrzymujemy:
n 2Ç
= = 3,5 Å"1023 m-3 .
V Dki
13.4.R.
1
Ç = v Å"  Å" Á Å" cv -współczynnik przewodnictwa cieplnego;
3
1
· = v Å"  Å" Á - współczynnik lepkoÅ›ci dynamicznej.
3
Uwzględniając powyższe zależności otrzymujemy:
i R
Ç = · Å" cV = Å" Å"· = 3,77 Å"10-3W / m Å" K
2 µ
13.5.R.
1
· = v Å"  Å" Á - współczynnik lepkoÅ›ci dynamicznej
3
8RT
v = , gdzie k  stała Boltzmanna, T  temperatura, m  masa cząsteczki;
Ä„ Å" µ
1
 = , gdzie d  średnica czynna cząsteczki, n  liczba cząsteczek, V  objętość
n
2
2Ä„ Å" d
V
Uwzględniając powyższe zależności oraz pamiętając, że
·N = ·H
otrzymujemy
4
µN dN
TN = TH Å" Å" E" 204o C
4
µH dH
13.6.R.
Ilość ciepła przewodzonego przez ściany mieszkania:
T1 - T2
Q = Ç Å" S Å" t
d
Ilość ciepła uzyskana ze spalenia m masy węgla:
Q1 = m Å" r .
Część uzyskanego ze spalenia węgla ciepła wyrównuje straty ciepła:
·Q1 = Q
Po przekształceniach otrzymujemy:
T1 - T2
m = · Å" S Å" t Å" Ç Å"
d Å" r
13.7.R.
Ilość ciepła przewodzonego przez ścianki naczynia
"T
Q = Ç Å" S Å" Å"Ä
d
Masa lodu stopiona przez to ciepło wynosi:
Ç Å" S Å" "T Å"Ä
m =
d Å" l
13.8.R.
Ilość ciepÅ‚a przewodzona przez Å›cianÄ™ z drewna w czasie Ä musi byÅ› równa iloÅ›ci ciepÅ‚a
przewodzonego przez mur z cegieł w tym samym przedziale czasu:
"T "T
Ç1 Å" S Å" Å"Ä = Ç2 Å" S Å" Å"Ä
d dx
StÄ…d:
Ç2
dx = d
Ç1
13.9.R.
Ilość ciepła przewodzonego przez płytkę z miedzi musi być równa ilości ciepła
przewodzonego przez płytkę z żelaza:
T2 - Ts Tx - T1
Ç1S Ä = Ç S Ä
2
d d
Po przekształceniach otrzymujemy:
Ç1T1 + Ç2T2
Tx = = 339.3K
Ç1 + Ç2
13.10.R.
Ciepło wytwarzane przez piec:
Q = P Å"Ä
Ciepło przenoszone przez warstwę:
T - Tx
Q = Ç Å" S Å" Å"Ä
d
Porównując powyższe równania i przekształcając otrzymujemy:
P Å" d
Tx = T - = 473K
Ç Å" S
13.11.R.
Ciepło, które przepłynie do naczynia w czasie dt :
"T
dQ = Ç Å" S Å" dt, gdzie: "T = T1 - T , a T jest temperaturÄ…, jakÄ… osiÄ…gnie woda
d
pobierając ciepło dQ w czasie dt.
Ciepło pobrane przez wodę zmieni jej temperaturę o dT:
dQ
.
dT =
m Å" c
Porównując powyższe równania otrzymujemy:
Ç Å" S
dT = (T1 - T )Å" dt .
d Å" m Å" c
Woda w naczyniu zagotuje się gdy temperatura T osiągnie wartość temperatury wrzenia dla
wody Tw.
Przekształcając powyższe równanie, całkujemy je obustronnie
Tw
Ä
dT Ç Å" S
+"T - T = +"dt
d Å" m Å" c
1
To 0
i otrzymujemy wzór na czas, po którym ciecz w termosie zagotuje się:
T1
d Å" m Å" c - T0
Ä = ln .
Ç Å" S T1 - Tw